Coù bao nhieâu caùch chia số học sinh thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người, đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 hoïc sinh khaù... Vì mỗi tổ đều có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi mỗi tổ là 1 h[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP Chöông IV TỔ HỢP Có n vật khác nhau, chọn k vật khác (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự chọn Mỗi cách chọn gọi là tổ hợp chập k n phần tử Ta thấy tổ hợp chập k n phần tử tạo Pk = k! chỉnh hợp chập k n phần tử Do đó, kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử, ta có : A nk n! C = = k! k!(n − k)! k n Tính chaát : Ckn = Cnn − k Ckn = Ckn −−11 + Ckn −1 C0n + C1n + … + Cnn = 2n Ví dụ Có học sinh, cần chọn học sinh để trực lớp, hỏi có cách choïn ? Giaûi Đây là tổ hợp chập phần tử Vậy có : C25 = 5! 5.4 = = 10 caùch choïn 2!3! (Giả sử học sinh là {a, b, c, d, e} thì 10 cách chọn là : {a, b} , {a, c} , {a, d} , {a, e} , {b, c} , {b, d} , {b, e} , {c, d} , {c, e} , {d, e} Ví dụ Một nông dân có bò, heo Một nông dân khác đến hỏi mua boø vaø heo Hoûi coù maáy caùch choïn mua ? Giaûi Chọn mua bò bò là tổ hợp chập phần tử, có : C64 caùch choïn Chọn mua heo heo là tổ hợp chập phần tử, có : C24 caùch choïn Vaäy, theo qui taéc nhaân, soá caùch choïn mua boø vaø heo laø : Lop12.net (2) C64 × C24 = 6! 4! 6! 6.5.4.3.2.1 × = = 4!2! 2!2! (2!) = × × = 90 caùch choïn Ví dụ Trong kì thi, sinh viên phải trả lời câu hỏi a) Coù maáy caùch choïn b) Coù maáy caùch choïn neáu caâu hoûi coù caâu hoûi baét buoäc Giaûi a) Chọn câu hỏi là tổ hợp chập phần tử Vaäy coù : C35 = 5! 5.4 = = 10 caùch choïn 3!2! b) Chọn câu hỏi còn lại là tổ hợp chập phần tử Vaäy coù : C24 = 4! 4.3 = = caùch choïn 2!2! Chuù yù : – Có thể xem tổ hợp chập k n phần tử là tập gồm k phần tử tập n phần tử đã cho – Cần phân biệt bài toán chọn k vật từ n vật, có hay không hàm ý thứ tự Nếu có thứ tự, đó là chỉnh hợp, không có thứ tự, đó là tổ hợp Baøi 60 Giaûi phöông trình : 1 – x = x x C4 C5 C6 (*) Giaûi Ñieàu kieän : x ∈ ¥ vaø x ≤ x!(4 − x)! x!(5 − x)! x!(6 − x)! – = 4! 5! 6! (*) ⇔ ⇔ (4 − x)! (5 − x)(4 − x)! (6 − x)(5 − x)(4 − x)! – = 4! × 4! × × 4! ⇔ 1– 5−x (6 − x)(5 − x) = 30 (do x! > 0) (do (4 – x)! > 0) ⇔ 30 – 6(5 – x) = 30 – 11x + x2 ⇔ x2 – 17x + 30 = ⇔ ⎡ x1 = ⎢ ⎣ x = 15 (loại so điều kiện x ≤ 4) Lop12.net (3) ⇔ Baøi 61 Tìm n cho Cnn −−13 < A n +1 14P3 x = (*) Đại học Hàng hải 1999 Giaûi Ñieàu kieän : n ∈ ¥ vaø n + ≥ ⇔ n ∈ ¥ vaø n ≥ (*) ⇔ (n − 1)! (n − 3)!2! < (n + 1)! 14 × 3! (n − 3)! ⇔ (n − 1)! 1 × < 2! (n + 1)! 14 × ⇔ 1 < (n + 1)n 42 ⇔ n2 + n – 42 < ⇔ –7 < n < Do ñieàu kieän n ∈ ¥ vaø n ≥ neân n ∈ {3, 4,5} Baøi 62 Tìm x thoûa : A 2x – A 2x ≤ Cx + 10 x Đại học Bách khoa Hà Nội 2000 Giaûi Ñieàu kieän x ∈ ¥ vaø x ≥ Bất phương trình đã cho ⇔ (2x)! x! x! – ≤ + 10 (2x − 2)! (x − 2)! x 3!