Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.[r]
(1)Các chuyên đề bồi dưỡng hsg toán thcs Chuyên đề 1: Số chính phương I Định nghĩa: Số chính phương là số bình phương đúng số nguyên II tÝnh chÊt: 1) Số chính phương có thể có chữ số tận cùng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không thể có chữ tận cïng b»ng 2, 3, 7, 2) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa các thừa số nguyên tố với số mò ch½n 3) Số chính phương có thể có hai dạng 4n 4n + Không có số chính phương nào có dạng 4n + 4n + (n N) 4) Số chính phương có thể có hai dạng 3n 3n +1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + ( n N ) 5) Số chính phương tận cùng 1, thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là Số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ 6) Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 25 Số chính phương chia hết cho thì chia hết cho 16 III Một số dạng bài tập số chính phương A Dạng 1: chứng minh số là số chính phương Bµi 1: Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn x, y th×: A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 lµ sè chính phương Gi¶i : Ta cã A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = ( x xy y )( x xy y ) y §Æt x xy y t (t Z ) th× A = ( t y )(t y ) y t y y t ( x xy y ) V× x, y, z Z nªn x Z , xy Z , y Z x xy y Z Vậy A là số chính phương Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng luôn là số chính phương Giải : Gọi số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + (n Z) Ta cã: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + = ( n 3n)(n 3n 2) (*) §Æt n 3n t (t N ) th× (*) = t(t + 2) + = t2 + 2t + = (t + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2 GiaoAnTieuHoc.com (2) Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + là số chính phương Bµi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) Chøng minh r»ng 4S + lµ sè chính phương 1 k (k + 1)(k + 2) = k(k + 1)(k + 2) (k 3) (k 1) 4 Gi¶i : Ta cã: k(k + 1)(k + 2) = 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) – k(k + 1)(k + 2)(k – 1) 4 = 4S =1.2.3.4 – 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + + k(k +1)(k +2)(k +3) – k(k +1)(k +2)(k – 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết bài k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + là số chính phương Bµi 4: Cho d·y sè 49; 4489; 444889; 44448889; - Dãy số trên xây dựng cách thêm số 48 vào các chữ số đứng trước và đứng sau nó Chứng minh tất các số dãy trên là số chính phương n Ta cã: 444 4888 89 444 4888 8 444 4.10 8.111 1 n 1 so n so n so n so n so n so 10 n n 10 n 10 1 9 4.10 n 4.10 n 8.10 n 4.10 n 4.10 n 2.10 n 9 Ta thÊy 2.10 n 2000 01 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho nªn nã chia hÕt cho n 1 so 2.10 n Z hay các số có dạng 44 488 89 là số chính phương Các bài tương tự: Chứng minh số sau đây là số chính phương A = 111 1 444 4 n so n so B = 111 1 111 1 666 6 n so n 1 so n so C = 444 4 222 2 888 8 n so n 1 so n so D = 224999 91000 09 n so n so E = 111 1555 56 n so n 1 so GiaoAnTieuHoc.com (3) KÕt qu¶: A= 10n ; 10n B ; 2.10n C ; D= (15.10n - 3)2; 10 n E = Bài 5: Chứng minh tổng các bình phương số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gi¶i: Gọi số tự nhiên liên tiếp đó là n – 2, n – 1, n +1, n + ( n N, n > 2) Ta cã (n – 2)2 + ( n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5.