Số phức - Lượng giác – hình học

Với k  3 việc tính tổng S k  M  trở nên khá phức tạp, nhất là với k lẻ thì ta không còn dùng được công cụ vectơ có thể các bạn tìm được ra cách lý luận để xử lý riêng trường hợp k lẻ [r]

SỐ PHỨC - LƯỢNG GIÁC – HÌNH HỌC I Số phức – các công thức bản: 1) Định nghĩa và các phép tính bản:  Số ảo i là số thoả: i  1  Số phức z có dạng: z  a  bi đó a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo Cho số phức z1  a1  b1i, z2  a2  b2i Khi đó: a  a2  z1  z2   b1  b2  z1  z2   a1  a2    b1  b2  i  z1.z2   a1  b1i   a2  b2i   a1a2  b1b2   a1b2  a2b1  i  z1 a1  b1i  a1  b1i  a2  b2i  a1a2  b1b2   b1a2  b2 a1  i    z2 a2  b2i  a2  b2i  a2  b2i  a2  b2 (Các phép toán với số phức thực y với số thực, cần nhớ thêm i  1 )  Với số phức z  a  bi thì đại lượng a  b gọi là môđun số phức z  Ký hiệu z  a  b Ý nghĩa z làm rõ các phần  Số phức a  bi gọi là số phức liên hợp z và ký hiệu là z Ta có: z.z  z 2) Công thức De – Moivre: Có thể nói công thức De – Moivre là công thức thú vị và là tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau này phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Chúng ta hãy cùng tìm hiểu chuỗi công thức kỳ diệu này Trước hết ta có: Công thức 1:  cos x  i sin x   cos y  i sin y   cos  x  y   i sin  x  y  Thật vậy:  cos x  i sin x   cos y  i sin y    cos x cos y  i sin x sin y     sin x cos y  cos x sin y  i Nếu i  thì hoàn toàn chẳng có gì cả, đây i  1 nên ta thu được:  cos x  i sin x   cos y  i sin y    cos x cos y  sin x sin y     sin x cos y  cos x sin y  i  cos  x  y   i sin  x  y  Bây áp dụng công thức cho trường hợp đặc biệt y=x thì ta được:  cos x  i sin x  và tiếp tục là:  cos x  i sin x   cos x  i sin x   cos x  i sin x   cos x  i sin x    cos x  i sin x   cos x  i sin x   cos x  i sin x Bằng phép quy nạp ta thu công thức Lop12.net 0943898959 Công thức (Công thức De - Moivre):  cos x  i sin x   cos nx  i sin nx n Từ phép tính không phức tạp ta đã thu công thức hay  Bây ta tìm hiểu các ứng dụng công thức này II Các ứng dụng công thức De – Moivre: 1) Tính – rút gọn các tổng lượng giác: Các bạn học lượng giác đã phải rút gọn các tổng sau: A  cos x  cos x  cos x   cos nx B  sin x  sin x  sin x   sin nx Dùng công thức De - Moivre ta có thể tính khá dễ dàng A, B và là tính đồng thời A, B Thật vậy:  A  iB    cos x  i sin x    cos x  i sin x     cos nx  i sin nx     cos x  i sin x    cos x  i sin x     cos x  i sin x  n   cos x  i sin x   cos  n  1 x  i sin  n  1 x     cos x  i sin x   cos x  i sin x Ta áp dụng công thức nhân để rút gọn VP: n 1 n 1 n 1 2sin x  2i sin x cos x 2 VP  x x x 2sin  2i sin cos 2 n 1 n 1 n 1 sin x sin x  i cos x 2  x x x sin sin  i cos 2 n   sin n  x  i cos n  x   sin x  i cos x  sin x    2  2   x sin  n  1 x cos nx sin n  x.sin nx n 1 sin x sin cos nx  i sin nx   2 i 2    x x x 2  sin sin sin 2 So sánh phần thực và phần ảo vế ta thu kết : n 1 1 A  sin  n  1 x cos nx x sin n 1 nx sin x.sin 2 B x sin 2 Lop12.net 0943898959 Vậy ta đã rút gọn các tổng A, B Tuy nhiên có lưu ý nhỏ là với x  k 2 thì dễ dàng tính trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công thức De – Moivre (và thật không thể dùng công thức De – Moivre, vì sao?) Ngoài các bạn có thể rút gọn phân số n 1 n 1 sin x  i cos x 2 x x sin  i cos 2 công thức De – Moivre, phần này dành cho các bạn xem