Phương trình vô tỉ ôn thi đại học

a.Phương pháp: Sau khi đặt ẩn phụ ,phương trình chứa 2ẩn.Ta có thể coi một ẩn là tham số , và giải phương trình theo ẩn còn lại.. Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình a.Phương pháp: [r]

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ A Một số phương pháp giải I Phương pháp biến đổi tương đương 1.Kiến thức a  f  x  = g(x)   g(x)  f(x) = g(x) f (x)  0,(g(x)  0) b f (x)  g(x)    f (x)  g(x)   Chú ý : Các trường hợp khác ta phải tìm điều kiện trước biến đổi 2.Ví dụ minh hoạ  Ví dụ1: Giải phương trình sau: x  x 1   x (1) Lời giải: 2 x    x  Pt (1)     x 1   x  x   ( x  2)  x  Vậy nghiệm phương trình là x =  Ví dụ2: Giải phương trình sau: x   3x   x (2) Lời giải:  x 1   ĐK 3x    x  Phương trình (2) tương đương với  x0   x 1 2 x   3x   4x  3x  2x      x 1 x     Vậy phương trình có nghiệm là x = Lop12.net * Chú ý : ví du trên ta có thể bình phương vế , nhiên không phải lúc nào ta có thể bình phương  Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3x   x 1  x  (3) Lời giải: 3 x    ĐK :  x    x   x    3x   x 1  x   3x   ( x 1  x  3)2  x  2  (2 x  1)( x  3)   x  x     x  x1  Vậy nghiệm phương trình là x  Pt (2)  * Chú ý :ở ví dụ (3), ta phải chú ý điều kiện để vế không âm, bình phương hai vế  Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 2(1  x) x  x 1  x  x 1 (4) Lời giải: Pt(3)  ( x  x   x)(2  x2  x 1)   x2  x 1  x  (*) x2  x 1  (**) Giải phương trình (*) ta có phương trình vô nghiệm Giải phương trình(**) ta nghiệm phương trình là x   Vậy nghiệm phương trình là : x   *Nhận xét :trong số trường hợp ta phải đưa dạng tích , mà không thể dùng bình phương hai vế Ngoài ra, ta có thể giải phương trình, dựa vào điều kiện nó  Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x( x 1)  x( x  2)  x (5) Lời giải: Lop12.net  x 1  x( x  1)    x0 ĐK   x( x  2)    x  2 Ta xét theo trường hợp sau: +)Trường hợp 1: Nếu x  thì pt(4) trở thành x 1  x   x    x 1  x   4x  x  x   2x 1 (t/m)  4(x  x  2)  (2x  1)2  x  +)Trường hợp 2: Nếu x  2 thì pt(4) trở thành  x  x   x     x   x   4x  x  x   2x   4(x  x  2)  (2x  1)2  x  (loại) +)Trường hợp 3: Nếu x = pt(4) luôn thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm là x = , x   Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x  2x   x  2x   (6) Lời giải:  x    2x     ĐK  x  2x     x   2x   x  Phương trình (6) tương đương với  x  2x    x  2x     2x  2x   2x  2x     2x     2x     2x    2x     2x    1(*) 2x    Khi đó Pt(*) trở thành 2x    2x    x   Trường hợp :  x   2x    Khi đó Pt(*) trở thành 2x    2x     ( luôn đúng)  Trường hợp : x   Lop12.net  2x   2 Vậy nghiệm phương trình là  x  II) Phương pháp đặt ẩn phụ 1.Dạng1: Đặt ẩn phụ đưa phương trình không chứa ẩn ban đầu a.Phương pháp:  Nếu phương trình có chứa f(x) và f(x),thì ta đặt t = f (x) f (x), g(x) mà f (x) g(x)  a , với a là số a thì ta đặt t  f (x)  g(x)  t  Nếu phương trình có chứa f (x)  g(x), f (x)g(x),f (x)  g(x)  a với a là  Nếu phương trình có chứa số , thì đặt t  f (x)  g(x)  Nếu phương trình có chứa  Nếu phương trình có chứa   a  x , thì đặt x  a sin t,   t  2 a   (   t  , t  0) x  a , thì đặt x  sin t 2 b.Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình : 2(x2- 2x) + x  2x    (1) Lời giải:  t 1 Đặt t = x  2x  , PT (1) trở thành 2t  t      t  t    2 Với t =1 thì x  2x    x  2x    x  Ví dụ 2: Giải phương trình : 5( 3x   x 1)  4x   3x  5x  (2) Lời giải: 3x   x 1 , đ/k t ≥ t  PT (2) trở thành t2-5t+6=0   t  Điều kiện x ≥ , đặt t =  Với t =2 thì 3x   x 1    3x   x 1   4x Lop12.net    x    1 x      Phương trình vô nghiệm  15  4(3x  2)(x  1)  (7  4x) x     Với t = thì 3x   x 1    3x   x 1  12  4x  1  x  1 x        x   x  2 (3x  2)(x  1)  (6  2x)   x  17   Vậy PT có nghiệm là x = Ví dụ 3: Giải phương trình :  x  4x  3x (3) Lời giải: Điều kiện -1 ≤ x ≤ , đặt x = cost , t   0,   PT (3) trở thành   cos t  4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  cos3t  cos(  t)   3t   t  k2   5 3  (k  )  t  , , , t   0;   8   3t  t   k2  2 5    x1  cos  , x  cos  , 8 3 x  cos   Ví dụ : Giải phương trình : (1  x)2   x  (1  x)2  (4) Lời giải: Do x  1 không là nghiệm phương trình (4) nên ta chia vế 1 x2  1 x 1 x    (4') , ta đặt PT (4) trở thành 1 x 1 x PT(4) cho Lop12.net t 1 x (t  0) 1 x  t 1 PT (4’) trở thành 2t     2t  3t     t t   1 x 1 x  Với t = thì 1 1 x  1 x 1 x 1 x 1 x  Với t = thì    x 1 x 1 x Vậy phương trình có hai nghiệm là x = và x   Ví dụ : Giải phương trình : x x 35 (5)  x 1 12 Lời giải:  , với t  (0 ) cos t  x 1  tan t 1 35 1 35 PT (5) trở thành  cos t     cos t sin t 12 cos t sin t 12 cos t Điều kiện x > , đặt x   12(sin t  cos t)  35sin t cos t Đặt u  sin t  cos t  u  (1; 2) PT trở thành 35u  24u  35   u  Do đó ta có 35   cos t  sin t  12  25    cos t sin t 12 ( thỏa mãn) 5    cos t  x     5 x   cos t  Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 5 và x  Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình còn chứa ẩn ban đầu Lop12.net a.Phương pháp: Sau đặt ẩn phụ ,phương trình chứa 2ẩn.Ta có thể coi ẩn là tham số , và giải phương trình theo ẩn còn lại b Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình : x 1  2x x  2x (1) Lời giải: x  ĐK  x  Đặt t  x  2x  PT (1) trở thành x2 -2tx-1 = ,  ' = t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) Khi đó ta có  x  2x   x  2x    x  x  2x  (x  1) x  1      2x 1     x  1/   x  x  2x  (x  1)   x  2x  (2x  1)2  3x  2x    x       Vậy phương trình có hai nghiệm là x   Ví dụ 2: Giải phương trình : (4x-1) 4x   8x2+2x+1 (2) Lời giải: Đặt t = 4x  ≥ , PT (2) trở thành 2t2-(4x-1)t+2x-1=0  t   t  2x 1   t  2x   1  x  x   với t =2x-1  4x   2x    2  PTvô nghiệm 4x   (2x  1)2  x   Vậy phương trình (2) vô nghiệm Dạng3: Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình a.Phương pháp: (1) m  u  m a  f (x) u m   a  b a  f (x)  b  f (x)  c    u  v  c  v  n b  f (x) n Lop12.net (2) m u  m a  f (x) a  f (x)  n b  f (x)  c    v  n b  f (x) u m  v n  a  b  u  v  c đó m và n nguyên dương lớn b Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình :  x   x  (1) Lời giải: u   x Đặt   v   x u  v  u  v    u  v   x    uv    u  v  Vậy phương trình có nghiệm là x = Khi đó PT (1) trở thành Ví dụ 2: Giải phương trình :  x   x 1 (2) Lời giải: u   x Đặt   v  x   u 0  x2     u 1 u  v  u(u  u  2)  Khi đó PT (2) trở thành       x 1 v  1 u  u  v    u  2   x  10  v   u  Vậy phương trình có ba nghiệm là x = ; x = ; x = 10 III) Phương