Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài báo này chúng tôi đã xây dựng công thức tường minh cho các biên khung dưới tối ưu, biên khung trên tối ưu trong không gian Hilbert tổng quát và đưa ra ví dụ áp [r]
(1)96 Tăng Tấn Đông VỀ BIÊN KHUNG TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
ON THE OPTIMAL FRAME BOUNDS IN A HILBERT SPACE Tăng Tấn Đơng
HVCH Tốn giải tích K34, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng; tangtandong@gmail.com
Tóm tắt - Một dãy vectơ ={fk}k=1 không gian Hilbert gọi khungcủa không gian tồn
hằng số Avà B, 0AB cho
2 2
1
| , | || ||
k
A f f fk B f f
=
‖ ‖ Các số
,
A B tương ứng gọi biên khung dưới biên khung trên Ta gọi biên khung tốt nhất supremum tất biên khung dưới, biên khung tốt nhất infimum tất biên khung Các biên khung tốt có ý nghĩa quan trọng Trong báo này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho biên khung tốt đưa ví dụ áp dụng
Abstract - A sequence ={fk}k=1of elements in Hilbert space is a frame for if there exist constantsAand B, 0AB so
that 2
1
| , | || ||
k
A f f fk B f f
=
‖ ‖ The numbers
,
A B are called lower frame bound and upper frame bound The optimal lower frame bounds are in the supremum over all lower frame bounds, and the optimal upper frame bounds are in the infimum over all upper frame bounds Evidently frame bounds optimal have very important meaning In this article, we construct formulae of the optimal bounds for a frame in a Hilbert space and give an example to apply these formulae
Từ khóa - Khung khơng gian Hilbert; khung; biên khung;
Không gian Hibert; biên khung tốt Key words - Hilbert space; optimal frame bounds Frame in a Hilbert space; Frame; Frame bound;
1.Mở đầu
Một khái niệm quan trọng khơng gian vectơ sở, vectơ không gian biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc sở Chẳng hạn như, ta xét không gian vectơ hữu hạn chiều Nếu{fk k}N=1là sở khơng gian , vectơ f có biểu diễn dạng
1 ( )
N
k k
k
f c f f
=
= (1)
và hệ số ck( )f nhất, chúng phụ thuộc f Chính vậy, hệ vectơ sở khơng gian tuyến tính thường xem các khối xây dựng (elementary building blocks) Tuy nhiên, yêu cầu
hệ vectơ tạo thành sở lại chặt chẽ, mà địi hỏi phải độc lập tuyến tính Thậm chí
là khơng gian Hilbert người ta cịn địi hỏi chúng phải sở trực chuẩn, từ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại) ta sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt chuẩn hóa để sở trực chuẩn Khái niệm "khung" xuất nhằm làm giảm thiểu yêu cầu khắt khe độc lập tuyến tính hệ vectơ, nhờ mà có nhiều ứng dụng Ta nói dãy vectơ ={fk k}=1 khơng gian Hilbert gọi khung (frame) không gian này, tồn số Avà B,
0A B sao cho
2 2
1
,
| , k |
k
A f f f B f f
=
‖ ‖ ‖ ‖ (2)
Các sốA B, 0trong (2) tương ứng gọi
biên khung dưới biên khung trên Rõ ràng biên
