Ôn thi đại học phương trình lượng giác

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác oc c HUỲNH ĐỨC KHÁNH om ——————————————————————————————————————– Ôn thi Đại học - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ——————————————————————————————————————– kh on gb oc u Phương trình LƯỢNG GIÁC QUY NHƠN - 2012 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh om Phương trình lượng giác đề thi Đại học Phần : Các công thức Phần : Các công thức liên hệ Phần : Phần oc c Mục lục trang : trang → Dạng phương trình lượng giác : trang → : Một vài thủ thuật : trang 10 → 12 Phần : Đề thi Đại học 2002 → 2012 : trang 13 → 27 Phần : 100 Đề thi thử toàn quốc : trang 28 → 53 gb oc u : kh on Huỳnh Đức Khánh - duckhanh0205@gmail.com - 0975.120.189 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần Các công thức Hệ thức hàm số lượng giác cos2 x + sin2 x = om tan x cot x = sin x cos x = + tan2 x cos2 x cot x = cos x sin x = + cot2 x sin2 x c tan x = oc Hai cung đối x −x tan (−x) = − tan x cos (−x) = cos x cot (−x) = − cot x oc u sin (−x) = − sin x Hai cung bù x π − x sin (π − x) = sin x gb cos (π − x) = − cos x Hai cung phụ x cos cot (π − x) = − cot x π −x π − x = cos x tan π − x = cot x π − x = sin x cot π − x = tan x on sin tan (π − x) = − tan x kh Hai cung π sin (π + x) = − sin x tan (π + x) = tan x cos (π + x) = − cos x cot (π + x) = cot x Hai cung π sin π + x = cos x tan π + x = − cot x cos π + x = − sin x cot π + x = − tan x 2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần Các công thức liên hệ om Công thức cộng sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a cot (a ± b) = cot a cot b ∓ cot a ± cot b oc cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b Công thức nhân đôi tan a ± tan b ∓ tan a tan b c cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b tan (a ± b) = tan 2a = tan a − tan2 a cot 2a = cot2 a − cot a sin 3a = sin a − 4sin3 a tan 3a = tan a − tan3 a − 3tan2 a cos 3a = 4cos3 a − cos a cot 3a = cot3 a − cot a 3cot2 a − oc u sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − = − 2sin2 a on gb Công thức nhân ba kh Công thức hạ bậc sin2 a = − cos 2a tan 3a = tan a − tan3 a − 3tan2 a cos2 a = + cos 2a cot 3a = cot3 a − cot a 3cot2 a − sin3 a = (3 sin a − sin 3a) cos3 a = (3 cos a + cos 3a) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Công thức chia đôi Nếu đặt t = tan a (a = π + k2π) Khi ta có tan a2 tan a2 2t a a cos = = a = 2 + t2 + tan a cos − tan2 a2 − tan2 a2 a − t2 a cos a = cos2 − sin = = = a 2 + t2 + tan a cos sin a 2t tan a = = cos a − t2 c om sin a = sin Công thức biến đổi tích thành tổng [sin (a + b) + sin (a − b)] [cos (a + b) + cos (a − b)] tan a tan b = tan a + tan b cot a + cot b oc u sin a cos b = cos a cos b = oc sin a sin b = − [cos (a + b) − cos (a − b)] Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 sin a − sin b = cos a−b a+b sin 2 gb sin a + sin b = sin cos a + cos b = cos a+b a−b cos 2 on cos a − cos b = −2 sin tan a ± tan b = sin (a ± b) sin a sin b cot a ± cot b = sin (b ± a) sin a sin b a+b a−b sin 2 kh Công thức đặc biệt sin a + cos a = sin a − cos a = √ √ √ sin a + π = sin a − π √ π = − cos a + 4 cos a − π Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần Phương trình lượng giác Dạng I - Phương trình bậc hàm số lượng giác a sin x + b = Cách giải Phương trình ⇔ a sin x = −b ⇔ sin x = − (a = 0) b a b ∈ / [−1; 1] Kết luận phương trình vô nghiệm a c • Nếu − om Phương trình bậc sin x b ∈ [−1; 1] Xét hai trường hợp sau a √ √ b i) − = 0; ± ; ± ;± ; ±1 Khi phương trình trở thành a 2 sin x = − x = α + k2π , k ∈ Z x = π − α + k2π √ √ 0; ± ; ± ;± ; ±1 Khi phương trình trở thành 2  b  x = arcsin − a + k2π b , k ∈ Z sin x = − ⇔   b a + k2π x = π − arcsin − a oc u b = a b ⇔ sin x = sin α ⇔ a gb ii) − oc • Nếu − Phương trình bậc cos x a cos x + b = b a on Cách giải Phương trình ⇔ a cos x = −b ⇔ cos x = − (a = 0) • Nếu − b ∈ / [−1; 1] Kết luận phương trình vô nghiệm a b ∈ [−1; 1] Xét hai trường hợp sau a √ √ b i) − = 0; ± ; ± ;± ; ±1 Khi phương trình trở thành a 2 kh • Nếu − cos x = − b ii) − = a b ⇔ cos x = cos α ⇔ a x = α + k2π , k ∈ Z x = −α + k2π √ √ 0; ± ; ± ;± ; ±1 Khi phương trình trở thành 2  b  x = arccos − a + k2π b cos x = − ⇔  , k ∈ Z  b a x = − arccos − + k2π a Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phương trình bậc tan x a tan x + b = (a = 0) π + kπ, k ∈ Z b Phương trình ⇔ a tan x = −b ⇔ tan x = − a √ 0; ± √ ; ±1; ± Khi phương trình trở thành b = a tan x = − √ 0; ± √ ; ±1; ± Khi phương trình trở thành b = a tan x = − b b ⇔ x = arctan − a a Công thức nghiệm đặc biệt sin x = −1 π + k2π ⇔x=− π + k2π ⇔ x = kπ gb sin x = + kπ, k ∈ Z oc u ⇔x= sin x = c • Nếu − b ⇔ tan x = tan αx = α + kπ, k ∈ Z a oc • Nếu − om Cách giải Điều kiện : cos x = ⇔ x = cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos x = ⇔x= π + kπ Bài tập rèn luyện