Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Bài toán1: sự tơng giao của hai đồ thị hàm số 1.Cho hàm số y=(x-1)(x 2 +mx+m).Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 2. Cho hàm số y=x 3 -3x 2 (C).Tìm m để đờng thẳng y=mx cắt đồ thị(C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dơng 3.Cho hàm số 1 2 ++ = x mxmx y Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng. 4.Cho hàm số 2 42 2 + = x xx y (C). Tìm m để đờng thẳng d: y=mx+2-2m cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị 5.Cho hàm số 12 + = x x y và d là đờng thẳng đi qua A(0;-1) có hệ số góc k.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị 6. Cho hàm số 1 1 2 + = x mxx y .Tìm m để đồ thị hàm số cắt d: y = m tại hai điểm A,B sao cho OA OB 7.Cho hàm số 1 1 2 + = x xx y .Tìm m để d: y=-x+m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt,khi đó CMR 2 điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị . 8.Cho hàm số 12 + = x x y .CMR đồ thị hàm số luôn cắt d: y=2x+m tại 2 điểm phân biệt A và B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị, tìm m để độ dài AB ngắn nhất? 9.Cho hàm số .9)12( 23 xxmxy += Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 10.Cho hàm số 1 24 += mmxxy Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. 11. Cho h/s 2 x x y x 1 m m+ + = (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = -1 . b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng . 2003_A 12. a) Khảo sát h/s 2 x 2x 4 y x 2 + = (1) b) Tìm m để đờng thẳng d m : y = mx + 2 2m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm phân biệt ? 2003_d 13. Cho h/s 2 x 3x 3 y 2(x 1) + = (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1 2004_A 14. Cho h/s 3 y x 3x 2= + a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s . b)Gọi d là đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k . Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ? 2006_D 15. Cho Hàm số 2 ( 1)( )y x x mx m= + + ( C m ) Dệẽ Bề B1 2003: a-KS-HS ( C m ) khi m=4 . b-Tỡm m ủeồ ( C m ) caột ox tại 3 ủieồm phaõn bieọt . HD: pt 2 0x mx m+ + = Có 2 nghiƯm khác 1 m<0 ; m>4 và m ≠ -1/2. 16 . (C) 3 2 2 3 1y x x= − − DỰ BỊ D2 –2003: a) KSHS ( C ) . b) §êng th¼ng ( d ) qua M ( 0;1) có HSG là k , tìm k ®Ĩ ( d ) cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt . k>-9/8 và k ≠ 0 . 17.DỰ BỊ 7 –2002:( Cm) 2 1 1 x mx y x + − = − a- Ks hs ( C ) m=1 . b- Tìm trên ( C ) Các điểm M có toạ độ nguyên . c- Xác đònh m để đg thẳng y=m cắt ( Cm ) tại A và B sao cho OA vuông góc OB . HDĐS: b- (0;1) ; (2;5) . c- pthđộ : x 2 =1-m pt có 2 ngh m<1. A(x A; y A ) ; B( x B; y b ):với y = m Với : 1 2 1 2 2 . . 0 . 1; . OA OB x x y y x x m y y m ⊥ <=> + = = − = uuur uuur Vậy : m 2 +m –1=0 1 5 2 m − ± = (nhận) 18. Cho hs : ( C ) 2 4 1 x y x + = + a-KS-( C ) . b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thò ( C ) tại hai điểm phân biệt A;B với mọi m . Xác đònh m để AB ngắn nhất . AB 2 = 5( x 2 -x 1 ) 2 = 2 5 5 [( 4) 16] 20 4 4 4. m m = − + ≥ = V 19.Cho hµm sè: y=x 3 – 6x 2 + 9x 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) cđa hµm sè. 2, §êng th¼ng (d) ®i qua M(4; 4) cã hƯ sè gãc k. X¸c ®Þnh k ®Ĩ (d) c¾t (C) t¹i 3 ®iĨm ph©n biƯt ( §H §¹i c¬ng TP HCM 1996) 20. Cho hµm sè: y=x 3 +3x 2 -1 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) cđa hµm sè. 2, TÝnh DTHP giíi h¹n bëi (C) vµ ®êng th¼ng y=-1. 