Luyện thi Đại học - Phương trình lượng giác

Kết luận Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp khoảng cần nhớ dấu của giá trị lượng giác và chiều biến thiên của các hà[r]

chithanhlvl@gmail.com Phương trình lượng giác Loại Phương trình bậc và bậc hai , bậc cao với hàm số lợng giác Cách giải chung b1 Đặt HSLG theo t ( với t = sinx t = cosx thì có điều kiện t  ) b2 Giải phương trình theo t ( chẳng hạn f(t) = ) b3 Chọn t thoả mãn điều kiện và giải theo phương trình lượng giác để tìm x Chú ý: 1.Phương trình cosu = cosv  u   v  2k (k Î  ) u  v  2k sinu = sinv   (k Î  ) u    v  2k tgu = tgv  u = v + k  cotgu = cotgv  u = v + k  (k Î  ) (k Î  ) Đặc biệt: ( cần ghi nhớ ) º sinx =  x = k  (k Î  )  + k  (k Î  ) º cosx =  x = k  (k Î  ) º sinx = –  x = – º tgx =  x = k  (k Î  )  + k  (k Î  )  º cosx =  x = + k  (k Î  ) º cosx = –  x =  + k  (k Î  )  º tgx =  x = + k  (k Î  ) º sinx =  x =  + k  (k Î  ) Phương trình bậc theo HSLG a.sinx + b = (a  0) a.cosx + b = (a  0) b b b b  sinx = –  sin  (  cosx = –  cos  (  1) 1 ) a a a a a.tgx +b = (a  0) a.cotgx + b = (a  0) b b  tgx =   tg   cotgx =   cot g  a a 3.phương trình bậc hai theo HSLG a.sin2x + b.sinx + c = (3.1) a.cos2x + b.cosx + c = (3.2) 2 a.tg x + b.tgx + c = (3.3) a.cotg x + b.cotgx + c = (3.4) Cách giải b1.Dùng ẩn phụ: (3.1) Đặt X = sinx , –  X  (3.2) Đặt X = cosx , –1  X  (3.3) Đặt X = tgx (3.4) Đặt X = cotgx ta phương trình a.X + b.X + c = (2) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Dùng phương trình giải phương trình tìm x Kết luận º tgx = –  x = – Phương trình bậc hai theo HSLG a.sin3x+b.sin2x+c.sinx +d = (4.1) a.tg3x+b.tg2x+c.tgx+d = (4.3) Cách giải: b1.Dùng ẩn phụ: a.cos3x+b.cos2x+c.cosx+d = (4.2) a.cotg3x+b.cotg2x+c.cotgx+d = (4.4) Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com (4.1) Đặt X = sinx , –  X  (4.2) Đặt X = cosx , –1  X  (4.3) Đặt X = tgx (4.4) Đặt X = cotgx ta phương trình a.X + b.X + c.X + d = = (2) b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm ) b3.Dùng phương trình giải phương trình tìm x Kết luận BT1 Giải các phương trình sau: ìï2cos 2x - cos x = 1/ ïí ïïî sin x ³ 2/ 4sin3x+3 sin2x = 8sinx ìï1- sin x + 2cos 2x = 4/ ïí ïïî cos x ³ 2 5/ Cho 3sin x – 3cos x+4sinx– cos2x+2 = (1) và cos x+3cosx(sin2x – 8sinx) = (2) Tìm n0 (1) đồng thời là n0 (2) 6/ sin3x + 2cos2x – = 7/ sin6x + cos4x = cos2x 5 7 8/ sin( x  ) – 3cos( x  ) = + 2sinx 2 9/ cos2x + 5sinx + = 10/ cos2x + 3cosx + = 2 11/ 2cos x – 3cosx + = 12/ cos x + sinx + = 3/ 4cosx.cos2x +1=0 13/ ( ) tan2 x - 1+ tan x + = 15/ cos2 3xcos2x – cos2x = Loại 14/ cos3x + cos2x – cosx – = 16/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – = Phương trình bậc sinx và cosx dạng: asinx + bcosx = c (1) Điều kiện để phương trình có nghiệm (1) có nghiệm  a2 + b2  c2 Điều kiện để phương trình vô nghiệm (1) vô nghiệm  a2 + b2 < c2 Cách giải 1: b1.Chia vế (1) cho a  b b2.Biến đổi phương trình dạng: sinu = sinv ( cosu = cosv ) (2) b3.Giải (2) và kết luận Chú ý: Sau biến đổi asinx + bcosx thành dạng C sin ( x + a ) C cos ( x + b) ta có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) để tính