một số dạng tích phân thường gặp I - TÝch ph©n c¸c hµm ®a thøc, hµm sè luü thõa b.. III- TÝch ph©n hµm chøa c¨n thøc b.[r]
(1)chủ đề: nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông A KiÕn thøc, kÜ n¨ng c¬ b¶n I §Þnh nghÜa, tÝnh chÊt: 1) Nguyªn hµm ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K, hàm số F gọi là nguyên hàm f trên K F’(x) = f(x) víi mäi x thuéc K Hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) lµ: f ( x)dx F ( x) C Nguyên hàm số hàm số thường gặp 1) 0dx C , x 1 C , ( 1); 1 1 x n dx (n 1) x n1 C , n 1; x dx dx x C; 3) x dx ln x C; 4) x dx x C ; x x xdx 2x x C; 5) Víi k lµ h»ng sè kh¸c cos kx C; k sin kx b) cos kxdx C; k a) sin kxdx 6) a) 7) x cos x kx c) e dx d) a kx dx dx tan x C ; b) sin x e kx C; k a kx C , a 1; k ln a dx cot x C ; 1 1 xa dx ln C; a > dx a 2a x a x a 2a x a TÝnh chÊt cña nguyªn hµm (SGK) 2) TÝch ph©n §N: Cho hµm sè f liªn tôc trªn K, a vµ b lµ hai sè bÊt k× thuéc K NÕu F lµ mét nguyªn hµm b f ( x)dx F ( x) cña f trªn K th× b a F (b) F (a ) a Tính chất: Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là các số bất kì thuộc K Khi đó: 1) a 4) f ( x)dx ; a 2) 3) a a b b b f ( x)dx f ( x)dx ; c 5) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ; b 6) a b a a b kf ( x)dx k f ( x)dx a c b ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx ; a b a b k R; a b b a a f ( x)dx f (t )dt ; 3) øng dông cña tÝch ph©n TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng y f ( x) y g ( x) H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ; xa xb S= a f ( x) g ( x) dx a ( f(x), g(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] ) TÝnh thÓ tÝch khèi vËt thÓ trßn xoay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng: y f ( x) xa b b y0 , quay quanh trôc Ox lµ : V = y dx f ( x)dx xb a a x f ( y) ya b b x0 , quay quanh trôc Oy lµ : V = x dy f ( y )dy yb a a LuyÖn thi §H - C§ Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (2) chủ đề: nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông II Phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân 1) Phương pháp biến đổi áp dụng các tính chất, công thức nguyên hàm và định nghĩa tích phân VÝ dô TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: I = 3x dx x M = tan x dx 2 K = sin 2xdx J= xx x 2 1 x dx L= 0.25 N = e3 x dx sin x cos xdx VÝ dô T×m hµm sè f(x) biÕt: 2) df(x) = (x - 1) df(x) = (3sinx + 2cosx)dx vµ f(0) = 2) Phương pháp đổi biến số D¹ng 1: NÕu f(x)dx = g(u(x))u’(x)dx = g(u(x))d(u(x)) u (b ) b f ( x)dx a 2) 3) x( x 1) 2009 dx 5) 4sin 3x cos 3xdx , 3x dx , x2 x 2x u (b ) g (u )du G ( x) u ( a ) u (a) HÖ qu¶: VÝ dô TÝnh 1) 22( x 1) dx , §Æt u = u(x) Ta cã du = u’(x)dx f ( x)dx = g (u )du G(u ) C G(u ( x)) C Suy 2 )dx và f(1) = x2 e2 dx , x ln x 4) ln 6) ex ex dx , Dạng Đặt x = u(t), hàm số u(t) liên tục và đơn điệu trên K chứa t1, t2 dx = u’(t)dt x = a t = t1; x = b t = t2 I= x dx , 1 J= §Æt x = 2sint, t ; 2 K= dx , §Æt x = tant, t ; 3 x 2 L= t2 a t1 f ( x)dx = g (t )dt = G (t ) Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u’(t)dt = g(t)dt Ta có VÝ dô TÝnh b x2 2 x t2 t1 dx , §Æt x = sint, t ; 2 x2 0 (1 x )2 dx , §Æt x = tant, t ; 3) Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân phần b C«ng thøc: udv uv a b a b vdu a VÝ dô TÝnh: I = ( x 1) sin xdx J = (2 x sin x) cos xdx K= ( x 1)e x e dx L = ( x 1) ln xdx 1 x M = e dx N = ( x sin x)e x dx LuyÖn thi §H - C§ Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (3) chủ đề: nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông B số dạng tích phân thường gặp I - TÝch ph©n c¸c hµm ®a thøc, hµm sè luü thõa b u 1 Chó ý : u du víi vµ -1, 1 a a b m n I4 = I2 = x5 (1 x3 )6 dx I5 = x3 x dx I6 = u du (n 1)u n n 1 C , n , 1 I10 = dx (3 x) I15 = I16 = x3 x 0 x dx I13 = x dx x 1 x 1 dx ln ax b C ax b a dx x 11 x 5x dx I17 = 2 x x x dx 1 I21 = x ( x 2) dx 1 x2 1 x I22 = dx x x dx (3x 1) 2009 du tan t C ; u a tan t u2 x3 dx I20 = 2 1 x a I12 = 1 x2 x 2x I11 = dx x 1 I9 = 1 II- TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ 1 x I3 = x(1 x ) n dx ; ab I8 = max 3x 2; x dx x x dx 1 Chó ý: a 2 x b a I1 = (3 ) dx 1 u du ln u u n , du = u’(x)dx n u u m u ; u 0, n N * , n b dx I18 = x x 3dx 2 dx I14 = x 2x I23 = x 5x 1 I19 = 2 x dx x 4x I24 = 2 1 ( x x3 ) dx x4 4x ( x 2)( x 1) dx III- TÝch ph©n hµm chøa c¨n thøc b Chó ý: R( x, f ( x))dx Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: a a sin t hoÆc x = a cos t t [ ; ] +) R(x, a x ) §Æt x = +) R(x, ax ) §Æt x = a cos2t, t [0; ) ax +) R(x, f(x)) = (ax b) x x +) R(x, +) R n1 a x ) §Æt x = n n n ax b cx d Víi ( x x )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = x x , đặt t = +) R(x, n 2 ax b ) §Æt t = cx d ax b a tan t x ; x ; ; i x Gäi k = BCNN(n1; n2; ; ni), LuyÖn thi §H - C§ §Æt x = tk Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (4) chủ đề: x dx 2x 1 x dx I29 = x 1 I30 = x2 dx x 1 x 1 dx x 1 I31 = I32 = x3 x2 I33 = x x2 1 dx dx x3 x2 dx x2 1 x2 I45 = x2 I42 = 3ln x ln xdx x I47 = x 1dx dx ln x dx x ln x I48 = cos xdx cos x 2 ex ln dx dx e2 x I46 = I49 = cos x sin x cos xdx dx 2 x dx 2 x I41 = x x 3dx ln I39 = x x dx I40 = e dx 1 I38 = 2 x I37 = 1 x2 0 I44 = dx x x I36 = 3 1 x2 I27 = 3x x dx x x 1 24 I43 = I35 = x x dx I28 = x x x dx 0 I34 = I25 = x xdx I26 = nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông I50 = sin x sin x cos x dx IV- Tích phân hàm số lượng giác Chú ý các công thức: TÝch thµnh tæng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x 2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x 2sinax.sinbx = cos(a -b)x - cos(a+b)x H¹ bËc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+ cos2ax 1 t2 2t 2t ; cosx = ; tanx = 2 1 t 1 t 1 t2 dx C¸c vi ph©n: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = =(1+tan2x)dx cos x x BiÓu diÔn theo t = tan ; sinx = sin I51 = x cos xdx 2 sin x cos xdx I58 = I53 = 4 I59 = I54 = I62 = sin cot g xdx I63 = xdx I55 = cos x(sin x cos x)dx 0 tgx dx I64 = dx I56 = 0 sin x sin x cos x cos x sin x cos x 0 sin x cos x dx cos x sin x