Đang tải... (xem toàn văn)
Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó... Các dạng bài tập.[r]
(1)GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LŨY THỪA I Lý thuyết Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với a R; n N * ta có: +) a n a.a a +) Với a : a n n ; a a +) Tính chất lũy thừa với số mũ nguyên: Với a; b R* ; m, n Z ta có: n am an m a a a a ; n a mn ; ab a m b m ; n ; a m a b b n n n n Nếu a b thì a b n ; a b n m m n n n a m n Nếu a và m n thì a m a n (mũ càng lớn thì càng lớn) Nếu a và m n thì a m a n (mũ càng lớn thì càng nhỏ) 10 4 1 1 VD1: Tính giá trị biểu thức sau: A 27 3 0, 252 1281 3 2 a 2 a 3 1 VD2: Rút gọn biểu thức: B a 0; a 1 1 a a 2 a VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây: 5 6 a/ và 4 5 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a là số thực dương và r 9 8 b/ 9 2 7 và 8 2 m m ; m Z , n N ; n ta định nghĩa: a r a n n a m n Lũy thừa với số mũ vô tỉ Với a là số thực dương và là số vô tỉ, dãy số rn : rn thì a lim a rn n Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là các số nguyên dương; ; là các số thực tùy ý Khi đó: +) a a a a a a +) a a.b a a a +) Nếu a thì a a +) Nếu thì a b a b VD1: Rút gọn biểu thức: a/ A a 1 .a 2 a 2 2 +) +) a a b b Nếu a thì a a Nếu thì a b a b a b/ B 1 a 0 a 3 1 .a 4 a 0 VD2: Rút gọn biểu thức: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net (2) GV: Nguyễn Ngọc Hóa 1 1 x2 y x2 y 2 a/ A y x 2 1 x2 y2 x2 y2 b/ B x2 y2 1 x2 y2 x y (x x y y2 ) Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit x, y 0; x y y x y ĐS: B x, y 0, x y x y ĐS: A II Các dạng bài tập Bài toán1: Tính giá trị biểu thức VD1: Thực phép tính a/ c/ 32 27 b/ 9 6 3 3 27 9.33 1 d/ 16 0,75 1 8 VD2: Thực phép tính 5 52 b/ 0, 5 a/ : 64 81 4 VD3: Thực phép tính a/ 3 1 .2 c/ 251 .2 4 52 e/ 27 2 2 b/ .51 22 5.31 d/ 0, 001 22.64 3 3 8 63 f/ 0,5 6250,25 4 VD4: Tính giá trị các biểu thức sau: a/ M 2 b/ N 24 : 27 .31 Bài toán2: Chứng minh đẳng thức VD1:Chứng minh các đẳng thức sau: a/ c/ 20 42 1 10 VD2: Chứng minh rằng: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net b/ d/ 94 2 52 95 3 1 95 3 1 (3) GV: Nguyễn Ngọc Hóa a/ c/ Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit 1 b/ 7 7 42 42 d/ 80 80 ĐS: a b VD3: Cho a 10 ; b 10 Tính a b a4b a b VD3: Chứng minh rằng: a b a4b VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng? a) 9x y 3x y (5 2a)2 5 2a b) c) 27a6b9 3a2b3 VD5: Có thể viết ( 27)1/3 27 3 không? Bài toán3: Rút gọn biểu thức VD1: Rút gọn các biểu thức sau: 1 a/ A a a 1 b/ B x x : x 4 b b 12 c/ C 1 : a b a a a 1 a a e/ E a a a 3 3 3 d/ D a4 a4 b b2 a a b2 b a 2 1 ( b ) a f/ F ( a b ) ab 1 1 VD2: Đơn giản các biểu thức sau: a/ A a a a a : a a a 1 a 3a 1 b/ Q ;(a 0; a 1; a ) 1 a2 a 2a 3a 12 VD3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 A 3 : : 16 : (5 3.2 B= a2 b2 (a ab) : a 2 3 ab a a b b ; với a và b 5 3 và b C a b(ab ) (a 1 ) ; với a 2 VD4: Chứng minh các đẳng thức sau: a a2 a2 0 a/ a b/ a a 4b b a 2b ( a b )3 1 a2 a a2 a a2 VD5: Trục thức mẫu: 1 a/ b/ 2 2 3 Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net (4) GV: Nguyễn Ngọc Hóa c/ 33 Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit 233 d/ Bài toán4: So sánh các biểu thức PP: +) Đưa cùng số và so sánh số mũ +) Đưa cùng số mũ và so sánh số +) So sánh với cùng số trung gian VD1: So sánh a/ 3 c/ 1 và 3 và b/ 3 1 và 3 3 d/ 2 1 và 2 VD2: So sánh 1 3 1 a/ và 82 b/ và 4 3 2 PP: Đưa cùng số và so sánh số mũ VD3: So sánh a/ 3 và 4 b/ và 3 c/ và PP: Đưa cùng thức cùng bậc và so sánh biểu thức VD4: So sánh a/ 30 và 63 b/ 15 và 28 10 PP: So sánh trung gian VD5: So sánh: a/ 3111 và 1714 b/ 210000 và 103000 VD6: Tìm x thỏa mãn điều kiện sau: a/ x 1 c/ 3 x2 1 3 b/ 33 x1 x 1 d/ x.3x1 36 BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA I Lý thuyết Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y x ; R gọi là hàm số lũy thừa Tập xác định: +) Nếu nguyên dương thì TXĐ là R +) Nếu nguyên âm thì TXĐ là R \ 0 +) Với không nguyên thì TXĐ là 0; VD: Tìm TXĐ hàm số Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net 1 (5) GV: Nguyễn