Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số... HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT..[r]
(1)LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ - SỐ MŨ THỰC BÀI TOÁN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n N * và a R Khi đó a n a.a a (n thừa số a) GV : Nguyễn Văn Bình a (a 0) an (a 0) an Chú ý : 00 và 0 n không có nghĩa II Căn bậc n khái niệm Cho số thực b và số nguyên dương n Số a gọi là bậc n số b a n b Với n lẻ thì có bậc n b, kí hiệu là n b Với n chẵn : Nếu b thì không tồn bậc n b Nếu b thì có bậc n b là số Nếu b thì có hai bậc n b trái dấu với nhau, kí hiệu giá trị dương là n b còn giá trị âm là n b Tính chất bậc n n a a n a n b n ab ( n a )m n a m n n b b a, n lẻ m n a mn a n an a , n chẵn Lũy thừa với số mũ hữu tỷ m (m, n Z và n 0) Cho số thực a dương và số hữu tỷ r n m Lũy thừa a với số mũ r là số a r xác định : ar a n n am Lũy thừa với số mũ vô tỷ Cho a là số dương và là số vô tỷ Ta thừa nhận luôn có dãy số hữu tỷ (rn ) có giới hạn là và dãy số tương ứng (a r ) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn ) Khi đó a lim a r với lim rn n n n n Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a, b là các số thực dương và , là các số thực tùy ý Khi đó ta có a a a a a ( ) (ab) a b b b Nếu a thì a a Nếu a thì a a B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP a a a (a ) a Dạng : Áp dụng định nghĩa và tính chất lũy thừa với số mũ thực Bài : Tính giá trị các biểu thức sau (không sử dụng máy tính) 0,75 1,5 A( ) (0, 25) (0, 04) (0,125) Đáp : A = 161 16 11 B (0,5) 4 6250,25 (2 ) 19(3) 3 Đáp : B = 10 Bài : Đơn giản các biểu thức sau : a 3 a a a a a 3 a a a 3 b a b a ab a4b 4a4b Lop12.net c ( a b 5 2 ) 2 a 3 1 b (2) Bài : Tính tổng A 75 75 B 6 Đáp : A = 847 847 6 27 27 Đáp : B = Dạng : Áp dụng tính chất bất đẳng thức lũy thừa Bài 4: So sánh các số sau : a ( 1) và ( 1) b 3600 và 5400 d ( 2) và ( 2) ( ) e Bài : Tìm GTLN và GTNN 6 a y 1 x 3 x b y 4sin x cos x c và ( ) 15 và 10 28 Đáp: a 25 ; 25 b 4; LÔGARIT BÀI TOÁN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai số dương a, b với a Số thỏa mãn a b gọi là lôgarit số a b và kí hiệu là log a b Vậy log a b a b Chú ý : Không có lôgarit số âm và số Cơ số lôgarit phải dương và khác Tính chất Cho a, b, c > và a, c Khi đó : log a log a a ; log a (a ) ; a loga b b log a ( xy ) log a x log a y (với x, y >0) x log a ( ) log a x log a y (với x, y >0) y log a (b ) log a b Công thức đổi số : log c b hay log c a.log a b log c b log c a log a b hay log b a.log a b log b a log a b log a b log a b Đăc biệt : log b log a b ; a log ( ) log a b ; a b Mở rộng : So sánh hai lôgarit cùng số Cho a, b, c > và a Khi đó : a log an (b n ) log a b ; log n a n b log a b log c log a b c b log a b log a c b c Nếu a thì log a b log a c b c Nếu a thì log a b log a c b c Nếu a, b a, b thì log a b Nếu a 1, b b 1, a