(x − 3)! ⇔ 2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ (x – 1)(x – 2) + 10 ⇔ x2 ≤ x2 – 3x + 12 ⇔ x≤4 Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là x = ∨ x= ⎧⎪2A yx + 5Cyx = 90 Baøi 63 Tìm x, y thoûa ⎨ y y ⎪⎩5A x − 2Cx = 80 Đại học Bách khoa Hà Nội 2001 Giaûi Lop12.net (4) Ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y ⎧⎪4A yx + 10Cyx = 180 ⇔ Hệ đã cho ⇔ ⎨ y y ⎪⎩25A x − 10Cx = 400 ⎧⎪29A yx = 580 ⎨ y y ⎪⎩4A x + 10Cx = 180 ⇔ ⎧ x! ⎪ (x − y)! = 20 ⎪ ⎨ x! ⎪ = 10 ⎪⎩ y!(x − y)! ⎧ x! ⎪ (x − y)! = 20 ⎪ ⇔⎨ ⎪ 20 = 10 ⎪⎩ y! ⇔ ⎧ x! = 20 ⎪ ⎨ (x − y)! ⎪y! = ⎩ ⎧ x! = 20 ⎪ ⇔ ⎨ (x − 2)! ⎪y = ⎩ ⇔ ⎧x(x − 1) = 20 ⎨ ⎩y = ⎧x − x − 20 = ⇔⎨ ⎩y = ⇔ ⎧x = ∨ x = −4(loại ) ⎨ ⎩y = ⎧⎪A = 20 ⇔⎨ y ⎪⎩Cx = 10 y x ⇔ ⎧x = thoûa ñieàu kieän x, y ∈ N vaø x ≥ y ⎨ ⎩y = Baøi 64 Cho k, n ∈ N thoûa n ≥ k ≥ Chứng minh : k(k – 1) Cnk = n(n – 1) Cnk −−22 Đại học Quốc gia Hà Nội 1999 Giaûi Ta coù : n(n – 1) Cnk −−22 = n(n – 1) n(n – 1) Cnk −−22 = (n − 2)! (k − 2)!(n − k)! k(k − 1)n! n! = (k − 2)!(n − k)! k(k − 1)(k − 2)!(n − k)! = k(k – 1) n! = k(k – 1) Cnk k!(n − k)! Bài 65 Cho ≤ k ≤ n Chứng minh : Cnk + Cnk −1 + Cnk −2 + Cnk −3 + Cnk − = Cnk + Lop12.net (5) Đại học Quốc gia TP HCM 1997 Giaûi Áp dụng tính chất tổ hợp C nk = Cnk −1 + Cnk −−11 Ta coù : Cnk + Cnk −1 + Cnk −2 + Cnk −3 + Cnk − = ( C nk + Cnk −1 ) + 3( Cnk −1 + Cnk −2 ) + 3( Cnk −2 + Cnk −3 ) + Cnk −3 + Cnk − = Cnk +1 + Cnk +−11 + Cnk +−12 + Cnk +−13 = ( Cnk +1 + Cnk +−11 ) + 2( Cnk +−11 + Cnk +−12 ) + ( Cnk +−12 + Cnk +−13 ) = Cnk + + Cnk +−12 + Cnk +−22 = ( Cnk + + Cnk +−12 ) + ( Cnk +−12 + Cnk +−22 ) = Cnk +3 + Cnk +−13 = Cnk + Baøi 66 Tìm k ∈ N cho k k +2 k +1 C14 + C14 = C14 Cao ñaúng Sö phaïm TP HCM 1998 Giaûi Ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12 Ta coù : k k +2 k +1 C14 + C14 = C14 ⇔ 14! 14! 14! + =2 k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! ⇔ 1 + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) ⇔ 2k2 – 24k + 184 = 2(–k2 + 12k + 28) ⇔ 4k2 – 48k + 128 = ⇔ k=8 ∨ k=4 (nhaän so ñieàu kieän k ∈ N vaø k ≤ 12) Bài 67* Chứng minh k ∈ N và ≤ k ≤ 2000 thì k k +1 1001 ≤ C1000 + C2001 C2001 2001 + C 2001 (1) Đại học Quốc gia Hà Nội khối A 2000 Giaûi Lop12.net (6) Do C nk = Cnk −−11 + Cnk −1 neân (1) ⇔ k +1 C2002 ≤ C1001 2002 k Xeùt daõy {u k } = C2002 với k ∈ [0, 1000] đây là dãy tăng vì uk ≤ uk+1 ⇔ k k +1 C2002 ≤ C2002 ⇔ (2002)! (2002)! ≤ k!(2002 − k)! (k + 1)!