bài tập 2) Luỹ thừa – Khai số phức:  Luỹ thừa: 12 12 VD: tính 1  i   1  i  Ta có:         1 i    i    cos  i sin  ,1  i   cos  i sin  4 4     nên 12 12 12        12 12 1  i   1  i    cos  i sin    cos  i sin   4 4      64  cos 3   128 Như để áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số phức, ta cần chuyển số phức thành dạng lượng giác, và điều này luôn có thể làm được! Thật vậy, với số phức z  a  bi ta có:   a b z  a  bi  a  b   i 2 a  b2   a b  z  cos   i sin    r  cos   i sin   với r  z và góc  gọi là argument z, ký hiệu là arg  z   Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai Khai số phức: Giả sử t là bậc n số phức z  r  cos   i sin   Ta có : n t  t  cos   i sin    t n  t  cos n  i sin n  Do đó: n t n  z  t  cos n  i sin n   r  cos   i sin   t n  r   cos n  cos  sin n  sin   t  n r    2  k  0,1, , n  1    k n n  (Tại ta lấy k  0,1, , n  ?) Vậy số phức có đúng n bậc n Lop12.net 0943898959 Về các bậc n số có nhiều điều khá thú vị, đây xin nêu phối hợp chúng với định lý Viet để tính tổng, cụ thể ta tính tổng sau đây: 2 4 2n S  cos  cos   cos 2n  2n  2n  Trước hết ta có nhận xét hữu ích sau: Nhận xét: Nếu t là bậc n và t  thì t là nghiệm phương trình z n 1  z n    z   Thật vậy: t n     t  1  t n 1  t n    t  1   t n 1  t n    t   (*) Với 2n bậc 2n+1 số là: 2 2 4 4 t1  cos  i sin , t2  cos  i sin , , 2n  2n  2n  2n  k 2 k 2 4n 4n tk  cos  i sin , , t2 n  cos  i sin 2n  2n  2n  2n  ta có thể áp dụng nhận xét trên và suy 2n số phức này là 2n nghiệm phân biệt (?) phương trình : z n  z n 1   z   đó theo định lý Viet thì: 2n  tk  1 k 1 đồng phần thực vế ta được:  2n      cos 4n   1 2 2n      cos   cos    cos 2n  2n    2n  2n    Tiếp theo ta tìm hiểu kỹ ý nghĩa hình học số phức và công thức De – Moivre III.Ý nghĩa hình học số phức: Trước hết ta có thể coi số phức z  a  bi  r  cos   i sin   là điểm M  a, b  hay là     OM   a, b   r  z  a  b  OM ,   arg z  OM , Ox      Nếu ta xem số thực k là ‘lệnh’, tức là ku là ‘lệnh’ biến vectơ u thành vectơ   cùng phương với u và có độ dài gấp k lần độ dài u , thì ta thấy là các số thực chưa đủ để  S  1  S     biểu diễn hết các ‘lệnh’(tức các phép biến hình), vì các số thực ứng với các ‘lệnh‘ (PBH) cùng phương, còn các ‘lệnh’ khác phép quay, phép đồng dạng, phép đối xứng thì sao? Rõ ràng là để biểu diễn các PBH này ta cần thêm số mới, nằm ngoài tập số thực, và câu trả lời thật bất ngờ, các số phức chính là biểu diễn phép quay, phép đồng dạng  Thật ta xét lại phép nhân vectơ u   x, y   x  iy mặt phẳng phức với số phức z  cos   i sin  Ta có:  z.u   cos   i sin    x  iy    x cos   y sin    i  x sin   y cos     x cos   y sin  , x sin   y cos   các bạn nhớ lại công thức toạ độ phép quay (mà tôi đã có dịp trình bày) thì đây chính là phép quay với góc  Lop12.net 0943898959 Vậy số phức z  cos   i sin  có thể đồng với phép quay góc  Đặc biệt số ảo i chính là phép quay góc 900 vì: i  cos 900  i sin 900 Với cách nhìn này thì đẳng thức i  1 trở nên hoàn toàn hợp lý, vì i chính là thực liên tiếp phép quay góc 900 nên kết là phép quay góc 1800, tức là –1 Và với cách giải thích này công thức (hay công thức De – Moivre) có ý nghĩa hh rõ ràng đó là: tích phép quay góc x và góc y chính là phép quay với góc x+y Tổng quát thì số phức z  r  cos   i sin   biểu diễn phép đồng dạng gồm phép quay với góc  và phép vị tự