thì log a b Lop12.net (3) Lôgarit thập phân, lôgarit tự nhiên Lôgarit thập phân là lôgarit số 10 Lôgarit số 10 x kí hiệu là log x hay đơn giản là lg x Lôgarit tự nhiên là lôgarit số e với e lim (1 ) n 2, 718281828459045 n n Lôgarit số e x kí hiệu là ln x B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Áp dụng định nghĩa và các quy tắc tính lôgarit Bài : Tính giá trị các biểu thức sau : a A log log 3log ( ) log 16 25 b B log 36 log 14 3log 21 log 36 log 12 c C log d D 36log6 101lg eln 27 F 3log( 1) log(5 7) g F ln(2 3) 2010 ln(2 3) 2010 a xa b Đáp : - a5 b b x c c Đáp : Đáp : h H log (2sin ) log (cos ) 8 Bài : Tìm log a x biết log a b 5; log a c 4 và 33 Đáp : - Đáp : 7553 Đáp : Đáp : e E 81log3 27 log9 36 42log2 f Đáp : 19 Đáp : a 56 b 121 Bài : Tìm x biết : b log log (log x) a log ( x x 4) Bài : So sánh các số sau : a log 10 và log 63 1 c log x log 125 log log 3 b log 0,5 và log c 3log log và log d 5log4 1,05 và log6 0,995 Dạng : Áp dụng công thức đổi số Bài : 1 n(n 1) Chứng minh với a, x 1; n N * log a x log a2 x log an x 2log a x log a c log a b với a, b, c và a, c, ab log ab c Cho x y 10 xy và a, x, y ; a Chứng minh log a ( x y ) 2log a (log a x log a y ) 1lg x 1lg z 1lg y Cho y 10 với x, y, z > Chứng minh x 10 ; z 10 Bài : Cho tam giác ABC vuông A có a b Chứng minh log ab c log ab c 2log ab c.log ab c Bài : a) Cho a log 3; b log Hãy tính theo a và b giá trị log 36 540 b) Cho a log 6; b log 5; c log Hãy tính theo a, b, c giá trị log 210 45 Lop12.net (4) HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT BÀI TOÁN : Định nghĩa : Cho số a 0, a Hàm số dạng y a x gọi là hàm số mũ số a Hàm số dạng y log a x gọi là hàm số lôgarit số a Giới hạn : ex 1 1 x 0 x ln(1 x) lim 1 x 0 x lim Đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit Đạo hàm hs mũ : y a x y ' a x ln a y a u y ' a u ln a u' Đạo hàm hàm số lôgarit : y log a x y ' x.ln a u' y log a u y ' u.ln a Ví dụ : Đặc biệt : Đặc biệt : y ex y ' ex y eu y ' eu u ' Đặc biệt : y ln x y ' Đặc biệt : x u' y ln u y ' u khảo sát biến thiên và vẽ đths mũ và lôgarit Hàm số lôgarit y log a x (a>0, a 1) Hàm số mũ y a x ( a 0, a ) TXĐ : D = y ' Nếu a : ta có lna y’ hs Nếu a : ta có lna y’ hs x y ax x y ax (0 a 1) (a 1) Đồ thị : O x y log a x (0 a 1) y x y log a x (a 1) TXĐ : D = y ' Nếu a : ta có lna y’ hs Nếu a : ta có lna y’ hs Đồ thị : y O x x NX : Đồ thị hs y a x ( a 0, a ) luôn qua điểm điểm A(O;1) và B(1;a) và nhận trục Ox làm TCN Lop12.net NX : Đồ thị hs y log a x ( a 0, a ) luôn qua Điểm A(1;0) và B(a;1) và nhận trục Oy làm TCĐ (5) BÀI TẬP : Bài : Tính các giới hạn sau e3 x 1 lim x 0 x ln(4 x 1) lim x 0 x x e x e3 x x 0 5x ln(3 x 1) ln(2 x 1) lim x 0 x esin x esin x lim x 0 sin x lim ( x.e x) x ln(1 x ) x 0 3x ln(3 x 1) lim x 0 sin x lim lim lim x e x 1 1 1 x 3x cos x 10 lim x 0 x2 Bài : Tính đạo hàm các hàm số sau ln x y x ln x x e x e x y x