Hàm số ôn thi đại học cấp tốc

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Để em thuận tiện việc ôn luyện thi Đại học Cao đẳng năm 2009 Chúng gởi tặng em viết nhỏ mang tính tổng quát giải tích hàm số lớp 12 , số ứng dụng độc giải triệt để dạng toán đề cập lớp học mà em bỏ ngõ Tài liệu đề cập nhiều chủ đề chuyên đề phù hợp việc ôn luyện thi cấp tốc chuẩn bị kỳ thi Đại học tháng 7/2009 kh on gb oc uo c co m Trong trình biên soạn hẳn nhiều chỗ thiếu sót khách quan, mong đóng góp quý báu bạn độc giả gần xa , thư góp ý gởi email: phukhanh1009@gmail.com Tài liệu lưu trữ hai website : http://www.mathsvn.violet.vn http://www.maths.vn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT om Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi ( ) ( ) ⇒ f (x ) > f (x ) • Đồng biến K với x 1, x ∈ K , x < x ⇒ f x < f x ; • Nghịch biến K với x 1, x ∈ K , x < x c Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I ( ) I f ' ( x ) ≤ với x ∈ I • Nếu hàm số f nghịch biến khoảng bo cu Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : oc • Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f ' x ≥ với x ∈ I Định lý : Định lý giá trị trung bình phép vi phân (Định lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm khoảng a;b tồn điểm c ∈ a;b ( ) () () ( )( ( ) ) cho f b − f a = f ' c b − a Định lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi : • Nếu f ' x > với x ∈ I hàm số f đồng biến khoảng I ; • on g • ( ) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ I hàm số f Nếu f ' ( x ) = với x ∈ I hàm số f nghịch biến khoảng I ; không đổi khoảng I kh Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x > khoảng a;b hàm số f đồng biến a;b  ( ) ( ) ( ) ( ) • Nếu hàm số f liên tục a;b  có đạo hàm f ' x < khoảng a;b hàm số f nghịch biến a;b  • Ta mở rộng định lí sau : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f '(x ) ≥ với ∀x ∈ I ( f '(x ) ≤ với ∀x ∈ I ) f '(x ) = số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số ( ) Xét chiều biến thiên hàm số y = f x ta thực bước sau: m • Tìm tập xác định D hàm số • Tính đạo hàm y ' = f ' x ( ) ( ) ( ) co • Tìm giá trị x thuộc D để f ' x = f ' x không xác định ( ta gọi điểm tới hạn hàm số ) • Xét dấu y ' = f ' x khoảng x thuộc D ( ) • Dựa vào bảng xét dấu điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số c Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = − x − 3x + 24x + 26 uo y = x − 3x + y = x + 3x + 3x + Giải: y = − x − 3x + 24x + 26 Hàm số cho xác định » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 oc on gb x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = Bảng xét dấu y ' x −∞ −4 y' − + +∞ − ( ) ( ) y ' > 0, x ∈ ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) ⇒ y nghịch biến khoảng ( −∞; −4 ) , ( 2; +∞ ) y ' > 0, x ∈ −4;2 ⇒ y đồng biến khoảng −4;2 , Hoặc ta trình bày : Hàm số cho xác định » Ta có : y ' = −3x − 6x + 24 kh x = −4 y ' = ⇔ −3x − 6x + 24 = ⇔  x = Bảng biến thiên x −∞ −4 y' − + +∞ y ( ) +∞ − −∞ ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến khoảng −4;2 , nghịch biến khoảng −∞; −4 2; +∞ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu y = x − 3x + Hàm số cho xác định » x = y ' = ⇔ 3x (x − 2) = ⇔  x = Bảng biến thiên x −∞ + − y' m Ta có : y ' = 3x − 6x = 3x (x − 2) +∞ y Vậy hàm đồng biến khoảng (−∞; 0) (2; +∞) , nghịch biến (0;2) ( ) ( ) Ta có: f ' x = 3x = 6x + = x + ( ) c y = x + 3x + 3x + Hàm số cho xác định » ( ) co + uo f ' x = ⇔ x = −1 f ' x > với x ≠ −1 ( ) Vì hàm số đồng biến nửa khoảng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm số đồng biến » x y' oc Hoặc ta trình bày : −∞ −1 + y +∞ + +∞ gb −∞ Vì hàm số đồng biến nửa khoảng −∞; −1  −1; +∞ nên hàm số đồng biến » ( ) on Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: 1 y = − x + 2x − 4 y = x + 2x − kh y = x − 6x + 8x + Giải: x + 2x − Hàm số cho xác định » Ta có: y ' = − x + 4x = −x x − y = − ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu x = y ' = ⇔ −x x − = ⇔  x = ±2 Bảng biến thiên x −∞ −2 y' + − + ) +∞ − om ( y −∞ +∞ ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến khoảng −∞; −2 , 0;2 nghịch biến ( )( ) ( ) oc uo c y = x + 2x − Hàm số cho xác định » Ta có: y ' = 4x + 4x = 4x x + c khoảng −2; , 2; +∞ Vì x + > 0, ∀x ∈ » nên y ' = ⇔ x = Bảng biến thiên x −∞ y' − +∞ y +∞ + +∞ ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến khoảng 0; +∞ nghịch biến khoảng −∞; gb y = x − 6x + 8x + Hàm số cho xác định » Ta có: y ' = 4x − 12x + = 4(x − 1)2 (x + 2) −∞ − −2 + +∞ + kh x y' on x = −2 y ' = ⇔ 4(x − 1)2 (x + 2) = ⇔  x = Bảng biến thiên: y Vậy,hàm đồng biến khoảng (−2; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; −2) Nhận xét: * Ta thấy x = y = , qua y ' không đổi dấu * Đối với hàm bậc bốn y = ax + bx + cx + dx + e có khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Do với hàm bậc bốn Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu đơn điệu » co m Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: 2x − 1 y = x +1 x +2 y = x −1 −x + 2x − y = x +2 x + 4x + y = x +2 Giải: c 2x − x +1 Hàm số cho xác định khoảng −∞; −1 ∪ −1; +∞ y = Ta có: y ' = ) ( ) gb oc uo ( ( x + 1) > 0, ∀x ≠ −1 ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞; −1 −1; +∞ x +2 x −1 Hàm số cho xác định khoảng −∞;1 ∪ 1; +∞ y = ( Ta có: y ' = - ) ( ) < 0, ∀x ≠ ( x − 1) ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ on −x + 2x − y = x +2 Hàm số cho xác định khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ −x − 4x + kh Ta có: y ' = (x + 2) x = −5 y' = ⇔  x = Bảng biến thiên : x −∞ −5 y' − +∞ y ( ) ( ) , ∀x ≠ −2 −2 + + +∞ −∞ +∞ − −∞ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) Vậy, hàm số đồng biến khoảng −5; −2 −2;1 , nghịch biến ( ) ( ) khoảng −∞; −5 1; +∞ x + 4x + x +2 Hàm số cho xác định khoảng −∞; −2 ∪ −2; +∞ y = x + 4x + (x + ) ) > 0, ∀x ≠ −2 Bảng biến thiên : x −∞ y' + co Ta có: y ' = ) ( m ( +∞ −2 + −∞ −∞ Vậy , hàm số đồng biến khoảng −∞; −2 −2; +∞ ( ) ( uo Nhận xét: ) +∞ c +∞ y ax + b (a.c ≠ 0) đồng biến nghịch cx + d biến khoảng xác định * Đối với hàm số y = ax + bx + c có hai khoảng đơn điệu a 'x + b ' * Cả hai dạng hàm số đơn điệu » oc * Đối với hàm số y = Ví dụ :Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = 3x − x gb y =| x − 2x − | Giải: kh on y =| x − 2x − | Hàm số cho xác định » x − 2x − x ≤ −1 ∪ x ≥  Ta có: y =  −x + 2x + − < x < 2x − x < −1 ∪ x > ⇒ y ' =  ⇒y'=0 ⇔x =1 −2x + − < x < Hàm số đạo hàm x = −1 x = Bảng biến thiên: x −∞ −1 y' − + y − +∞ + Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Hàm đồng biến khoảng (−1;1) (3; +∞) , nghịch biến (−∞; −1) (1; 3) 3(2x − x ) , ∀x < 3, x ≠ 3x − x ∀x < 3, x ≠ : y ' = ⇔ x = Hàm số đạo hàm điểm x = 0, x = Bảng biến thiên: −∞ x y' − + − || +∞ oc || c Ta có: y ' = om y = 3x − x Hàm số cho xác định nửa khoảng (−∞; 3] y oc u Hàm đồng biến khoảng (0;2) , nghịch biến (−∞; 0) (2; 3) Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x = sin x khoảng 0;2π ( ) ( ( ) ) Giải: Hàm số cho xác định khoảng 0;2π ( ) ( ) gb Ta có : f ' x = cos x , x ∈ 0;2π 3π 2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : ( ) ( ) kh on f ' x = 0, x ∈ 0;2π ⇔ x = x π ( ) f (x ) + f' x ,x = 3π − + π 2π −1  π   3π   π 3π  Hàm số đồng biến khoảng  0;   ;2π  , nghịch biến khoảng  ;   2   2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Xét chiều biến thiên hàm số sau: 1 y = x − 3x + 8x − y = x − 2x x −1 m Xét chiều biến thiên hàm số sau: y = 2x + 3x + y = − x + 6x − 9x − 3 y = x − 2x − y = 2x − x co Chứng minh hàm số: y = − x nghịch biến đoạn 0;2  y = x + x − cos x − đồng biến » y = cos 2x − 2x + nghịch biến » c Cho hàm số y = sin2 x + cos x  π π  a ) Chứng minh hàm số đồng biến đoạn 0;  nghịch biết đoạn  ; π   3 3  ) uo ( b) Chứng minh với m ∈ −1;1 , phương trình sin2 x + cos x = m có nghiệm thuộc đoạn oc 0; π  gb Hướng dẫn 1 y = x − 3x + 8x − Hàm số cho xác định » Ta có f ' x = x − 6x + ( ) ( ) f ' x = ⇔ x = 2, x = on Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : x f' x ( ) f (x ) −∞ + − +∞ + +∞ kh −∞ ( ) ( ) ( ) Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞;2 4; +∞ , nghịch biến khoảng 2; x − 2x x −1 Hàm số cho xác định tập hợp » \ y = {} Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) Ta có f ' x = (x − 1) + > 0, x ≠ = ( x − 1) ( x − 1) x − 2x + 2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : x −∞ +∞ + + f' x +∞ ( ) m ( ) +∞ −∞ −∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞;1 1; +∞ ( ) ( co f x ) c y = 2x + 3x + Hàm số cho xác định » Ta có f ' x = 6x + 6x uo ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −1; ) ⇒ f ( x ) nghịch biến khoảng ( −1; ) ( ) ( ) f ' x > 0, x ∈ −∞; −1 , 0; +∞ ⇒ f x đồng biến khoảng −∞; −1 0; +∞ ( ) y = x − 2x − Hàm số cho xác định » ( ) on gb Ta có f ' x = 4x − 4x oc Ngoài : Học sinh giải f ' x = , tìm hai nghiệm x = −1, x = , kẻ bảng biến thiên kết luận ( ) ( )( ) ( ) f ' ( x ) < 0, x ∈ ( −∞; −1) , ( 0;1) ⇒ f ( x ) nghịch ( ) ( ) biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) f ' x > 0, x ∈ −1; , 1; +∞ ⇒ f x đồng biến khoảng −1; 1; +∞ ( ) Ngoài : Học sinh giải f ' x = , tìm hai nghiệm x = −1, x = 0, x = , kẻ bảng biến thiên kết luận kh y = − x + 6x − 9x − 3 Hàm số cho xác định » ( ) ( Ta có f ' x = −4x + 12x − = − 2x − ) 3 f ' x < với x ≠ 2  3  3 Vì hàm số nghịch biến nửa khoảng  −∞;   ; +∞  nên hàm số nghịch biến » 2  2  ( ) f' x =0⇔x = ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu y Giao điểm đồ thị với trục Oy A 0; −3 ) Giao điểm đồ thị với trục ) ( ( Ox B − 3; ,C 3; ) x -8 -6 -4 -2 Đồ thị hàm số chẵn nên nhận trục Oy làm trục đối xứng co m ( f(x)=x^4-2x^2-3 -5 Ví dụ 2: ( ) c 2 Chứng minh phương trình: x − m + x + m + = có nghiệm phân biệt x 1, x , x , x với giá trị m Tìm giá trị m cho x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ( ) 2 cu o Giải: x − m + x + m + = ( 1) 2 ( ) ( ) (t ≥ ) Đặt : t = x , ta có : t − m + t + m + = () ( ∆ ' = m2 + ) − (m ) bo Ta chứng tỏ có hai nghiệm : < t1 < t2 + = 4m + > với m () ( ) Vậy có hai nghiệm phân biệt t1, t2 t1 ⋅ t2 = m + > t1 + t2 = m + > () Do phương trình có nghiệm : − t1 , t1 , − t2 , t2 ng x 12 + x 22 + x 32 + x 42 + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ( ) + ( t ) + ( − t ) + ( t ) + ( − t ) ⋅ ( t ) ⋅ ( − t ) ⋅ ( t ) = (t + t ) + t ⋅ t x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = (m + ) + m + = m + 4m + 11 = − t1 2 2 2 2 2 1 2 4 2 x + x + x + x + x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = 11 ⇔ m + 4m + 11 = 11 ⇔ m + 4m = ⇔ m = 2 kh o Hàm số hữu tỷ y = ( ) f x = ax + b cx + d ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) ⇒ f ' (x ) = ( ) Dáng điệu đồ thị hàm số f x = ax + b cx + d ad − bc (cx + d ) ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu y y O x a c ( ) Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số f x = Giải : {} 2x − x −1 uo • Hàm số cho xác định D = » \ • Giới hạn : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →1 x →1 lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang x →+∞ ( ) • Đạo hàm : f ' x = −1 < 0, x ≠ (x − 1)2 oc x →−∞ ( ) ( ) Đồ thị hàm số nghịch biến khoảng −∞;1 1; +∞ on gb • Bảng biến thiên : −∞ x f' x ( ) − − +∞ ( ) f x +∞ −∞ kh • Đồ thị : Giao điểm đồ thị với trục Oy A 0;1 ( ) Giao điểm đồ thị với trục 1  Ox B  ;  2  Đồ thị hàm số nhận I 1;2 giao điểm hai đường ( ) tiệm cận làm