(2001 − k)! ⇔ (k + 1)! (2002 − k)! ≤ (2001 − k)! k! ⇔ k + ≤ 2002 – k ⇔ 2k ≤ 2001 luôn đúng ∀ k ∈ [0, 1000] Do đó : uk+1 ≤ uk+2 ≤ … ≤ u1001 k +1 C2002 ≤ C1001 2002 ∀ k ∈ [0, 1000] neân k +1 −k Maët khaùc C2002 = C2001 2002 neân k ∈ [1001, 2000] thì (2001 – k) ∈ [1, 1000] Bất đẳng thức (1) đúng Vậy (1) luôn đúng ∀ k ∈ [0, 2000] Bài 68* Với n, k ∈ N và n ≥ k ≥ Chứng minh : ( ) n n n C2n C2n + k C 2n − k ≤ Đại học Y dược TP HCM 1998 Giaûi n n Xeùt daõy soá {u k } = C2n + k C 2n − k ñaây laø daõy giaûm vì uk ≥ uk+1 ⇔ n n n n C2n + k C 2n − k ≥ C 2n + k +1 C 2n − k −1 ⇔ (2n + k)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! ≥ n!(n + k)! n!(n − k)! n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! ⇔ (n + k + 1)! (2n − k)! (2n + k + 1)! (n − k)! ≥ (n + k)! (2n − k − 1)! (2n + k)! (n − k − 1)! ⇔ (n + k + 1)(2n – k) ≥ (2n + k + 1)(n – k) ⇔ 2n2 + nk – k2 + 2n – k ≥ 2n2 – nk – k2 + n – k Lop12.net (7) 2nk + n ≥ ⇔ luôn đúng ∀ k, n ∈ N Do đó u0 ≥ u1 ≥ u2 ≥ … ≥ uk ≥ uk+1 … ≥ un Vaäy u0 ≥ uk n n n n C2n + C 2n − ≥ C 2n + k C 2n − k ⇔ Baøi 69 Cho n nguyeân döông coá ñònh vaø k ∈ ∈ {0,1, 2, , n} Chứng minh Ckn đạt giá trị lớn ko thì k0 thỏa n −1 n +1 ≤ k0 ≤ 2 Đại học Sư phạm Vinh 2001 Giaûi Do C kn có tính đối xứng, nghĩa là C kn = Cnn − k , ta có : C0n = Cnn , C1n = Cnn −1 , Và dãy {u k } = C nk với k ∈ [0, n ] ñaây laø daõy taêng neân ta coù ⎧⎪C ≥ C ⇔ Ckn đạt max ⇔ ⎨ k k −1 ⎪⎩C n ≥ Cn k n ⇔ k +1 n (n − k)! ⎧ (k + 1)! ≥ ⎪ k! (n − k − 1)! ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ (n − k + 1)! ≥ k! ⎪⎩ (n − k)! (k − 1)! Do đó k thỏa C2n = Cnn − … n! n! ⎧ ⎪ k!(n − k)! ≥ (k + 1)!(n − k 1)! ⎪ ⎨ n! n! ⎪ ≥ ⎪⎩ k!(n − k)! (k − 1)!(n − k 1)! ⎧ ⎪⎪k ≥ ⎧k + ≥ n − k ⇔⎨ ⎨ ⎩n − k + ≥ k ⎪k ≤ ⎪⎩ − + n −1 n +1 n −1 n +1 ≤k ≤ 2 Bài 70 Cho m, n ∈ N với < m < n Chứng minh : a) m Cmn = n Cmn −−11 b) Cmn = Cmn −−11 + Cmn −−21 + … + Cmm −1 + Cmm −−11 Trung tâm Bồi dưỡng Cán Y tế TP HCM 1998 Giaûi Lop12.net (8) a) Ta coù : n Cmn −−11 = n (n − 1)! n! = (m − 1)!(n − m)! (m − 1)!(n − m)! m.n! n! = m = m Cmn m(m − 1)!(n − m)! m!(n − m)! = b) Với k ∈ N và k ≥ m Ta có ⇔ Cmk −−11 = Cmk – Cmk-1 Với k = n ta coù Cmn −−11 = Cmn – Cmn-1 (1) Với k = n – ta coù Cmn −−21 = Cmn−1 – Cmn−2 (2) Với k = n – ta coù Cmn −−31 = Cmn− – Cmn−3 (3) Cmk = Cmk-1 + Cmk −−11 Với k = m + ta coù vaø Cmm −1 = Cmm +1 – Cmm (n – m – 1) Cmm −−11 = Cmm = Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta điều phải chứng minh Bài 71 Chứng minh : 2002 2000 k 2001− k 2001 C2002 C2001 2002 + C 2002 C 2001 + … + C 2002 C 2002 − k + … + C 2002 C1 = 1001.2 Trung tâm Bồi dưỡng Cán Y tế TP HCM 2001 Giaûi 2001 2001 k =0 k =0 2001− k Veá traùi = ∑ Ck2002 C 2002 −k = = 2001 2002! ∑ k!(2002 − k)! 2002! 2001 (2002 − k)! (2001 − k)!1! 2002.2001! ∑ k!(2001 − k)! = ∑ k!(2001 − k)! k =0 k =0 2001 = 2002 ∑ Ck2001 = 2002.22001 k =0 (do n ∑C k =0 k n = 2n) = 1001.22002 = veá phaûi Bài 72 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời câu a) Hoûi coù maáy caùch choïn tuøy yù ? b) Hỏi có cách chọn câu đầu là bắt buộc ? Lop12.net (9) c) Hỏi có cách chọn câu đầu và câu sau ? Giaûi a) Chọn tùy ý 10 câu là tổ hợp chập 10 phần tử, có : 10! 