Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.. Sử dụng định lí dấu [r]
(1)ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN theo chủ đề Biên soạn: Hồ Văn Hoàng Lưu hành nội 2011 Lop12.net (2) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 KĨ NĂNG CƠ BẢN GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Câu I Khảo sát hàm số: Yêu cầu đủ đúng các bước bài toán KSHS a Tập xác định b Sự biến thiên Giới hạn; đường tiệm cận(nếu có) Tính y’; xét dấu y’ Kết luận đồng biến và nghịch biến; cực trị hàm số (* Chú ý) Lập bảng biến thiên c Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên xác định đơn vị và vẽ hệ trục tọa độ cho hợp lí Khi vẽ đồ thị phải vẽ hết mặt phẳng tọa độ Bài toán liên quan 2.1 Tiếp tuyến: Biết tọa độ tiếp điểm( tìm tọa độ tiếp điểm) Biết tìm hệ số góc 2.2: Tương giao hai đồ thị: Biến đổi phương trình làm xuất hàm số vừa khảo sát 2.3 Bài toán đồng biến; nghịch biến: Lưu ý định lí mở rộng 2.4 Bài toán cực trị: Sử dụng dấu hiệu và Dạng toán: Tìm cực trị; viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị; tính khoảng cách hai điểm cực trị 2.5 Các điểm đặc biệt: Điểm có tọa độ nguyên Điểm cách hai trục tọa độ; điiểm cách hai đường tiệm cận Câu II: 1: Hàm số; phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit Hàm số: Tính đồng biến; nghịch biến và dạng đồ thị Phương trình; bất phương trình mũ và lôgarit Học sinh cần giải các phương trình; bất phương trình đơn giản; có thể đưa dạng bản(Bằng các phép biến đổi đã học) GTLN; GTNN hàm số: Cần nắm vững qui trình tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ hàm số trên khoảng; đoạn Nguyên hàm; tích phân: Lưu ý : Kĩ nhận dạng chọn phương pháp hợp lí Chú ý các dạng bài tập tích hợp nhiều phương pháp (Sau biến đổi hai tích phân độc lập và sử dụng hai phương pháp riêng biệt) Câu III: Kĩ vẽ hình Tính diện tích; khoảng cách; thể tích (viết công thức tính; thay các yếu tố đã biết) Kĩ tính độ dài đoạn thẳng(ghép vào tam giác; chọn tam giác phù hợp) Câu IV: Rèn luyện: Kĩ tính tọa độ vectơ; điểm Kĩ viết phương trình mặt cầ; ptđt; ptmp Ghi nhớ chính xác công thức tính góc; khoảng cách; thể tích; diện tích Câu V Số phức: Ôn tập SGK Ứng dụng tích phân: Ôn tập SGK -1Lop12.net (3) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Chủ đề ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số B1: Tìm tập xác định hàm số B2: Tính đạo hàm hàm số Tìm các điểm xi (i = 1; 2;…;n) mà đó đạo hàm không xác định B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên B4: Nêu kết luận các khoảng đồng biến; nghịch biến Loại 1: Xét biến thiên hàm số Xét đồng biến và nghịch biến hàm số: x 1 a) y = x3 – 3x2 + b) y = − x4 + 4x2 – c) y d) y x e) y = x – ex x2 Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng xác định Chứng minh hàm số y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] Chứng minh hàm số y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ) Dạng Tìm giá trị tham số để hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu hàm số Sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai f(x) đồng biến trên K f’(x) ≥ 0; x K ( f'(x) ) xK f(x) nghịch biến trên K f’(x) ≤ 0; x K ( max f'(x) ) xK Hàm số bậc Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = ax2 + bx + c = 0) a Hàm số tăng trên (từng khoảng xác định): y/ 0; x Giải Tìm m a Hàm số giảm trên (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; x Giải Tìm m Chú ý: Nếu hệ số a y/ có tham số thì phải xét a = ax b Hàm số biến : y Tập xác định Đạo hàm y/ cx d