x y ( x x 3).e x y 3x e3 x e e Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y ( x 1) ln x điểm có hoành độ e Bài : Cho y x.e x Chứng minh y '' y ' y y y ln( x 1) Cho y e x 2e x Chứng minh y (3) 13 y ' 12 y Cho y e x sin x Chứng minh y '' y ' y Cho y ln( x x 1) Chứng minh (e y x) y ' Cho a,b là số thực thỏa a b Chứng minh a ln b b ln a ln a ln b (Cao Đẳng A- 2009) ln a ln b ln x Gợi ý: Bpt Chứng minh hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (0;1) a 1 b 1 x 1 Chứng minh e x e x 2ln( x x ) x R BÀI TOÁN : PHƯƠNG TRÌNH MŨ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Phương trình mũ Phương trình mũ là phương trình có dạng : a x b (1) đó a 0, a Cách giải : y y ax Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị (C ) : y a x yb Và (d ) : y b (cùng phương với Ox) Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm (C) và (d) Dựa vào đồ thị ta thấy : Nếu b thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu b thì phương trình (1) có nghiệm x log a b II Các phương pháp giải phương trình mũ Phương pháp đưa cùng số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp lôgarit hóa Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Phương pháp đối lập B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng : a f ( x ) a g ( x ) (1) f ( x) g ( x) Nếu số a là số dương khác thì (1) Lop12.net O x (6) a Nếu số a thay đổi (có chứa biến chứa tham số) thì (1) (a 1) f ( x) g ( x) Bài : Giải các phương trình sau 2 x x8 413 x ĐS : 2; 3 x 6 x ĐS : 1;7 16 2 (3 2)3 x 2 x1 6.5 x 3.5 x1 52 1 ĐS : 3 ĐS : 1 3x1 3x2 3x3 9.5 x x1 x2 ĐS : 0 3x.2 x1 72 ĐS : 2 x.3x1.5 x2 12 ĐS : 2 x 4 81x1 ĐS : x 1 ĐS : 2 ĐS : 0;2 x ( x x 2) x x 10 x 4.3x x Bài : Giải các phương trình sau ( x 1) x 2 x ( x 1)3 ( x 1) x 3 ĐS : 3 1 x x1 x2 3x 3x1 3x2 x 3 x 1 ( 10 3) ( 10 3) 8.3x 3.2 x 24 x ĐS : 2; 3 ĐS : x 1 x 3 x x 4.2 x x 22 x (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : ĐS : 1;3 (ĐH D-2006) ĐS : 0;1 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt t a f ( x ) , t với a và f ( x) thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau x 4.3x 45 ĐS : x x1 6.2 ĐS : x 1 1 x 26 ĐS : 1; -1 x 1 x ĐS : 60 2 k 9sin x 9cos x 10 ĐS : x 2 x 2 ĐS : 3; 11 16 10.2 x2 5 x x 2 x 3 x x2 5 x 4 8 2 (7 3) x (2 3) x ĐS : 12 ĐS : 3; log ĐS : 10 (2 3) x (2 3) x 14 x x ĐS : x 11 6.9 13.6 6.4 12 3.42 x 2.34 x 5.36 x 13 (3 5) x 16.(3 5) x 23 x ĐS : 1; -1 ĐS : 0; 1/2 ĐS : log 3 ( 14 5lg x 50 x lg5 2 15 32 x 6 x9 4.15 x 3 x5 3.52 x 6 x9 Lop12.net ĐS : 100 ĐS : 1; -4 ) (7) Bài : Giải các phương trình sau 3.8 x 4.12 x 18 x 2.27 x 2 2 x x 22 x x 3 ( 1) x ( 1) x 2 (ĐH A-2006) (ĐH D-2003) (ĐH B-2007) ĐS : ĐS : -1; ĐS : 1; -1 (ĐH Hàng Hải-1999) (ĐH Thủy Lợi-2000) (ĐHSP Hải Phòng-2000) (ĐH Quốc Gia HN-1998) (HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS : ĐS : -1; ĐS : ĐS : ĐS : 1;2; 5 x 4.3x 9.2 x 5.6 2 22 x 1 9.2 x x 