10.9 = = 45 caùch 8!2! = C10 b) Vì coù caâu baét buoäc neân phaûi choïn theâm caâu caâu coøn laïi, ñaây laø toå hợp chập phần tử, có : C57 = c) 7! 7.6 = = 21 caùch 5!2! Chọn câu đầu, có C54 cách Tiếp theo, chọn câu sau, có C54 caùch Vaäy, theo qui taéc nhaân, coù : ⎛ 5! ⎞ C C = ⎜ ⎟ = 25 caùch ⎝ 4!1! ⎠ 5 Bài 73 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn học sinh để dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc Có cách chọn a) Tuøy yù ? b) Sao cho hoïc sinh A vaø B khoâng cuøng ñi ? c) Sao cho học sinh A và B cùng cùng không đi? Giaûi a) Chọn tùy ý 12 học sinh, là tổ hợp chập 12 phần tử Vaäy, coù : C12 = b) 12! 12.11.10.9 = = 11.5.9 = 495 caùch 4!8! 2.3.4 * Caùch : Nếu A, B cùng không đi, cần chọn 10 học sinh còn lại Đây là tổ hợp chập 10 phần tử, có : C10 = 10! 10.9.8.7 = = 10.3.7 = 210 caùch 4!6! 2.3.4 Neáu A ñi, B khoâng ñi, caàn choïn theâm 10 hoïc sinh coøn laïi coù : C10 = 10! 10.9.8 = = 5.3.8 = 120 caùch 3!7! 2.3 Lop12.net (10) Tương tự, B đi, A không đi, có : 120 cách Vaäy, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 210 + 120 +120 = 450 caùch * Caùch : Neáu A vaø B cuøng ñi, caàn choïn theâm 10 hoïc sinh coøn laïi, coù : C10 = 10! = 9.5 = 45 caùch 2!8! Suy ra, soá caùch choïn theo yeâu caàu laø : 495 – 45 = 450 caùch c) A vaø B cuøng ñi, coù C10 = 45 caùch A vaø B cuøng khoâng ñi, coù C10 = 210 caùch Vaäy coù : 45 + 210 = 255 caùch Bài 74 Một phụ nữ có 11 người bạn thân đó có nữ Cô ta định mời ít người 11 người đó đến dự tiệc Hỏi : a) Có cách mời ? b) Có cách mời để buổi tiệc gồm cô ta và các khách mời, số nam nữ baèng Giaûi a) Mời người 11 người, có : C11 caùch Mời người 11 người, có : C11 caùch Lập luận tương tự mời 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 11 người Vaäy, coù : 11 + … + C11 C11 + C11 11 = ( C11 + C11 + … + C11 ) – ( C11 + C11 + C11 ) = 211 – – 11 – 55 = 1981 caùch b) Mời nữ nữ, nam nam, có : C16 C25 cách Mời nữ nữ, nam nam, có : C26 C35 cách Mời nữ nữ, nam nam, có : C36 C54 cách Mời nữ nữ, nam nam, có : C64 C55 cách Lop12.net (11) Vaäy, coù : C16 C25 + C26 C35 + C36 C54 + C64 C55 = 325 caùch Bài 75 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho đề kiểm tra Hỏi có cách chọn ? Giaûi Đầu tiên, chọn 12 học sinh cho đề một, có C12 caùch Tiếp đến, chọn học sinh còn lại cho đề hai, có C84 cách Các học sinh còn lại làm đề ba Vaäy, coù : C12 C84 = 12! 8! 12.11.10.9 8.7.6.5 = 4!8! 4!4! 2.3.4 2.3.4 = (11.5.9).(7.2.5) = 34650 caùch Bài 76 Có 12 học sinh ưu tú trường trung học Muốn chọn đoàn đại biểu gồm người (gồm trưởng đoàn, thư ký, và ba thành viên) dự trại quoác teá Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ? Coù giaûi thích ? Đại học Quốc gia TP HCM 1997 Giaûi Số cách chọn trưởng đoàn : 12 Soá caùch choïn thö kyù : 11 = Soá caùch choïn thaønh vieân : C10 10! 