Hàm số tăng (giảm) trên khoảng xác định : y/ > ( y/ < ) ad − bc (tử) > (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x;m) đồng biến trên K” B1 Tính đạo hàm f’(x;m) B2 Lý luận: Hàm số đồng biến trên K f’(x;m) 0; x K m g(x); xK (m g(x)) B3 Lập BBT hàm số g(x) trên K Từ đó suy giá trị cần tìm tham số m Tìm giá trị tham số a để hàm số f ( x ) x ax x đồng biến trên -2- Lop12.net (4) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 1 m Cho hàm số y x 2 m x 2 m x a Định m để hàm số luôn luôn đồng biến; Định m để hàm số y Tìm m để hàm số y b Định m để hàm số luôn luôn nghịch biến x 2mx 3m đồng biến khoảng xác định x 2m mx m 1 x m x luôn đồng biến trên 3 Định m để hàm số: y x m đồng biến trên khoảng xác định nó x 1 Dạng Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT (nâng cao) Đưa BĐT dạng f(x)>0 (hay f(x)≥ 0);x(a;b) Tính f’(x); xét dấu f’(x) suy f(x) đồng biến (hay nghịch biến trên (a;b) Áp dụng định nghĩa: f(x) đồng biến x1 < x2 f(x1) < f(x2); f(x) nghịch biến x1 < x2 f(x1) > f(x2) Kết luận BĐT cần phải chứng minh ( f(x) đồng biến / [a; b] thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b); f(x) nghịch biến /[a; b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b)) 1) Chứng minh: sinx + tanx > 2x với x K = 0; 2 2 cos2 x (cos2 x 1) x K ta có 0< cosx <1 cosx > cos2x nên f’(x) > cos2x + − = >0 cos2 x cos2 x f đồng biến/ 0; f(x) > f(0) x 0; ĐPCM 2 2) CMR: a) f(x) = 2sinx + tanx −3x tăng / 0; b) sin x tan x 3x, x 0; 2 2 Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục /K ta có f'(x) = cos x 1 cos x cos x 1 a) Hàm số liên tục / 0; và f’(x) = 0, 0; Kết cos x 2 2 b) Từ câu a) suy f(x) > f(0) = 0; x 0; 2sin x tan x 3x, x 0; 2 2 (đpcm) x3 3) CMR: a) f(x) = tanx − x đồng biến trên 0; b) tan x x , x 0; 2 Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng Tìm cực trị hàm số -3Lop12.net (5) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Phương pháp: Dựa vào qui tắc để tìm cực trị hàm số y = f(x) Qui tắc I Qui tắc II B1: Tìm tập xác định B1: Tìm tập xác định B2: Tính f’(x) Tìm các điểm đó B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = và f’(x) = f’(x) không xác định kí hiệu là xi là các nghiệm nó B3 Lập bảng biến thiên B3: Tính f ”(xi) B4: Từ bảng biến thiên suy các cực trị B4: Dựa vào dấu f ” (xi) suy cực trị f ”(xi) > thì hàm số có cực tiểu xi; f ”(xi) < thì hàm số có cực đại xi Chú ý: Qui tắc thường dùng với hàm số lượng giác việc giải phương trình f’(x) = phức tạp Ví dụ Tìm cực trị hàm số y x 3x 36 x 10 Qui tắc I Qui tắc II D= D= y ' x x 36 y ' x x 36 x y ' x x 36 x 3 x y ' x x 36 x 3 y”= 12x + y’’(2) = 30 > nên hàm số đạt cực tiểu x = và yct = − 54 y’’(−3) = −30 < nên hàm số đạt cực đại x = −3 và ycđ =71 x −3 −∞ + y' − +∞ 71 y − 54 −∞ +∞ + Vậy x = −3 là điểm cực đại và ycđ =71 x= là điểm cực tiểu và yct = − 54 Tìm cực trị các hàm số sau: a y = 10 + 15x + 6x x b y = x x 432 d y = x 5x + e y = 5x + 3x 4x + c y = x 3x 24 x f y = x 5x x2 x (x - 4) x 3x c y = d y = x 1 x 2x x 1 x+1 3x x b y = c y = d y = e y = x - x a y = x - x x2 1 - x2 10 - x * a y x sin x +2 b y cos x cos x c y sin x cos x ( x [0; ]) Dạng Xác lập hàm số biết cực trị Để tìm điều kiện cho hàm số y = f(x) đạt cực trị x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Giải phương trình f’(a) = tìm m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị a thì f’(a) = không kể CĐ hay CT) Ví dụ Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + đạt cực tiểu x = Ta có y ' 3x 6mx m a y = x+1 x2 b y = -4Lop12.net (6) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng Hàm số đạt cực trị x = thì y’(2) = 3.