nghiệm phương trình Cách giải 2: b a sinu = sinv ( cosu = cosv ) (2) b1 Chia vế (1) cho a Đặt tga = b2.Biến đổi phương trình dạng: b3.Giải (2) và kết luận Cách giải 3: b1 Đặt t = tg 2t x , với sin x = 1+ t , cos x = 1- t 1+ t b2 Giải phương trình bậc hai theo t: (b + c)t - 2at - b + c = b3 Kết luận Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com p p sin x ± cos x = sin(x ± ) = cos(x  ) 4 BT2 Giải các phương trình sau 1/ 3cosx + 4sinx = – 2/ 2sin2x – 2cos2x = 2 3/ 5sin2x – 6cos x = 13 4/ 2sin15x + cos5x + sin5x = 2p 6p 5/ cos7x - sin7x + = Tìm nghiệm x Î ( ; ) 6/ ( cos2x – sin2x) – sinx – cosx + = Đăc biệt : Loai Phương trình đẳng cấp sin x và cosx dạng: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d (1) Cách giải 1: b1.Tìm nghiệm cosx = b2.Với cosx  0.Chia vế (1) cho cos2x, ta được: a.tg2x + b.tgx + c = d.(1 + tg2x) (2) b3.Giải (2) và kết luận Cách giải 2: 2 b1.Dùng công thức: sin2x = 2.sinxcosx, sin2x = (1 – cos2x), cos2x = (1 + cos2x) b2.Biến đổi (1) dạng: A.sin2x + B.cos2x = C (2) (pt bậc theo sin2x và cos2x) b3.Giải (2) và kết luận Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3: asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + d.cos3x = e Cách giải b1.Tìm nghiệm cosx = b2.Với cosx  0.Chia vế (1) cho cos3x, ta được: a.tg3x + b.tg2x + c.tgx + d = e.(1 + tg2x) (2) b3.Giải (2) và kết luận BT3 Giải các phương trình sau 1/ 3sin2x– sinxcosx + 2cos2x = 2/ sin2x+3 sinxcosx – 2cos2x = 2 3/ sin x+5 cos x-2cos2x-4sin2x=0 4/ sin2x + 6sinxcosx + 2(1+ )cos2x – – =0 5/ tanx sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 7/ 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 9/ 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 11/ cos3x – sin3x = cosx + sinx Loại sin3(x-  /4)= sinx 8/ sinx – 4sin3x + cosx = 10/ cos3x = sin3x 12/ sinx sin2x + sin3x = cos3x 6/ Phương trình đối xứng và gần sinx và cosx 4.1 Phương trình đối xứng dạng: a.(sinx + cosx) + b.sinxcosx = c (1) Cách giải: b1.Đặt X = sinx + cosx = X 1  sin( x  ) ta có: X  và sinxcosx = Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) b3.Giải (2) và kết luận 4.2 Phương trình gần đối xứng dạng: a.(sinx – cosx) + b.sinxcosx = c (1) Cách giải: 1 X  sin( x  ) , ta có: X  và sinxcosx = b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2) b3.Giải (2) và kết luận b1.Đặt X = sinx – cosx = BT4 Giải các phương trình sau 1/ sin x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 2/ – sin3 x + cos3 x = sin2x 3/ 2sinx + cotx = 2sin2x + 4/ sin2x(sin x + cosx) = 5/ (1+sin x)(1+cosx) = 6/ (sin x + cosx) = tanx + cotx 7/ 1+sin3 2x + cos3 x = sin 4x 8/ 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/ cos4 x + sin4 x – 2(1 – sin2xcos2x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0 Loại Giải phương trình lượng giác phương pháp hạ bậc Công thức hạ bậc 1+ cos 2x 1- cos 2x cos2x= ; sin2x= 2 Công thức hạ bậc 3 cos x + cos3x sin x - sin3x cos3x= ; sin3x= 4 BT5 Giải các phương trình sau 1/ sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2  5x 9x 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 4/ cos3x + sin7x = 2sin2(  ) – 2cos2 2 2 2 5/ sin x + sin 