(n2 + 2) Vì n2 không thể tận cùng đó n2 + không thể chia hết cho 5.(n2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương Bài 6: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 đó n N và n >1 không phải là số chính phương Ta cã: n6 – n + 2n3 + 2n2 = n2 (n4 – n2 + 2n +2) = n2 [n2(n – 1)(n + 1) +2(n + 1)] = n2[(n+1)(n3 – n2 + 2)] = n2(n + 1) [(n3 + 1) – (n2 – 1)] = n2(n + 1)2 (n2 – 2n + 2) Víi n N, n > th× n2 – 2n + = (n –1)2 + > ( n – 1)2 Vµ n2 – 2n + = n2 – 2(n – 1) < n2 Vậy (n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 n2 – 2n + không phải là số chính phương Bài 7: Cho số chính phương có chữ số hàng chục khác còn chữ số hàng đơn vị là Chứng minh tổng các chữ số hàng chục số chính phương đó là số chính phương Ta biết số chính phương có chữ số hàng đơn vị là thì chữ số hàng chục nó là số lẻ Vì chữ số hàng chục số chính phương đó là 1,3,5,7,9 đó tổng chúng + + + + = 25 = 52 là số chính phương Bài 8: Chứng minh tổng bình phương số lẻ không phải là số chính phương Ta cã: V× a vµ b lÎ nªn a = 2k + 1, b = 2m + (Víi k, m N) a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = (k2 + k + m2 + m) + a2 + b2 không thể là số chính phương Bµi 9: Chøng minh r»ng nÕu p lµ tÝch cña n (víi n > 1) sè nguyªn tè ®Çu tiªn th× p – vµ p + không thể là các số chính phương Ta cã: V× p lµ tÝch cña n sè nguyªn tè ®Çu tiªn nªn p vµ p kh«ng thÓ chia hÕt cho (1) a) Giả sử p + là số chính phương Đặt p + = m2 ( m N) V× p ch½n nªn p + lÎ m2 lÎ m lÎ §Æt m = 2k + (k N) Ta cã m2 = 4k2 + 4k + p + = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1) m©u thuÉn víi (1) p + không phải là số chính phương GiaoAnTieuHoc.com (4) b) p = 2.3.5 lµ sè chia hÕt cho p - cã d¹ng 3k + p – không là số chính phương Vậy p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p – và p + không là số chính phương Bµi 10: Gi¶ sö N =1.3.5.7 2007.2011 Chøng minh r»ng sè nguyªn liªn tiÕp 2N – 1, 2N và 2N + không có số nào là số chính phương a) 2N – = 2.1.3.5.7 2011 – Cã 2N 2N – = 3k + (k N) 2N – không là số chính phương b) 2N = 2.1.3.5.7 2011 2N ch½n N lÎ N kh«ng chia hÕt cho vµ 2N nhng 2N kh«ng chia hÕt cho 2N chẵn nên 2N không chia cho dư dư 2N không là số chính phương c) 2N + = 2.1.3.5.7 2011 + 2N + lÎ nªn 2N + kh«ng chia hÕt cho 2N kh«ng chia hÕt cho nªn 2N + kh«ng chia cho d 2N + không là số chính phương Bµi 11: Cho a = 111 1 ; b = 1000 05 Chøng minh ab lµ sè tù nhiªn 2010 so Gi¶i: 2009 so b = 1000 05 1000 0 999 9 9a 2009 so 2010 so 2010 so ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ab (3a 1) 3a N B Dạng 2: tìm giá trị biến để biểu thức là số chính phương Bài 1: Tìm số tự nhiên n cho các số sau là số chính phương a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3) c) 13n + d) n2 + n + 1589 Gi¶i: a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n + 1)2 = 11 (k + n + 1)(k – n – 1) = 11 Nhận xét thấy k + n + > k - n - và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết k n 11 k k n n (k + n + 1) (k – n – 1) = 11.1 b) §Æt n(n + 3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3)2 – 4a2 = (2n + + 2a)(2n + – 2a) = Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a và chúng là số nguyên dương, nên ta có thể viết 2 n a n 2 n a a (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 GiaoAnTieuHoc.com (5) c) §Æt 13n + = y2 (y N) 13(n – 1) = y2 – 16 13(n - 1) = (y + 4)(y – 4) (y + 4)(y – 4) 13 mµ 13 lµ sè nguyªn tè nªn y + 13 hoÆc y – 13 y = 13k (víi k N) 13(n – 1) = (13k 4)2 – 16 = 13k.(13k 8) 13k2 8k + Vậy n = 13k2 8k + (với k N) thì 13n + là số chính phương d) §Æt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355 NhËn xÐt thÊy 2m + 2n + > 2m – 2n – > vµ chóng lµ nh÷ng sè lÎ, nªn ta cã thÓ viÕt (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cã thÓ cã c¸c gi¸ trÞ sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28 Bài tương tự : Tìm a để các số sau là số chính phương a) a2 + a + 43 b) a2 + 81 c) a2 + 31a + 1984 KÕt qu¶: a) 2; 42; 13 b) 0; 12; 40 c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728 Bài : Tìm số tự nhiên n cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là số chính phương Với n = thì 1! = = 12 là số chính phương Với n = thì 1! + 2! = không là số chính phương Với n = thì 1! + 2! + 3! = + 1.2 + 1.2.3 = = 33 là số chính phương Với n ta có 1! + 2! + 3! + 4! = + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! tận cùng bëi Do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng chữ số nên nó không phải là số chính phương Vậy có số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N ) Từ đó suy m2 – n2 = 2010 (m + n) (m – n) = 2010 Nh vËy sè m vµ n ph¶i cã Ýt nhÊt sè ch½n (1) MÆt kh¸c m + n + m – n = 2m sè m + n vµ m – n cïng tÝnh ch½n lÎ (2) Tõ (1) vµ (2) m + n vµ m – n lµ sè ch½n (m + n) (m – n) nhng 2006 kh«ng chia hÕt cho §iÒu gi¶ sö sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương Bµi 4: BiÕt x N vµ x > T×m x cho x( x 1).x( x 1) ( x 2) xx( x 1) Đẳng thức đã cho viết lại sau: x( x 1) ( x 2) xx( x 1) Do vế trái là số chính phương nên vế phải là số chính phương GiaoAnTieuHoc.com (6) Một số chính phương có thể tận cùng các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x có thÓ tËn cïng bëi mét c¸c ch÷ sè 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x là chữ số nên x 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và < x (2) Tõ (1) vµ (2) x chØ cã thÓ nhËn mét c¸c gi¸ trÞ 5; 6; Bằng phép thử ta thấy có x = thoả mãn đề bài, đó 762 = 5776 Bài 5: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n + và 3n + là các số chính phương Ta có 10 n 99 nên 21 2n + 199 Tìm số chính phương lẻ khoảng trên ta 2n + 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84 Số 3n + 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương VËy n = 40 Bài 6: Chứng