Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm Đây là một trong những bài toán phức tạp, cần có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng các phương pháp giải linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề.[r]
(1)Sáng kiến kinh nghiệm Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Môn toán là môn khoa học tự nhiên không thể thiếu đời sống người, với xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu khoa học, toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao và phát triển dân trí, toán học không cung cấp cho học sinh kỹ tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả tư lôgíc, phương pháp luận khoa học Trong việc dạy toán học thì việc tìm phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học, góp phần hình thành phát triển tư học sinh, rèn luyện cho học sinh tính sáng tạo, linh hoạt việc giải bài tập đặc biệt là giải toán bất đẳng thức Trong quá trình giảng dạy môn cấp THCS thân tôi hiểu tâm lý học sinh gặp bài toán bất đẳng thức học sinh thường ngại, lười suy nghĩ, ít có hứng thú tìm cách giải vấn đề vì vậy: phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết Để khắc phục khó khăn và áp dụng giải toán bất đẳng thức thân tôi nghiên cứu, tìm hiểu tích luỹ kinh nghiệm về: “ Phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức” Đồng thời thông qua đó giúp các em nắm vững cách có hệ thống các phương pháp và vận dụng thành thạo các phương -1Lop8.net (2) Sáng kiến kinh nghiệm pháp đó để giải bài tập bất đẳng thức thành thạo góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Phần II NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC: Định nghĩa: Cho hai số a và b ta nói: a nhỏ b, ký hiệu a < b a - b < a lớn b, ký hiệu a > b a - b > Các tính chất bất đẳng thức: 2.1 a>b b < a 2.2 a > b, b > c a > c 2.3 a > b a + c > b + c 2.4 Cộng vế bất đẳng thức cùng chiều bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a>b;c>d a+c>b+d 2.5 Trừ vế bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ a>b;c<d a-c>b-d 2.6 a/ Nhân hai vế bất đẳng thức với cùng số dương a>b;c>0 a.c>b.c b/ Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm và đổi chiều bất đẳng thức a>b;c<0 a.c<b.c -2Lop8.net (3) Sáng kiến kinh nghiệm 2.7 Nhân vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a>b a.c>b.d c>d 2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức a>b>0 an > bn a>b a n > b n với n = 2k ( k N ) 2.9 So sánh hai luỹ thừa cùng số với số mũ nguyên dương Nếu m > n > thì a > a m > b n a=1 an = bn < a < am < bn 2.10 Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức hai vế cùng dấu a > b > b < a < 1 a b (*) Bất đẳng thức quan trọng: 1- Bất đẳng thức Cô-si: a b a.b hay a b 4.a.b 2- Bất đẳng thức Bunhia Côpski: ax by 2 a b x y2 * Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a b) tức là a > b a = b Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “ > ”(hoặc dấu “ < ”) có thể thay dấu “ ” (hoặc dấu “ ”) Các bất đẳng thức cần nhớ: -3Lop8.net (4) Sáng kiến kinh nghiệm 3.1 a ; - a Xảy dấu đẳng thức a = 3.2 a Xảy dấu đẳng thức a = 3.3 - a a a Xảy dấu đẳng thức a = 3.4 a b a + b Xảy dấu đẳng thức a.b 3.5 a b a - b Xảy dấu đẳng thức a.b ; a b ( Các điều kiện này có thể diễn đạt là a b a b * Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng (coi bổ đề) a + b 2.a.b 1 a b ab a b 2 b a Với a , b > Với a.b > II, MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ THƯỜNG DÙNG: Phương pháp dùng định nghĩa: 1.1 Cơ sở toán học: Để chứng minh: A > B , ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B > A < B , ta xét hiệu A - B và chứng minh A - B < 1.