pháp đánh giá 1) Kiến thức bản: f (x)   1) f2(x) + g2(x) + h2(x) =  g(x)   h(x)   Lop12.net f (x)  g(x)  k f (x)  m  2)  f (x)  m ;g(x)  n   ( đó k là số)  g(x)  n   mn  k  f (x)  g(x)  f (x)  k 3)  (trong đó k là số)   f (x)  k;g(x)  k g(x)  k 2) Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình : 4x2 + 3x +3 = 4x x   2x  (1) Lời giải: ĐK x ≥ 1/2 Phương trình (1) tương đương với  x   2x (2x  x  3)  (1  2x 1)2     2x    x  Vậy phương trình có nghiệm là x = Ví dụ 2: Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 = – 2x – x2 Lời giải: Ta có VT = 3(x  1)2   5(x  1)2     VP = - 2x- x2 = – (x+1)2 ≤  VT   x  1 Do đó phương trình thỏa mãn và   VP  Vậy phương trình có nghiệm là x = -1 Ví dụ 3: Giải phương trình : 5x  3x  3x   x2  3x  (1) 2 Lời giải:   ĐK : 5x3 + 3x2 +3x +   x  x   5x     x  BĐTCôsi Ta có 5x  3x  3x    x  x  1 5x  2  x 1 Do đó PT(1)  x2 + x + = 5x –   (thoả mãn)  x  Vậy phương trình có hai nghiệm là x = và x = IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Lop12.net  x  6x 1 x   3x  2 1) Phương pháp: Dùng tính đơn điệu hàm số để khẳng định số nghiệm phương trình 2) Ví dụ minh họa : Ví dụ 1: Giải phương trình : x  x   3x   Lời giải: 1  Xét hàm số f(x) = x  x   3x  trên tập D   ;  3   với x  D  h/s f(x) đồng biến trên D Ta có f ' (x)  5x  3x   3x ĐK : x  Mặt khác với x = -1 thì f (-1) = Vậy pt có nghiệm là x = - Ví dụ 2: Giải phương trình :  x  x   x  x  (2) Lời giải: PT (2)   x  x   x  x  (*) Đặt t = x2- x đ/k ( -3≤ t ≤2) PT(*) trở thành  t    t (**)  t trên tập D =  3;2  Ta có f ' (t)  Xét hàm số f(t) =  với 3 t x   3;2   h/s f(t) đồng biến trên tập xác định D  với x   3;2  Mặt khác hàm số g(t) = 1+  t  g ' (t)   2t  h/s g(t) nghịch biến trên tập D Mặt khác với t = thì f(1) = g(1) = Do Pt (**) có nghiệm t =1 Với t = thì x2- x =  x  x    x  1 Ví dụ 3: Chứng minh với m > 0, phương trình sau luôn có nghiệm thực x  2x   m(x  2) (1) ( Khối B – 2007) phân biệt Lời giải: ĐK x  x2  Pt (1)   x   x  6x  32  m     x  6x  32  m  Ta chứng minh phương trình x  6x  32  m (2) có nghiệm x   2;   với m    Xét hàm số f(x) = x3 + 6x2 -32 với x  Lop12.net Ta có f ' (x)  3x  12x  với x   hàm số f(x) đồng biến trên  2;  Bảng biến thiên x f ' (x)  +  f(x) Dựa vào bảng biến thiên ta có với m  , Pt(1) luôn có nghiệm x   2;   Vậy Pt(1) luôn có nghiệm thực phân biệt B Bài tập vận dụng Bài tập : Giải các phương trình sau 1)  3)  x  x2  x  1 x 5x   3x   x   x  3x   x  3x   x 3 6) 4x   3x   x 1   x 4) 5) x   x  7) 2) 4x   4x   8) x  3x   (x  3) x  9)   x     x   (2  x)(7  x)  2 10) 3x    5x   ( Khối A – 2009) 11) x  x  12 x   36  12) (x  4)(x  1)  x  5x   13) x   2x   x   2x   14) x  4x   x  3x   x  x  2x  2x 15)  2x   2x    2x  2x 1 16)  x  x     x x Bài tập : Cho phương trình x 1   x   x  1  x   m a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm Bài tập :Tìm m để phương trình sau có nghiệm Lop12.net x x  x  12  m(  x   x ) Bài tập :Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 x2  23 1 x2  m Bài tập :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực x   m x   x  ( Khối A – 2007) Bài tập :Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt  x  2x   x   x  m ( Khối A – 2008) ………………… Hết……………………… Lop12.net