10.9.8 = = 120 3!7! Số cách chọn đoàn đại biểu : 12 × 11 × 120 = 15 840 Bài 77 Một đoàn tàu có toa chở khách; toa I, II, III Trên sân ga có hành khách chuaån bò ñi taøu Bieát raèng moãi toa coù ít nhaát choã troáng Hoûi : a) Coù bao nhieâu caùch saép haønh khaùch leân toa b) Có bao nhiêu cách hành khách lên tàu để có toa đó có vị khaùch Đại học Luật Hà Nội 1999 Giaûi a) Đoàn tàu có toa ; hành khách lên toa nghĩa là lên tàu Mỗi khách có cách lên toa I II III Vậy số cách khách lên toa laø : Lop12.net (12) × × × = 81 caùch b) Soá caùch saép khaùch leân toa I : C34 = 4! = 3! Số cách khách còn lại lên toa II III : Vậy khách toa I thì có : × = cách Lập luận tương tự khách toa II, III là Vậy số cách thỏa yêu cầu bài toán : + + = 24 caùch Bài 78 Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó, 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít ? Tuyeån sinh khoái B 2004 Giaûi Số đề thi gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó 2 C15 C10 = 15! 10! × = 23625 2!13! 2!8! Số đề thi gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó C15 × 10 × C25 = 10 15! 5! = 10500 2!13! 2!3! Số đề thi gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó C15 × 10 × = 15! × 50 = 22750 3!12! Vì các cách chọn đôi khác nhau, nên số đề kiểm tra là : 23 625 + 10 500 + 22 750 = 56875 Bài 79 Một chi đoàn có 20 đoàn viên đó 10 nữ Muốn chọn tổ công tác có người Có bao nhiêu cách chọn tổ cần ít nữ Đại học Y Hà Nội 1998 Giaûi Số cách chọn đoàn viên bất kì C520 Số cách chọn đoàn viên toàn là nam C10 Lop12.net (13) Vậy số cách chọn có ít nữ là : C520 – C10 = 20! 10! – = 15252 caùch 5!15! 5!5! Bài 80 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư là tổ trưởng, công nhân làm tổ phó và công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhieâu caùch laäp toå coâng taùc Đại học Kiến trúc Hà Nội 1998 Giaûi Số cách chọn kỹ sư làm tổ trưởng : Soá caùch choïn coâng nhaân laøm toå phoù : 10 Soá caùch choïn coâng nhaân laøm toå vieân : C39 Vaäy soá caùch laäp toå : × 10 × C39 = × 10 × 9! = 2520 3!6! Bài 81 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn tốp ca gồm em đó có ít là em nam và em nữ Hỏi có bao nhieâu caùch choïn Cao ñaúng Sö phaïm Haø Noäi 1999 Giaûi Số cách chọn em nam và em nữ : C10 C10 Số cách chọn em nam và em nữ : C10 C10 Vậy số cách thỏa yêu cầu bài toán là : 2 C10 =2 C10 10! 10! 10 × × 10 × = 10.800 =2 3!7! 2!8! Bài 82 Một đội cảnh sát gồm có người Trong ngày cần người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm B còn lại người trực đồn Hỏi có bao nhiêu cách phaân coâng ? Học viện Kỹ Thuật Quân 2000 Giaûi Số cách phân công người A : C39 Số cách phân công người B : C26 Lop12.net (14) Số cách phân công người còn lại : Vaäy soá caùch phaân coâng laø : C39 C26 = 9! 