3x = cos 2x + cos x , với x  (0;  )  6/ sin24x – cos26x = sin( 10,5  10x ) với x  (0; ) 7/ cos4x – 5sin4x = 8/ 4sin3x – = – cos3x 9/ sin22x + sin24x = sin26x 10/ sin2x = cos22x + cos23x 11/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 cos4x = 2 12/ 2cos 2x + cos2x = sin 2xcos x  x 13/ cos4xsinx – sin22x = 4sin2(  ) – 7/2 , với x  <3 14/ cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x =  15/ sin3xcos3x +cos3xsin3x = sin34x 16/ 8cos3(x+ )=cos3x 2 17/ cos10x + 2cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 3x 18/ cos7x + sin22x = cos22x – cosx 19/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 20/ 3cos4x – cos23x = Loại Phương trình lượng giác giải các đẳng thức a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com a4 – b4 = ( a2 + b2 )( a2 – b2 ) a6 – b6 = ( a2 – b2 )( a4 + a2b2 + b4 ) a8 + b8 = ( a4 + b4 )2 – 2a4b4 a6 + b6 = ( a2 + b2 )( a4 – a2b2 + b4 ) BT6 Giải các phương trình sau x x 1/ sin4 + cos4 =1 – 2sinx 2 2/ cos3x – sin3x = cos2x – sin2x 3/ cos3x + sin3x = cos2x 4/ cos6x – sin6x = 13 cos22x   5/ sin4x + cos4x = cot( x  ) cot(  x) 6/ cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) sin x = cosx – sinx 8/ cos6x + sin6x = cos4x 7/ cos3x + 9/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x x x 10/ cos8x + sin8x = 11/ (sinx + 3)sin4 – (sinx+3) sin2 +1 = 2 Loại Phương trình lượng giác biến đổi dạng tích Cách giải: Dùng công thức é f(x) = f(x).g(x) =  ê êë g(x) = BT7 Giải các phương trình sau 1/ cos2x – cos8x + cos4x = 3/ sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 5/ 3sinx + 2cosx = + 3tgx 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 4/ sin3 x + 2cosx – + sin2 x = 6/ sin2x+ cos2x+ cosx=0 cos2x 9/ + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 10/ + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 11/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 12/ cos3x + cos2x + 2sinx – = 7/ 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 13/ 15/ 17/ 19/ cos2x – 2cos3x + sinx = cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 14/ sin2x = + cosx + cos2x 16/ + tanx = sinx + cosx 18/ cotx – tanx = cosx + sinx Loại Phương trình LG phải thực công thúc nhân đôi, hạ bậc 1- t 2t ; cosx = 1+ t 1+ t 2t tanx= 1- t cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x sin2x=2sinxcosx tan x tan2x= 1- tan2 x BT8 Giải các phương trình sau 1/ sin3xcosx = + cos3xsinx 3/ tanx + 2cot2x = sin2x 5/ sin4x = tanx sinx = 2/ cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16 4/ sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 6/ sin2x + 2tanx = Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/ tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 11/ (1+sinx)2 = cosx 13/ cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 10/ tan2x+sin2x= cotx 2 12/ sin 4x + sin 3x = sin2 2x + sin2 x Loại Phương trình LG phải thực phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a -b cosa + cosb = 2cos cos 2 a+b a -b sina + sinb = 2sin cos 2 sin(a + b) tga + tgb = cosa.cosb cotga + cotgb = sin(a + b) sina.sinb Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = [cos(a - b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a - b) - cos(a + b)] BT9 Giải các phương trình sau 1/ cosx.cos5x = cos2x.cos4x 3/ sin2x + sin4x = sin6x 5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x 7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 9/ tanx + tan2x = tan3x a+b a -b sin 2 a+b a -b sina – sinb = 2cos sin 2 sin(a - b) tga – tgb = cosa.cosb sin(a - b) cotga – cotgb = sina.sinb cosa – cosb = – 2sin sina.cosb = [ sin(a - b) + sin(a + b)] 2/ cos5xsin4x = cos3xsin2x 4/ sinx + sin2x = cosx + cos2x 6/ cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 8/ sin5x + sinx + 2sin2x = 10/ 3cosx + cos2x – cos3x +1 = 2sinxsin2x Loại 10 Phương trình lượng giác chứa ẩn mẫu số Cách giải b1 Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác ) b2 Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau thu gọn ) b3 Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ), tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số phương pháp hình học Giả sử rằng: 2mp + Điều kiện xác định là: x ¹ x + (m Î ,p Î  *) p 2kp + Phương trình có nghiệm là x = a + (k Î ,n Î  *) n phương pháp đại số 2kp 2mp = x0 + + Nghiệm xk bị loại Û $m Î  : a + n p Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com + Nghiệm xk nhận Û "m Î  : a + 2kp 2mp ¹ x0 + n p phương pháp hình học 2mp (m Î ,p Î  *) có nghĩa là trên đường tròn lượng giác có p p điểm A1, A2, , Ap không thể là cung nghiệm phương trình đã cho + Ký hiệu L = {A1,A , ,A p } ( tập hợp các điểm bị loại ) + Điều kiện xác định là: x ¹ x + + Các nghiệm xk = a + 2kp (k Î ,n Î  *) biểu diễn n cung nghiệm trên đường tròn n lượng giác + Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì nhận BT 10 Giải các phương trình sau cos x - 2sin x cos x 1- cos 2x = 1/ 1+ cot g2x = 2/ 2cos2 x + sin x - sin 2x æ cos3x + sin3x ö÷ sin x cot g5x 3/ ççsin x + 4/ =1 ÷÷ = cos 2x + çè cos9x 1+ sin 2x ø 5/ 2tgx + cot gx = + 6/ 2tgx + cot gx = sin 2x + sin 2x sin 2x 2 (cos x - sin x) sin x - x 7/ 8/ = tg2 = x tgx + cot g2x cot gx - sin2 x - cos2 2 4 cogt x - tg x sin 2x + cos 2x = 16(1+ cos 4x) 9/ 10/ = cos4 4x æp ö÷ æ p ö÷ cos 2x tgçç - x÷÷ tgçç + x÷÷ çè ø çè ø cos 2x + sin2 x - sin 2x 11/ cot gx - = 12/ cot gx - tgx + sin 2x = 1+ tgx sin 2x æ x pö x 13/ sin2 çç - ÷÷÷ tg2 x - cos2 = 14/ sin x - = (1- sin x) tg2 x çè ø 15/ 17/ 19/ 21/ 23/ 25/ 27/ (cos6 x + sin6 x) - sin x cos x æ xö = 16/ cot gx + sin x çç1+ tgx.tg ÷÷÷ = ç è 2ø - 2sin x 18/ tgx + -2 = + tgx = cot x cos2 x sin2 2x + sin4 x - - cos 2x =0 20/ sin x + cos x = cos x cos x sin x + cos x + = 22/ sin x + cos x = + sin x + cos x + sin x + cos x + cos x - sin x.cos x + cos x + cos 2x + cos 3x = (3 - sin x) 24/ = 3 cos2 x + cos x - 2cos2 x + sin x - 1 1 26/ sin x + cos x = 1+ tgx = sin x + cos x tan x cot x 1 10 sin5x 28/ cos x + = sin x + = =1 cos x sin x sin x Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com sin4 x + cos4 x = (tan x + cot x) sin 2x 31/ 2cos2x – 8cosx + = cos x sin3x sin5x = 1 32/ 2sin3x – = 2cos3x + sin x cos x æ ö 1- cos 2x ÷ 33/ tan x - sin 2x - cos 2x + ççç2 cos x ÷÷ = 34/ + cot2x = è cos x ø sin2 2x p 1 