Giải phương trình lượng giác sau : √ 2) cos x + 300 + 2cos2 150 = 3=0 on 1) sin 3x + √ 3) cos 3x + 3π 5) sin 2x − π +3=0 2=0 4) tan x +2=0 6) tan 150 − 3x + kh − √ 3=0 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng II - Phương trình bậc sin x cos x • Điều kiện để phương trình có nghiệm : c2 ≤ a2 + b2 √ • Chia hai vế phương trình cho a2 + b2 ta đựợc phương trình • Do √ a a + b2 √ + a b c sin x + √ cos x = √ a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 b a + b2 = Vì ta đặt √ a b = cos α suy √ = sin α 2 +b a + b2 a2 • Khi phương trình trở thành √ sin x + cos x = √ 3) sin x + cos x = 2 2) √ sin 3x + cos 3x = cos 2x √ 10) on cos x + kh 15) cos 2x + 17) √ √ sin 2x + cos x + sin x + √ √ 19) 2 cos 2x = √ cos x − sin x = 8) cos x + sin x = π π + sin x − = sin 2x 2 √ √ 13) cos 2x + sin 2x + sin x − cos x = 11) c + b2 a2 6) sin x − cos x = 7) sin x − cos x = 9) sin (x + α) = √ 4) sin x + cos x = gb 5) sin x − cos x = ⇔ oc u Bài tập rèn luyện Giải phương trình lượng giác sau : 1) c + b2 a2 oc cos α sin x + sin α cos x = √ c √ om a sin x + b cos x = c √ √ cos 3x − sin 3x = sin 2x 12) cos 2x + 14) cos 2x + sin x − cos x = 16) =4 cos x + sin x + √ √ sin 2x = sin 2x + 20) √ cos x − sin x sin x − cos x = cos x − sin x cos x √ = 2cos2 x + sin x − 18) cos x − sin x + 1 + sin x cos x √ √ =3 cos x − sin x − sin x + cos x + cos x − π =2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng III - Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương trình bậc hai sin x (a = 0) om a sin2 x + b sin x + c = • Nếu a + b + c = Kết luận phương trình ⇔ sin x = c sin x = a • Nếu a − b + c = Kết luận phương trình ⇔ sin x = −1 c sin x = − a c Cách giải oc • Nếu a ± b + c = Ta đặt t = sin x, −1 ≤ sin x ≤ nên điều kiện −1 ≤ t ≤ Khi ta phương trình at2 + bt + c = giải phương trình bậc hai theo t chọn t, thay t = sin x để tìm x Phương trình bậc hai cos x (a = 0) oc u a cos2 x + b cos x + c = Cách giải cos x = c cos x = a • Nếu a − b + c = Kết luận phương trình ⇔ cos x = −1 c cos x = − a gb • Nếu a + b + c = Kết luận phương trình ⇔ • Nếu a ± b + c = Ta đặt t = cos x, −1 ≤ cos x ≤ nên điều kiện −1 ≤ t ≤ Khi ta phương trình at2 + bt + c = on giải phương trình bậc hai theo t chọn t, thay t = cos x để tìm x Phương trình bậc hai tan x a tan2 x + b tan x + c = (a = 0) kh Cách giải Giải phương trình chứa sin x chứa cos x Bài tập rèn luyện Giải phương trình lượng giác sau : 1) 2sin2 2x − π π − sin 2x − +3=0 6 3) tan2 x − + 5) cos4 √ tan x + √ 3=0 x x + sin4 + sin x = 2 2) 2cos2 √ π π − x − cos −x +2=0 3 4) 3tan2 √ x π x π − − − tan +3=0 3 6) sin6 x + cos6 x − cos π − 2x = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Dạng IV - Phương trình bậc hai sin x cos x • Kiểm tra cos x = có nghiệm phương trình không ? om a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = • Khi cos x = 0, chia hai vế phương trình cho cos2 x, ta thu phương trình a tan2 x + b tan x + c = Chú ý Dạng a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d ta làm sau c Bài tập rèn luyện Giải phương trình lượng giác sau : 3) sin2 x − 5) sin2 x− √ √ √ + sin x cos x + + sin x cos x + √ √ 2) sin2 x − cos2 x = cos2 x = √ 4) sin2 x − √ √ + sin x cos x + √ cos2 x = √ + sin x cos x + cos2 x = −2 oc u 1) sin2 x − oc ⇔ ⇔ asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = d asin2 x + b sin x cos x + ccos2 x = d sin2 x + cos2 x (a − d) sin2 x + b sin x cos x + (c − d) cos2 x = + sin x cos x+ √ + cos2 x = −1 6) 3sin2 x + 5cos2 x − cos 2x − sin 2x = Dạng V - Phương trình đối xứng sin x cos x gb a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = • Đặt t = (sin x + cos x) = √ sin x + π π Vì −1 ≤ sin x + 4 on Khi : t2 = (sin x + cos x) = + sin x cos x ⇒ sin x cos x = at + b t2 − √ √ ≤ nên − ≤ t ≤ t2 − , phương trình trở thành : + c = ⇔ bt2 + 2at + 2c − b = • Giải phương trình bậc hai theo t chọn t, thay t = √ sin x − π để tìm x kh Chú ý Dạng a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = ta đặt t = (sin x − cos x) Bài tập rèn luyện Giải phương trình lượng giác sau : √ 1) (sin x + cos x) − sin x cos x − = 3) √ 2) + √ (sin x + cos x) − sin 2x − + 4) cos3 x + (sin x + cos x) − sin 2x − = 5) (3 − cos 4x) (sin x − cos x) = 6) cos x + √ sin x cos x + sin3 x = 1 10 + sin x + = cos x sin x √ =0 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 41 Giải phương trình: π + 3x + cos cos Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2π − 4x + cos x = Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2012 lần ⇔ ⇔ ⇔ Bài 42* Giải phương trình: c ⇔ π 2π + 3x + cos − 4x = − cos x 3 7x π π x x cos cos − − = 2sin2 2 x 7x π x sin cos − = 2sin2 2 x 7x π x sin cos − − sin =0 2 x 7x π π x =0 sin cos − − cos − 2 2 cos + cos x cos 3x = tan 5x oc ⇔ om Hướng dẫn • Phương trình cho Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2012 lần π π kπ + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z 