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Chứng minh: 2x y x y 2 Giải: - Xét hiệu vế: 2x y x y 2 2x y x 2xy y x xy y ( x y) Vậy 2x y x y 2 * Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: x y2 ( x y) xy -4Lop8.net (5) Sáng kiến kinh nghiệm ( x y) 2x y x 2xy y 2 x xy y ( x y) 0 2 ( x y) Vậy x y 2 ( x y) x xy y xy ( x y) xy 0 + Xét hiệu: 2 ( x y) 2xy Vậy + Xét hiệu: x y2 Xảy đẳng thức và x = y 1.3 Bài tập tự giải Chứng minh với các số hữu tỷ a, b, c tuỳ ý, ta có: a, ab (a b ) a b 2 b, a + b + c ab + bc + ac c, a + b ab d, a + b + c + a + b + c e, a + b + 4ab Phương pháp dùng các tính chất bất đẳng thức: 2.1 Cơ sở toán học: - Xuất phát từ bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức phải chứng minh - Thường là áp dụng tính chất bất đẳng thức ( đã nêu phần 2) 2.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Với a, b, c, d là các số thực Chứng minh a > b ; c > d thì a + c > b + d Giải: Vận dụng tính chất liên hệ thứ tự và phép cộng vào bất đẳng thức a > b ta có: -5Lop8.net (6) Sáng kiến kinh nghiệm a+c>b+c (1) Tương tự, với bất đẳng thức c > d ta có: b+c>b+d (2) Sử dụng tính chất bắc cầu vào (1), (2) ta được: a+c>b+d (đpcm) * Ví dụ 2: Cho bất đẳng thức a < b Chứng minh rằng: a/ Nếu a > và b > thì a < b b/ Nếu a < và b < thì a > b Giải: Từ a < b ta suy a – b < (1) Nếu a > và b > thì a + b > Nhân vế (1) với a + b ta được: (a + b)(a - b) > hay a - b > hay a > b * Ví dụ 3: Cho a, b, c là số đo các cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c abc Với p Giải: Trước hết chứng minh bất đẳng thức: 1 với x > 0, y > x y x y Áp dụng bất đẳng thức này ta có: 1 4 p a p b 2p a b c 1 4 p b p c 2p b c a 1 4 p c p a 2p c a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta đpcm 2.3 Chú ý: -6Lop8.net (7) Sáng kiến kinh nghiệm Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh sai lầm sau: a a>b a-c>b-d c>d b a>b ac > bd c>d (Nhân vế với vế bất đẳng thức mà chưa biết vế có không âm hay không) c Bình phương hai vế bất đẳng thức mà chưa biết vế không âm a > b a2 > b2 d Khử mẫu mà chưa biết dấu chúng a c b d ad > bc 2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a 1 a b a b (a>0,b>0) b a b c d abcd c Với a > và b > , Chứng minh ab a b d Cho a + b = Chứng minh rằng: a b Phương pháp biến đổi tương đương: 3.1 Cơ sở toán học: - Để chứng minh bắt đẳng thức A B ta biến đổi tương đương (dựa vào các tính chất bất đẳng thức) A B C D và cuối cùng đạt bất đẳng thức đúng hiển nhiên là C D Vì các phép biến đổi là tương đương nên A B - Để dùng các phép biến đổi tương đương lưu ý: -7Lop8.net (8) Sáng kiến kinh nghiệm (A B) = A 2AB + B (A + B +C) = A + B + C +2AB + 2BC + 2CA 3.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Chứng minh: x – x + > với x Giải: Ta có : x2 – x + >0 1 ( x 2.x ) 4 (x )2 x (đpcm) * Ví dụ 2: Cho a, b Chứng minh rằng: ab ab (Bất đẳng thức Co-si: “Trung bình cộng hai số không âm nhỏ trung bình nhân chúng”) Giải: Ta có: ab ab a+b ab (a + b) 4ab (a - b) Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh, dấu đẳng thức xảy a = b * Ví dụ 3: a b3 a b Chứng minh đẳng thức: Với a > , b >0 Giải: a b3 a b (1) 4(a + b ) (a + b) 4(a + b)(a – ab + b ) (a + b)(a + b) 4a – 4ab + 4b a + 2ab + b 3a - 6ab + 3b -8Lop8.net (9) Sáng kiến kinh nghiệm 3(a - b) (2) Bất đẳng thức (2) đúng và các phép biến đổi tương đương nên bất đẳng thức (1) đúng 3.3 Chú ý: - Sẽ mắc sai lầm lời giải trên thay các dấu “ ” các dấu “ ” Thật vậy, (1) (2) mà bất đẳng thức (2) đúng thì chưa thể kết luận bất đăng thức (1) đúng hay không - Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, học sinh thường bỏ các biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì cần lưu ý các biến đổi tương đương có điều kiện Chẳng hạn: a2 > b2 a > b Với a, b > m>n a m > a n Với m, n Z + , a > Cần rõ các điều kiện biến đổi tương đương 3.4 Bài tập tự giải: Bài 1: So sánh số A=3 -3 và B = 2- (Không dùng máy tính bỏ túi) Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: