Đang tải... (xem toàn văn)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau chữ số đầu tiên khác 0 trong đó có một chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.. Đại học Quốc gia TP.[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông III CHỈNH HỢP Coù n vaät khaùc nhau, choïn k vaät khaùc (1 ≤ k ≤ n), saép vaøo k choã khaùc Mỗi cách chọn gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử Chỗ thứ có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ có (n – 1) cách chọn (do còn n – vật), chỗ thứ có n – cách chọn (do còn n – vật), …, chỗ thứ k có n – (k – 1) caùch choïn (do coøn n – (k – 1) vaät) Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn laø : n × (n – 1) × (n – 2) × … × (n – k + 1) = n! (n − k)! Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử là A kn , ta có : A kn = n! (n − k)! Ví dụ Một nhà hàng có món ăn chủ lực, cần chọn món ăn chủ lực khác cho moãi ngaøy, moät moùn buoåi tröa vaø moät moùn buoåi chieàu Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Đây là chỉnh hợp chập phần tử, có : A 52 = 5! = 4.5 = 20 caùch choïn (5 − 2)! (Giả sử món ăn đánh số 1, 2, 3, 4, 5; ta có các cách chọn sau đây : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)) Ví dụ Trong trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có môn tự chọn, sinh viên phải chọn môn môn đó, môn chính và môn phụ Hoûi coù maáy caùch choïn ? Giaûi Đây là chỉnh hợp chập phần tử Vậy có : Lop12.net (2) A 32 = 3! = caùch choïn (3 − 2)! (Giả sử môn tự chọn là a, b, c thì cách chọn theo yêu cầu là (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b)) Ví dụ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, có thể tạo bao nhiêu số gồm chữ số khác ? Giaûi Đây là chỉnh hợp chập phần tử Vậy có : A 52 = 5! 5! = = × = 20 soá (5 − 2)! 3! (Các số đó là : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54) Bài 35 Chứng minh với n, k ∈ ¥ và ≤ k < n A nk = A nk −1 + k A nk −−11 a) A nn ++ 2k + A nn ++1k = k2 A nn + k b) Giaûi a) Ta coù : A nk −1 + k A nk −−11 = (n − 1)! (n − 1) ! + k (n − − k) ! (n − k) ! k ⎡ ⎤ = (n – 1)! ⎢ + ⎥ ⎣ (n − k − 1)! (n − k)(n − k − 1)! ⎦ b) k ⎞ n (n − 1) ! ⎛ ⎜1 + ⎟ = n − k ⎠ (n − k − 1) ! n − k ⎝ = (n − 1) ! (n − k − 1) ! = n! = A nk (n − k) ! A nn ++ 2k + A nn ++1k = = (n + k) ! (n + k) ! + (k − 2) ! (k − 1)! (n + k) ! (k − 2) ! = (n + k) ! (n + k)! + (k − 2) ! (k − 1)(k − 2)! ⎤ ⎡ ⎢⎣1 + k − ⎥⎦ (n + k)!k (n + k) ! k = = = A nn + k k2 k! (k − 2) ! k − Baøi 36 Giaûi phöông trình Px A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px) Lop12.net (3) Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 2001 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ Ta coù : Px A 2x + 72 = 6( A 2x + 2Px) x! ⎡ x! ⎤ + 72 = ⎢ + 2x !⎥ (x − 2) ! ⎣ (x − 2)! ⎦ ⇔ x! ⇔ x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] ⇔ (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) ⇔ (x2 – x – 12)(x! – 6) = ⇔ ⎡ x − x − 12 = ⎢ ⎣ x !