6! 9! × 8× 7× × = = = 1260 3!6! 2!4! 3!2!4! 6×2 Bài 83 Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ và nhà Vật lí nam Muốn lập đoàn công tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà toán học lẫn vật lí Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn Đại học Y Hà Nội 2000 Giaûi Số cách chọn nhà Toán học nữ và nhà Vật lí nam là : C32 × = 3! × = 12 2! Số cách chọn nhà Toán học nữ và nhà Vật lí nam là : × C24 = × 4! 3.4.3 = = 18 2!2! Số cách chọn nhà Toán học nữ, nhà Toán học nam và nhà Vật lí nam là : × × = 60 Vậy có cách chọn đoàn công tác là : 12 + 18 + 60 = 90 Bài 84 Một đội văn nghệ có 10 người đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ : a) Thành nhóm có số người và nhóm có số nữ b) Có bao nhiêu cách chọn người đó không quá nam Hoïc vieän Chính trò 2001 Giaûi a) Do nhóm có số người nên nhóm phải có người Do số nữ nên nhóm phải có nữ Vậy nhóm phải có nữ và nam Soá caùch choïn laø : C36 C24 = 6! 4! × 5× 4×3 × = 20 × = 120 × = 3!3! 2!2! Lop12.net (15) b) Số cách chọn người toàn nữ là : C56 = 6! = 5! Số cách chọn nữ và nam là : C64 × = 6! 6×5 × 4= × = 60 4!2! Vậy số cách chọn người mà không quá nam : + 60 = 66 Bài 85 Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư đó lên bì thư đã chọn Một bì thư daùn tem thö Hoûi coù bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy Tuù taøi 1999 Giaûi Số cách chọn tem từ tem là C35 = 5! = 10 3!2! Số cách chọn bì thư từ bì thư là C36 = 6! = 20 3!3! Do các tem khác nhau, các bì thư khác nhau, nên số cách dán tem leân bì thö laø 3! = Vaäy soá caùch laøm laø : C35 C36 3! = 10.20.6 = 1200 caùch Bài 86 Một bài có 52 lá; có loại : cơ, rô, chuồn, bích loại có 13 lá Muốn lấy lá bài đó phải có đúng lá cơ, đúng lá rô và không quá lá bích Hoûi coù maáy caùch ? Giaûi Soá caùch choïn laù cô vaø laù roâ : C113 C13 caùch • Trường hợp : Chọn tiếp lá chuồn (nghĩa là không có lá bích nào) có : C13 caùch • Trường hợp : Chọn tiếp lá bích và lá chuồn có : 13 C13 caùch • 2 C13 caùch Trường hợp : Chọn tiếp lá bích và lá chuồn có : C13 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề toán : 2 13 C13 ( C13 + 13 C13 + C13 C13 ) = 39 102 206 caùch Bài 87 Có đường thẳng song song (d1) và (d2) Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt Trên (d2) lấy điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có đỉnh là các điểm đã lấy Lop12.net (16) Giaûi Ai (d1) Có hai loại tam giác tạo thành a) Moät ñænh treân (d1) vaø ñænh treân (d2) Bj Coù 15 caùch laáy ñænh treân (d1) Bk Coù C29 caùch laáy ñænh treân (d2) b) Ai Hai ñænh treân (d1) vaø ñænh treân (d2) Coù C15 caùch laáy ñænh treân (d1) Bk caùch laáy ñænh treân (d2) Aj (d2) (d1) (d2) Vaäy soá tam giaùc taïo thaønh : 15 C29 + C15 = 15 9! 