tâm đối xứng I c c d − c x d c om I a c − Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ax + bx + c aa ' x + 2ab ' x + bb '− ca ' ⇒y' = a 'x + b ' a 'x + b ' ( ) ax + bx + c a 'x + b ' Dáng điệu đồ thị hàm số y = y y 15 10 I c x I -5 oc x -10 10 -5 Dáng điệu hàm số chứa giá trị tuyệt đối x2 x2 f x = C f x = C1 x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) cu ( ) y y 6 5 4 y=x+1 gb o y=x+1 3 2 y=-x-1 1 -4 -4 -3 -2 -1 -3 -2 -1 x -1 -1 x=1 -2 x=1 -2 -3 on -3 ( ) f x = x2 C2 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C3 x −1 ( ) y y kh y=-x+1 -4 -3 -2 y=x+1 y=x+1 y=-x+1 -1 x=-1 x x=1 -2 om y= Hàm số hữu tỷ -4 -3 -2 -1 x=-1 -2 x=1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) f x = x2 C4 x −1 ( ) ( ) f x = x2 C5 x −1 ( ) y y 6 y=x+1 y=-x-1 y=x+1 x -8 y=-x-1 -6 -4 -2 2 -2 -3 -2 -1 x=-1 x=1 -4 x -4 4 -6 x=1 -8 -2 ( ) {} • Hàm số cho xác định D = » \ • Giới hạn : lim− y = −∞ lim+ y = +∞ x →1 x →1 lim y = −∞ x →−∞ x − 3x + x −1 cu o Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số f x = c -10 co m Giải : lim y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →+∞ 4 lim y − x −  = lim = 0, lim y − x −  = lim = ⇒ y = x − tiệm cận xiên     x →−∞ x →−∞ x − x →+∞ x →+∞ x − x − 2x − • Đạo hàm : f ' x = ,x ≠ (x − 1)2 ) ( ( ) x = −1, f f' x =0⇔  x = 3, f • Bảng biến thiên : x −∞ −1 + − f' x ( ) +∞ kh o −5 ( ) ( −1) = −5 (3) = ng ( ) ) bo ( +∞ − + +∞ f x −∞ −∞ Hàm số đồng biến khoảng −∞; −1 3; +∞ , nghịch biến khoảng −1;1 1; ( ) ( ( ) ( ) () Hàm số có điểm cực đại x = −1, f −1 = −5 có điểm cực tiểu x = 3, f = • Đồ thị : Dành cho bạn đọc Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx + (2m − 1)x − có đồ thị C m , m tham x +2 ( ) ) ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu số 1.Chứng minh với m > hàm số có cực đại , cực tiểu ( ) 2.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số với m = ( ) om 3.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C hàm số biết tiếp tuyến ( ) qua A 1; Giải : y ' = m − Hàm số cho xác định D = » \ −2 x +2 { } = (x + ) ( ) −1 (x + ) c y = mx − + m x +2 *) lim y = −∞ lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ cu { } oc Với m > phương trình y ' = có hai nghiệm phân biệt khác −2 Vậy hàm số có cực đại cực tiểu m > 2.Với m = 1, y = x − + x +2 *) Hàm số cho xác định D = » \ −2 lim − y = −∞ lim + y = +∞ nên đường thẳng x = −2 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x → ( −2 ) ( ) 1 = lim y − x −  = lim = nên đường y = x − tiệm Vì lim y − x −  = lim  x →−∞ x + x →+∞ x →+∞ x + x →−∞  cận xiên đồ thị hàm số Vì ( bo x → −2 ) ( ) ( x + ) − , x ≠ −2 *) y ' = − = (x + ) ( x + )  x = −1, y ( −1) = −1 y ' = ⇔ (x + 2) − = ⇔  x = −3, y ( −3 ) = −5 2 ng 2 kh o Bảng biến thiên x −∞ y' −3 + −5 −2 - - +∞ −∞ + +∞ y −∞ +∞ −1 −1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( )( ) Đồ thị hàm số đồng biến khoảng : −∞; −3 , −1; +∞ nghịch biến khoảng ( −3; −2 ) , ( −2; −1) ( ) ( ) Đồ thị: Học sinh tự vẽ 3.Xét d qua A 1; có hệ số góc k Nên d : y = k x − () ( ) () ( ) (d ) tiếp xúc với đồ thị (C ) hàm số hệ sau có nghiệm: co  = k (x − 1) x − + x +2 5  ⇒ k = Vậy tiếp tuyến là: d : y = (x − 1)  9 =k  1− x +2  () ( ) () () uo c x2 + x −1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Ví dụ 3: Cho hàm số y = m Đồ thị hàm số đạt điểm cực đại x = −3, y −3 = −5 đạt điểm cực tiểu x = −1, y −1 = −1 Tìm đường thẳng y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số Giải : x2 + x −1 (1 ) oc Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = {} •D = » \ ( ) () ( x − 1) Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;1) , (1; ) đồng biến khoảng ( −∞; −1) ,(3; +∞) Đồ thị hàm số đạt điểm cực đại ( −1; −2 ) đạt điểm cực tiểu ( 3; ) x − 2x − x = −1, y −1 = −2 , x ≠ ⇒ y, = ⇔  x = 3, y = gb •y , = on • lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →1 x →1 ( ) ( ) • lim y − x +  = 0, lim y − x +  = ⇒ y = x + tiệm cận xiên   x →−∞  x →+∞  kh • Bảng biến thiên x y' −∞ + −1 − −2 y −∞ Đồ thị y − +∞ +∞ + +∞ −10 −3 −∞ Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) Đồ thị : Nhận I 1;2 làm tâm đối xứng Tìm đường thẳng y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số ( ) () Gọi M a; ∈ d : y = điểm cần tìm ( ) ( ) ( ) x + = k x −a +   x2 − Để ∆ tiếp xúc với C ⇔  x − 2x − =k   x −1  ( ) ( ) ( ()( ) ( ) ( ) (1 ) (2 ) ) ) có nghiệm x ≠ co ( m Khi tiếp tuyến với C kẻ từ M có phương trình : ∆ : y = k x − a + () Từ , ⇒ − a x + a − x + 3a + = () c Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số Khi phương trình có nghiệm phân biệt x ≠1 3 − a ≠ a ≠   a ≠ ⇔ ∆ = a − − 3a + − a > ⇔ a − 4a + > ⇔  a ≠ 3 − a + a − + 3a + ≠ a ≠   ) ( ( ) )( ) uo ( () ( )( ) Vậy tập hợp điểm cần tìm đường thẳng d : y = bỏ điểm 1; , 3; oc Bài 7: GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ x −3 có đồ thị C Tìm tất tham số thực x −2 m để đường thẳng d : y = mx + cắt đồ thị hàm số điểm phân Ví dụ : Cho hàm số y = biệt ( ) gb () ( ) Giải : () on Đồ thị C cắt d điểm phân biệt phương trình : x −3 = mx + có nghiệm x −2 phân biệt phương trình g(x ) = mx − 2mx + = có nghiệm phân biệt x ≠ hay kh m ≠ m ≠  m <  ∆′ = m − m > ⇔ m < ∨ m > ⇔ m >  g(1) ≠ m − 2m + ≠   2x − có đồ thị C x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Với giá trị m đường thẳng dm qua điểm A −2;2 có hệ ( ) ( ) Ví dụ :Cho hàm số f x = ( ) số góc m cắt đồ thị cho • Tại hai điểm phân biệt? • Tại hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị ? ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu Giải : (d ) : y = mx + (m + 1) (d ) ∩ (C ) : g (x ) = mx + 3mx + 2m + = 0, x ≠ −1 (*) • Để (d ) ∩ (C ) hai điểm phân biệt phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt khác −1 Khi ta m om m m m ≠ m <  có hệ : ∆ > ⇔ m > 12 g −1 ≠   c ( ) • Để (d ) ∩ (C ) hai điểm thuộc hai nhánh phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt x < −1 < x ⇔ mg ( −1) < ⇔ m < Cách khác : Để (d ) ∩ (C ) hai điểm thuộc hai nhánh phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt x < −1 < x Đặt x = t − phương trình ( * ) trở thành mt + mt + = có hai nghiệm trái dấu m oc m 2 ax + b x −1 Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung A 0; −1 tiếp tuyến đồ Ví dụ :Cho hàm số y = ) cu ( ( ) thị A có hệ số góc −3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị C hàm số với a, b vừa tìm () ( ) () ( ) bo Cho đường thẳng d có hệ số góc m qua điểm B −2;2 Tìm m để d cắt C hai điểm phân biệt M 1, M Các đường thẳng qua kh on g M 1, M song song với trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật Tính cạnh hình chữ nhật theo m , hình chữ nhật trở thành hình vuông Giải :  ax + b A 0; −1 ∈ y = x −1 2x +  a =  ⇔ ⇒y =  −a − x −1 = −3 b = y ' = x −1  ( ) ( ) (d ) qua điểm B ( −2;2 ) có phương trình y = m (x + ) + 2x + có hai nghiệm khác x −1 , hay phương trình mx + mx − 2m − = có hai nghiệm phân biệt khác , tức m ≠ m ≠    m ⇔ ⇔ *   m < −  m12 + m1 − 2m − ≠  m>0    m > () ( ( ) ) Để d cắt C hai điểm phân biệt M 1, M phương trình m x + + = ( ) () Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) Giả sử M x 1; y1 , M x ; y2 , hai cạnh hình chữ nhật M 1PM 2Q có độ dài 9m + 12m M 1P = x − x = m , M 1Q = y2 − y1 = 9m + 12m M 1P = M 1Q ⇔ 9m + 12m m ( ( )) = 9m + 12m ⇔ m = ⇔ m = * om Hình chữ nhật M 1PM 2Q trở thành hình vuông BÀI TẬP TỰ LUYỆN Cho hàm số f x = 2x + 3x + có đồ thị C parabol P : g x = 2x + a) ( ) ( ) ( ) c ( ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tùy theo giá trị m , giải biện luận phương trình 2x + 3x − m = b) Chứng tỏ số tiếp tuyến đồ thị C thiếp