minh n là số tự nhiên cho n + và 2n + là các số chính phương th× n lµ béi sè cña 24 Vì n + và 2n + là các số chính phương nên đặt n + = k2, 2n + = m2 (k, m N ) Ta cã m lµ sè lÎ m = 2a + m2 = 4a(a + 1) + Mµ n m 4a (a 1) 2a (a 1) 2 n chẵn n + lẻ k lẻ đặt k = 2b + (với b N ) k2 = 4b(b+1) + n = 4b(b+1) n (1) Ta cã: k2 + m2 = 3n + (mod3) MÆt kh¸c k2 chia cho d hoÆc 1, m2 chia cho d hoÆc Nên để k2 + m2 (mod3) thì k2 (mod3) m2 (mod3) (2) m2 – k2 hay (2n + 1) – (n + 1) n Mµ (8; 3) = (3) Tõ (1), (2), (3) n 24 Bài 7: Tìm tất các số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương Gi¶ sö 28 + 211 + 2n = a2 (a N) th× 2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48) 2p 2q = (a + 48) (a – 48) víi p, q N ; p + q = n vµ p > q a 48 p 2p.2q = 96 2q (2p-q – 1) = 25.3 q = vµ p – q = p = n = + q a 48 = 12 Thö l¹i ta cã: 28 + 211 + 2n = 802 C Dạng : Tìm số chính phương GiaoAnTieuHoc.com (7) Bài : Cho A là số chính phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A đơn vị thì ta số chính phương B Hãy tìm các số A và B Gọi A = abcd k Nếu thêm vào chữ số A đơn vị thì ta có số B = (a 1)(b 1)(c 1)(d 1) m víi k, m N vµ 32 < k < m < 100; a, b, c, d = 1; A abcd k §óng céng kh«ng cã nhí Ta cã: B abcd 1111 m m2 – k2 = 1111 (m – k)(m + k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > nên m – k và m + k là số nguyên dương Vµ m – k < m + k < 200 nªn (*) cã thÓ viÕt (m – k) (m + k) = 11.101 Do đó: m k 11 m 56 A 2025 m k 101 k 45 B 3136 Bài 2: Tìm số chính phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị §Æt abcd k ta cã ab cd vµ k N, 32 k < 100 Suy : 101 cd = k2 – 100 = (k – 10)(k + 10) k + 10 101 hoÆc k – 10 101 Mµ (k – 10; 101) = k + 10 101 V× 32 k < 100 nªn 42 k + 10 < 110 k + 10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối gièng Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b N, a 9; b Ta cã: n2 = aabb = 11 a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b) (1) NhËn xÐt thÊy aabb 11 a + b 11 Mµ a 9; b nªn a + b 18 a + b = 11 Thay a + b = 11 vào (1) n2 = 112(9a + 1) đó 9a + là số chính phương B»ng phÐp thö víi a = 1; 2;…; ta thÊy chØ cã a = tho¶ m·n b = Sè cÇn t×m lµ: 7744 Bài 4: Tìm số có chữ số vừa là số chính phương vừa là lập phương Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 với x, y N Vì y3 = x2 nên y là số chính phương Ta có : 1000 abcd 9999 10 y 21 và y chính phương y = 16 abcd = 4096 Bài : Tìm số chính phương gồm chữ số cho chữ số cuối là số nguyên tố, bậc hai số đó có tổng các chữ số là số chính phương GiaoAnTieuHoc.com (8) Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd víi a, b, c, d nguyªn vµ a 9; b, c, d abcd chính phương d 0,1, 4, 5, 6, 9 V× d lµ sè nguyªn tè d = §Æt abcd = k2 < 10000 32 k < 100 k lµ mét sè cã hai ch÷ sè mµ k2 cã tËn cïng b»ng k tËn cïng b»ng Tổng các chữ số k là số chính phương k = 45 abcd = 2025 VËy sè ph¶i t×m lµ: 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu các bình phương số đó và viết số bở hai chữ số số đó theo thứ tự ngược lại là số chính phương Gäi sè tù nhiªn cã hai ch÷ sèph¶i t×m lµ ab (a, b N, a, b 9) Số viết theo thứ tự ngược lại ba Ta cã ab – ba = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2) 11 a2 – b2 11 Hay (a – b) (a + b) 11 V× < a – b 8, a + b 18 nªn a + b 11 a + b = 11 Khi đó: ab – ba 2= 32 112 (a – b) Để ab – ba là số chính phương thì a – b phải là số chính phương đó a – b = a – b =4 NÕu a – b = kÕt hîp víi a + b = 11 a = 6, b = , ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 NÕu a – b = kÕt hîp víi a + b = 11 a = 7,5 lo¹i VËy sè ph¶i t×m lµ 65 Bài 7: Cho số chính phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số đó ta số chính phương Tìm số chính phương ban đầu (KÕt qu¶: 1156) Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng các chữ số nã Gäi sè ph¶i t×m lµ ab víi a, b N, a 9; b Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3 (10a +b)2 = (a + b)3 ab là lập phương và a + b là số chính phương §Æt ab = t3 (t N), a + b = 12 (1 N) V× 10 ab 99 ab = 27 hoÆc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = là số chính phương Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại VËy sè cÇn t×m lµ ab = 27 GiaoAnTieuHoc.com (9) Bài : Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là số có chữ số giống Gọi số lẻ liên tiếp đó là 2n – ; 2n + ; 2n + (n N) Ta cã : A = (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n +3)2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111 a với a lẻ và a 12n(n + 1) = 11(101a – 1) 101a – 2a – V× a nªn 2a – 17 vµ 2a – lÎ nªn 2a – 3; 9;15 a 2; 5; 8 V× a lÎ a = n = 21 VËy sè cÇn t×m lµ: 41; 43; 45 Bài 10 : Tìm số có chữ số cho tích số đó với tổng các chữ số nó tổng lập phương các chữ số số đó Gi¶i: Ta cã: ab (a + b) = a3 + b3 10a + b = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab 3a (3 + b) = (a + b) (a + b – 1) (a + b) và (a + b – 1) nguyên tố cùng đó a b 3a a b b a b 3a a a hoÆc a b b b b hoÆc VËy ab = 48 hoÆc ab = 37 Chuyên đề 2: phương trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên Phương trình và hệ phương trình bậc hai ẩn Tuú tõng bµi cô thÓ mµ lµm c¸c c¸ch kh¸c VD1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x + 3y = 11 (1) Cách 1: Phương pháp tổng quát: Ta cã: 2x + 3y = 11 x 11 y y 1 5 y 2 Để phương trình có nghiệm nguyên §Æt y 1 tZ y 1 nguyªn y 2t x 3t C¸ch : Dïng tÝnh chÊt chia hÕt V× 11 lÎ 2x + 3y lu«n lµ sè lÎ mµ 2x lu«n lµ sè ch½n 3y lÎ y lÎ y 2t x 3t Do đó : víi t Z Cách : Ta nhân thấy phương trình có cặp nghiệm nguyên đặc biệt là x0 = ; y0 = ThËt vËy: + 3.1 = 11 (2) Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : 2(x – 4) + 3(y – 1) = 2(x – 4) = –3(y – 1) (3) GiaoAnTieuHoc.com (10) Tõ (3) 3(y – 1) mµ (2 ; 3) = y – y = 2t + víi tZ Thay y = 2t + vµo (3) ta cã : x = –3t + Nhận xét : Với cách giải này ta phải mò cặp nghiệm nguyên (x0, y0) phương trình ax + by = c ; c¸ch nµy sÏ gÆp khã kh¨n nÕu hÖ sè a, b, c qu¸ lín Các bài tập tương tự: Tìm nghiệm nguyên phương trình a) 3x + 5y = 10 b) 4x + 5y = 65 c) 5x + 7y = 112 VD2: Hệ phương trình 3 x y z 14 (1) Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình: 