15! + = 540 + 945 = 1485 2!7! 2!13! Bài 88 Một lớp có 20 học sinh đó có cán lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn người dự hội nghị trường cho đó có ít cán lớp Đại học Giao thông Vận tải 2000 Giaûi Số cách chọn người đó có cán lớp =2 × × C18 18! = 18 × 17 2!16! Số cách chọn người đó có cán lớp C118 = 18 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là : 18 × 17 + 18 = 182 = 324 Baøi 89 Coù 16 hoïc sinh goàm hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình Coù bao nhieâu caùch chia số học sinh thành tổ, tổ có người, có học sinh giỏi và ít hoïc sinh khaù Học viện Quân 2001 Giaûi Lop12.net (17) Vì tổ có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi tổ là hay Vì tổ có ít học sinh khá nên số học sinh khá tổ hay Do đó xem số học sinh giỏi, khá, trung bình tổ là tọa độ vectơ chiều ta có trường hợp tổ là (1, 2, 5) (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) Tương ứng trường hợp tổ là : (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 4), (1, 2, 5) Ta thấy có trường hợp bị trùng Vậy có trường hợp là : Trường hợp : Số cách chọn tổ nào đó có giỏi, khá và trung bình là : × C25 × C85 Vậy tổ còn lại có giỏi, khá, trung bình thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp : Soá caùch choïn moät toå coù gioûi, khaù vaø trung bình laø : × C35 × C84 Vậy tổ còn lại có giỏi, khá và trung bình thỏa yêu cầu bài toán Do đó số cách chia học sinh làm tổ thỏa yêu cầu bài toán là : C25 C85 + C35 C84 = 5! ⎛ 8! 8! ⎞ + ⎜ ⎟ = 3780 2!3! ⎝ 5!3! 4!4! ⎠ Bài 90 Một người có 12 cây giống đó có cây xoài, cây mít và cây ổi Người đó muốn chọn cây giống để trồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho a) Mỗi loại có đúng cây b) Mỗi loại có ít cây Trường Hàng không 2000 Giaûi a) Số cách chọn cây xoài cây xoài : C26 Soá caùch choïn caây mít caây mít : C24 Soá caùch choïn caây oåi caây oåi : Vậy số cách chọn mà loại đúng cây : C26 C24 = 90 cách b) Chọn cây ổi, mít, xoài : × × = 12 caùch Chọn ổi, mít và xoài có : C34 C26 = × × 15 = 120 caùch Lop12.net (18) Chọn ổi, mít và xoài có : C24 C36 = 240 caùch Chọn ổi, mít và xoài có : × × C64 = 120 caùch Chọn ổi, mít và xoài có : × C34 × = 24 caùch Chọn ổi, mít và xoài có : × C24 × C26 = 90 caùch Chọn ổi, mít và xoài có : × × C36 = 80 caùch Vậy số cách chọn mà loại có ít cây là : 12 + 120 + 240 + 120 + 24 + 90 + 80 = 686 caùch Bài 91 Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác và phải có ít nữ Đại học Huế 2000 Giaûi Số cách chọn học sinh bất kì nam hay nữ : C645 = 45! = 8145060 6!39! Số cách chọn học sinh toàn nam : C30 = 30! = 593775 6!24! Số cách chọn