22 x2 25 x 15 x 2.9 x 125 x 50 x 23 x1 2 x 3 x x x x x ĐS : k ( )cos x ( )cos x (ĐH Luật HN-1998) 12 10 23 x 6.2 x 3( x1) x (ĐH Y HN-2000) 2 Dạng : Phương pháp lôgarit hóa Biến đổi phương trình đã cho các dạng sau : a f ( x ) b f ( x) log a b ĐS : a f ( x ) b g ( x ) f ( x) g ( x) log a b a f ( x ) b g ( x ) c f ( x) g ( x) log a b log a c Chú ý : Phương pháp này thường áp dụng cho các phương trình chứa phép nhân, chia các hàm số mũ Giải các phương trình sau x2 x ĐS : 0; log ĐS : 2;log 2 x 4 3x2 x 5 x6 x3 x x2 36.32 x x 1 x ĐS : 3;2 log 3x.4 ĐS : 4; 2 log 57 75 x 18 x ĐS : 2; log ĐS : log (log 7) 53log5 x 25 x ĐS : x 53 5log x 5 ĐS : ; 5 x 1 x 9.x x ĐS : ĐS : 3; log 10 500 Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) log9 x x Bước : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Ví dụ 1: Giải phương trình 3x x Cách : 3x x 3x x (*) Ta thấy x là nghiệm phương trình (*) f ( x ) 3x x Đặt : g ( x) Ta có : f '( x) 3x.ln >0 x Suy f ( x) 3x x là hàm đồng biến trên R Mà g ( x) là hàm Vậy phương trình (*) có nghiệm là x Cách : 3x x 3x x (*) Ta thấy x là nghiệm phương trình (*) 3x 31 Nếu x , ta có x 3x x (vô lý) 3x 31 Nếu x , ta có x 3x x (vô lý) Vậy phương trình (*) có nghiệm là x Lop12.net (8) Ví dụ 3: Giải pt 3.9 x1 (3 x 7).3x1 x (1) Đặt t 3x1 , t Phương trình (1) 3.t (3 x 7).t x x Ví dụ 2: Giải phương trình x x Ta có : x x ( 3) x x x ) ( ) (*) 2 Ta thấy x là nghiệm phương trình (*) f ( x) ( ) x ( ) x Đặt : 2 g ( x) 1 ( x 1 ) ln( ) ( ) x ln( ) x R 2 2 Suyra f ( x) ( ) x ( ) x là hàm nghịch biến trên R 2 Mà g ( x) là hàm Vậy phương trình (*) có nghiệm là x Ta có : f '( x) ( (3 x 7) 12(2 x) x 30 x 25 (3 x 5) 3 x x t t 3 x x x 1 t 3x1 x 3 x 1 t x x (*) Ta thấy x là nghiệm phương trình (*) f ( x) 3x1 Đặt : g ( x) x Ta có : f '( x) 3x1.ln x R Suyra f ( x) 3x1 là hàm đồng biến trên R g '( x) 1 x R Suyra g ( x) là hàm nghịch biến trên R Vậy phương trình (*) có nghiệm là x Vậy pt (1) có nghiệm là x 0; x Bài : Giải các phương trình sau x 3x1 17 3x x x ĐS : ĐS : x ( 2) ( 2) 10 3.25 x2 (3 x 10).5 x2 x ĐS : ĐS : 2;2 log 3 x (2 x 3) x 2(1 x ) ĐS : 0;2 x.2 x 23 x x x(2.3x 1) 3x 1 x 5 x 1 e e 2x x 1 ĐS : ĐS : x x ĐS : 2; 23 x x.22 x (1 x ).2 x x3 x ĐS : x 1 2x x 1 x x 1 x2 10 ĐS : Bài : Giải các phương trình sau (2 3) x (2 3) x x (Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) x 1 x2 x 2 ( x 1) x 1 x x 1 ( 2) x ( 2) x ( 5) x 3x x x 2 (ĐH Thủy lợi-2001) (ĐH Bách khoa TPHCM-1995) (Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) (ĐH Sư Phạm HN-2001) Dạng : Phương pháp đối lập Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) đánh giá hai vế phương trình f ( x) f ( x) Nếu thì f ( x) g ( x) g ( x) g ( x) Giải các phương trình sau 1 3x x x ĐS : Lop12.net ĐS : ĐS : ĐS : ĐS : ĐS : 0;1 (9) 3x 3x ĐS : x 2x 1 2x x2 x ĐS : k ; y l 2 ĐS : x k ; y 8sin x 8cos x 10 cos y ĐS : x 4sin x 21sin x cos( xy ) 3x