10 Hướng dẫn • Điều kiện : cos 5x = ⇔ 5x = oc u • Với điều kiện phương trình sin x + sin x cos x cos 3x ⇔ = tan 5x sin x sin x + (sin 5x − sin x) = tan 5x ⇔ sin x sin 5x = ⇔ sin x = cos 5x sin x + = ⇔ sin x + sin 2x cos 3x = tan 5x sin x sin 5x sin 5x = sin x cos 5x cos 2x − cos x − gb Bài 43* Giải phương trình: ⇔ Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2012 lần ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (sin x + 1) (2 cos x − 4) = (3 cos 2x − 5) sin x cos x − cos 2x + cos x − sin x + = sin x cos x + (1 − cos 2x) + (2 cos x − sin x) = sin x cos x + 2sin2 x − cos2 x + (cos x − sin x) = 2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − sin x) = 2sin2 x + cos x sin x − cos2 x + (cos x − sin x) = (sin x + cos x) (2 sin x − cos x) + (cos x − sin x) = (2 sin x − cos x) (sin x + cos x − 1) = kh on Hướng dẫn • Phương trình cho trở thành Bài 44 Giải phương trình: 2cos3 x = cos x + tan 2x + sin x sin 2x Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2012 lần π π kπ Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x − cos2 x + tan 2x + sin x sin 2x = sin 2x 2sin2 x cos x + + sin x sin 2x = cos 2x sin 2x sin x sin 2x + + sin x sin 2x = cos 2x sin 2x sin x + = cos 2x 39 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 45 Giải phương trình: cos 3x + Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2π = + cos x + cos x cos x − 2π 4π = + cos 2x − cos cos x = cos 2x cos 3x + cos x cos x 4cos3 x − cos x + = cos x 2cos2 x − 4cos4 x − 4cos3 x − 3cos2 x + cos x + = 4cos3 x (cos x − 1) − (cos x − 1) (3 cos x + 1) = (cos x − 1) 4cos3 x − cos x − = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ c cos 3x + om Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2011 lần π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình (1 + tan x) cos 5x = sin x + cos x + cos 4x − cos 2x Bài 46* Giải phương trình: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (cos x + sin x) (cos 4x cos x − sin 4x sin x) = sin x + cos x + sin x − 4sin3 x sin x cos x (cos x + sin x) cos 4x − 4sin2 x cos 2x = sin x + cos x + 4sin2 x − 4sin2 x (cos x + sin x) − cos 4x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 2sin2 2x + 4sin2 x cos 2x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 8sin2 x − sin2 x + 4sin2 x − 2sin2 x + 4sin2 x − 4sin2 x = (cos x + sin x) 8sin2 xcos2 x + 4sin2 x − 2sin2 x + 4sin2 x − 4sin2 x = 4sin2 x − 4sin2 x (cos x + sin x + 1) = oc u ⇔ oc Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2011 lần π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình tan2 x + 9cot2 x + gb Bài 47* Giải phương trình: cos 2x + = 14 sin 2x on Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2011 lần kπ Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ cot x = kh • Đặt t = tan x ⇒ ⇔ Bài 48 Giải phương trình: 3cos2 x + sin2 x = 14 sin x cos x 2 tan x + 9cot x + cot x + tan x = 14 tan2 x + 9cot2 x + Khi phương trình trở thành t t2 + + + t = 14 t t ⇔ t4 + + 3t + t3 = 14t2 ⇔ t4 + t3 − 14t2 + 3t + = sin 4x + cos 3x + cos x = sin x + Đại học Quốc Gia - Đại học KHTN - HÀ NỘI 2011 lần Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x cos x cos 2x + cos 3x + cos x = sin x + 2 sin x (cos 3x + cos x) + cos 3x + cos x = (2 sin x + 1) (cos 3x + cos x) (2 sin x + 1) = (2 sin x + 1) (2 sin x + 1) (cos 3x + cos x − 2) = 40 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 49 Giải phương trình: sin3 x + cos3 x + (cos x − sin x) = Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin 4x 16 Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2012 lần 1A Hướng dẫn • Phương trình cho (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) = sin 4x − sin 2x 16 ⇔ 16 (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) = sin 2x cos 2x (2 − sin 2x) ⇔ (sin x + cos x) [8 (1 − sin x cos x) − sin 2x (cos x − sin x) (2 − sin 2x)] = cos3 x − sin3 x + (cos x + sin x) = cos 2x c Bài 50 Giải phương trình: om ⇔ Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2012 lần 1B oc Hướng dẫn • Phương trình cho (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) = cos 2x + sin 2x ⇔ (cos x − sin x) (1 + sin x cos x) = cos 2x (2 + sin 2x) ⇔ (cos x − sin x) [4 (1 + sin x cos x) − (cos x + sin x) (2 + sin 2x)] = oc u ⇔ Bài 51 Giải phương trình: 16 sin6 x + cos6 x − sin 4x + √ (1 + tan x tan 2x) = 10 Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2012 lần 2A gb cos x = cos 2x = Hướng dẫn • Điều kiện :  π x = + kπ ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình 16 − 3sin2 xcos2 x − sin 4x + kh on ⇔ √ √ (cos x cos 2x + sin x sin 2x) = 10 cos x cos 2x =0 cos 2x ⇔ − 12sin2 2x − sin 4x + ⇔ √ − 2sin2 2x − sin 4x − sin 2x = ⇔ cos 4x − sin 4x = ⇔ sin √ 2 sin 2x π − 4x = sin 2x 41 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 52 Giải phương trình: (tan x cot 2x − 1) sin 4x + Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh π =− sin4 x + cos4 x Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2012 lần 2B Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ c ⇔ sin x cos 2x − cos x sin 2x cos 4x = − − 2sin2 xcos2 x cos x sin 2x − sin x 1 cos 4x = − − sin2 2x cos x sin 2x 2 1 −1 cos 4x = − + cos x 2cos2 x 2 2 + cos x cos 4x = cos2 x + cos 2x + cos2 x 2cos2 x − = 2 cos3 x − 7cos2 x + cos x + = Bài 53 Giải phương trình: oc ⇔ om • Với điều kiện phương trình cot x + sin x + tan x tan x = oc u Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2011 lần 1A    sin x = Hướng dẫn • Điều kiện : cos x =  x  cos = • Với điều kiện phương trình cot x + sin x ⇔ ⇔ sin x cos x + =4 sin x cos2x cos x + sin x = sin x cos x sin 2x = kh on ⇔ kπ , k ∈ Z cos x cos x2 + sin x sin x2 cos x cos x2 gb ⇔ ⇔ sin 2x = ⇔ x = 42 =4 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 54 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin 2x + tan x = Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2011 lần 1D Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x cos 2x + cos2 x tan2 x − + 2sin3 x = .c Bài 55 Giải phương trình: sin x =3 cos x sin xcos2 x + sin x = cos x tan x + tan x + tan2 x = + tan2 x 2tan3 x − 3tan2 x + tan x − = (tan x − 1) 2tan2 x − tan x + = sin x cos x + om • Với điều kiện phương trình Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 1A π + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình oc u ⇔ ⇔ ⇔ sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = cos2 x sin x cos 2x + sin2 x − cos2 x + 2sin3 x = sin x − 2sin2 x + 2sin2 x − + 2sin3 x = 2sin2 x + sin x − = sin x cos 2x + cos2 x ⇔ oc Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = Bài 56 Giải phương trình: tan x + cot x = (sin 2x + cos 2x) Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 1B sin x = cos x = • Với điều kiện phương trình kπ , k ∈ Z ⇔ sin 2x = ⇔ x = gb Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ on ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x − = 3(sin x − cos x) tan2 2x kh Bài 57 Giải phương trình: sin x cos x + = (sin 2x + cos 2x) cos2x sin x sin x + cos x = (sin 2x + cos 2x) sin x cos x = sin 2x (sin 2x + cos 2x) − sin2 2x = sin 2x cos 2x cos2 2x = sin 2x cos 2x cos 2x (cos 2x − sin 2x) = Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 2A Hướng dẫn • Điều kiện : cos 2x = ⇔ x = π kπ + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin2 2x sin 2x − = 3(sin x − cos x) 3sin 2x + sin 2x (5 sin 2x − 2) (1 + sin 2x) = 3sin2 2x 2sin2 2x + sin 2x − = sin 2x − = 43 (cos x − sin x) (cos x + sin x) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 58 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin x − = (1 − sin x) tan2 x ⇔ sin x − = (1 − sin x) ⇔ sin x − = 3sin2 x + sin x (5 sin x − 2) (1 + sin x) = 3sin2 x 2sin2 x − sin x − = ⇔ ⇔ − tan x (tan x + sin x) + cos x = .c Bài 59 Giải phương trình: sin2 x − sin2 x om Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 2B π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình oc Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 2D π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình sin x sin x + sin x + cos x = cos x cos x 3cos2 x − sin2 x − 2sin2 x cos x + 6cos3 x = 3cos2 x (1 + cos x) − sin2 x (1 + cos x) = (1 + cos x) 3cos2 x − sin2 x = ⇔ 3− oc u ⇔ ⇔ ⇔ √ √ 3cot2 x + 2sin2 x = + cos x Bài 60* Giải phương trình: Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 3A Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ √ cos2 x 2 + 2sin x = cos x + cos x sin x √ cos x √ + 2sin2 x − cos x = cos x − sin x √ cos x 2sin x − cos x − = sin2 x gb ⇔ ⇔ ⇔ on Cách khác Với điều kiện phương trình ⇔ kh ⇔ ⇔ ⇔ √ √ cos2 x 2 + 2sin x = cos x + cos x sin x √ √ 3cos2 x + 2sin4 x = + cos xsin2 x √ √ 2 3cos x + 2 − cos x = + 2√ cos x − cos2 x √ √ √ √ 2cos x + + cos x + − cos2 x − + cos x + 2 = Bài 61 Giải phương trình: √ x π − cos x − 2sin2 − 2x 4sin − = Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh 2010 lần 3B x π Hướng dẫn • Điều kiện : sin2 = ⇔ x = ± + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ π x ⇔ − cos x − + cos x − = 4sin2 − 2 √ ⇔ √ − cos x − + sin x = (1 − cos x) − ⇔ cos x + sin x = 44 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Hướng dẫn • Điều kiện : (cot x + cos x) = (1 + sin x) cot x − cos x sin x = cot x − cos x = Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2012 lần   sin x = kπ ⇔ cos x = ⇔ x = , k ∈ Z   sin x = om Bài 62 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh • Với điều kiện phương trình cos x + cos x sin x = (1 + sin x) cos x − cos x sin x (1 + sin x) = (1 + sin x) − sin x (1 + sin x) [3 − (1 − sin x)] = (1 + sin x) (1 + sin x) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos3 x − cos2 x = (1 + sin x) sin x + cos x oc Bài 63 Giải phương trình: c ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ oc u Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2012 lần π Hướng dẫn • Điều kiện : sin x + cos x = ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình cos2 x (cos x − 1) = (1 + sin x) (sin x + cos x) − sin2 x (cos x − 1) = (1 + sin x) (sin x + cos x) (1 + sin x) [(1 − sin x) (cos x − 1) − (sin x + cos x)] = (1 + sin x) (sin x + cos x + sin x cos x + 1) = Bài 64 Giải phương trình: cos 6x + cos 4x − √ cos 2x = sin 2x + √ gb Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2012 lần Hướng dẫn • Phương trình cho on ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 65* Giải phương trình: √ √ cos 5x cos x − √3 cos 2x − − sin 2x = cos 5x cos x − √3 (cos 2x + 1) − sin 2x = cos 5x cos x − √ 3cos2 x − sin 2x = cos x cos 5x − cos x − sin x = sin 3x − cos 3x − cos x sin 2x − = − cos 2x kh Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2012 lần  π x = + kπ 12 Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ , k ∈ Z x = 5π + kπ 12 • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin x − 4sin3 x − 4cos3 x + cos x − cos x = − − 2sin2 x sin 2x − (sin x + cos x) − (sin x + cos x) (1 − sin x cos x) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − (sin x + cos x) (3 − (1 − sin x cos x)) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − (sin x + cos x) (2 sin 2x − 1) − cos x = 2sin2 x + sin 2x − sin x = 2sin2 x + 45 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh + cos x + cos 2x − cos 3x = sin x sin 2x Bài 66 Giải phương trình: Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2011 lần Hướng dẫn • Phương trình cho + cos x + 2cos2 x − − 4cos3 x − cos x = 8sin2 x cos x + cos x + 2cos2 x − − 4cos3 x − cos x = − cos2 x cos x 2cos2 x + cos x = √ (cos x − sin x) Bài 67 Giải phương trình: = tan x + cot 2x cot x − om ⇔ ⇔ ⇔ √ (cos x − sin x) sin x = sin x cos 2x cos x − sin x + cos x √ sin 2x sin 2x = sin√ x sin x cos x − = oc u ⇔ ⇔ , k ∈ Z oc ⇔  x = kπ ⇔ x = π + kπ c Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2011 lần  cos x =    sin 2x = Hướng dẫn • Điều kiện :  cos x − sin x =    tan x + cot 2x = • Với điều kiện phương trình 2sin2 x − Bài 68 Giải phương trình: π = 2sin2 x − tan x on gb Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2011 lần π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình sin x π = 2sin2 x − ⇔ − cos 2x − 2 cos x 2sin x cos x − sin x ⇔ − sin 2x = cos x sin x (sin 2x − 1) ⇔ − sin 2x = cos x ⇔ − sin 2x = tan x (sin 2x − 1) ⇔ (1 − sin 2x) (1 − tan x) = sin 2x +√ = cos x sin x + cos x tan x Bài 69 Giải phương trình: kh   sin x + cos x = Hướng dẫn • Điều kiện : tan x =   cos x = ⇔ π sin 2x = sin x + Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI 2011 lần  π   sin x + = ⇔ sin x =   cos x =  π x = − + kπ =0 ⇔ , k ∈ Z x = kπ • Với điều kiện phương trình sin 2x cos x ⇔ +√ = cos x sin x + cos x sin x √ √ ⇔ sin x sin 2x + cos x (sin = 2 sin x cos x (sin x + cos x) √ x + cos x) ⇔ cos x (sin x + cos x) = 2√ sin xcos2 x ⇔ cos x sin x + cos x − 2 sin x cos x = 46 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 70 Giải phương trình: sin Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 5x x = 5cos3 x sin 2 Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2010 lần 1A 5x = sin = ±1 5cos3 x sin x π = 5cos3 (π + k2π) sin + kπ = ±5 2 x x = không nghiệm phương trình nên nhân hai vế cho cos ta 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 71 Giải phương trình: x x x 5x cos = 5cos3 x sin cos sin 2 2 (sin 3x + sin 2x) = cos x sin x 2 sin 3x + sin 2x = 5cos3 x sin x sin x − 4sin3 x + sin x cos x = 5cos3 x sin x sin x − 4sin2 x + cos x − 5cos3 x = sin x 5cos3 x − 4cos2 x − cos x + = .c • Do cos 5π + k5π oc sin x = ⇔ x = π + k2π, ta có om Hướng dẫn • Nếu cos √ √ 2cos2 x + sin x cos x + = sin x + 3 cos x oc u Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2010 lần 1D Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ + cos 2x √+ sin 2x + = sin x√+ cos x cos 2x + sin 2x + = sin x + cos x π π ⇔ sin 2x + + = sin x + π π ⇒ 2x + = 2t − , phương trình trở thành π sin 2t − + = sin t ⇔ − cos 2t + = sin t ⇔ 2sin2 t = sin t ⇔ sin t (2 sin t − 3) = ⇔ ⇔ π on gb • Đặt t = x + Bài 72 Giải phương trình: tan x + cot 2x = sin 2x + Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2010 lần 2D cos x = sin 2x = • Với điều kiện phương trình Hướng dẫn • Điều kiện : kh sin 2x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z 2 sin x cos 2x + = sin 2x + cos x sin 2x sin 2x 4sin2 x + cos 2x = 2sin2 2x + 4sin2 x + cos 2x − − 2sin2 2x = 4sin2 x − 2sin2 x − 2sin2 2x = 2sin2 x − 2sin2 2x = 2sin2 x − 4cos2 x = 47 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 73 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin 3x + sin 5x − sin x cos 2x = Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2011 lần 1A Hướng dẫn • Phương trình cho sin 3x + sin 5x − (sin 3x − sin x) = sin 3x + sin 3x cos 2x = Bài 74 Giải phương trình: ⇔ ⇔ sin 3x + sin 5x + sin x = sin 3x(3 + cos 2x) = om ⇔ ⇔ (1 + cos 2x) sin 2x = (sin 3x + sin x) (1 + sin x) − sin x c Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2011 lần 1D π Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình (1 + cos 2x) sin 2x = (sin 3x + sin x) (1 + sin x) (1 − sin x) 2cos2 x sin 2x = (2 sin 2x cos x) cos2 x 2cos2 x sin 2x = sin 2x cos xcos2 x 2cos2 x sin 2x (1 − cos x) = Bài 75 Giải phương trình: oc ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x + sin 2x + = cos 3x ⇔ cos x + sin 2x + cos 3x =0 cos 3x cos 2x cos x + sin 2x = cos x (cos 2x + sin x) = Bài 76 Giải phương trình: cos x = tan x − sin x = • Với điều kiện phương trình on Hướng dẫn • Điều kiện : cos x + sin 2x + cos 3x = ⇔ cos 2x cos x + sin x cos x = Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2011 lần 2D ⇔x= kπ , k ∈ Z ⇔ (1 + cos x) − cos x (1 + cos x) = 2sin2 x − cos x (1 + cos x) − cos x (1 + cos x) (1 − cos x) = 2sin2 x (1 − cos x) ⇔ ⇔ (1 + cos x) − cos x (1 − cos x) − 2(1 − cos x) (1 + cos x) (2 cos x + 1) = ⇔ kh ⇔ (tan x + sin x) − cos x (1 + cos x) = 2sin2 x tan x − sin x gb ⇔ ⇔ oc u Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2011 lần 2A π kπ Hướng dẫn • Điều kiện : cos 3x = ⇔ x = + , k ∈ Z • Với điều kiện phương trình Bài 77* Giải phương trình: tan √ π cos x − sin x =0 + = Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2012 lần 1A Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ π π ⇔ cos x − sin x = − + kπ ⇔ cos x − sin x = −1 + 4k 4 √ • Để phương trình có nghiệm ⇔ (1 − 4k) ≤ 12 + ( 3)2 ⇔ − ≤ k ≤ Do k ∈ Z nên ta chọn k = 4 √ Khi phương trình trở thành : cos x − sin x = −1 48 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 78 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin 2x + cos 2x + = (3 cos x − 2) sin2 x + Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2012 lần 1D ⇔ ⇔ ⇔ Bài 79 Giải phương trình: sin2 xcos2 x + 2cos2 x = (3 cos x − 2) sin2 x + cos2 x sin2 x + = (3 cos x − 2) sin2 x + cos2 x − cos x + = √ cos 2x = 1 + sin x cos x om Hướng dẫn • Phương trình cho Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2012 lần 2A c sin x = kπ ⇔x= , k ∈ Z cos x = • Với điều kiện phương trình √ ⇔ cos 2x sin x cos √ x = cos x + sin x ⇔ (sin x + cos x) (cos x − sin x) sin x cos x − = Bài 80 Giải phương trình: oc Hướng dẫn • Điều kiện : √ √ 2sin2 x − sin x cos x + = cos x − sin x oc u Chuyên Lê Quý Đôn - QUẢNG TRỊ 2012 lần 2D Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ √ √ 3sin2 x − sin x cos x + cos2 x = cos x − sin x √ √ = cos x − sin x √3 sin x − cos x √ sin x − cos x sin x − cos x + = Bài 81 Giải phương trình: gb √ 2 π π (sin x + cos x) − 2sin2 x = sin − x − sin − 3x 4 + cot2 x Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 1A kh on Hướng dẫn • Điều kiện : sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 82 Giải phương trình: π + sin 2x − 2sin2 x √ = cos − 2x sin x + cot x cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x) sin x + cot2 x cos 2x + sin 2x = (sin 2x + cos 2x) sin x (sin 2x + cos 2x) − = sin x √ sin x + cos x = cos x Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 1D π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ ⇔ √3 sin x cos x + cos2 x = ⇔ √3 sin x cos x + cos2 x − = ⇔ sin√ x cos x − sin2 x = ⇔ sin x cos x − sin x = 49 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 83 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x) (1 − sin x) Bài 84 Giải phương trình: c om Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 2A  π  x = + k2π   2π  + sin x = Hướng dẫn • Điều kiện : ⇔ x = − + k2π , k ∈ Z  − sin x =  7π   + k2π x= • Với điều kiện phương trình √ √ ⇔ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x) (1 − sin x) ⇔ cos x − sin 2x = (sin x + cos 2x) √ √ π π ⇔ sin ⇔ cos x − sin x = sin 2x + cos 2x − x = sin 2x + 2cos3 x − cos x − sin 2x = (1 + cos x) (1 + sin x) cos x − oc Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 2D Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình 2cos3 x − cos x − sin 2x = (cos x − 1) (1 + cos x) (1 + sin x) cos x cos2 x − − sin x = −2sin2 x (1 + sin x) cos x −sin2 x − sin x = −sin2 x (1 + sin x) − sin x cos x (1 + sin x) = −sin2 x (1 + sin x) − sin x (1 + sin x) (cos x − sin x) = oc u ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 85 Giải phương trình: √ π x + sin x − cos2 x tan − = tan x + sin x gb Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 3A    sin x =   x = kπ π x kπ − =0 ⇔ , k ∈ Z Hướng dẫn • Điều kiện : cos ⇔x= 3π   2  x = + k2π cos x = • Ta có cos x2 − sin x2 cos2 x2 − sin2 x2 − tan x2 π x cos x tan − = = = = x x + tan x2 cos x2 + sin x2 + sin x cos + sin on 2 • Với điều kiện phương trình ⇔ kh ⇔ √ + sin x − cos2 x cos x = tan x + + sin x sin x √ sin x + cos x = tan x + sin x + sin x ⇔ ⇔ √ sin2 x + sin x cos x = tan x + + sin x sin x √ cot x = tan x + Bài 86 Giải phương trình: √ (2 sin x − 1) = (sin x − 1) − cos 2x + π π − sin 2x + 4 Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP 2012 lần 3D Hướng dẫn • Phương trình cho √ √ ⇔ (2 sin x −√1) = (sin x − 1) − √ sin 2x + π2 √ ⇔ 2√2 sin x − √2 = (sin x − 1) − √2 cos 2x ⇔ 2 sin x −√ = (sin x − 1) √ − − 2sin x ⇔ 2sin x + 2 − sin x − 2 = 50 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học Bài 87 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh cos x (cos x + sin x) + sin x sin x + sin 2x − √ = Chuyên HÀ TĨNH 2012 lần ⇔ ⇔ ⇔ om π Hướng dẫn • Điều kiện : sin 2x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình √ cos x (cos x + sin x) + sin x sin x + = sin 2x − √ cos2 x + sin √ x cos x + 3sin x + sin x = sin 2x − 2sin x + sin x + = + cos 3x = −2 sin x − cos x c Bài 88 Giải phương trình: Chuyên HÀ TĨNH 2012 lần ⇔ ⇔ oc Hướng dẫn • Điều kiện : sin x ≤ ⇔ π + k2π ≤ x ≤ 2π + k2π, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình + cos 3x = 4sin2 x − cos x + 4cos3 x − cos x = − cos2 x (2 − cos x) sin2 x 7π + + cos 3x = − cos2 x (2 − cos x) ⇔ 8cos2 x + cos x = tan2 (3π − x) − cos2 oc u Bài 89 Giải phương trình: ⇔ x = Chuyên HÀ TĨNH 2012 lần π Hướng dẫn • Điều kiện : cos (3π − x) = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ 7π 1 − cos x − tan2 x − (1 + cos x) = 2 sin2 x − (1 + cos x) = + sin x (1 + cos x) [(1 − cos x) − (1 + sin x)] = gb ⇔ Bài 90 Giải phương trình: tan 2x − π π tan 2x + 4 sin2 x − (1 + cos x) = cos2 x ⇔ (1 − sin x) ⇔ sin2 x − (1 + cos x) (1 + sin x) = ⇔ (1 + cos x) (sin x + cos x) = = 4cos2 2x tan x − cot x kh on Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2010 A   π 3π kπ   = cos 2x −   + x=       π     =0 cos 2x + x = π + kπ Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ , k ∈ Z kπ       x=     sin x =      x = ± π + kπ tan x = cot x • Ta có π π π π π π tan 2x − tan 2x + = − tan − 2x tan 2x + = − cot 2x + tan 2x + = −1 4 4 4 • Với điều kiện phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4cos2 2x −1 = tan x − cot x cos x sin x − = 4cos2 2x sin x cos x2 cos 2x = 4cos 2x sin x cos x cos 2x (1 − cos 2x sin 2x) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 51 cot x − tan x = 4cos2 2x cos 2x = 4cos2 2x sin x cos x cos 2x (1 − cos 2x sin x cos x) = cos 2x (1 − sin 4x) = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học 2sin2 x + Bài 91 Giải phương trình: √ sin 2x + = Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh √ sin x + cos x Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2010 B √ √ 3sin2 x + sin 2x + cos2 x = sin x + cos x √ √ = sin x + cos x √3 sin x + cos x √ sin x + cos x sin x + cos x − = ⇔ ⇔ ⇔ √ Bài 92 Giải phương trình: cos 3x + 2sin2 x = + sin 2x om Hướng dẫn • Phương trình cho Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2010 D Hướng dẫn • Phương trình cho c ⇔ √ √2 cos 3x = − 2sin x + sin 2x √2 cos 3x = cos 2x + sin 2x cos 3x = cos 2x + sin 2x √ √ π cos 3x = cos 2x − oc ⇔ ⇔ ⇔ sin2 4x sin x + cos4 x − = cos2 x Bài 93* Giải phương trình: Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2011 lần 1A oc u Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ • Ta có (*) gb ⇔ sin2 4x sin x = cos2 x − cos4 x + sin2 4x sin x = cos2 x − cos2 x + sin2 4x sin x = cos2 xsin2 x + sin2 4x sin x = sin2 2x + on sin2 4x sin x ≤ sin 2x + ≥  sin2 4x sin x = Do phương trình (*) ⇔ Hệ vô nghiệm nên phương trình cho vô nghiệm sin2 2x = √ π Bài 94 Giải phương trình: 2sin2 x + sin 2x = 2 sin x sin 3x + Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2011 lần 1D kh Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ Bài 95 Giải phương trình: sin x (sin x + cos x) = sin x (sin 3x + cos 3x) sin x [(sin x + cos x) − (sin 3x + cos 3x)] = cos x − sin x + cos 2x + sin 2x = + cos 3x Chuyên Lương Văn Chánh - PHÚ YÊN 2013 lần Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (cos x − cos 3x) − sin x + (cos 2x − 1) + sin 2x = sin 2x sin x − sin x − 2sin2 x + sin x cos x = sin x (2 sin 2x − − sin x + cos x) = sin x [2 (cos x − sin x) + sin x cos x − 1] = 52 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác đề thi Đại học √ 2 cos Bài 96* Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 5π − x sin x = 12 Chuyên Vĩnh Phúc - 2011 lần 3A Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ √ 5π 5π + sin 2x − =1 12 12 5π π 5π sin 2x − = sin − sin 12 12 5π π sin 2x − = sin − 12 12 sin ⇔ ⇔ 5π 5π π + sin 2x − = sin 12 12 5π π π sin 2x − = cos sin − 12 12 sin om ⇔ x x − cos3 2 = cos x + sin x Bài 97 Giải phương trình: c sin3 Chuyên Vĩnh Phúc - 2011 lần 4D ⇔ ⇔ sin x2 − cos x2 + 12 sin x x x x x cos − sin cos + sin = + sin x 2 2 x x x x x x sin − cos cos + sin (2 + sin x) + sin x = cos − sin 2 2 2 x x x x sin − cos + sin x + cos + sin (2 + sin x) = 2 2 oc u ⇔ oc Hướng dẫn • Phương