5 x y z 28 (2) Giải : Từ hệ đã cho ta có : 2(x + y) = 14 x = – y (*) Thay (*) vµo (1) ta ®îc z = 14 – y – 3x = 2y – V× x > nªn – y > y < mµ z > nªn 2y – > y > VËy < y < vµ y Z y 4; 5; 6 Giải tiếp hệ đã cho có nghiệm (3; 4; 1); (2; 5; 3); (1; 6; 5) Bài tập tương tự: 2 x y 2 y z a) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ b) Trăm trâu trăm cỏ, trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, bó Tìm số tr©u mçi lo¹i c) Tìm số nguyên dương nhỏ chia cho 1000 dư và chia cho 761 dư Tìm nghiệm nguyên phương trình, hệ phương trình bậc cao Phương pháp : Dùng dấu hiệu chia hết để giải phương trình VD1: a) Tìm cặp số nguyên (x ; y) thoả mãn phương trình: 6x2 + 5y2 = 74 (1) C¸ch : Ta cã: (x2 - 4) = (10 - y2) (2) Tõ (2) 6(x2 – 4) vµ (6 ; 5) = x2 – x2 = 5t + víi t N Thay x2 - = 5t vµo (2) ta cã : y2 = 10 – 6t 5t 10 6t V× x2 > vµ y2 > t víi tN t = hoÆc t = Víi t = y2 = 10 (lo¹i) 10 GiaoAnTieuHoc.com (11) x x 3 y y 2 Víi t = VËy c¸c cÆp nghiÖm nguyªn lµ : x 1 C¸ch : Tõ (1) ta cã 0 x 12 Víi x2 = y2 = 10 Víi x2 = y2 = VËy x2 = hoÆc x2 = (lo¹i) (tho¶ m·n) y C¸ch : Ta cã: Tõ (1) y2 = x2 = 0 y 14 VËy VD2 : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên a) x5 + 29x = 10(3y + 1) b) 7x = 2y – 3z – Gi¶i : x5 – x + 30x = 10(3y + 1) VP 30 còn VT 30 phương trình vô nghiệm Phương pháp 2: Phân tích vế thành tích, vế thành số nguyên VD1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a) xy + 3x – 5y = –3 b) 2x2 – 2xy + x – y + 15 = c) x2 + x = y2 - 19 Gi¶i : a) C¸ch 1: x(y + 3) – 5(y + 3) = –18 (x – 5) (y + 3) = –18 C¸ch : x 5y 18 5 y3 y3 b) Tương tự c) 4x2 + 4x = 4y2 – 76 (2x + 1)2 – (2y)2 = –75 Phương pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ (đặc biệt chia hết) VD2 : T×m nghiÖm nguyªn x3 – 2y3 – 4z3 = Gi¶i : x3 = 2(y3 + 2z3) VP x3 x đặt x = 2k 8k3 = 2(y3 + 2z3) 4k3 = y3 + 2z3 y3 = 4k3 – 2z3 = 2(2k3 – z3) y ch½n §Æt y = 2t ta cã : 8t3 = 2(2k3 – z3) 4t3 = 2k3 – z3 z3 = 2k3 – 4t3 z ch½n z = 2m 8m3 = 2(k3 – 2t3) k ch½n 11 GiaoAnTieuHoc.com (12) Phương pháp : Phương pháp sử dụng tính chất số chính phương VD1 : T×m nghiÖm nguyªn cña a) x2 – 4xy + 5y2 = 169 b) x2 – 6xy + 13y2 = 100 Gi¶i : a) (x – 2y)2 + y2 = 169 = + 169 = 25 + 144 b) (x – 3y)2 + (2y)2 = 100 = + 100 = 36 + 64 = Phương pháp : Phương pháp công thức nghiệm phương trình bậc VD1 : Tìm nghiệm nguyên phương trình a) 2x2 – 2xy + x + y + 15 = b) 5(x2 + xy + y2) = 7(x + 2y) (đề thi học sinh giỏi tỉnh 2009 – 2010) c) x(x + 1) = y (y + 1) (y2 + 2) Phương pháp : Phương pháp đặt ẩn phụ VD: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 2x x 2x x 2x x 2x (1) §Æt y = x2 + 2x + (y Z) (1) y1 y 1 y 5y2 – 7y – = y y 1 (lo¹i); y2 = (tho¶ m·n) x1 = 0; x2 = –2 Các bài tập tương tự: a) x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3 b) 1 x( x 2) ( x 1) 12 * Một số phương pháp khác VD1 : Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x2 + 4x = 19 – 3y2 Gi¶i : 4x2 + 8x + = 42 – 6y2 (2x + 2)2 = (7 – y2) V× (2x + 2)2 – y2 y Mà y Z y = ; ; Từ đây ta tìm giá trị tương ứng x Mét sè bµi to¸n liªn quan tíi h×nh häc a) Cho tam giác có độ dài đường cao là số nguyên dương và đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính 1(đ.v.