a b c d (a b ) (c d ) Bài 3: Với a > , b > Chứng minh bất đẳng thức: a b a b b a Bài 4: CMR: a, b, c R Ta có: a/ a + b a b + ab b/ a + b + c ab + bc + ac Phương pháp phản chứng: 4.1 Cơ sở toán học: -9Lop8.net (10) Sáng kiến kinh nghiệm Gọi luận đề cần chứng minh là luận đề : “A B” Phép toán mệnh đề cho ta: A B A B A B A B Như muốn phủ định luận đề ta ghép tất các giả thiết luận đề phủ định kết luận nó Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau: a.1 Dùng mệnh đề phản đảo BA a.2 Phủ định luận đề suy điều trái với giả thiết a.3 Phủ định luận đề suy hai điều trái a.4 Phủ định luận đề suy điều trái với điều đúng a.5 Phủ định luận đề suy kết luận A B B 4.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức (a b)2 4ab Giải: Giả sử (a b)2 4ab thì a 2ab b 4ab a 2ab b (a b ) Bất đẳng thức cuối là sai Vậy phải có (a b)2 4ab * Ví dụ 2: Cho a, b, x, y liên hệ a + b = 2xy CMR ít hai bất đẳng thức sau là đúng x2 a ; y2 b Giải: Giả sử x < a ; y < b x + y < a + b = 2xy x + y -2xy < (x - y) < Vô lý Vậy có ít hai bất đẳng thức: x a ; y b là đúng 4.3 Bài tập tự giải: Bài 1: Cho a > b >0 và ab 1 ab CMR: Không thể có a < ; b< - 10 - Lop8.net (11) Sáng kiến kinh nghiệm Bài 2: Cho a > ; b > Chứng minh ab > a + b a bc abc Với a, b, c Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức Phương pháp quy nạp toán học: 5.1 Cơ sở toán học: Nội dung phương pháp này là tiền đề quy nạp toán học Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n Nếu: + Mệnh đề đúng với n = + Từ giả thiết với n = k (k N ) suy mệnh đề đúng với n = k +1 Thế thì mệnh đề đúng với số nguyên dương Như để chứng minh mệnh đề T đúng với số nguyên dương phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành bước: + B1: Chứng minh T (1) đúng(kiểm tra mệnh đề đúng với n=1) + B2: - Giả sử mệnh đề T ( k ) đúng - Ta chứng minh mệnh đề T ( k + 1) đúng + B3: Kết luận mệnh đề đúng với số nguyên dương (n) 5.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ 1: CMR với x > -1 thì (1 + x) n + nx Trong đó n là số nguyên dương Giải: + Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng + x + x + Giả sử bất đẳng thức đúng với n =k tức là (1 + x) k + kx Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + Tức là phải chứng minh (1 + x) k + Thật vậy, theo giả thiết + x > - 11 Lop8.net + (k + 1)x (12) Sáng kiến kinh nghiệm Ta có: (1 + x)(1 + x) k (1 + kx) (1 + x) Mà kx > nên (1 + x) k + + (k + 1)x + kx + (k + 1)x + kx + ( k + 1)x Từ đó suy bất đẳng thức đpcm Dấu đẳng thức xảy x = 5.3 Bài tập tự giải: Bài 1: CMR n ta có n > 2n + Bài 2: CMR : n > n Với số tự nhiên n 10 Phương pháp biến đổi: B1: Đặt biến dựa theo biến cũ B2: Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức theo biến B3: Kết luận và trả biến cũ 6.2 Ví dụ minh hoạ: * Ví dụ: Cho a + b + c =1 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 Giải: Đặt a = 1 +x,b= +y,c= +z 3 Do a + b + c =1 nên x + y + z = Ta có: 1 + x) + ( + y) + ( + z) 3 2 = x x y y z z 9 9 9 = x y z x y z 3 1 = x y2 z2 3 x = y = z = a = b = c = a2 + b2 + c2 = ( Xảy dấu đẳng thức 6.3 Bài tập tự giải: - 12 Lop8.net (13) Sáng kiến kinh nghiệm Bài 1: Cho a, b, c là số đo các cạnh tam giác CMR: a b c 3 bca a cb a bc Bài 2: Cho a, b, c là các số dương CMR: a4 b4 c4 a b2 c2 b2 c2 a c2 a b2 III MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC: A Một số định lý, bất đẳng thức cần dùng: Mệnh đề 1: Nếu tổng các số thực dương x , x , ., x n số cho trước, thì tích chúng lớn : x = x = = x n * Định lý 1: Nếu có n số thực dương x , x , ., x n có tổng S không đổi thì tích P = x x x n có giá trị lớn khi: x1 m1 x2 m2 xn mn Trong đó m i là các số hữu tỷ dương Mệnh đề 2: Nếu tích các số dương x , x , ., x n số cho trước thì tổng chúng bé khi: x = x = = x n * Định lý 2: Nếu n số