dx sin x cos x sin x sin( x ) sin xdx (sin x cos x) I65 = I61 = dx I60 = sin x sin x dx sin xtgx cos xdx 3 I52 = tan x I57 = dx cos x I66 = dx sin x cos x tan x cot x 2dx LuyÖn thi §H - C§ Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (5) chủ đề: nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông V- TÝch ph©n tæng hîp c¸c hµm sè sin xdx I67 = e 3 I68 = x ln xdx x 1 e 2 I70 = cos(ln x)dx I72 = I71= x (e x x 1)dx 1 e I69 = ln( x x)dx I 74 ln(sin x) dx cos x x e x x 2e x 0 2e x dx I73 = 3 ln x dx x(2 ln x) VI – Một số tích phân đặc biệt I75 = I77 = I76 = x cos x dx sin x x 1 31 x dx sin x sin x cos x dx 1 ex I79 = x sin x cos x dx x sin x dx I78 = cos x I80 = (1 e 1 x dx )(1 x ) c øng dông cña tÝch ph©n VÝ dô TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: a) y = x3 - 4x vµ trôc Ox x2 d) y = ; y = 3-x b) y = x ; x+y = vµ trôc hoµnh; x c) y = 0,25x3-3x vµ tt cña nã t¹i ®iÓm cã e) (P):y = 2x2 vµ hai tt cña (P) qua A( ;0) hoành độ x =- VÝ dô TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau, A quay quanh trôc Ox a) y = x2 ; y = 0; x = c) y = x ex, trôc Ox, x = b) y = sinx; y = 0; x = vµ x = d) y = x2; x = 0; y = Bµi tËp: A) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng sau: Bµi (TN - 2006): y = ex ; y = vµ ®êng th¼ng x = §S: e + 2ln2 - Bµi (TN - 2002): y = 2x +1; y = x - §S: = 16/3 Bµi KA-2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = (e+1)x và e y = (1+ex)x ĐS: 2 x Bµi (§H - KB - 2002): y = x vµ y = §S: = + 4/3 4 Bµi (§H - KA - 2002): y = y = x x ; y = x+3 §S: = 109/6 B) TÝnh thÓ tÝch khèi vËt thÓ trßn xoay h×nh ph¼ng D giíi h¹n bëi Bµi (TN - 2004): y = 1/3x3 - x2; y = 0; quay quanh trôc Ox §S: 81 /35 Bµi (P) y = 2x2 vµ hai tiÕp tuyÕn cña (P) ®i qua A(1/2; 0) quay quanh trôc Ox Bµi y = x2; y = x quay quanh trôc Oy Bài KB-2007 Cho hình phẳng H giới hạn các đường y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox LuyÖn thi §H - C§ Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (6) chủ đề: nguyªn hµm, tÝch ph©n vµ øng dông Một số bài toán Nguyên hàm, tích phân các đề thi đại học 1) KA-2005 I1 = sin x sinx dx 3cos x ĐS: 34 27 2) KB-2005 I2 = sin x cos x dx cos x ĐS: 2ln2 – 3) KD-2005 I3 = e sinx cos x cos xdx ĐS: e 4) KA-2006 I4 = sin x cos x 4sin x dx ĐS: 5) KB-2006 I5 = e x dx 2e x ĐS: ln3-ln2 3e 1 6) KD-2006-2007 I6 = x e dx ; I7 = x ln xdx ĐS: (5 3e ) ; 32 0 1 2x 7) KA-2008 I8 = tan x 0 cos x dx ĐS: 10 ln(2 3) 27 sin x 1 4 dx ĐS: 8) KB-2008 I9 = 2 2 sin x 2(1 sinx cos x ) 1 ln x ln 9) KD-2008 I10 = dx ĐS: 16 x 10) KA-2009 I11 = cos x 1 cos 11) KB-2009 I12 = ln x ( x 1) 12) KD-2009 I13 = e 2 xdx dx dx 1 ĐS: -2 + ln(e2 + e + 1) x x e x x 2e x 13) KA-2010 I14 = dx 2e x e ln xdx 14) KB-2010 I15 = x (2 ln x ) 15) KA-2011 I16 = x sinx ( x 1)cos x dx x sin x cos x ln( x 1) dx x2 1 x3 17) KB-2012 I18 = dx x x 16) KA-2012 I17 = 15 ĐS: ¾(1+ln3) – ln2 ĐS: LuyÖn thi §H - C§ 1 2e ln 3 ĐS: ln 2 ĐS: ln 1 2 ĐS: ln ln 3 ĐS: ln ln ĐS: Ths NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (7)