(2) 6m.2 m m x Với m = ta hàm số: y = x3 – 3x2 + có : y ' 3x x y ' x = x hàm số đạt giá trị cực tiểu Vậy m = là giá trị cần tìm Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + đạt cực đại x = 2 Tìm m để hàm số y x mx ( m ) x có cực trị x =1 Đó là CĐ hay CT x mx Tìm m để hàm số y đạt cực đại x = xm Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – đạt cực tiểu x = Tìm các hệ số a; b; c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Dạng Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Một số dạng bài tập cực trị thường gặp Hàm sô y = f(x) có y’ = ax2 + bx + c; đồ thị (C) a hàm số có cực trị y ' hai cực trị nằm phía trục Ox yCĐ.yCT < hai cực trị nằm phía trục Oy xCĐ.xCT < yCĐ yCT hai cực trị nằm phía trên trục Ox yCĐ yCT yCĐ yCT hai cực trị nằm phía trục Ox yCĐ yCT đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành yCĐ.yCT = Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m (−3 < m < và m ≠ 2); b) y = x 2m x m (−1<m<1) x 1 Tìm m để các hàm số sau không có cực trị mx x m a) y = (m − 3)x3 − 2mx2 + b) y = (m=0) xm 3* Cho y x m 1 x m 7m x 2m m Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại; cực tiểu HD : y ' 3x m 1 x m 7m y ' 3x m 1 x m 7m …….KQ: m 17 m 17 Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT −GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ -5Lop12.net (7) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Cách B1: Tính đạo hàm hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên Trong đó x0 thì f’(x0) không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm các giá trị xi [a; b](i = 1; 2; ; n) làm cho đạo hàm = không xác định B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b) B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} Ví dụ Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y x trên khoảng (0; ) x Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên (0; ) y ' 1 x 1 x2 , y' Lập BBT x x x 1 (0; ) KL: f ( x ) = x = và hàm số không có giá trị lớn (0; ) x3 x 3x trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0] x 1 16 16 , f ( 3) 4, f ( 1) , f (0) 4 f’(x) = x2 + 4x +3; f’(x)=0 f ( 4) x 3 16 Vậy: Max f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; Min f(x) = f(−4) = f(−1) = x[-4;0] x[-4;0] Luyện tập Tìm GTLN; GTNN hàm số (nếu có): a) y = x3 + 3x2 – 9x + trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – trên [−3; 1] c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – trên [−4; 3] x 1 3 a) y = trên (−2; 4]; b) y = x + + trên (1; +∞); c) y= trên ; ; x+2 x 1 cosx 2 x d) y = x x ; e) y = x2.ex / [−1;1]; f) y = / [e;e3] g) y= ln(x2 +x−2) trên [ 3; 6] ln x 3 ; m f (0) f ( ) ) a f(x)=2sin x sin x trên 0; ( M f ( ) f ( ) 4 3 b f(x)= cos x 4sin x trên 0; ( M f ( ) 2; m f (0) ) 2 1 c f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2;0] ( M f ( 2) ln 5; m f ( ) ln ) 23 d.f(x) = sin x − cos2x + sinx + ( M = 5;m = ) 27 e f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + ( M = 9;m = −11) Ví dụ Tính GTLN; GTNN hàm số y -6Lop12.net (8) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Vấn đề Khảo sát hàm số Tìm tập xác định hàm số Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm phương trình y’= Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có) Lập bảng biến thiên Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng đồ thị Vẽ đồ thị Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) − Xét y’ = : ≤ luôn