tuyến điểm uốn I có hệ số góc nhỏ uo c ( ) ( ) Viết phương trình tiếp tuyến Chứng tỏ I tâm đối xứng đồ thị C ( ) ( ) ( ) c) Gọi A, B giao điểm đồ thị C parabol P Viết phương trình tiếp tuyến C parabol gb oc (P ) giao điểm chúng d ) Xác định khoảng (C ) nằm phía phía ( P ) Hướng dẫn :  3 3 c) A  − ;  , B 0;1 Tiếp tuyến C A, B y = − x + , y = Tiếp tuyến P A, B  2 ( ) ( ) ( ) y = −2x + , y =  1 d ) Xét h x = f x − g x = 2x + x Lập bảng xét dấu : h x < 0, x ∈  −∞; −  ⇒ C nằm phía 2    P h x > 0, x ∈  − ;  , 0; +∞ ⇒ C nằm phía P   ( ) ( ) ( on ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cho hàm số f x = x − 3x + kh a ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn I Chứng minh số tiếp tuyến đồ thị tiếp tuyến I có hệ số góc nhỏ b) Gọi dm đường thẳng qua điểm I có hệ số góc m Tìm giá trị m cho đường thẳng dm ( ) ( ) cắt đồ thị cho ba điểm phân biệt Hướng dẫn : a ) y = −3x + ( ) ( ) b) m > −3 Cho hàm số f x = x − m + x + m a ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với m = Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu b) Tìm giá trị m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm , tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài Hướng dẫn : b) x − m + x + m = ⇔ x − x − m = Để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân ( ( ) )( ) ( ) m biệt , tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài < m ≠ • m > 1, m − = − −1 ⇔ m = ) ( Ngoài cách giải bạn dùng cấp số cộng ( lớp 11) để giải a ) Với giá trị m , đường thẳng y = m cắt đường cong y = x − 2x − điểm phân biệt? co • < m < 1,1 − m = m − − m ⇔ m = ( ) oc b) Chứng minh với giá trị m , đường thẳng dm : y = x − m cắt đường cong y = hai điểm phân biệt c) Tìm k để đường thẳng y = kx + cắt đồ thị hàm số y = quỹ tích trung điểm I AB x − 2x + Cho hàm số y = ,C x −1 x + 4x + điểm phân biệt A, B Tìm x +2 oc u a) ( ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C ) −x + 2x x −1 b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x − 2x = m x − − () ( ) thẳng y = x + gb c) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m cắt đồ thị C điểm A, B đối xứng với qua đường ( ) d ) Chứng minh qua điểm E 1; ta kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số x +2 có đồ thị G 2x + a ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số ( ) on Cho hàm số f x = ( ) ( ) ( ) b) Chứng minh đường thẳng dm : y = mx + m − qua điểm cố định đường cong G m thay đổi c) Tìm giá trị m cho đường thẳng cho cắt đường cong G hai điểm thuộc ( ) ( ) kh nhánh G Hướng dẫn: b) M −1; −1 điểm cố định mà dm qua m biến thiên M −1; −1 ∈ G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) c) Cách : dm ∩ G : g x = 2mx + m − x + m − = 0, x ≠ − ∆ >  ⇔ −3 ≠ m < thuộc nhánh    g  −  >    ) ( ) * Để dm ∩ G hai điểm () ( ) ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu x +2 ,x ≠ − 2x + ⇔ x + 2mx + m − = 0, x ≠ −  x = −1 < − ⇔  k x mx = +m −3 =  ( ) ( ) ( )( ) ) ( om Cách : dm ∩ G : m x + − = ( ) Hai nhánh G nằm hai bên tiệm cận đứng x = − Đường thẳng dm ∩ G hai điểm thuộc nhánh đồ thị phương trình k x = 2mx + m − = có nghiệm x < − x ≠ −1 , m ≠ m ≠    −3 < m < 3−m   ta có x =  9(x 1x ) + 18x 1x (x + x ) + 36x 1x = −1 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 27 m ⇔a = co a < −3 ∨ a > − vaø a ≠  a < −3 ∨ a > − vaø a ≠   ⇔ 81a − 81a(a − 1) − 108a + = ⇔  -27a + =  ( x x = - 3a ; x + x = 3(a -1) ) 2  Vậy M ( , 0) ∈ Ox thỏa toán 27 Ví dụ : Tìm trục hoành điểm mà từ kẻ đến đồ thị x2 hàm số : y = hai tiếp tuyến tạo với góc 450 x −1 ( ) (d ) : y = k (x − x ) c Giải : Gọi M ∈ Ox ⇒ M x ; , đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương trình có dạng :  x2 = k x − x0   x 2− d tiếp tuyến đồ thị hệ sau có nghiệm :  x − 2x =k   x −1  2 x x − 2x x − x ⇔ x  x + x − 2x  = =   