thực dương x , x , ., x n có tính chất: P = x x x n S = x + x + + x n x1 Có giá trị bé : m1 x2 m2 xn mn Trong đó: m i (i = 1, 2, , n) là các số hữu tỷ dương cho trước Cho a , a , , a n R ta có: a1 a a n a1 a a n (1) - 13 Lop8.net (14) Sáng kiến kinh nghiệm Dấu “=” xảy a i cùng dấu (a , a , , a n 0) Đặc biệt: a1 a a1 a B Áp dụng: Tìm cực trị hàm số Biểu thức đại số: *Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y ( x 1993) ( x 1994) Giải: Dễ thấy hàm số xác định với x Ta có: y = x 1993 x 1994 = x 1993 1994 x Áp dụng bất đẳng thức: a1 a a1 a y x 1993 1994 x Dấu “=” xảy .Ta được: y 1 (x - 1993)(x - 1994) 1993 x 1994 Do đó y m i n = * Bài 2: Cho các số x , x , ., x 9 Thoả mãn: x1 x x1993 1994 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= x1 x x1993 Giải: Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có: x1 x1 x2 1 x2 1 x1993 x1993 Cộng vế bất đẳng thức trên ta được: M x1 x x1993 (1 1) 1994 1993 Vậy M nhỏ - 14 Lop8.net (15) Sáng kiến kinh nghiệm Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình: * Bài 1: Giải phương trình x x x x (1) Giải: Áp dụng bất đẳng thức (1), ta có: x2 x 1 x2 x x2 x 1 x x2 x2 x 1 x x2 Xảy (1) và khi: ( x x 1)(2 x x ) ( x x 2) (x + 1)(x - 2) -1 x * Bài 2: Giải hệ phương trình: Giải: Từ phương trình: x y3 x y x y4 Suy x , y - Nếu x thì phương trình x y Suy ra: y Tương tự : x - Nếu < x <1 thì : x3 > x4 ; y3 > y4 x y3 > x y Như trái với đầu bài Vậy có thể: (x = , y = 0) (x = , y = 0) * Bài 3: Giải hệ phương trình: x y z 14 (1) 1 x y z ( x 3y 6z )( ) (2) Với x, y, z là ẩn số dương Giải: (2) 1 3x y z 36 x y z - 15 Lop8.net (16) Sáng kiến kinh nghiệm x y x z z y 6 3 2 22 y x z x y z x y Vì x, y, z > nên ta có: 6 12 y x x z 3 z x z y 2 y z Dấu “=” xẩy x=y=z Thay vào phương trình (1), ta có: x + x + x -14 = (x - 2)(x + 3x + 7) = Hệ phương trình có nghiệm x=y=z=2 Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó * Bài 1: Với giá trị nào m R thì phương trình: mx + 2(m+1)x +m – = Có hai nghiệm thực phân biệt x và x thoả mãn điều kiện: 1 1 x1 x Giải: Ta có ' m 12 m(m 1) m 2m m m ' 3m Để phương trình có nghiệm thực phân biệt x và x Ta phải có m m m ' 3m m 1 1 Ta có: x1 x x x1 1 x1x b 1 ; m c 2(m 1) (m 1) 0 m 1 - 16 Lop8.net b a 1 c a 2(m 1) 1 m 1 m 0 , m 1 (17) Sáng kiến kinh nghiệm 3m 0 m 1 3m 0 Với m , m m 1 3m (' 3m 0) m ; m ; m 1 m m 1, m m 1; m Vậy: m 1, m Phần III KẾT LUẬN Qua quá trình giảng dạy toán cấp THCS , thân tôi rút số điều quan trọng giảng giải các bài toán có sử dụng bất đẳng thức - 17 Lop8.net (18) Sáng kiến kinh nghiệm Đây là bài toán phức tạp, cần có tư tốt và kỹ vận dụng các phương pháp giải linh hoạt thì học sinh có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề Bởi quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh thân tôi thày cô giáo phải trang bị thật chu đáo, tỷ mỉ, rõ ràng đơn vị kiến thức bản, thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất và vận dụng tốt để giải toán Xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập Trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu và sáng tạo dù nhỏ các em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích khẳ tự nghiêm cứu tìm tòi các em Nghiên cứu và thể đề tài “ Phương pháp giải toán bất đẳng thức “ Nội dung tôi đã trình bày trên còn hạn hẹp so với chuyên đề bất đẳng thức Việc áp dụng số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán cấp THCS là vấn đề rộng, nội dung phong phú và đa dạng Nhưng trên đây tôi trình bày số phương pháp và ứng dụng vào số bài tập nhất, phổ biến mà thân tôi tích luỹ quá trình giảng dạy Tôi hy vọng đây là sơ sở, động lực giúp thân tôi có thêm niềm tin giúp học sinh tự tin gặp các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức và có nhiều kinh nghiệm, nhiều ứng dụng thực tế - 18 Lop8.net (19)