x ĐS : 0; y x x x x 1 1 ĐS : ĐS : 0;1; ; 3 ĐS : 0; 27 x (6 x x 1).9 x x x 9 10 x PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BÀI TOÁN : I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Phương trình lôgarit Phương trình lôgarit là phương trình có dạng : log a x b (1) đó a 0, a y Cách giải : Ta có log a x b x a b II Các phương pháp giải phương trình mũ Phương pháp đưa cùng số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp mũ hóa Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Phương pháp đối lập yb O II.CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho dạng 0 a log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) 0 a log a f ( x) b b f ( x) a Bài : Giải các phương trình sau log (5 x 1) log x log x log 27 x 11 log x log ( x 2) ĐS : ĐS : 729 ĐS : log ( x 3) log (6 x 10) log( x3 1) log( x x 1) log x log (1 x 1) 3log x 40 log ( x 3) log ( x 7) ĐS : log ( x 2) 6log x ĐS : ĐS : ĐS : 48 ĐS : log x log (3 x) log8 ( x 1)3 ĐS : 10 log ( x 1) log (2 x 1) 2 11 log ( x 1) log x1 17 ĐS : log x 2 ĐS : Lop12.net x y log a x (10) Bài : Giải các phương trình sau log (4 x 15.2 x 27) 2log 0 4.2 x (ĐH D-2007) ĐS : log (ĐH Huế-1999) ĐS : log ( x x 2) log ( x x 12) log (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5 2log x log x.log ( x 1) log x log x log x.log x log x log x log 3.log 225 (ĐH Thủy Lợi-1998) (ĐH Đông Đô-1999) (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 1; ĐS : 1; ĐS : log ( x 1) log (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2;2 (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : log ( x 2).log x x log8 ( x 4)3 log 2 ( x x) log 2 ( x x) x 1 log x log ( x x 6) log (HV BCVT-2000) ĐS : 2 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Biến đổi phương trình dạng chứa loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số x đã cho phương trình với biến t, giải phương trình này tìm t từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau 1 log 2 x 2log x ĐS : 2; log x log (8 x) ĐS : 2; 16 log ( x 1) log x1 ĐS : 3; 4 log x2 16 log x 64 ĐS : 4;2 log (3 x ).log 2x log x2 (2 x) log 2 x x ĐS : 31 ĐS : log x log x ( ) x log x 2log x log ĐS : 1;5; 2x 25 ĐS : log (3x 1).log (3x1 3) ĐS : log 10;log 10 log12 x (6 x x 1) log13 x (4 x x 1) ĐS : 11 4lg(10 x ) 6lg x 2.3lg(100 x ĐS : 100 ĐS : ) 12 x log2 x 3log2 x x log2 Bài : Giải các phương trình sau log x log x 2 log ( x 1) 6log x 4log x log x 28 27 (ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : (Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; (ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) lg ( x 1) log ( x 1)3 25 log 2 log x (ĐH Y HN-2000) (HV CNBCVT-1999) ĐS : 3; ĐS : 1; x log (5 x 1).log 25 (5 x1 5) 4log2 x x log2 2.3log2 x (ĐH Sư Phạm HN-1998) log x1 (2 x x 1) log x1 (2 x 1) Lop12.net ĐS : log 6;log 26 25 (ĐH Sư Phạm TPHCM-2001) ĐS : (ĐH Khối A-2008) ĐS : 2; (11) log