khung không Ta gọi biên khung tốt (the optimal lower frame bound) supremum tất
các biên khung dưới, biên khung tốt (the optimal upper frame bound) infimum tất biên khung
Hiển nhiên, biên khung tốt có ý nghĩa quan trọng, mặt ta thu hệ số tính tốn "tiết kiệm" nhất, mặt khác giá trị cho biết dãy
1 {fk k}=
= khơng gian Hilbert có khung hay khơng Thật vậy, ta kí hiệu biên khung tốt biên khung tốt up low hai điều kiện up =0 low= xảy ra, lúc dãy khung
Trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2] [3], đưa định nghĩa biên khung tốt nhất, chưa thấy tài liệu xây dựng công thức cho biên khung tốt dạng tổng quát Trong nghiên cứu này, tác giả giới thiệu công thức tổng quát cho biên khung tốt đưa ví dụ áp dụng
2.Biên khung tốt
Ta thấy rằng, biên khung tốt up 0phải thỏa mãn hai điều kiện sau hai điều kiện gọi hai
điều kiện đặc trưng biên khung tốt
(a) 2
1
| , j | up ;
j
f f f f
=
‖ ‖
(b) Nếu có B0thỏa mãn
2
1
, |
| j
j
f f B f f
=
‖ ‖ up B
Như vậy, biên khung tốt up dãy khung
2
1
inf{ : | , | }
up j
j
B f f B f f
=
(2)ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 1.1, 2019 97
Tiếp theo, biên khung tốt dãy khung
low , phải thỏa mãn hai điều kiện sau hai điều kiện
này gọi hai điều kiện đặc trưng biên khung tốt
(c) 2
1
|
, | ;
low j
j
f f f f
=
‖ ‖
(d) Nếu có A0thỏa mãn
2
1
, |
| j
j
A f f f f
=
‖ ‖ A low
Và ta có biên khung tốt khung
2
1
sup{ : | , | }
low j
j
A A f f f f
=
= ‖ ‖
Định lý Nếu ={f j}j=1là khung khơng gian Hilbert , thì:
(a) Biên khung tốt khung
( )
1
2
0
2
1
|
3
, |
sup sup{ , | }
sup{ , | }
|
|
j j
up j
f f
j j f
j f f
f f f
f f
=
= =
=
= =
=
‖ ‖
(b) Biên khung tốt khung
( )
1
2
0 1
2
1
4
, |
inf inf { , | }
{ , | } |
|
inf |
j j
low j
f f j
j
f j
f f
f f f
f f
=
=
= =
= =
=
‖ ‖
Chứng minh:
(a) Theo tính chất (a) đặc trưng cận tốt nhất,
ta có 2
1
, |
| j up
j
f f f
=
‖ ‖
Từ
2
2
| , j |
j up
f f
f f
=
‖ ‖
Vì
2
1
2
0
, | , |
sup sup
| j | j
j j
up
f f
f f f f
f f
= =
‖ ‖ ‖ ‖
( )
2
1
1
sup | , j | sup | , j |
j j
f f
f f f f
= =
=
Lấy
1
sup | , j |
j f
B f f
= =
= Ta kiểm tra bất đẳng thức
2
1
, |
|
j j
f f B f f
=
‖ ‖ (6)
Nếu bất đẳng thức (6) đúng, từ tính chất (b) đặc trưng biên khung tốt up, ta suy B up (5) thực đẳng thức, ta có đẳng thức (3) cần chứng minh
Như vậy, ta cần kiểm tra tính chất (6) Nếu f =0 bất đẳng thức (6) hiển nhiên, cịn f 0 ta có (6)
2 2
1
, | | ,
| j |
j j
f
f f f fj B f
f
= =
=‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
(b) Theo (c) ta có 2
1
| , |
low j
j
f f f
=
‖ ‖ với
f Từ
2
2
, |
|
0
j j
low
f f
f f
=
‖ ‖
Vì
( )
0 || ||
||
2
1
2
2
|| 1 || | 1|
, | , |
, | , |
| |
inf inf
inf | inf |
j j
j j
j j
j j
low
f f
f f
f f f f
f f
f f f f
= =
=
=
=
‖ ‖ ‖ ‖
Lấy
1
inf | , j |
f j
A f f
= =
= ta kiểm tra bất đẳng thức
2
1
, |
| j
j
A f f f f
=
‖ ‖ (8)