− = ⇔ ⎡x = ⎢ x = −3 : loại ⎢ ⎢⎣ x = ⇔ ⎡x = ⎢x = ⎣ Baøi 37 Giaûi baát phöông trình : A 3x + A 2x ≤ 21x Đại học Quốc gia Hà Nội khối B 1998 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ A x + A 2x ≤ 21x ⇔ x! x! +5 ≤ 21x (x − 3) ! (x − 2)! ⇔ x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1) ≤ 21x ⇔ (x – 1)(x – 2) + 5(x – 1) ≤ 21 ⇔ x2 + 2x – 24 ≤ ⇔ (do x ≥ 3) –6 ≤ x ≤ Do x ∈ ¥ vaø x ≥ neân x = 3, x = laø nghieäâm Bài 38 Tìm các số âm dãy số x1, x2, …, xn với Lop12.net (4) A 4n + 143 với Pn là số hoán vị n phần tử xn = – Pn + 4Pn Đại học An ninh 2001 Giaûi Ñieàu kieän n ∈ ¥ \ {0} (n + 4)! 143 (n + 4)(n + 3) 143 n! Ta coù : xn = – = – 4n ! n! 4n ! (n + 2)! Vaäy : xn < ⇔ (n + 4)(n + 3) – 143 <0 ⇔ 4n2 + 28n – 95 < (do n! > 0) ⇔ − 19 <n< 2 Do n = 1, 2, 3, … neân n = 1, n = Vaäy soá caàn tìm laø x1 = vaø x2 = × 143 63 – =– 4 6×5 143 143 23 – = 15 – =– 4×2 8 Bài 39 Chứng minh với n ∈ ¥ và n ≥ thì 1 n −1 + +…+ = n A2 A3 An Đại học An ninh khối A 2001 Ta coù : ⎧ ⎪ A2 ⎪ ⎪ ⎪ A2 ⎪ ⎪ +⎨ ⎪ A4 ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ A2 ⎪ n ⎩ = = 1! 1 = = − 3! × 2 = 2! 1 = = − 4! × 3 M = (n − 2)! 1 = − n! n −1 n Lop12.net (5) Cộng vế theo vế n – đẳng thức trên ta : 1 1 1 1 n −1 + + +…+ = + – =1– = 2 n n n A2 A3 A4 An Bài 40 Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu chữ cái khác lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z và là chữ số khác không có số Giaûi Chọn chữ cái 26 chữ cái, xếp vào hai vị trí đầu tiên, đây là chỉnh hợp chập 26 phần tử Tiếp theo, chọn chữ số chữ số khác 0, xếp vào vị trí, đây là chỉnh hợp chập phần tử Vaäy coù : A 226 A 59 = 26! 9! = 9828000 soá 24 ! ! Bài 41 Một đội bóng đá có 18 cầu thủ Cần chọn 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để thi đấu chính thức Hỏi có cách chọn : a) Ai có thể chơi vị trí nào ? b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi vị trí nào ? c) Có cầu thủ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi vị trí nào ? Giaûi a) Chọn 11 người 18 người, xếp vào 11 vị trí Đây là chỉnh hợp chập 11 18! 18 phần tử Có : = 1270312243 caùch A11 18 = 7! b) Chọn A làm thủ môn Tiếp đến, chọn 10 người 17 người còn lại, xếp vào 17! A10 = 705729024 caùch 10 vò trí Vaäy coù : 17 = 7! c) Chọn người làm thủ môn, có cách Tiếp đến, chọn 10 người 15 15! người kia, xếp vào 10 vị trí, có A10 caùch 15 = 5! Vaäy, coù : 15! = 326918592 caùch 5! Baøi 42 Coù 10 cuoán saùch khaùc vaø caây buùt maùy khaùc Caàn choïn cuoán sách và cây bút máy để tặng cho học sinh, em sách và caây buùt maùy Hoûi coù maáy caùch ? Lop12.net (6) Giaûi Chọn 10 sách để tặng cho học sinh Đây là chỉnh hợp chập 10 phần tử, có A10 caùch Tiếp theo chọn cây bút để tặng cho học sinh Đây là chỉnh hợp chập phần tử, có A 73 cách Vaäy, coù : A 73 = A10 10! 7! = 10.9.8.7.6.5 = 151200 caùch 7! ! Baøi 43 Trong moät chöông trình vaên ngheä, caàn choïn baøi haùt 10 baøi haùt vaø tiết mục múa tiết mục múa xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác các bài hát xếp kế và các tiết mục múa xếp kế ? Giaûi Xếp hát đến múa hay múa đến hát : có cách caùch Trong trường hợp đó, chọn 10 bài hát xếp thứ tự, có A10 Tiếp đến chọn tiết mục múa xếp thứ tự, có : A 53 cách Vaäy coù : A10 A 53 = 10! 