đ.d) Chứng minh tam giác đó là tam giác Giải: Gọi độ dài các cạnh và các đường cao tương ứng theo thứ tự là a; b; c và x; y; z R là bán kÝnh ®êng trßn néi tiÕp 12 GiaoAnTieuHoc.com (13) Ta cã R = x; y; z > vµ gi¶ sö x y z > Ta cã : ax = by = cz = (a + b+ c).1 (= 2S) Suy ra: x abc ; a a ; x abc y abc abc ; z b c b ; y abc c z abc 1 mµ x y z > x y z 1 1 1 vµ nªn z y x y z z z x 1 z3 z=3 z Tương tự ta có: x = 3; y = tam giác đó là tam giác b) Tìm tất các hình chữ nhật với độ dài các cạnh là các số nguyên dương có thể cắt thành 13 hình vuông cho cạnh hình vuông là số nguyên dương không lớn (®.v.®.d) Gi¶i : Gäi c¸c c¹nh h×nh ch÷ nhËt cÇn t×m lµ a vµ b, c¹nh h×nh vu«ng lµ c Tõ gi¶ thiÕt h×nh ch÷ nhËt c¾t thµnh 13 h×nh vu«ng nªn ph¶i cã: ab = 13c2 (1) víi < c (2) Tõ (1) suy a hoÆc b chia hÕt cho 13 V× vai trß a, b nh ta cã thÓ gi¶ gi¶ sö a chia hÕt cho 13, tøc lµ a = 13d Thay vµo (1) ta ®îc : 13db = 13c2 Hay db = c2 Ta hãy xét các trường hợp có thể có c Víi c = 1, chØ cã thÓ: d = 1, b = 1, suy a = 13 Víi c = 2, chØ cã thÓ: d = 1, b = 4, suy a = 13 d = 2, b = 2, suy a = 26 d = 4, b = 1, suy a = 52 Víi c = 3, chØ cã thÓ: d = 1, b = 9, suy a = 13 d = 3, b = 3, suy a = 39 d = 9, b = 1, suy a = 117 Víi c = 4, chØ cã thÓ: d = 1, b = 16, suy a = 13 d = 2, b = 8, suy a = 26 d = 4, b = 4, suy a = 52 d = 8, b = 2, suy a = 104 d = 16, b = 1, suy a = 208 13 GiaoAnTieuHoc.com (14) Với 12 nghiệm phương trình (1) có trường hợp thoả mãn bài toán Bài toán có nghiệm Ta tìm hình chữ nhật thoả mãn đề bài: (a = 13, b = 1); (a = 26, b = 2); (a = 39, b = 3); (a = 52, b = 4) Chuyên đề 3: Giải phương trình vô tỷ (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh) I Giải phương trình vô tỷ * Các phương pháp Luü thõa khö c¨n §Æt Èn phô Dùng bất đẳng thức XÐt kho¶ng II áp dụng các phương pháp A Phương ph¸p luỹ thõa khử Giải các phương trình a) x x 2(1) §iÒu kiÖn: Víi x x PT (1) x x 2 x x 2 x x 3x 4(2 x x 3) 64 x 48 x (2) x x (Tm) PT (2) x 28 x 52 x 26 ( Loai ) Vậy PT đã cho có nghiệm x = b) 3( x x 1) ( x x 1) (1) §K: x Víi x th× PT (1) 3( x x 1) x x x x 2x 4x 2x x x 2x x x Do x nªn vÕ cña PT nµy kh«ng ©m v× vËy PT nµy x x x 8x x x x x 5x x 8x x ( x 2) ( x x 1) x (TM) x x c) x x 1 (1) Gi¶i: 14 GiaoAnTieuHoc.com (15) §KX§: x R Pt (1) x2 3 2x 1 x x 3 ( x 2)(2 x 2) (3 ( x 2) (2 x 2) 1 x 33 x x x x x 27(2 x x 4) x 51x 159 x 107 ( x 1)( x 52 x 107) x x 26 783 x 26 783 x x 52 x 107 B Phương pháp đặt ẩn phụ 2) Giải các phương trình: a) x x 1 Gi¶i: §K: x 1 §Æt x 2 a; x 1 b (b ) a b 3 Ta cã hÖ PT a b Suy a a 6a (a 1)(a 6) a x 3(T / m) Vậy phương trình nghiệm x b x x 5(1) §K: x 5 x y Đặt : x y ( y 0) ta có hệ phương trình y x x y ( x y ) ( x y) x y x x 21 +) x y x x 21 x x x x (Ko T/m) x +) x y x x x x x ( x 1) x x x 5(*) 17 x PT (*) x x 17 x (ko t/m) VËy PT v« nghiÖm 15 GiaoAnTieuHoc.com (16) c) ( x 2)( x 4) 5( x 2) §K: §Æt x4 6 x2 x4 0 x2 x4 ( x 2) a a ( x 4)( x 2) Ta