x −1 x −1 () ( ) ) ( ( 2x ) ⇒k = −4x on • x = gb x =  ⇔ 2x x = , x ≠ −1  x0 +  x − 2x • x =0⇒k = = x −1 x0 + ) (x ) +1 kh • Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị hàm số : y = tan 450 = ( ) oc ( ( ) uo ( k1 − k2 + k1k2 ⇒ )( (x 4x 0 +1 Vậy M − 2; , + 2; ) ) x2 hai tiếp tuyến tạo với góc 450 x −1 = ⇒ x0 = ± 2 2x π Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua Ví dụ : Cho hàm số y = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu điểm M Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: m sin α = (1 + sin α )2  = ⇔ sin α − sin α + = ⇔ sin α = + sin α −  co π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;   2 2  hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) y = −6x + 18 ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x + + xB = = xM 2 + yB = = yM x = ⇔ ⇒ B ( 2;6 ) y = oc xA  Dễ thấy:  y  A  uo Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm c 3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   gb Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) x4 − 3x + có đồ thị (C ) Giả sử M ∈ (C ) có Cho hàm số : y = 2 on hoành độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải : kh  a 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a; yM = − 3a +  2  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a − 6a a4 Tiếp tuyến M có dạng : y = y (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M phương trình sau có nghiệm ' xM () () phân biệt : x4 a4 5 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu (x − a )2 (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a om ' = a − (3a − 6) > ∆ a − <  a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔   g(a ) = 6a − ≠ a ≠ a ≠ ±1   a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  ax − bx 5 qua điểm A  −1;  tiếp tuyến O 0; có x −1 2  hệ số góc −3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ứng với giá trị a, b vừa tìm oc c ( ) a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = ( ) ( ) b) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = 2x + ax + b tiếp xúc với hypebol a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số y = 1  điểm M  ;2  x 2  oc u a ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; −2 tiếp xúc với parabol y = x − 2x ( b) Chứng minh hai đường cong y = x + ) x − 2, y = x + x − tiếp xúc M , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong c) Chứng minh rằg đồ thị ba hàm số f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, gb ( ) h x = x2 ( ) + 7x + tiếp xúc điểm A ( −1;2 ) ( ) x2 3x + x, g x = tiếp xúc Xác định tiếp 2 x +2 điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm e) Chứng minh đồ thị hàm số f x = x − x , g x = x − tiếp xúc Xác định tiếp ( ) on d ) Chứng minh đồ thị hàm số f x = ( ) ( ) ( ) điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm Hướng dẫn :  a −1 − −1   = ⇔ a = −2 a)   −1 − b = −3  f ' = −3  b) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 y = −2x kh ( ) ( ) () () ( ) 1 5 b) M  ; −  , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , chứng tỏ A −1;2 đồ thị ba hàm ( ) số có tiếp tuyến chung , nói khác đồ thị ba hàm số tiếp xúc điểm A −1;2 ( ) x om d ) O 0; , y = kh o ng bo cu oc c Chúc em thi đỗ đạt kết cao Tác giả : Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Nguyễn Tất Thu – Đồng Nai [...]