5! = 72576000 caùch 3! 2! Bài 44 Trong đua ngựa gồm 10 Hỏi có cách để 10 ngựa này veà ñích nhaát, nhì, ba Giaûi Số các cách để 10 ngựa này đích nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp 10 chập (do có thứ tự) Đó là : A10 = 10! = 10.9.8 = 720 caùch 7! Bài 45 Xét các bảng số xe là dãy gồm chữ cái đứng trước và chữ số đứng sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z Các chữ số lấy từ 0, 1, …, a) Có biển số đó có ít chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi khaùc b) Có biển số có chữ cái khác đồng thời có đúng chữ số lẻ, và chữ số lẻ đó giống Hoïc vieän Ngaân haøng TP HCM 2000 Giaûi Lop12.net (7) a) Số cách chọn chữ cái đó có ít chữ cái khác chữ O : 26 × 26 – = 675 (1 là số trường hợp mà chữ cái là O) Số cách chọn chữ số đôi khác : A10 Vaäy coù 675 × A10 = 675 × 5040 = 3420000 bieån soá b) Số cách chọn chữ cái khác : 26 × 25 Coù caëp soá leû gioáng nhau, choïn caëp coù caùch Laáy caëp soá leû gioáng naøy xeáp vaøo vò trí cuûa bieån soá coù : caùch A 24 =6 2! Còn vị trí trống mang chữ số chẵn (có thể giống nhau) chữ số chẵn coù : × caùch Do đó số biển số thỏa yêu cầu câu b là : 26 × 25 × × × 25 = 487500 bieån soá Bài 46 Có 30 học sinh dự thi học sinh giỏi toán toàn quốc Có giải thưởng xếp hạng từ đến và không nhiều giải Hỏi: a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có ? b) Nếu đã biết học sinh A chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có ? Giaûi a) Chọn học sinh 30 học sinh, xếp vào giải là chỉnh hợp chập 30 phần tử Vậy có : A 630 = b) 30! = 30.29.28.27.26.25 = 427518000 caùch 24 ! Nếu học sinh A chắn không đoạt giải, cần chọn học sinh 29 học sinh, xếp vào giải Đây là chỉnh hợp chập 29 phần tử, có : A 629 = 29! = 29.28.27.26.25.24 = 342014400 caùch 23! Suy số danh sách theo yêu cầu đề bài là : 427.518.000 – 342.014.400 = 85.503.600 Bài 47 Một lớp học có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp phó lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn Lop12.net (8) Giaûi Đây là bài toán chỉnh hợp vì từ 40 học sinh chọn em làm cán lớp có theo thứ tự lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó lao động Vaäy soá caùch choïn laø : A 340 = 40! = 40 × 39 × 38 = 59280 caùch 37! Bài 48 Có người vào thang máy chung cư có 10 tầng Hỏi có bao nhiêu cách để : a) Mỗi người vào tầng khác b) người này, người vào tầng bất kì nào đó Giaûi a) Số cách vào tầng khác người này là số cách chọn 10 số khác (mỗi tầng đánh số từ đến 10) Đó là số chỉnh hợp 10 chập : A10 = b) 10! = 151200 4! Mỗi người có 10 cách lựa chọn từ tầng đến 10 Mà có người Vaäy soá caùch choïn laø 106 Bài 49 Có 100000 vé số đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi số các vé gồm chữ số khác là bao nhiêu Đại học Quốc gia Hà Nội 1997 Giaûi Mỗi vé có chữ số khác chính là chỉnh hợp 10 chập Vậy số các vé gồm chữ số khác là : = A10 10! = 30240 5! Ghi chú : Có thể giải phép đếm bài trang 11 Bài 50 Với 10 chữ số 0, 1, …, 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác Đại học Cảnh sát 1999 Giaûi Goïi n = a1a a (a1 ≠ 0) Lop12.net (9) Soá caùc soá n baát kì (a1 coù theå baèng 0) A10 = 10! = 10 × × × × = 30240 5! Soá caùc soá n maø a1 = laø : A 49 = 9! = × × × = 3024 5! Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 30240 – 3024 = 27216 Bài 51 Có bao nhiêu số nguyên dương bé 1000 mà số có các chữ số đôi moät khaùc Giaûi Goïi n ∈ ¥ vaø < n < 1000 • Số các số n có chữ số là : • Số các số n có chữ số khác là : A10 – A19 = 10! 9! – = 81 8! 8! đó A19 là các số có chữ số khác mà bắt đầu • Số các số n có chữ số khác là : – A 29 = A10 10! 9! – = 648 7! 7! đó A 29 là số các số có chữ số khác mà bắt đầu • Vaäy coù : + ( A10 – A19 ) + ( A10 – A 29 ) = + 81 + 648 = 738 Bài 52 Từ 0, 1, 3, 5, có thể lập bao nhiêu số, số gồm chữ số khác và khoâng chia heát cho Đại học Quốc gia Hà Nội Caùch : Goïi n = a1a 2a 3a (a1 ≠ 0) • Neáu a4 = thì soá caùc soá n laø A 34 = • 4! = × × = 24 1! Neáu a4 = thì soá caùc soá n laø Lop12.net (10) A 34 – A 23 = 24 – 3! = 18 1! với A 23 là số các số n mà a1 = Do đó số các số chia hết cho : 24 + 18 = 42 Nhöng soá caùc soá n tuøy yù (a1 ≠ 0) laø : A 54 – A 34 = 5! – 24 = 96 1! với A 34 là số các số n mà a1 = Vaäy soá caùc soá khoâng chia heát cho : 96 – 42 = 54 Caùch : Soá caùc soá taän cuøng baèng : A 34 – A 23 = 4! – 3! = 18 với A 23 là số các số n mà a1 = Tương tự số các số tận cùng 3, là 18 Vaäy caùc soá n khoâng chia heát cho laø : 18 + 18 + 18 = 54 Bài 53 Từ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số Đại học Kinh tế Quốc dân 2001 Giaûi Goïi n = a1a a (a1 ≠ 0) Caùch 1: 6! = 360 2! • Chọn trước a1 = thì số các số n là A 46 = • Soá caùc soá maø = (i = 2, 3, 4, 5) keå caû a1 coù theå laø : A 46 Soá caùc soá maø a1 = vaø = (i = 2, 3, 4, 5) laø : A 35 Do đó số các số mà a1 ≠ và = (i = 2, 3, 4, 5) là : (A 64 − A 35 ) = 4(360 – 60) = 1200 Vaäy soá caùc soá n phaûi coù maët laø : 360 + 1200 = 1560 Lop12.net (11) Caùch : Số các số gồm chữ số bất kì : A 57 – A 46 = 2160 Số các số gồm chữ số mà không có mặt chữ số A 56 – A 54 = 600 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 2160 – 600 = 1560 Bài 54 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số chẵn số gồm chữ số khác Đại học An ninh 1997 – Y Dược TP HCM 1997 Giaûi Caùch : Số các số gồm chữ số khác tận cùng A 46 = 6! = 360 2! Số các số gồm chữ số khác tận cùng (a1 có thể là 0) A 46 = 360 Số các số gồm chữ số khác bắt đầu 0, tận cùng là A 35 = 5! = × × = 60 2! Vaäy soá caùc soá taän cuøng laø maø a1 ≠ 360 – 60 = 300 Tương tự số các số tận cùng 4, là 300 Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : 360 + 3.(300) = 1260 Caùch : Goïi n = a1a2 a5 chaün Trường hợp : a1 lẻ Lop12.net (12) Soá caùch choïn a1 a5 a2 a3 a4 a1 a5 a2 a3 a4 3 Trường hợp : a1 chẵn Soá caùch choïn Vaäy soá caùc soá n chaün laø : × × × × + × × × × = 720 + 540 = 1260 Bài 55 Cho X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi từ X mà a) n chaün b) Một chữ số đầu tiên phải có mặt chữ số Đại học Quốc gia TP HCM khối D 1999 Giaûi Goïi n = a1a2 a3a4 a5 a) Caùch : Soá caùc soá taän cuøng laø : A 74 Số các số tận cùng là : A 74 – A 36 ( A 36 là số các số n tận cùng bắt đầu 0) Tương tự số các số tận cùng 4, là A 74 – A 36 Vaäy soá caùc soá chaün A 74 + 3( A 74 – A 36 ) = A 74 – A 36 = 7! 