cã PT: a 5a x2 a a 6 3 x (tm) x x x 3 +) a x x 2 x 3 37 +) a 6 x x 36 x x 28 x 3 37 (tm) VËy pt cã nghiÖm x 3 ;3 37 C áp dụng bất đẳng thức 3) Giải các phương trình a) x x x 2 x (1) §K: x Khi đó: x PT (1) 2x 2x Ta cã: x x ( x 3)( x 1) §¼ng thøc xÈy x3 x Vậy nghiệm PT đã cho là x3 b) x x x 10 x 27(1) Gi¶i §K x Trªn TX§ x x (12 12 )( x x) L¹i cã: x 10 x 27 ( x 5) x 10 x 27 x x x4 6 x x4 6 x §¼ng thøc xÈy x x5 4 x VËy PT (1) cã nghiÖm lµ x = 16 GiaoAnTieuHoc.com (17) c) Giải phương trình: x x 1 x x2 1 x2 x Gi¶i: x x §K: x x ¸p dông B§T c« si cho c¸c sè kh«ng ©m ta cã x2 x 11 x x 1 ( x x 1).1 ( x x 1).1 Ta cã: x x x x2 x 1 x x2 1 x 1 (V× ( x 1) ) x2 x 1 x x2 1 x2 x §¼ng thøc xÈy x VËy pt cã nghiÖm lµ x = D XÐt kho¶ng 4) Gi¶i c¸c PT a) x 48 x x 35 (1) Gi¶i §KX§: x R 13 PT(1) x 48 x 35 x x 48 x 35 4x ThÊy x lµ nghiÖm cña PT (1) 1 +) x x 48 x 35 13 x 48 x 35 PT v« nghiÖm 4x 13 2 +) x x 48 x 35 13 2 1 x 48 x 35 PT v« nghiÖm 4x 13 2 Vậy phương trình có nghiệm là x = b) x 3x (1) Gi¶i Ta cã: x th× x ; x x th× x ; x +) XÐt x x 4;3x x 3x PT (1) v« nghiÖm 17 GiaoAnTieuHoc.com (18) +) XÐt x tương tự ta suy phương trình vô nghiệm ThÊy x = hoÆc x = –1 lµ nghiÖm cña PT (1) Bµi tËp: Bµi Gi¶i c¸c PT a) 2( x 2) x 1( B) Bµi Gi¶i PT Bµi Gi¶i PT b) x 17 x x 17 x 9( B) x (A) x x x 24 x x (D) Bµi4 Gi¶i PT x x x x 13(C ) Bµi Gi¶i PT 10 3x x ( A) Bµi Gi¶i PT 27 x10 x 864 (C) III Giải hệ phương trình * Các phương pháp: Phương pháp C«ng thøc trõ, nh©n, chia c¸c vÕ §Æt Èn phô Dùng bất đẳng thức IV áp dụng các phương pháp A Phương pháp Giải các hệ pgương trình 3 x y 11 7 x y 29 a) Gi¶i y 11 x 7 x 4(11 x) 29 Hệ đã cho tương đương với Vậy hệ đã cho có nghiệm là: y 11 x x 5 x 15 y (x; y) = (3; 2) x xy b) 4 x xy y 27 Gi¶i 18 GiaoAnTieuHoc.com (19) x y ( x y )( x y ) 20 y y 27 Hệ đã cho tương đương với x 3y 4 x xy y 27 42 y y 27 x y 549 y 20 549 y 20 x y y 127 14 y 127 14 549 x 10 y 549 20 549 127 127 x x x 10 14 14 HoÆc HoÆc y 549 y 127 y 127 20 14 14 x y z xy yz zx c) 2003 2003 2003 2004 x y z 3 Gi¶i: x y z xy yz zx(1) §Æt: 2003 x y 2003 z 2003 32004 (2) Ta cã:PT (1) x y z xy yz zx ( x y ) ( y z ) ( z x) xyz ThÕ vµo (2) ta cã: 3x 2003 2004 x 2003 2003 x Do đó x = y = z = Vậy nghiệm hệ đã cho là: (x;y;z) = (3;3;3) B Phương pháp cộng, trừ, nhân, chia các vế Giải các hệ phương trình 5 x y 2 a) x y Gi¶i: 19 GiaoAnTieuHoc.com (20) x 5 x y 6 x Hệ đã cho tương đương với: x y 5 x y 2 y 1 x y b) y x Gi¶i: x y Hệ đã cho tương đương với x y 2( x y ) x y x y (do x xy y ) x 1 1 x 1 x y 1 1 x x y ( x xy y c) y yz z z zx x x y ( x y )( x xy y 2) x 2x x y 1 x hoÆc y 1 ( x 1)( x x 1) x y 1 x hoÆc y 1 đó x, y, z Gi¶i ( x 1)( y 1)( z 1) 100 ( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1) Hệ đã cho tương đương với ( y 1)( z 1) ( z 1)( x 1) 10 ( y 1)( z 1) ( z 1)( x 1) 10 ( x 1)( y 1)( z 1) 10 ( x 1)( y 1) ( y 1)( z 1) ( z 1)( x 1) 10 (Do x,y,z>0) z x x y y 1 z Vậy hệ đã cho có nghiệm là (x; y; z)=(1; 0; 4) C Phương pháp đặt ẩn phụ Giải các hệ phương trình x x y y a) 3 x y x y xy §Æt: 20 GiaoAnTieuHoc.com (21)