Luyện tập môn Toán 12 - Chương II: Hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit

Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó... Các dạng bài tập.[r]

GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LŨY THỪA I Lý thuyết Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với a  R; n  N * ta có: +) a n  a.a a +) Với a  : a  n  n ; a  a +) Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên: Với a; b  R* ; m, n  Z ta có: n am an m a a a  a ; n  a mn ;  ab   a m b m ;    n ; a m a b b n n n n Nếu  a  b thì a  b n  ; a  b n  m m n n   n  a m n Nếu a  và m  n thì a m  a n (mũ càng lớn thì càng lớn) Nếu  a  và m  n thì a m  a n (mũ càng lớn thì càng nhỏ) 10 4 1 1 VD1: Tính giá trị biểu thức sau: A    27 3   0,  252  1281   3 2   a 2  a 3   1 VD2: Rút gọn biểu thức: B   a  0; a  1  1 a   a 2  a   VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây:   5 6 a/   và   4 5 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a là số thực dương và r  9 8 b/   9 2 7 và   8 2 m m ; m  Z , n  N ; n  ta định nghĩa: a r  a n  n a m n Lũy thừa với số mũ vô tỉ Với a là số thực dương và  là số vô tỉ, dãy số  rn  : rn   thì a  lim a rn n  Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là các số nguyên dương;  ;  là các số thực tùy ý Khi đó: +) a a   a   a  a   a +) a   a.b    a       a a +) Nếu a  thì a  a      +) Nếu   thì a  b  a  b  VD1: Rút gọn biểu thức: a/ A  a 1 .a 2 a  2 2  +) +) a a     b b Nếu  a  thì a  a      Nếu   thì a  b   a  b a   b/ B  1  a  0 a 3 1 .a 4  a  0 VD2: Rút gọn biểu thức: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net GV: Nguyễn Ngọc Hóa 1   1    x2  y x2  y  2  a/ A   y x 2 1     x2  y2 x2  y2    b/ B  x2  y2 1 x2 y2   x  y (x   x y y2 )  Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit  x, y  0; x  y  y x y ĐS: B   x, y  0, x  y  x y ĐS: A  II Các dạng bài tập Bài toán1: Tính giá trị biểu thức VD1: Thực phép tính a/ c/  32  27 b/ 9 6 3  3  27 9.33 1 d/    16  0,75 1   8  VD2: Thực phép tính 5   52    b/      0,       5 a/ : 64  81 4 VD3: Thực phép tính a/ 3  1 .2 c/ 251 .2 4   52 e/ 27   2  2  b/ .51 22 5.31 d/  0, 001  22.64   3   3   8 63    f/  0,5   6250,25  4 VD4: Tính giá trị các biểu thức sau:      a/ M   2  b/ N  24 : 27 .31 Bài toán2: Chứng minh đẳng thức VD1:Chứng minh các đẳng thức sau: a/ c/  20   42  1 10  VD2: Chứng minh rằng: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net b/  d/ 94  2  52  95 3 1  95 3 1 GV: Nguyễn Ngọc Hóa a/ c/ Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit    1 b/ 7  7  42  42  d/  80   80  ĐS: a  b   VD3: Cho a   10  ; b   10  Tính a  b   a4b a b  VD3: Chứng minh rằng: a b a4b VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng? a) 9x y  3x y  (5  2a)2  5  2a b) c) 27a6b9  3a2b3 VD5: Có thể viết ( 27)1/3  27  3 không? Bài toán3: Rút gọn biểu thức VD1: Rút gọn các biểu thức sau: 1 a/ A  a   a 1 b/ B  x x : x 4   b b   12 c/ C  1    :  a  b  a a     a  1 a  a  e/ E  a  a  a  3 3 3 d/ D  a4  a4  b   b2  a a b2  b a 2   1  ( b )  a f/ F  ( a  b )  ab 1 1 VD2: Đơn giản các biểu thức sau: a/ A  a a a a : a  a  a 1 a   3a 1  b/ Q    ;(a  0; a  1; a  ) 1     a2  a   2a  3a 12 VD3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1        A   3 :  : 16 : (5 3.2         B= a2  b2 (a  ab) : a 2 3 ab a a b b ; với a  và b  5    3  và b  C   a b(ab  ) (a 1 )  ; với a  2   VD4: Chứng minh các đẳng thức sau: a  a2  a2   0 a/ a  b/ a  a 4b  b  a 2b  ( a  b )3 1   a2  a a2  a a2 VD5: Trục thức mẫu: 1 a/ b/ 2 2 3 Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net GV: Nguyễn Ngọc Hóa c/ 33 Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit 233 d/ Bài toán4: So sánh các biểu thức PP: +) Đưa cùng số và so sánh số mũ +) Đưa cùng số mũ và so sánh số +) So sánh với cùng số trung gian VD1: So sánh   a/    3 c/    1   và    3 và   b/ 3  1 và 3  3 d/     2  1 và   2  VD2: So sánh 1   3   1 a/   và 82 b/  và   4  3 2 PP: Đưa cùng số và so sánh số mũ VD3: So sánh a/ 3 và 4 b/ và 3 c/ và PP: Đưa cùng thức cùng bậc và so sánh biểu thức VD4: So sánh a/  30 và 63 b/  15 và 28  10 PP: So sánh trung gian VD5: So sánh: a/ 3111 và 1714 b/ 210000 và 103000 VD6: Tìm x thỏa mãn điều kiện sau: a/ x  1 c/   3 x2 1   3 b/ 33 x1  x 1 d/ x.3x1  36 BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA I Lý thuyết Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y  x ;   R gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định: +) Nếu  nguyên dương thì TXĐ là R +) Nếu  nguyên âm thì TXĐ là R \ 0 +) Với  không nguyên thì TXĐ là  0;   VD: Tìm TXĐ hàm số Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net 1 GV: Nguyễn Ngọc Hóa  a/ y  x   Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit 2 b/ y  1  x  Đạo hàm hàm số lũy thừa  x  '   x 1  u  '   u   1 c/ y  x  2  1  x  .u ' Khảo sát hàm số lũy thừa y  x     y  x     Tập khảo sát:  0;   Tập khảo sát:  0;   Sự biến thiên: y '   x 1  0x  nên hàm số đồng biến trên  0;   Sự biến thiên: y '   x 1  0x  nên hàm số nghịch biến trên  0;   Giới hạn đặc biệt: lim x  0; lim x   Giới hạn đặc biệt: lim x  ; lim x  Tiệm cận: không có tiệm cận Tiệm cận: x  là tiệm cận đứng, y  là tiệm cận ngang Bảng biến thiên: x  y'  y x  x 0 Bảng biến thiên: x y'  +  y x  x 0 Đồ thị Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa y  x luôn qua điểm 1;1 y  1 Chú ý: Khảo sát biến thiên hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định hàm số đó  1  1  0  0 II Các dạng bài tập Bài toán1: Tìm TX Đ hàm số VD1: Tìm TX Đ các hàm số sau: a/ y  x   x    3 d/ y  x  x   b/ y  x  x  e/ y   x  3  2  x c/ y  x  x  2  f/ y  x    VD2: Tìm TX Đ các hàm số sau: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net 5 x GV: Nguyễn Ngọc Hóa  a/ y  x3  x Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit   b/ y  x  x    c/ y  x     x  Bài toán2: Tính đạo hàm hàm số lũy thừa VD1: Tính đạo hàm các hàm số sau: b/ y  a/ y  x  x  1   x  15 c/ y  x x 1 c/ y  x3  x  3 x VD2: Tính đạo hàm các hàm số sau:  x 1 d/ y   x x b/ y   x  3  a/ y  x   e/ y  x  x  f/ y  y = x2  3  x  Bài toán3: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ a/ y  x và y  x3 b/ y  x và y  x 2 y y y = x2 y = 1/x2 x -2 -1 2 x y = 1/x2 -1 -4 -2 -2 -2 VD2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a/ y  x 3 b/ y  x  c/ y  x2 VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y  x5 và y  x b/ y  x 5 và y  x 5 BÀI3: LOGARIT Khởi động: Tìm x để Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net   GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit b/  a/  x 1 d/      125 c/  27 x x x Như cho a là số dương ta có hai bài toán trái ngược có PT: a  b : +) Cho  tính b +) Cho b tính  x Vấn đề: Tìm x để :  ? I Khái niệm logarit Định nghĩa: Cho số dương a và b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi là logarit số a b và kí hiệu là:   log a b Như vậy:  a, b  0; a  1   log a b  a  b 1 b/ log  2 vì 32  9 log VD1: a/ log  vì  VD2: Tính log c/ log  vì 4  Chú ý: Không có logarit số âm và số Tính chất Từ các tính chất lũy thừa: a  1; a1  a  a  0; a  1 ta suy các tính chất tương ứng logarit Cho số dương a và b  a  1 ta có các tính chất sau: log a  0;log a a  1; a log a b  b; log a a    VD1: a/ 32log3  3log3 VD2: Tính a/ log   52  25 b/ log 1 b/   9 27 log3  log 81  log 23  3 c/ log  3log9 2 II Quy tắc tính logarit Logarit tích ĐL1: Cho số dương a, b1; b2 với a  ta có: log a  b1b2   log a b1  log a b2 VD1: Tính log 12  log  log 12.3  log 36  VD2: Tính log  log 2 1  1 9  log  log  log  log  log  log    log  3  3 8 2 2 2 2 Logarit thương ĐL2: Cho số dương a; b1; b2 với a  ta có: log a b1  log a b1  log a b2 b2 27  log3  log3 27  log3  log3  log3    Cách khác? 4  log VD2: Tính log 35 Logarit lũy thừa Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định VD1: Tính log3 Lop12.net GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit ĐL3: Cho số dương a; b với a  Với  ta có: log a b   log a b log a n b  log a b n 1 1 VD1: Tính log3  log3 12  log3   log3  log3    3 3 VD2: Tính log5  log5 12  log5 50 ĐS: 2 III Đổi số log c b ĐL4: Cho số dương a, b, c  a  1; c  1 Khi đó ta có: log a b  ; log c b  log c a.log a b log c a 1 ; log a b.logb a  và log a k b  log a b ; log a n b n  log a b Đặc biệt: log a b  logb a k VD1: a/ log VD2: a/ 2  log log  log  b/ log 22  log 22 2 log log 3 b/ 27  log  log  log 22  log3 3 2   3 VD3: log 3.log9  log 3.log32 23  log 3.log3  2 IV Áp dụng VD1: Tính a/ 2log 15 b/ log3 log VD2: Tính A  log  log 400  3log 45 ĐS: A  4 VD3: a/ Cho a  log Tính log 1250 theo a ĐS: b/ Cho a  log Tính 3 theo a log 1000 1  4a  a ĐS:  a  1 VD4: Rút gọn biểu thức: A  log  log9 49  log 3 ĐS: 3log3 V Logarit thập phân và logarit tự nhiên Logarit thập phân +) Là logarit số 10 Kí hiệu là log10 a ; log a;lg a Logarit tự nhiên n  1 +) Kí hiệu e  lim 1    2, 718 281828  n +) Logarit tự nhiên là logarit số e: log e b  ln b Chú ý: Tính logarit số khác 10 và khác e máy tính bỏ túi ta sử dụng công thức đổi số lg ln VD: log  log  lg ln Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net