x7 (9 12 x x ) log x3 (6 x 23 x 21) (ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) 10 (2 2)log2 x x(2 2)log2 x x (ĐH Quốc Gia HN-2000) 11 log ( x x 1).log ( x x 1) log 20 ( x x 1) (ĐHSP Vinh-2001) ĐS : 0;1 ĐS : 1 ĐS : 1; (5log20 log20 ) Dạng : Phương pháp mũ hóa Đưa phương trình đã cho các dạng sau 0 a log a f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) a f ( x) a t log a f ( x) log b g ( x) đặt t suy Khử x hpt để thu phương trình theo ẩn t, t g ( x) b giải pt này tìm t, từ đó tìm x Bài : Giải các phương trình sau log (9 x 8) x ĐS : 0;log x log (5 x1 20) ĐS : 3log (1 x x ) 2log x ĐS : 4096 2log tan x log sin x ĐS : k 2 ĐS : log ( x x 2) log x 2log ( x x ) log x Bài : Giải các phương trình sau x log (9 x ) log x log ( x 2) (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16 (ĐH Huế-2000) (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0; ĐS : log x log ( x 2) (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49 2log ( x x ) log x (ĐH Y HN-1998) ĐS : 256 2log cot x log cos x (ĐH Y Dược TPHCM-1986) ĐS : k 2 Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Cách : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm nhất) Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) (*) Bước : Chỉ x0 là nghiệm phương trình (*) Bước : Chứng minh f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm nghịch biến f ( x) là hàm đồng biến, g ( x) là hàm f ( x) là hàm nghịch biến, g ( x) là hàm Từ đó suy tính nghiệm Cách : Đưa phương trình đã cho dạng f (u ) f (v) , chứng minh f là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến trên D) Từ đó suy f (u ) f (v) u v Bài : Giải các phương trình sau log ( x 3) x ĐS : lg( x x 12) x lg( x 3) log 22 x ( x 3).log x x ĐS : ĐS : 2; 4 x (log x 3) x log x ĐS : ln( x x 1) ln(2 x 1) x x Bài : Giải các phương trình sau 2 log 22 x ( x 1) log x x log x2 x x 3x 2 2x 4x ĐS : 0; 1 ;2 (ĐH Đông Đô-1997) ĐS : (ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS : 1; 2 Lop12.net (12) Dạng : Phương pháp đối lập Đưa phương trình đã cho dạng f ( x) g ( x) đánh giá hai vế phương trình f ( x) f ( x) Nếu thì ta có f ( x) g ( x) g ( x) g ( x) Giải các phương trình sau log ( x 3) log x x ĐS : x 3 log ( x x 1) log x x x 2 ĐS : log 22 x 2( x 1) log x x x log ( x 1) log ( x 1) x x BÀI TOÁN : ĐS : (3;3) y log x ĐS : (16;3), (1/64;-2) y x 4096 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau : 3 x.2 y 1152 log ( x y ) 2 ĐS : HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT Bài : Giải các hệ phương trình sau : log ( x y ) log ( xy ) (ĐH A-2009) x2 xy y 81 23 x y y x (ĐH D-2002) x 1 y x 2 log ( y x) log y (ĐH A-2004) x y 25 x y (ĐH B-2005) 3log (9 x ) log y y 1 x 2 ĐS : ( ;log 4) y 3 x 18 log y x log x y x y 12 ĐS : ĐS : (2;2), (-2;-2) ĐS : (0;1), (2;4) ĐS : (3;4) ĐS : (1;1), (2;2) 3x.2 y 972 log 3 ( x y ) ĐS : (5;2) xy xy 32 ĐS : (2;1) 4 log ( x y ) log ( x y ) x y ĐS : (1;1), (9;3) 10 log x log y ĐS : (-2;7) log1 x (1 y y ) log1 y (1 x x ) 2 ĐS : ( ; ) 5 log1 x (1 y ) log1 y (1 x) log ( xy ) log 4 ( xy ) ĐS : (1;3), (3;1) 2 x y x y 22 2 x y y x ĐS : (-1;-1), (1;0) x y x 1 2 x y ln(1 x) ln(1 y ) x y ĐS : (0;0) 2 x 12 xy 20 y x x x y 1 ĐS : (1;1) x 1 y y y Lop12.net (13) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TOÁN : I PHƯƠNG PHÁP Áp dụng các phương pháp giải phương trình mũ và kết hợp với tính chất : Nếu a thì a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) Nếu a thì a f ( x ) a g ( x ) f ( x) g ( x) a a f ( x) a g ( x) (a 1) f ( x) g ( x) II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Phương pháp đưa cùng số Bài : Giải các bất phương trình sau : 3x 2 x 27 ĐS : 3 x Tổng quát : ( 2) x 1 ( 2) x 1 x 1 ĐS : 2; 1 1; ( ) x 2 x ( )16 x ĐS : x 8 x x2 x1 16 x x 1 x2 3x 3x1 3x2 x 3 x .3 x 3 x 3 .5 ( 10 3) x x x 5 x 10 x x 3 x 1 x 3 x x 1 ( 10 3) x3 x ĐS : 3 x x ĐS : 1;2 \ 0;1 9 ĐS : x 6 x 10 3x 2 x 7 x ĐS : x x 1 ( 1) x1 ( 1) 3 ĐS : x ĐS : x 1 x 12 Bài : Giải các bất phương trình sau : x x1 3x 3x1 x 2 x ĐS : x 2 1 3 x x 1 x x 1 x (ĐH Bách Khoa HN-1997) ĐS : x (ĐH Sư Phạm TPHCM-1976) ĐS : x 1 Dạng : Phương pháp đặt ẩn phụ Bài : Giải các bất phương trình sau : x 2.3x 22 x6 x7 17 x 23 x 2.49 x 7.4 x 9.14 x ĐS : ĐS : ĐS : ĐS : 5.2 x 10 x 2.5 x 3.2 x x ĐS : x 1 1 x x 1 ĐS : 2 (ĐH Quốc Gia HN-1996) (Học Viện Quân Y-1995) x 1 x 2 ĐS : x ĐS : x 2 6.92 x x 13.62 x x 6.42 x x x x.3 x 31 x 0 x9 x 1 ĐS : x x 1 4 x 1 x 3 ĐS : x log 32 x x x x x 8.3x2 2 1 x x 2 3 Bài : Giải các bất phương trình sau : 3 ĐS : x log Lop12.net (14) x 2 x 1 3 2 x x2 3 (Dự Bị D-2005) ĐS : x (ĐH Văn Hóa HN-1996) ĐS : x 1 (HV CNBCVT-1998) ĐS : x (HV Hành Chính QG-2001) ĐS : x log 3 1 x x 12 3 3 x 3x1 22 x1 12 2.3x x2 1 3x x 1 x2 x 2 x x1 1 x2 x ĐS : x x (ĐH Phương Đông-2000) Dạng : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 3x1 x ĐS : x x 2 2.2 x 3.3x x x ĐS : x ĐS : x BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT BÀI TOÁN : I PHƯƠNG PHÁP Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) Nếu a thì log a f ( x) log a g ( x) f ( x) g ( x) a Tổng quát : log a f ( x) log a g ( x) f ( x) 0; g ( x) (a 1) f ( x) g ( x) II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Giải các bất phương trình sau : 1 log (2 x 1) ĐS : x 31 log log 0,5 (2 x ) ĐS : x 16 3x ) 1 log x ( ĐS : x x2 2log (4 x) log (2 x 3) (ĐH A-2007) ĐS : x x log 0,7 log 0 x4 2x 1 ) log ( x 1 2 x3 ĐS : 4 x 3 x (ĐH B-2008) x 1 (ĐH Văn Hóa HN-1998) ĐS : log x x log x log ( x 3) 3 (ĐH GTVT-2000) ĐS : x 10 log x log (9 x 72) (ĐH B-2002) ĐS : log 73 x log x (5 x x 3) (ĐH Văn Lang-1997) 3 x x 1 (ĐH Y Hà Nội-1997) ĐS : x x 2 10 log x 64 log x2 16 lg( x x 2) 2 11 lg x lg 2 (ĐH Kiến Trúc HN-1997) 12 x x.2 x 1 3.2 x x 2 x x 12 (ĐH Dược HN-1997) Lop12.net ĐS : ĐS : 3 33 x ĐS : x 1 x (15)