đồng biến ( a > 0) nghịch biến (a < 0) trên > có điểm cực trị − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm phương trình y Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) − Có cực trị ( a.b ≥ 0) có cực trị (a b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ax b Hàm biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) cx d d d − Luôn đồng biến nghịch biến trên (−∞; − ) và (− ; +∞) c c d a − Tiệm cận đứng: x = − ; tiệm cận ngang y = c c − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Vấn đề CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao đồ thị: a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm hai đường C1 : y f x và C2 : y g x Lập phương trình hoành độ giao điểm C1 và C2 : f x g x Số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm hai đường b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Biến đổi phương trình đã cho phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình hàm số đã có đồ thị (C); vế là phần còn lại) Lập luận: Số nghiệm phương trình chính là số giao điểm (C) và (d) Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) ) a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) b) Biết hệ số góc k tiếp tuyến: sử dụng k f ( x0 ) tìm x0 ; tìm y0 Tiếp tuyến // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 1 Tiếp tuyến d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0 ) = ; a a giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào (C) tìm y0 Bài 1: 1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 – 3x2 -7Lop12.net (9) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng 2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có nghiệm phân biệt Đáp số :( − < k < −1) Bài 2: Cho hàm số y = x4 + kx2 − k −1 ( 1) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số k = −1 x 2/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= − ĐS : y= −2x−2 3/ Xác định k để hàm số ( ) đạt cực đại x = −2 Bài 3: 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = (x−1)2 ( − x ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) Đáp số : y = 3x − 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua A( ; ) Đáp số : y = và y = −9x + 36 Bài 4: Cho hàm số y= x4 – ax2 + b 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số a =1 ; b = − 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với Ox Đáp số : y 4 3.x 12 và y 3.x 12 x − 3x2 + 2 b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) các điểm uốn Đáp số : y = 4x+3 và y = −4x +3 3 c/ Tìm các tiếp tuyến (C) qua diểm A ( 0; ) Đáp số : y = ; y = 2 2.x 2 Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − có đồ thị (Cm ) 1/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m= 2/ Gọi A là giao điểm (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến d (C) A 3/ Tìm m để (Cm ) cắt trục hoành điểm phân biệt x3 x2 m2 có đồ thị ( Cm ) Bài 7: Cho hàm số y= 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị(C) hàm số với m = −1 2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu x = −1 x 19 3/ Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc : y= − Đs: y = x ; y = x 2 3 Bài :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y= − x – 2x2 − 3x + 3 2/ Tìm các giá trị m để pt : x + 2x2 + 3x + m = có nghiệm phân biệt 3 3/ Tìm m để pt : x +2x2 +3x −2 + m2 = có nghiệm 4/ Viết pttt (C) song song với đường thẳng y = −3x Bài9 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – 3x +1 2/ Một đường thẳng d qua điểm uốn (C)và có hệ số góc Tìm toạ độ giao điểm d và (C) ĐS: ( 0; 1) (2; ) ( −2; −1 ) Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y= -8Lop12.net (10) Hồ Văn Hoàng x 2x2 Bài 10 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = − 4 2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x= ĐS: y= 3x+1 Bài 11 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 − 6x2 + 9x 2/ Với các giá trị nào m ; đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt Bài 12 : 1/ Tìm các hệ số m và n cho hàm số : y = − x3 + mx + n đạt cực tiểu điểm x = −1 và đồ thị nó qua điểm ( ; 4) 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số với các giá trị m ; n tìm 2x Bài 13: : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x 1 2/ Tìm các giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị (C) điểm phân biệt m 6 5; m 6 ĐS : m Bài 14 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x4 + x2 −3 2/ CMR đường thẳng y = −6x−7 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho điểm có hoành độ −1 x Bài 15 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = 2x 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a) giao điểm (C) với trục hoành b) giao điểm (C) với trục tung c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) : 7x – y +2 =0 1 Bài 16 : Cho hàm số y = x (a 1) x (a 3) x 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số a = 11 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm uốn (C) ĐS : y = x 3 Bài 17 : Cho hàm số y = x + ax + bx +1 1/ Tìm a và b để đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 2); B( −2; −1) ĐS : a = ; b = −1 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a và b tìm Bài 18 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b 1/ Tìm a và b để hàm số có cực trị x = ĐS : a = −2 ; b = 2 1 2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với a = và b = 3/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài 19 : 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2 x 2/ Tìm các giao điểm (C) và đồ thị hàm số y = x2 + Viết phương trình tiếp x ; y = 2x tuyến (C) giao điểm ĐS : y = -9Ôn tập Toán 12 Lop12.net (11) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Chủ đề HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: a 1; Các công thức cần nhớ: Tính chất lũy thừa: am amn ; a m a n a m n ; an Quy tắc so sánh: 2) Căn bậc n: n an a m a mn ; n m n ; a n am an ab a n b n ; n n an a n ; b b + Với a > thì a m a n m n + Với < a < thì a m a n m n a.b n a n b ; n a na ; b nb n am a n m ; m n a mn a 3) Lôgarit: Định nghĩa: Cho a, b 0; a : log a b a b log a 0; log a a 1; log a a ; a loga b b Tính chất: Quy tắc so sánh: + Với a > thì: log a b log a c b c + Với < a <1 thì: log a b log a c b c Quy tắc tính: log a b1 b2 log a b1 log a b2 ; log a b log a b ; Công thức đổi số: log b c log a b1 log a b1 log a b2 ; b2 log a b log a c log a b hay log a b log a b.log b c log a c hay log a b.log b a ; log b a Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx lgx Lôgarit số e kí hiệu là: lnx log a b Chú ý: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: TXĐ: ; y = ax > với x Hàm số đồng biến trên R a > 1; nghịch biến trên R < a < f (x) a f ( x ) g ( x ) a g(x) 2) Dạng bản: a f ( x ) g ( x ); f ( x ) log a g ( x ) 0 a 0 a 1, g ( x ) a 0 a a f (x) a g(x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) - 10 Lop12.net (12) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Dạng Đưa cùng số Ví dụ 1) x 1) pt x 2 3x 2 3x 2 2) pt 3 ( x 1 ; 2) 3 x x 1 ; 3) x 1 x 36 ; 4) 5x.22 x1 50 2 x2 + 3x – = −2 x2 + 3x = x = x = − x 1) 31 … x2 – 3x + = x = x = 2x 8.2 x x 3) pt 2.2 x 36 36 9.2 x 36.4 x 24 x 4 4x 4) 5x.22 x 1 50 5x 50 20 x 100 x log 20 100 Dạng đặt ẩn phụ Ví dụ 1) 32 x 8 4.3x 5 27 ; 2) 25x 2.5x 15 ; 3) 3x 32 x 24 1) pt 38.32 x 4.35.3x 27 6561 3x 972.3x 27 (*) Đặt t = 3x > ta có phương trình (*) 6561t2 – 972t + 27 = t Với t 1 t 27 1 3x 32 x 2 ; Với t 3x 33 x 3 27 t 2) pt 5x 2.5x 15 (*) Đặt t 5x ; (*) t 2t 15 t 3 (loai) Với t = 5x = x = Vậy phương trình có nghiệm: x = 3) pt 9.3x x 24 3x 24.3x (*) t Đặt t 3x Pt (*) 9t 24t t ( loai) x Với t x ; Vậy phương trình có nghiệm: x Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – = (TNBTT2007) x 2.71 x a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 − 4.32x + + 27 = c) 52x + – 110.5x + – 75 = x x1 x x 5 2 d) e) x 53 x 20 f) 15 15 2 5 g) 5 x 52 10 h) x Dạng Logarit hóạ a) 2x − = 2 x 1 9.3x b) 3x + = 5x – x 1 i) 22 x 9.2 x c) 3x – = 5x x 12 d) x 5x 5 x e) 5x.8 x 500 f) 52x + 1− 7x + = 52x + 7x x x Dạng sử dụng tính đơn điệu a) + = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x - 11 Lop12.net (13) Ôn tập Toán 12 Hồ Văn Hoàng PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); a Tập giá trị: Tính chất: Hàm số đồng biến a > 1; nghịch biến < a < Phương trình và bất phương trình bản: 0 a 0 a 0 f ( x ) g ( x ) log a f ( x ) log a g ( x ) log a f ( x ) log a g ( x ) a f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x ) Dạng Đưa cùng số a) log x log x 1 ; b) log x log 1 x c) log x 1 log 1 x log x 3 d) log x log x log e) log4x + log2x + 2log16x = f) log x log x log g) log3x = log9(4x + 5) + KQ: a) 1; 1 ; d) ; e) ; f) 3; g) 51 (TNTHPT 2010) giải : log 22 x 14 log x b) −1; c) Dạng đặt ẩn phụ h) log 22 x log x i) log 22 x 1 log x 1 j) log x log 3x 1 k) l) log 2 x 3log x log x 1 ln x ln x m) log x log 3 x o) log 4.3x 1 x p) log 5 4.log ( x 1) n) log3(3x – 8) = – x 1 4 KQ: h) 2; ; i) 3; ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 2 16 x − Dạng mũ hóa a) – x + 3log52 = log5(3 – x) b) log3(3x – 8) = – x 1 Bất phương trình mũ a) 2 d) x x 6 1 x 15 x 1 23 x b) 3 e) 16x – ≥ a) 22x + + 2x + > 17 d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) d) log ½ (log3x) ≥ 1 g) h) log x log x x 9 c) x x f) 52x + > 5x b) 52x – – 2.5x −2 ≤ e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 1 x g) (1/2) 2x − 3≤ 2 c) x f) 4x +1 −16x ≥ 2log48 b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 3x log x 2.log x 16 k) log (3x 1).log ( ) log x 16 - 12 Lop12.net (14) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Bảng đạo hàm: ( a x ) ' a x ln a ( eu ) ' u '.eu ( a u ) ' u '.a u ln a 1 u' u' (ln x ) ' (log a x ) ' x (ln u ) ' (log a u ) ' x a ln a u u.ln a Chứng minh hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho 1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – = (e x ) ' e x 3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan x =0 y = ex cosx y = ln2x CMR: 2y’ − 2y − y’’ = CMR: x2y’’ + xy’ = Tự luyện Giải các phương trình sau : 1/ 3x x ĐS : x =1 25 31 ĐS : x =1 ; x = −2 ĐS : x ĐS : x = ; x = ĐS : x = log 2/ 5x + 5x + + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 3/ 32x+2 – 28.3x + = 4/ log2x + log4(2x) = 5/ log 21 x 3log x 6/ 3x +2.31 – x −5 = 7/ log 32 x 14 log x x 1 x 1 8/ 7 3 9/ 1 x2 3 x ĐS : x = ; x = log32 ĐS : x 3; x 27 x ĐS : x 1 ĐS : x 1 3 10/ (7 2) x ( 5)(3 2) x 3(1 2) x ĐS: x = −2; 0; 11/ (2 3) x (7 3)(2 3) x 4(2 3) Giải bất phương trình : 1/ 22x+6 + 2x+7 – 17 > 2/ 2x + 3x > 6x – 1 ĐS: x 0; 3/ logx[ log3 ( 3x −9) ] < 1 21 x x x x x1 4/ 12 5/ 6/ x 0 x 1 1 3 3 Giải hệ phương trình : x.8 y 2 3log x 4log y 3 x.2 y 1152 1/ 2/ 3/ 1 log log3 log x y x y log log (9 y ) x 2 - 13 Lop12.net (15) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1 x sin x Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin2x biết F( ) = 0.