nam và nữ : C30 × 15 = 30! × 15 = 2137590 25!5! Vậy có số cách chọn học sinh đó phải có ít nữ + 15 C30 ) = 5413695 caùch C645 – ( C30 Bài 92 Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn các phần tử Đại học Nông nghiệp khối B 2000 Giaûi Khi tập X có n phần tử thì số tập X có k phần tử là Ckn Do đó n = 10 thì : Số tập X có phần tử là C10 Số tập X có phần tử là C10 Số tập X có phần tử là C10 Lop12.net (19) Số tập X có phần tử là C10 Số tập X có 10 phần tử là C10 10 Vậy số tập thỏa yêu cầu bài toán là : S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 10 ⇔ S = C10 + C10 + (do C10 = C10 vaø C10 = C10 ) ⇔ S = 10! 10! + + = 511 2!8! 4!6! Bài 93 Một tổ sinh viên có 20 em Trong đó có em biết nói tiếng Anh, em biết tiếng Pháp và em biết tiếng Đức Cần chọn nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp và em biết tiếng Đức Hỏi có bao nhiêu caùch laäp nhoùm Đại học Sư phạm Vinh 1999 Giaûi Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Anh : C83 Soá caùch laäp nhoùm sinh vieân bieát tieáng Phaùp: C74 Số cách lập nhóm sinh viên biết tiếng Đức : C52 Vậy số cách lập thỏa yêu cầu bài toán là : C83 × C74 × C52 = 8! 7! 5! × × = 1960 caùch 3!5! 4!3! 2!3! Bài 94 Trong hộp có cầu xanh, cầu đỏ và cầu vàng , các cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho cầu chọn có đủ màu Đại học Nông lâm khối D 2001 Giaûi Số cách chọn cầu xanh, đỏ, vàng là : C72 C15 C14 = 420 Số cách chọn cầu xanh, đỏ và vàng là : C17 C52 C14 = 280 Số cách chọn cầu xanh, đỏ và vàng là : C17 C15 C 24 = 210 Vậy số cách chọn cầu đủ màu là : 420 + 280 + 210 = 910 Lop12.net (20) Bài 95 Một hộp chứa bi trắng và bi đen Hỏi có cách lấy bi : a) b) maøu tuøy yù ? goàm bi traéng vaø bi ñen ? Giaûi a) Lấy bi màu tùy ý từ 11 bi là tổ hợp chập 11 phần tử Vaäy coù : b) C11 = 11! 8.9.10.11 = = 3.10.11 = 330 caùch 4!7! 2.3.4 Lấy bi trắng bi trắng là tổ hợp chập phần tử Lấy bi đen bi đen là tổ hợp chập phần tử Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là : C62 C52 = 6! 5! = 15.10 = 150 caùch 2!4! 2!3! Bài 96 Một hộp có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng đánh số từ đến a) Coù bao nhieâu caùch laáy quaû caàu cuøng maøu, quaû caàu cuøng soá b) Coù bao nhieâu caùch laáy quaû caàu khaùc maøu ? quaû caàu khaùc maøu vaø khaùc soá Đại học Dân lập Thăng Long 1999 Giaûi a) • Soá caùch laáy quaû caàu cuøng xanh : C36 = 6! = 20 3!3! Số cách lấy cầu cùng đỏ : C35 = 5! = 10 3!2! Soá caùch laáy quaû caàu cuøng vaøng : C34 = Vaäy soá caùch laáy quaû caàu cuøng maøu : • Soá caùch laáy quaû caàu cuøng soá : Soá caùch laáy quaû caàu cuøng soá : Soá caùch laáy quaû caàu cuøng soá : Soá caùch laáy quaû caàu cuøng soá : Vaäy soá caùch laáy quaû caàu cuøng soá : Lop12.net 4! =4 3! C36 + C35 + C34 = 34 (21)