Nếu bất đẳng thức (8) đúng, từ tính chất (d) đặc trưng biên khung tốt lowta suy A lowvà (7) thực đẳng thức, ta có đẳng thức (4) cần chứng minh
Vậy ta cần kiểm tra cơng thức (8) Nếu f =0thì bất đẳng thức (8) hiển nhiên, cịn nếuf 0 ta có (8)
2 2
1
, | | , |
| j j
j j
f
f f f f A f
f
= = =
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
Như vậy, định lý chứng minh hồn tồn
3.Kỹ thuật tìm biên khung tốt
Từ công thức tính biên khung tốt (3) (4) ứng với upvà low nói trên, ta thu thuật tốn tính chúng sau
3.1.Tìm up
Để chứng minh up = ta thường làm sau (i) Trước hết ta chứng minh
2
1
, |
| j
j
f f f f
=
(3)98 Tăng Tấn Đơng
Theo (b) ta có up
(ii) Tiếp theo ta tìm g với ‖ g‖=1mà
1
, | ,
| j
j
g f
=
từ (3) ta suy ra up Từ hai bất đẳng
thức ta thu up = 3.2.Tìm low
Để chứng minh low =ta thường làm sau (i) Trước hết chứng minh
2
1
, |
| j
j
f f f f
=
‖ ‖
thì từ (d) suy low
(ii) Tiếp theo ta tìm h với ‖ ‖h =1mà
1 ,
| j | ,
j
h f
=
từ (4) suy low.Từ hai bất đẳng
thức ta thu low=
4.Ví dụ áp dụng
Giả sử
1 1/ 2 3/
/
1 1
{ } { , , , , , ,
2 , , , },
2
2 2
k k
n n n
F f e e e e e e
e e
=
= =
ở { }ek k=1 sở trực chuẩn Do Fchứa sở trực chuẩn { }ek k=1 tập thực sở này, nên Flà khung Ta có
2 2
1 1
1
, | , | | ,
2
| |
| k k k
k k k
f f f e f ek
= = = + =
Rõ ràng
2 2
1 1
2 2
1
1
, | , | | ,
| | |
2
| , |
2
k k k k
k k k
k k k
f f f e f e
f f e f
= = =
=
= +
=‖ ‖ + ‖ ‖
và
2 2
1 1
2 2
1
1
2
| , | | , | 1| ,
2
| | , |
k k k k
k k k
k k
f f f e f e
f f e f
= = =
=
= +
‖ ‖ + = ‖ ‖
cho nên
2 2
1
3
, |
| k
k
f f f f
=
‖ ‖ ‖ ‖
Nghĩa F ={fk}k=1là khung với biên khung và / 2tương ứng Vậy
3
1
low up
F F (9)
Ta biên tốt Flow =1và biên tốt Fup =3 / Thật vậy, với f =e1thì
1 f =
‖ ‖ 1 1 1 1
1
1
2
| | | | |
| , k , , ,
k
f f e e e e
= = + =
nên theo định nghĩa supremum ta có Fup 3 / 2và kết hợp với (9) ta suy Fup =3 /
Tiếp theo, f =envới n ‖ f ‖=1và
2 2
1
1
| | |
| , , ,
2 | |
k n n n n n
k n
f f e e e e
= = + = +
Do đẳng thức với n nên từ định
nghĩa infimum ta suy Flow 1 Vậy kết hợp với (9) ta có Flow =1
5.Kết luận
Trong báo xây dựng công thức tường minh cho biên khung tối ưu, biên khung tối ưu không gian Hilbert tổng quát đưa ví dụ áp dụng cho công thức
Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Nhụy, Đại học Quốc gia Hà Nội, đưa dẫn để viết báo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Christensen, H., What is a Frame?, Notices the AMS, Volume 60, Number 6, 2016
[2] Christensen, O., An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second Edition, Birkhaeuser, 2015
[3] Hernandez, E., Weiss, G., A First Course on Weiveles, Boca Raton, New York, 1996
[4] Heuser, H., Functional Analysis, Wiley, New York, 1982 [5] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2015
[6] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003