trình cho cos 2x + = (2 − cos x) (sin x − cos x) Bài 98 Giải phương trình: Chuyên Vĩnh Phúc - 2012 lần 3A Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ 2cos2 x + = (sin x − cos x) − sin x cos x + 2cos2 x (sin x − cos x) − sin x cos x − = (1 − tan x) (1 + sin 2x) = + tan x gb Bài 99 Giải phương trình: Chuyên Vĩnh Phúc - 2012 lần 4A on π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x − sin x cos x + sin x (sin x + cos x) = cos x cos x (cos x − sin x) (sin x + cos x) = (cos x + sin x) (cos x + sin x) cos 2x = (cos x + sin x) (cos x + sin x) (cos 2x − 1) = kh Bài 100* Giải phương trình: sin x − 4sin3 x + cos x = Chuyên Vĩnh Phúc - 2012 lần 4B Hướng dẫn • Phương trình cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −2 sin x + sin x − 4sin3 x + cos x = −2 sin x + sin 3x + cos x = sin 3x − sin x + cos x − sin x = cos 2x sin x + cos x − sin x = (cos x − sin x) [2 (cos x + sin x) sin x + 1] = (cos x − sin x) 3sin2 x + sin x cos x + cos2 x = ——— HẾT 53 ——— [...]... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 4 Một vài thủ thuật om 1 Các bước giải một phương trình lượng giác • Bước 1 Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa (nếu có) Các phương trình có chứa căn, có mẫu số, có tan hoặc cot thì cần có điều kiện • Bước 2 Sử dụng các phép biến đổi để đưa phương trình về 1 trong 5 dạng cơ bản... 2 Các phương pháp giải phương trình lượng giác oc • Phương pháp 1 Biến đổi đưa về dạng cơ bản • Phương pháp 2 Biến đổi phương trình về dạng tích : A.B = 0 ⇔ A=0 B=0 oc u • Phương pháp 3 Biến đổi phương trình về dạng tổng bình phương : A2 + B 2 = 0 ⇔ • Phương pháp 4 Đánh giá hai vế : A=B A≤m B≥m mà Do đó A = B ⇔ A=m B=m gb 3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 (Biến đổi về dạng cơ bản) Giải phương trình sau:... liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2 (1 − sin 2x) sin x + Bài 19* Giải phương trình: 3π 4 + cos 2x = 0 Chuyên Đại học Vinh – NGHỆ AN 2012 lần 3 Hướng dẫn • Phương trình đã cho π + cos2 x − sin2 x = 0 4 ⇔ √ √ π − 1 − sin 2x 2 sin x − + cos2 x − sin2 x = 0 4 √ − 1 − sin 2x (sin x − cos x) + cos2 x − sin2 x = 0 ⇔ (cos x − sin x) Bài 20 Giải phương trình: ... tan a tan b = kh on gb 6 Đường tròn lượng giác 12 cos (a − b) cos a sin b cos (a − b) cos a cos b 3 sin 4x 4 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh Phần 5 Các đề thi Đại học 5 sin x + cos 3x + sin 3x 1 + 2 sin 2x om Bài 1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình : = cos 2x + 3 Chính thức khối... www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 23 Giải phương trình: Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh (sin 2x − cos 2x) tan x + sin 3x = sin x + cos x cos x om Chuyên Đại học Vinh – NGHỆ AN 2011 lần 3 π Hướng dẫn • Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2 • Với điều kiện trên phương trình ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Bài 24 Giải phương trình: c (sin 2x − cos 2x) sin x + sin 3x = sin... Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 26 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 Chính thức khối A năm 2005 Hướng dẫn • Phương trình đã cho ⇔ 1 + cos 6x 2 cos 2x − 1 + cos 2x =0 2 4cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 Bài 27 Giải phương trình : ⇔ cos 6x cos 2x − 1 = 0 ⇔ 4cos4 2x − 3cos2 2x −... tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 69 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 √ = 0 tan x + 3 Chính thức khối D năm 2011 Hướng dẫn • Phương trình đã cho trở thành sin 2x + 2 cos x − sin x − 1 = 0 ⇔ (sin 2x + 2 cos x) − (sin x + 1) = 0 ⇔ 2 cos x (sin x + 1) − (sin x + 1) = 0 ⇔ (sin x + 1) (2 cos x − 1) = 0 Bài 70 Giải phương trình :... A=0 B=0 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh om Ví dụ 3 (Biến đổi về dạng tổng hai bình phương) Giải phương trình sau: √ 3tan2 x + 4sin2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 π Lời giải Điều kiện : cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z 2 Phương trình đã cho √ ⇔ 3tan2 x − 2 3 tan x + 1 + 4sin2 x − 4 sin x + 1 =... thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 31 Giải phương trình : 4sin2 Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh x √ 3π − 3 cos 2x = 1 + 2cos2 x − 2 4 Dự bị 2 khối B năm 2005 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 (1 − cos x) − √ 3 cos 2x = 1 + 1 + cos 2x − √ 2 (1 − cos√x) − 3 cos 2x = 2 − sin 2x sin 2x − 3 cos 2x = 2 cos x π = cos x sin 2x − 3 π π sin 2x − = sin −x 3 2 Bài 32 Giải phương trình : cos4 x +... Điều kiện : cos + x = 0 ⇔ − sin x = 0 ⇔ sin x = 0 2 • Với điều kiện trên phương trình ⇔ − cot x − 3tan2 x = ⇔ − cot x − tan2 x = 0 −2sin2 x cos2 x 19 ⇔ − cot x − 3tan2 x = −2tan2 x ⇔ tan3 x = 1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học Bài 35 Giải phương trình : Thạc sĩ: Huỳnh Đức Khánh 2 cos6 x + sin6 x − sin x cos x √ = 0 2