Ngọc Hóa a/ y x Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit 2 b/ y 1 x Đạo hàm hàm số lũy thừa x ' x 1 u ' u 1 c/ y x 2 1 x .u ' Khảo sát hàm số lũy thừa y x y x Tập khảo sát: 0; Tập khảo sát: 0; Sự biến thiên: y ' x 1 0x nên hàm số đồng biến trên 0; Sự biến thiên: y ' x 1 0x nên hàm số nghịch biến trên 0; Giới hạn đặc biệt: lim x 0; lim x Giới hạn đặc biệt: lim x ; lim x Tiệm cận: không có tiệm cận Tiệm cận: x là tiệm cận đứng, y là tiệm cận ngang Bảng biến thiên: x y' y x x 0 Bảng biến thiên: x y' + y x x 0 Đồ thị Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa y x luôn qua điểm 1;1 y 1 Chú ý: Khảo sát biến thiên hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định hàm số đó 1 1 0 0 II Các dạng bài tập Bài toán1: Tìm TX Đ hàm số VD1: Tìm TX Đ các hàm số sau: a/ y x x 3 d/ y x x b/ y x x e/ y x 3 2 x c/ y x x 2 f/ y x VD2: Tìm TX Đ các hàm số sau: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net 5 x (6) GV: Nguyễn Ngọc Hóa a/ y x3 x Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit b/ y x x c/ y x x Bài toán2: Tính đạo hàm hàm số lũy thừa VD1: Tính đạo hàm các hàm số sau: b/ y a/ y x x 1 x 15 c/ y x x 1 c/ y x3 x 3 x VD2: Tính đạo hàm các hàm số sau: x 1 d/ y x x b/ y x 3 a/ y x e/ y x x f/ y y = x2 3 x Bài toán3: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ a/ y x và y x3 b/ y x và y x 2 y y y = x2 y = 1/x2 x -2 -1 2 x y = 1/x2 -1 -4 -2 -2 -2 VD2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số a/ y x 3 b/ y x c/ y x2 VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ y x5 và y x b/ y x 5 và y x 5 BÀI3: LOGARIT Khởi động: Tìm x để Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net (7) GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit b/ a/ x 1 d/ 125 c/ 27 x x x Như cho a là số dương ta có hai bài toán trái ngược có PT: a b : +) Cho tính b +) Cho b tính x Vấn đề: Tìm x để : ? I Khái niệm logarit Định nghĩa: Cho số dương a và b với a Số thỏa mãn đẳng thức a b gọi là logarit số a b và kí hiệu là: log a b Như vậy: a, b 0; a 1 log a b a b 1 b/ log 2 vì 32 9 log VD1: a/ log vì VD2: Tính log c/ log vì 4 Chú ý: Không có logarit số âm và số Tính chất Từ các tính chất lũy thừa: a 1; a1 a a 0; a 1 ta suy các tính chất tương ứng logarit Cho số dương a và b a 1 ta có các tính chất sau: log a 0;log a a 1; a log a b b; log a a VD1: a/ 32log3 3log3 VD2: Tính a/ log 52 25 b/ log 1 b/ 9 27 log3 log 81 log 23 3 c/ log 3log9 2 II Quy tắc tính logarit Logarit tích ĐL1: Cho số dương a, b1; b2 với a ta có: log a b1b2 log a b1 log a b2 VD1: Tính log 12 log log 12.3 log 36 VD2: Tính log log 2 1 1 9 log log log log log log log 3 3 8 2 2 2 2 Logarit thương ĐL2: Cho số dương a; b1; b2 với a ta có: log a b1 log a b1 log a b2 b2 27 log3 log3 27 log3 log3 log3 Cách khác? 4 log VD2: Tính log 35 Logarit lũy thừa Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định VD1: Tính log3 Lop12.net (8) GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit ĐL3: Cho số dương a; b với a Với ta có: log a b log a b log a n b log a b n 1 1 VD1: Tính log3 log3 12 log3 log3 log3 3 3 VD2: Tính log5 log5 12 log5 50 ĐS: 2 III Đổi số log c b ĐL4: Cho số dương a, b, c a 1; c 1 Khi đó ta có: log a b ; log c b log c a.log a b log c a 1 ; log a b.logb a và log a k b log a b ; log a n b n log a b Đặc biệt: log a b logb a k VD1: a/ log VD2: a/ 2 log log log b/ log 22 log 22 2 log log 3 b/ 27 log log log 22 log3 3 2 3 VD3: log 3.log9 log 3.log32 23 log 3.log3 2 IV Áp dụng VD1: Tính a/ 2log 15 b/ log3 log VD2: Tính A log log 400 3log 45 ĐS: A 4 VD3: a/ Cho a log Tính log 1250 theo a ĐS: b/ Cho a log Tính 3 theo a log 1000 1 4a a ĐS: a 1 VD4: Rút gọn biểu thức: A log log9 49 log 3 ĐS: 3log3 V Logarit thập phân và logarit tự nhiên Logarit thập phân +) Là logarit số 10 Kí hiệu là log10 a ; log a;lg a Logarit tự nhiên n 1 +) Kí hiệu e lim 1 2, 718 281828 n +) Logarit tự nhiên là logarit số e: log e b ln b Chú ý: Tính logarit số khác 10 và khác e máy tính bỏ túi ta sử dụng công thức đổi số lg ln VD: log log lg ln Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định Lop12.net (9)