... khi và chỉ khi kh x =y Chú ý 2: • Nếu hàm số y = f x luôn đơn điệu nghiêm cách trên D ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến ( ) ( ) trên D ) và hàm số y = g x luôn đơn điệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến ) ( ) ( ) trên D , thì số nghiệm trên D của phương trình f x = g x ( ) không nhiều hơn một • Nếu hàm số y = f x có đạo hàm đến cấp n trên D và phương trình f (k )(x... điểm x = 2 Do đó hàm số nghịch biến trên 2 » 5 • m < − thì y ' < 0, ∀x ∈ » Do đó hàm số nghịch biến trên » 2 ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 5 • m > − thì y ' = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1 < x 2 Hàm số đồng biến trên khoảng 2 này không thỏa mãn Chú ý : cách giải sau đây không phù hợp ở điểm nào ? Hàm số nghịch biến trên... 5 Vậy hàm số nghịch biến trên » khi và chỉ khi m ≤ − 2 Ví dụ 2 : Tìm a để hàm số sau luôn tăng ( đồng biến) trên » 1 y = f x = x 3 + ax 2 + 4x + 3 3 Giải: Hàm số đã cho xác định trên » Ta có y ' = x 2 + 2ax + 4 và có ∆ ' = a 2 − 4 Bảng xét dấu ∆ ' a −∞ −2 2 +∞ ∆' + 0 − 0 + ) (x ; x ) Trường hợp 1 2 om ( oc c ( ) ( ) , ta có : y ' = 0 ⇔ x = −2, y ' > 0, x ≠ −2 Hàm số y  −2; +∞ ) nên hàm số y đồng... 3 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ? Giải : Hàm số đã cho xác định trên » Ta có : y ' = 3x 2 + 6x + m có ∆ ' = 9 − 3m • Nếu m ≥ 3 thì y ' ≥ 0, ∀x ∈ » , khi đó hàm số luôn đồng biến trên » , do đó m ≥ 3 không thoả yêu cầu bài toán • Nếu m < 3 , khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 x 1 < x 2 và hàm số nghịch biến trong gb... uo ( ) Xét hàm số g x = t a n x − x −  π a ) Xét chiều biến thi n của hàm số trên đoạn 0;   4  π 4 Hàm số f x = x − t a n x liên trục trên đoạn 0;  và có đạo hàm π  4 ( ) ( ) 4 π −  π 1 4−π 2 a x x = − ∀ ∈ t n ,  0;  , π cos2 x  4 kh f' x = ( ) f ' x = 0 ⇔ ta n x = 4 −π π  π nên tồn tại một số duy nhất c ∈  0;  sao cho t a n c = π 4  4 • f ' x > 0, x ∈ 0; c ⇒ hàm số f x đồng... nhất thuộc đoạn 0; π  Dạng 2 : Hàm số đơn điệu trên » Sử dụng định lý về điều kiện cần • Nếu hàm số f x đơn điệu tăng trên » thì f ' x ≥ 0, ∀x ∈ » on gb • ( ) ( ) Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu giảm trên » thì f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ » Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số sau luôn giảm ( nghịch biến) trên » 1 y = f x = − x 3 + 2x 2 + 2m + 1 x − 3m + 2 3 ( ) ( ) Giải : kh Hàm số đã cho xác định trên » Ta có :... 0, x ≠ 1 , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng −∞;1 va` 1; +∞ 2 ( ) ( ) Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác Nguyễn Phú Khánh –Nguyễn Tất Thu 1 phương trình y ' = 0 có hai nghiệm x 1 < 1 < x 2 ⇒ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 x 1;1 và 1; x 2 , trường hợp này không thỏa • m> ( ) ( ) om Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên tập con của » Phương pháp: * Hàm số y = f (x... biến trên » Hàm số đã cho xác định trên » ( ) ( ( ) ) kh o Ta có f ' x = −2 sin 2x + 1 ≤ 0, ∀x ∈ » và f ' x = 0 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ x = − π 4 + kπ , k ∈ »  π  π Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn  − + k π ; − + k + 1 π  , k ∈ » 4  4  Do đó hàm số nghịch biến trên » ( ) 4  π π  a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 0;  và nghịch biết trên đoạn  ; π   3 3  Hàm số liên tục trên... 2 nghịch biến trên [1; +∞) x +2 1 4 Định m để hàm số y = mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + 1 đồng biến trên (2; +∞) 3 om 3 Định m để hàm số y = Hướng dẫn : ) ( ) ( oc ( c 1 a Hàm số đã cho xác định trên » Ta có : y ' = 3x 2 − 2mx − 2m 2 − 7m + 7 = g x ) ( Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; +∞ khi và chỉ khi y ' ≥ 0, ∀x ∈ 2; +∞ ( ( ) ) ( cu Xét hàm số g x = 3x 2 − 2mx − 2m 2 − 7m + 7 trên khoảng... +∞ −2 ∆' − 0 + • m < −2 thì y ' < 0 với mọi x ∈ » Do đó hàm số nghịch biến trên » ) • m > −2 thì y ' = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 x 1 < x 2 Hàm số đồng biến (x ; x ) Trường hợp này không thỏa mãn 1 2 Vậy m ≤ −2 là những giá trị cần tìm 2 Tìm m để hàm số sau luôn tăng ( đồng biến) trên » 1 a y = f x = a 2 − 1 x 3 + a + 1 x 2 + 3x + 5 3 Hàm số đã cho xác định trên » Ta có : y ' = a 2 − 1 x 2 + 2