với tỉ lệ r Cm chi tiết điều này dành cho các bạn Sau đây xin chuyển sang công thức kỳ diệu khác mang tên nhà toán học vĩ đại Euler, công thức này cho ta thấy hoá các hàm lượng giác và hàm mũ có ‘bà con’ gần với i IV Công thức Euler: Tại Euler lại có thể nghĩ công thức táo bạo thế? Điều này có thể lý giải nhờ vào tương tự công thức De – Moivre với tính chất hàm mũ f  x   a x Ta nhớ lại hàm f  x  có e  cos   i sin  tính chất sau đây: f  x f  y   f  x  y  Và ta xét hàm g  x   cos x  i sin x thì công thức De – Moivre hàm g  x  có tính chất y hàm f  x  , i.e: g  x  g  y   g  x  y  Điểm giống này có lẽ là sở để Euler đề công thức tuyệt vời mình i e  cos   i sin  Dĩ nhiên để cm chặt chẽ công thức này còn phải dùng đến công cụ khá mạnh đó là khai triển Taylor các hàm e x ,sin x, cos x Ở đây chúng ta chấp nhận các công thức khai triển này, cụ thể ta có: x x3 xn     2! 3! n! x x x k 1 x k 3 sin x  x       3! 5!  4k  1!  4k  3! ex   x  cos x   x2 x4 x4k x4k 2      2! 4!  4k  !  4k   ! Áp dụng các công thức khai triển này ta cm công thức Euler, chi tiết dành cho các bạn Cuối cùng xin nêu cách giải số phức bài toán hình học khá thú vị trên Berkeley Math Circle (BMC) V Một bài toán hình thú vị trên BMC: Bài toán: Cho đa giác n-cạnh A1 A2 An nội tiếp đường tròn  O; R  và điểm M di động trên đường tròn này Đặt n S k  M    MAik i 1 Với giá trị nào số tự nhiên k thì S k  M  không phụ thuộc vị trí M trên đường tròn  O; R  ? Nếu ta công bài toán tổng quát này thì gặp khó khăn, đó ta hãy giải bài toán với giá trị cụ thể n Đầu tiên với giá trị nhỏ n=3 ta có: Bài toán 1: cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  và điểm M di động trên đường tròn này Tìm các giá trị tự nhiên k cho tổng S k  M   MAk  MB k  MC k Lop12.net 0943898959 không phụ thuộc vị trí M Phân tích:  Rõ ràng k=1 không thoả (?)  k=2 thoả Có thể cm tổng MA2  MB  MC không phụ thuộc M cách dùng công thức tâm tỉ cự Với k  việc tính tổng S k  M  trở nên khá phức tạp, là với k lẻ thì ta không còn dùng công cụ vectơ (có thể các bạn tìm cách lý luận để xử lý riêng trường hợp k lẻ) để tính tổng này Còn với k chẵn thì k=4 ta cần tính tổng: S  M   MA4  MB  MC S có thể tính theo S cách dùng đẳng thức nhiên tính toán khá dài và đó cách này không thể mở rộng cho các số mũ k lớn Để giải khó khăn nói trên, tôi đã nghĩ đến việc chuyển sang dùng định lý hàm sin và thật bất ngờ cách này đã cho tôi lời giải thống cho trường hợp k chẵn và k lẻ Cụ thể sau:   2 Do tính đối xứng nên ta có thể giả sử M   Đặt MOA AC , đó dùng định lý hàm sin ta tính được:     MA  R sin  , MB  R sin     , MC  R     3  3  Không tính tổng quát ta có thể cho R=1 Khi đó      S k  M   2k sin k   sin k      sin k      3  3   và bài toán trở thành: Tìm các giá trị k cho tổng     S 'k  sin k   sin k      sin k     3  3  không phụ thuộc  Để cho tiện tôi ký hiệu S 'k là S k Ta nhận thấy     S k  sin k   sin k      sin k     3  3   2     sin k   sin k      sin k     3     2  xét góc t1   , t2       , t3    Dễ kiểm chứng là sin 3ti  sin 3  i  1, 2,3 , đó: 3  sin 3  sin 3ti  3sin ti  4sin ti Suy số xi  sin ti là nghiệm phương trình x3  x  sin 3  Từ đây ta có thể dùng định lý Viet cho phương trình bậc và được:   x1  x2  x3    x1 x2  x2 x3  x3 x1    sin 3  x1 x2 x3    Lop12.net 0943898959 Khi đã biết các biểu thức đối xứng này thì ta có thể tính