35/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 36/ 2 sin(x + ) = + sin2x sin x cos x (cos 2x + cot 2x) æp ö æp ö 37/ tan x + cot x = + 38/ = sin çç + x÷÷÷ cos çç - x÷÷÷ èç ø èç ø cot 2x - cos 2x sin 2x 29/ 30/ Loại 11 phương trình lượng giác chứa thức chứa giá trị tuyệt đối Cách giải b1) Đặt điều kiện xác định (nếu có) b2) Khử dấu giá trị tuyệt đối khử thức ( thông thường dùng quy tắc bình phương hai vế Cần nhớ: a = b ³ Û a = b ) giải phương trình b3) Kết luận Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối phương pháp khoảng (cần nhớ dấu giá trị lượng giác và chiều biến thiên các hàm số lượng giác ) BT 11 Giải các phương trình sau 1/ sin x - cos x + sin x - cos x = 3/ 5/ 7/ 9/ 2/ 2cos x - sin x = 4/ 1+ sin2x = cos x - sin x cos 2x + 1+ sin 2x = sin x + cos x tg2 x tgx = + tgx tgx - tgx - sin3x - sin x p p , - <x< 2 1- cos 2x sin2 2x + 4cos4 2x - =0 13/ sin x + cos x + sin x cos x = sin 3x - sin x 1- cos 2x 6/ = cos x - sin 2x , < x < 2p 8/ 2sin x cos x 11/ 2cos x - sin x = 15/ cos sin2 x - 2sin x + = 2sin x - 10/ sin x + + cos x = 12/ sin x - cos x + sin2x = 14/ = sin 2x + cos 2x (0 < x < 2p) 4x - cos2 x =0 1- tg2 x 16/ sin2 2x + cos4 2x - sin x cos x =0 sin x + sin x = 1- sin2 x - cos x Loại 12 Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hàm số lượng giác BT12 Giải các phương trình sau 3 x  3x 1/ sin( )  ) = sin(  10 2 10 2/ sin( x  Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh  ) = sin2x sin( x   ) Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com 4x - cos2 x 3 x 4/ cosx – 2sin( =0  )=3 2 1- tg2 x 7 cos( x  ) = sin(4x+3  ) 6/ 3cot2x + 2 sin2x = (2 + )cosx 2 1 2cot2x + + 5tanx + 5cotx + = 8/ cos2x + = cosx + 2 cos x cos x cos x 1+ sin 2x 1+ tan x sinx – cos2x + + =5 10/ +2 =3 sin x sin x 1- sin 2x 1- tan x cos 3/ 5/ 7/ 9/ Loại 13 Phương trình LG phải thực các phép biến đổi phức tạp BT13 Giải các phương trình sau 1/ + - (16 - 2)cos x = 4cos x -     2/ cos  x  x  16 x  80  =1 tìm n0 x Î Z 4  3/ cos x - cos 2x + 2sinx = 4/ 3cotx – tanx(3-8cos2x) = (sin x + tan x) 5/ - 2cos x = tan x - sin x 6/ sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = sin 2x 7/ tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x 8/ tan2x = – sin3xcos2x 9/ sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) 10/ sin x + sin x = 1- sin2 x - cos x ép ù æ ö p 11/ cos2 ê sin x + cos2 x ú – = tan2 çç x + tan2 x÷÷÷ ç êë úû è ø x   x    x 2   3x   12/ cos     sin     2sin     2sin     12   12  5   6 ( ) Loại 14 Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá vế ,tổng lượng không âm,vẽ đồ thị đạo hàm BT13 Giải các phương trình sau 1/ cos3x +  cos 3x = 2(1+sin22x) 2/ 2cosx + sin10x = + 2sinxcos28x 3/ cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + với x   0;   4/ 8cos4xcos22x +  cos 3x +1 = 5/ p sin x = cos x – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k  Z* để hệ có nghiệm x2 7/ 1– = cosx 8/ ( cos2x – cos4x)2 = + 2sin3x 6/ Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page Lop12.net chithanhlvl@gmail.com 9/ ( ) 1- cos x + + cos x cos 2x = sin 4x Tài liệu luyện thi Đại học 2009 – Trần Chí Thanh Page 10 Lop12.net