6! – = 3000 3! 3! Caùch : Trường hợp : a1 lẻ Soá caùch choïn a1 a5 a2 a3 a4 4 Trường hợp : a1 chẵn Lop12.net (13) a1 a5 a2 a3 a4 3 Soá caùch choïn Do đó số các số n chẵn là : 30.43 + 120.32 = 3000 b) • Caùch : Xeùt caùc soá n baát kì (keå caû a1 = 0) Có cách chọn chữ số (do a1 a2 a3 1) vò trí coøn laïi coù 7! = × × × = 840 caùch 3! × 840 = 2520 soá Vaäy coù • A 74 = Xeùt caùc soá n = 0a2 a3a4 a5 Có cách chọn vị trí chữ số Coù A 36 = 6! = × × = 120 caùch choïn cho vò trí coøn laïi 3! × 120 = 240 soá Vaäy coù Số các số thỏa yêu cầu bài toán : 2520 – 240 = 2280 số Caùch : Soá caùc soá n maø a1 = laø A 74 = 7! = × × × = 840 3! Soá caùc soá n maø a2 = laø A 74 – A 36 = 840 – 120 = 720 ( A 36 laø soá caùc soá daïng 01a3a4 a5 ) Soá caùc soá maø a3 = cuõng laø 720 Số các số thỏa yêu cầu bài toán : 840 + 720 + 720 = 2280 số Bài 56 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể bao nhiêu số có chữ số khác và có thể lập bao nhiêu số có chữ số phân biệt đó có chữ số 1, Đại học Dân lập Thăng Long 1998 Giaûi Lop12.net (14) Goïi n = a1a2 a3a4 • Soá caùc soá n laø : A 74 = • 7! = × × × = 840 3! Xeùt hoäc coù oâ troáng Đem chữ số bỏ vào hộc có : cách Đem chữ số bỏ vào hộc có : cách Còn lại chữ số 3, 4, 5, 6, bỏ vào ô trống còn lại có A 25 = 5! = × = 20 caùch 3! Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : × × 20 = 240 số Bài 57 Từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác cho các số đó phải có mặt và Hoïc vieän Coâng ngheä Böu chính Vieãn thoâng 1999 Giaûi Xeùt hoäc coù oâ troáng Do a1 ≠ neân coù caùch ñöa soá boû vaøo hoäc Coøn laïi oâ troáng neân coù caùch ñöa soá vaøo Còn chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, mà có hộc trống nên có A 84 = 8! = × × × = 1680 caùch 4! Do đó số các số cần tìm : × × 1680 = 42 000 Bài 58 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số đầu tiên khác 0) đó có chữ số không có mặt chữ số Đại học Quốc gia TP HCM 2001 Giaûi Goïi X = {0, 1, 2, , 7, 8, 9} Xeùt hoäc coù oâ troáng Lấy chữ số bỏ vào hộc có cách (do a1 ≠ 0) Lop12.net (15) Từ X\ {0, 1} còn chữ số chọn chữ số bỏ vào hộc còn lại có A 85 cách Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán : A 85 = 8! = × × × × × = 33600 3! Bài 59 Tính tổng các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 1, 3, 4, 5, 7, Đại học Sư phạm Hà Nội – 2001 Giaûi Goïi n = a1a2 a5 Soá caùc soá n laø A 56 = 6! = 720 1! Xét các chữ số hàng đơn vị, chữ số 1, 3, 4, 5, 7, xuất 720 = 120 laàn Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 120(1 + + + + + 8) = 120 × 28 = 3360 Tương tự tổng chữ số hàng chục là : 3360 × 10 tổng chữ số hàng trăm là : 3360 × 102 tổng chữ số hàng nghìn là : 3360 × 103 tổng chữ số hàng vạn là : 3360 × 104 Do đó S = 3360.(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 3360 × 11111 = 37 332 960 (coøn tieáp) PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và luyện thi đại học Vĩnh Viễn) Lop12.net (16)