tổng: Tk  x1k  x2k  x3k nhờ vào công thức truy hồi 4Tk  3Tk    sin 3  Tk 3 và tổng đầu tiên 3  T0 , T1 , T2  T0  3, T1  0, T2   2    Tuy nhiên chú ý đây chưa phải là các tổng mà ta cần tính vì x2   sin     Do đó 3    với k chẵn thì S k  Tk , còn k lẻ thì S k  Tk  2sin k     3  Ta xét số trường hợp : K=4: S  T4  T2  sin 3 T1  CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI SỐ PHỨC (Phần 2) Dạng Biểu diễn hình học số phức Câu 1: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa món điều kiện sau: a) z  z   b) z  z   i  c) (2  z)(i  z) là số thực tựy ý e) z  i  z  z  2i ; d) (2  z)(i  z) là số ảo tựy ý; Bài 2: Trong mp phức Oxy, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z biết a 2z +1 = z + i - 3 b z - 2 + z + 2 = 10 b c z  i  z   3i d 2|z – i| = |z - z + 2i| Câu 3: a Các điểm A,B,C và A, , B , , C, mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số  i ,  3i ,  i và 3i,  2i ,  2i Chứng minh hai tam giác ABC và A, B ,C, có cùng trọng tâm Cõu : Cho ABCD là hình bình hành với A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức  i ,  3i ,  i Tìm số phức z có điểm biểu diễn là D Dạng Giải các hệ sau trên tập số phức: z 1 z  2i  và 2 z3 zi Câu 1: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời :   Câu 2: Tìm số phức z thỏa    z 1 1 z i z  3i 1 2i Lop12.net 0943898959  z  2i  z  Câu 3: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn :   z   z  i Câu 4: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn : z  z  1  8i  z  2i  z  Câu 5: Tìm sụ́ phức z thỏa mãn :   z   z  i  x  y  6  Câu 6: Giải hệ sau trên tập số phức:  1 x  y     Câu Giải he phương trình sau trên tập số phức :    z  12  z  8i z4 1 z 8 BÀI TẬP SỐ PHỨC TÓM TẮC LÝ THUYẾT 1.Hai số phức nhau: a + bi = c + di  a = c và b = d Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi 2.Môđun số phức: cho z = a + bi thì |z| = a2 + b2 3.Các phép toán với số phức (a + bi)  (c + di) = (a  c) + (b  d)i z1  z  z1  z (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ;  z1  z |z|2 z2 z2  z 4.Căn bậc hai số phức: Cho số phức z = a + bi a + a2 + *nếu b ≥ thì z=  = ; z1 = z1 ( ( *nếu b < thì z=  ; z z = |z|2  z1    z2 b2 a + a2 + b2 z1 z = z1 z + i – i ) – a + a2 + b2 ) – a + a2 + b2 4.Dạng lượng giác số phức *Cho z = a + bi thì môđun r và argument  tính công thức sau: a b r = a2 + b2 ; cos = ; sin = r r * Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cos + i.sin) 5.Công thức MOAVRƠ Cho hai số phức z1 = r1(cos1 + i.sin1) và z2 = r2(cos2 + i.sin2) đó: z1.z2 = r1.r2[cos(1 + 2) + i.sin(1 + 2)] 1 = [cos(– ) + i.sin(– )] z r Lop12.net 0943898959 z1 r1 = [cos(1 – 2) + i.sin(1 – 2)] z2 r2 Công thức MOAVRƠ: Cho z = r(cos + i.sin) thì zn = rn(cosn + i.sinn) bậc n z có n giá trị là n số phức xác định sau:  + k2  + k2 zk = n r(cos + i.sin ) với k = 0,1,….n – n n BÀI TẬP 1.Thực các phép tính sau: a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i) d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) + i – 3i + 2i – 2i (2 + i)(1 – 2i) (2 – i)(1 + 2i) f) g) h) g) + + – 3i –i – 2i + 2i 2–i + i (2 + i) + (1 + i)(4 – 3i) (3 – i)(1 + 2i) h) g) + – 3i + 2i – 2i 2.Tính các biểu thức sau: a) i15,i30 ,i37 ,i28 Từ đó suy cách tính i n với n  N (1 + i)3 b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006 (1 – i)4 + i 33 c) ( ) + (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + 1–i i 2 2 cos + i.sin   3 e) cos + i.sin (– 4i) 3 5(cos\f(7,6) + i.sin\f(7,6)) + i f) (1 + i)(2 – 3i) 4.Giải các phương trình sau: a) (3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i) b) 2ix + = 5x + + i – + 3i c) 3x(2 – i) + = 2ix(1 + i) + 3i d) x= 1–i + i e) [(2 – i)x + + i](iz + ) = f) x + 2x = – 4i 2i 4.a)Chứng minh số phức z là số thực  z = z ( ) b)không thực các phép tính,hãy giải thích vì các số phức sau là số thực: (3 – 5i)(4 + 7i) (3 + 5i)(4 – 7i) 10 – 4i + (1 + i)3 (1 – i)3 – 10 + 4i – 6i – – 6i 3.Giải các phương trình sau C: a) z2 + |z| = b) z2 + z = c) z2 + z2 = b) 2ix – 3x + + i = c) x2 – x + = d) x6 – 9x3 + = e) x2 + 2(1 + i)x – (3 + 2i) = f) 2x2 + 3x + = g) x2 – (2 + i)x + (7i – 1) = h) x2 + (3 – 2i)x + (5 – 5i) = i) x4 – 3x2 + = và Lop12.net 0943898959 j) x3 – 2(1 + i)x2 + 3ix + – i = k) z2 + ( – – i)z – 3(1 + i) = l) z4 – 8(1 – i)z2 + 63 – 16i = m) z4 – 24(1 – i)z2 + 308 – 144i = z2 z2 z n)z4 – z3 + + z + = o)z3 + + – = 2 2 zi p) + – z – = p)   1 zi + 2i – (1 – i)3 3.a) Cho z = Tính |z| + i b) Tìm số phức z cho z2 = z sin15o – i.cos15o 4.Tính z = và tìm bậc 3– i – cos25o + i.sin25o 5.Cho z1, z2 là hai nghiệm phương trình : x2 + (2 – i)x + + 5i = Không giải phương trình ,hãy tính: z1 z2 a) z12 + z22 b) z14 + z24 c) d) z14z2 + z24z1 + z2 z1 6.Tính bậc hai các số phức sau: a) + 6i b) – + 2i c) 16 – 30i d) i e) – i 7.Tính các giá trị các thức sau C a) + i b) – 3i c) – 64 d) – + 2i 7.Viết các số phức sau dạng lượng giác: a) – + i b) – – i c) – i d) e) 8i f) 3+ 4i g) + i h) – 4i i) – 125i 8.Viết các số phức sau dạng lượng giác:       a) 2(cos – i.sin ) b)– 3(cos + i.sin ) c)3(– cos + i.sin ) 6 6 3        d) – cos + i.sin e) 2(sin + i.cos ) f) – sin – i.cos ) 2g) sin + 2i.sin2 4 6 4 100 i(1+ sin) i) ( – i) 4i (\r(3) + i)5 (– + i\r(3))15 + i 20 j) [ ]6 k) l) ( ) m) (1 – i\r(3))11 (1 – i)20 1–i + i 9.Tìm phần thực và phần ảo các số phức sau:   a) (1 – i)6.( + i)8 b) (cos – i.sin ).i5.(1 + 3i)6 3 (1 + i)10 (\r(3 ) – i)6.(3i)7 1 c) d) e) z2006 + biết z + = (\r(3 ) + i)9 (1 + i)10 z2006 z 10.Cho số phức z có mođun 1,biết acgumen z là  Hãy tìm acgumen số phức sau: z a) 2z2 b) – c) d) – z2.z 2.z z e) z + z f) z2 + z g) z2 – z h) z2 + z 11 Tìm số nguyên n để cácsố phức sau là số thực số ảo: 8z4 8z3 h) cos + n n   3i  7i    b)  a)      3i    3i  12.Giải hệ phương trình sau: 10 Lop12.net 0943898959  z  2i  z z  z   i a)  b)  2  z  i  z  z1  z   2i 13.a)Tìm các số thực a, b cho: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b) ,  z C b) Giải phương trình : z4 – 4z2 – 16z – 16 = n   3.i   14.Tìm số nguyên dương n cho    i   a) là số thực b) là số ảo 15.Cho z = cos + sin a) Hãy tìm zn + zn ; zn – zn n Z+ b)Dùng các khai triển (z + z)3 và (z – z)3 để tìm sin3 và cos3 theo sin và cos c)Tìm các biểu diễn sin4 , cos4 , sin5 , cos5 theo sin và cos 16.a) Cho z = cos + sin, chứng minh  n Z+ ta có: 1 zn + = 2cosn zn – = 2isinn zn zn b)Chứng minh rằng: cos4 = (cos4 + 4cos2 + 3) sin5 = (sin5 – 5sin3 + 10sin) 16 17.Tính các tổng sau: a) f(x) = + cosx + cos2x + … + cosnx nZ b) f(x) = sinx + sin2x + sin3x + … + sinnx c) f(x) = cosx + cos3x + cos5x + … + cos(2n – 1)x d) f(x) = sinx + sin3x + sin5x + … + sin(2n – 1)x e) f(x) = cos2x + cos22x + cos23x + … + cos2nx f) f(x) = sin2x + sin22x + sin23x + … + sin2nx 11 Lop12.net 0943898959