Đáp số : F(x) = CM: F(x) = ln x x c là nguyên hàm f(x) = x 1 Hd: Cm F /(x) = f(x) 2 (10 10 3) 1/ x x 2.dx ; Đáp số : Tính các tích phân sau : 2/ xdx x 1 1 5 ; Đáp số : 3/ x ; Đáp số : x 1 4/ x dx 2 1 x dx ; Đáp số : 9/28 5/ x x dx Đáp số 16 Tính các tích phân sau : 1/ cos 2xdx ; Đáp số : 2/ sin 3xdx ; Đáp số : 3/ sin xdx cos xdx ; Đáp số :8/15 5/ 3 cos x.sin xdx ; Đáp số :2/63 6/ 4/ ; Đáp số : sin xdx 0 cos2 x ; Đáp số :ln2 7/ cos xdx sin x ; Đáp số : Tính các tích phân sau : 1/ e sin x .cos xdx ; Đáp số :e−1 2/ 1 x3 0 e x dx ; Đáp số : 3e 4/ eln x dx ; Đáp số : ln11 1 2x 3/ x dx ; Đáp số :2e2 – 2e ( x 2)e 3x dx ; Đáp số : e3 9 (2 x 1) cos xdx ; Đáp số :−1 7/ 8/ x 5/ 6/ e x sin xdx ; Đáp số : x.sin x.cos xdx ; Đáp số : 9/ ln( x 1)dx ; Đáp số :2ln2−1 e 2e3 e 31 10/ ( x x 1) ln xdx ; Đs: 11/ 36 ln x 1 dx ; Đáp số : ln 2 2 x - 14 Lop12.net (16) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 12/ x.cos xdx ; Đáp số : 2 16 13/ sin x.cos xdx ; Đáp số :0 14/ ( x sin x) cos xdx ; Đáp số : 2 15/ sin xdx ; Đáp số :1/2 x) (1 cos ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Tính diện tích hình phẳng giới hạn : a) y = x2 − 3x + ; y = x −1; x = ; x = ĐS: b) y = x.ex ; x = ; y = ĐS: S= c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π d) y2 = 2x và y = 2x −2 ĐS: S= ĐS : S= x 10 x 12 và đường thẳng y = ĐS: S = 63 −16 ln x2 f) y2 = 2x +1 và y = x – ĐS: 16/ 32 g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox ĐS:S = đvdt h) (P): y = – x2 và y = – x – ĐS:S = đvdt i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh Ox hình giới hạn : x 1 a) (C): y= ; các trục toạ độ ĐS : V= ( 3− ln2 ) x 1 b) (P): y = 8x và x = ĐS : 16 đvtt 162 c) y = x2 và y = 3x ĐS : đvtt e) đồ thị hàm số y = x 2 ; y = 0; x = 0; x = ĐS : đvtt Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh Oy hình giới x2 hạn Parabol P : y ; y 2; y và trục Oy d) y = sin Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: (2001 – 2002 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y2 = 2x +1 và y = x −1 x3 3x 3x 1 (2002 – 2003) 1.Tìm nguyên hàm F(x) hàm số y = ; biết F(1) = x 2x - 15 Lop12.net (17) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 x 10 x 12 và trục Ox x2 x 10 x 12 HD: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x2 x 10 x 12 x 10 x 12 và y = là = x = –1; x = vì x 1;6 x2 x2 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= Do đó S = 6 x 10 x 12 x 10 x 12 16 dx dx 14 x dx = x2 x x 2 1 1 1 14 x x 16 ln x 63 16 ln (đvdt) 1 x – x (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y = 0; x =0; x = quay quanh trục Ox HD: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x x ; y = b là x x = x = 0; x = Ta có: V = f ( x)dx a (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) Cho hàm số y = 3 x x x5 81 1 1 V = x x dx x x x dx (đvtt) 0 35 63 0 0 /2 ( x sin (TNTHPT năm 2004 – 2005) Tính tích phân: I = x).cos x.dx Hướng dẫn: I = Tính J: 2 0 x cos xdx cos x sin xdx J K Đặt u = x du = dx; dv = cosx dx v = sinx J x sin x 02 sin xdx x sin x 02 cos x 02 1 Tính K: Đặt t = sinx dt = cosxdx 1 t 1 t3 Đổi cận: Do đó K = t dt Vậy I = 2 t0 30 3 x0 (TNTHPT năm 2005– 2006) a Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số : y = ex; y = 2; x = /2 sin x dx b Tính tích phân: I = cos x x - 16 Lop12.net (18) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 ln ( THPT năm 2005− 2006 Ban A) Tính tích phân I = (e 1)e dx x ex 1 ln Hướng dẫn: Đặt t = x e x e x t e x dx 2tdt Đổi cận: x ln t2 26 1 Do đó I = (t 2)dt t 2t x ln t 1 3 1 (TN.THPT năm 2005 − 200 Ban C) Tính tích phân I = (2 x 1)e dx x Hướng dẫn: Đặt u = 2x + du = 2dx; dv = exdx v = ex Do đó I= 1 x x x x (2 x 1)e dx (2 x 1)e 2 e dx 3e 2e 3e 2e e 0 (TNTHPT năm 2006– 2007) e ln x dx Tính tích phân J = x Đổi cận: 0 HD: Đặt t = lnx dt = dx x 1 xe t 1 1 Do đó I = t dt t x 1 t0 3 Tính tích phân I = 3x dx 1 x Đặt t = x + dt = x dx Đổi cận: x 1 t2 Do đó I = x0 t 1 (THPT năm 2006 − 20007 Phân ban) 2 xdx Tính tích phân I = HD : Đặt t = x dt x2 1 Đổi cận: x2 t I = dt 2t x 1 t 2 2 dt ln t t xdx x2 ln 2( 2) Cho hình phẳng (H) giới hạn các đường y = sinx; y = 0; x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục hoành Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là sinx = x = 12 2 Do đó V = sin xdx (1 cos x)dx x sin x (đvtt) 20 2 0 2 (TNTHPT năm 2007– 2008) Tính tích phân I x (1 x ) dx Đặt t = – x dt = –3 x dx 1 - 17 Lop12.net (19) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 x 1 t0 1 t 32 Do đó I = t dt t dt x 1 t2 32 30 15 15 Đổi cận: Tính tích phân I = x (1 e ) xdx HD: I = 1 0 x xdx xe dx 1 x2 xe x dx xe x dx 0 1 u x du dx 1 x xe e x dx e e x Đặt I = x x 0 2 dv e dx v e (TNTHPT năm 2008– 2009) Tính tích phân I = x(1 cos x)dx HD: I = 0 xdx x cos xdx x x cos xdx 2 x cos xdx u x du dx 2 2 4 x sin x sin xdx cos x Đặt I= 2 dv cos xdx v sin x (TNTHPT năm 2009– 2010) Tính tích phân I x ( x 1) dx x5 x x3 I = x ( x x 1)dx = ( x x x )dx = 30 5 0 1 2 Chủ đề SỐ PHỨC Ví dụ 1: Cho số phức z = Vì z = i 2 Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 3 i z = i 2 2 z2= 3 i= i ( z )2 = i = i 2 2 4 3 i i2 i i 2 4 2 1 3 i i i i i ( z )3 =( z )2 z = 2 2 4 + z + z2 = 1 3 1 i i i 2 2 2 Trong bài toán này, để tính z ta có thể sử dụng đẳng thức số thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z (1 i )(3 2i ) - 18 Lop12.net 3i (20) Hồ Văn Hoàng Ôn tập Toán 12 Ta có : z i 53 3i 3i Suy z 5i i (3 i )(3 i ) 10 10 10 Ví dụ 3: Tìm mô đun số phức z (1 i )(2 i ) 2i Giải: Ta có : z 26 5i 1 i Vậy, mô đun z bằng: z 5 5 Ví dụ 4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x 3 x y y Giải hệ này ta được: 5 x x y y Ví dụ 5: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP 7 i ; x2 = i 4 4 (2007_Lần 1) Giải : x2 − 4x + = Đáp số : x1 = + i ; x2 = − i (2007 _Lần 2) Giải : x2 – 6x + 25 = Đáp số : x1 = + 4i ; x2 = − 4i (2008 _Lần 1) Tìm giá trị biểu thức : P = ( + i )2 + ( − i )2 Đáp số P = (2008 _Lần 2) Giải : x2 − 2x + = Đáp số : x1 = + i ; x2 = + i (2009 GDTX) Cho z = − i Xác định phần thực và phần ảo số phức z2 + z Đáp số : Phần thực : ; Phần ảo : − 14 1 1 (2009 Cơ ) Giải : 8z2 – 4z + ; Đáp số : z1 = i ; z2 = i 4 4 (2009 NC)Giải : 2z2 – iz + = trên tập số phức Đáp số : z1 = i ; z2 = − i 3 (2010 GDTX) Giải :2z2 + 6z + = Đáp số : z1 =− i ; z2 = − i 2 2 (2010 Cơ ) Cho hai số phức: z1 = + 2i ; z2 = – 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 −2z2 Đáp số : Phần thực : −3 ; Phần ảo : (2010 NC) Cho hai số phức: z1 = + 5i ; z2 = – 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1.z2 Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : (2006) Giải phương trình : 2x2 – 5x + = Đáp số : x1 = Chủ đề & 6: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY - 19 Lop12.net (21)