3, §êng th¼ng (d) ®i qua A(-3;-1) cã hƯ sè gãc k. X¸c ®Þnh k ®Ĩ (d) c¾t (C) t¹i 3 ®iĨm ph©n biƯt . ( §T HK II 12 THPT 2006-2007) 21. Chøng minh r»ng ®êng th¼ng y= -x+m lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè 2 12 + + = x x y t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt. 22. Cho hµm sè y = x 3 + 3x 2 + mx+ m -2 , (C m ) 1) Kh¶o s¸t vÏ ®å thÞ (C) khi m=3 2) Gäi A lµ giao ®iĨm cđa (C) víi trơc tung.ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun d cđa (C) t¹i A. TÝnh diƯn tich h×nh ph¼ng giíi h¹n (C) vµ d. 3) T×m m ®Ĩ ®å thÞ (C) c¾t trơc hoµnh t¹i 3 ®iĨm ph©n biƯt. ( §T TN 12 THPT 1997-1998 K× I) 23. Cho hµm sè 1 1 − + = x x y cã ®å thÞ (C) 1, T×m m ®Ĩ ®êng th¼ng d : y= mx +1 c¾t (C) t¹i 2 ®iĨm ph©n biƯt. 2, T×m m ®Ĩ d c¾t (C) t¹i 2 ®iĨm thc hai nh¸nh cđa (C) . ( §s: 1, m<-8 hay m>0 ; 2, m>0 ) 24 Cho hµm sè 1 1 2 − −+ = x xx y 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C) cđa hµm sè. 2, T×m trªn ®å thÞ nh÷ng ®iĨm c¸ch ®Ịu 2 trơc to¹ ®é. 3, Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=m-x cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt ? Chứng minh rằng khi đó cả hai giao điểm đều thuộc một nhánh của đồ thị. ( ĐH Hàng Hải năm 1999) ( Đs: 2, A( ) 2 1 ; 2 1 , B( ) 2 2 ; 2 2 , C(- ) 2 2 ; 2 2 ; 3, m< 224 hay m> 224 + ) 25. Cho hm s 43 23 += xxy (1) ẹH D 2008 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1). 2. Chng minh rng mi ng thng i qua im I (1;2) vi h s gúc k (k > - 3) u ct th ca hm s (1) ti ba im phõn bit I, A, B ng thi I l trung im ca on thng AB. bài toán 2: dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình Giả sử cần biện luận số nghiệm của phơng trình F(x; m) = 0 (1) trong đó đồ thị (C) của hàm số y=f(x) đã đợc vẽ. Khi đó biến đổi phơng trình (1) thành phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C)( đã đ- ợc vẽ) có dạng: f(x) = g( m) . Trong đó g( m) là đờng thẳng (d) . Số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của (C) và (d) 1. Cho hàm số y = x 3 +3x 2 -2 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2, Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phơng trình: a. x 3 +3x 2 - 2 = m b. x 3 +3x 2 - m = 0 c. x 3 +3x 2 +2m-1 = 0 d. -x 3 -3x 2 +1- m = 0 2. Cho hàm số: y=x 3 6x 2 + 9x 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số 2, Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. 3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x 3 6x 2 + 9x m=0. ( Thi TN THPT 1993) 4. Cho hàm số y = 3 1 mx 3 -(m-1)x 2 + 3(m-2)x+ 3 1 1,Khảo sát vẽ đồ thị (C) khi m=2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn. 2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành,đờng thẳng x=0,đờng thẳng x=1. 3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo k số nghiệm của phơng trình 2x 3 - 3x 2 -2 - 3k =0. 5. Cho hàm số y = x 4 - 4mx 3 - 2x 2 +12mx có đồ thị là (C m ) 1, Khảo sát vẽ đồ thị (C) khi m=0. 2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành . 3, Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo k số nghiệm của phơng trình x 4 - 2x 2 - k =0. 6. Cho hàm số y = x 3 -3x -2 có đồ thị (C). 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2, Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của phơng trình: x 3 -3x - m = 0 ( Thi TN BTTH 2004-2005) 7. Cho hàm số 1 4 2 + = x xx y 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ, tung độ đều là số nguyên. 2Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: m x xx = + 1 4 2 8 .Cho hàm số 23223 )1(33 mmxmmxxy +++= .Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1.Tìm k để phơng trình 033 2323 =++ kkxx có 3 nghiệm phân biệt 9.Vẽ đồ thị hàm số 43 23 += xxy .Từ đó tìm k để phơng trình 053 23 =+ kxx có 3 nghiệm phân biệt 10. Biện luận số nghiệm của phơng trình: 023 3 =++ mxx theo m. 11.VÏ ®å thÞ hµm sè 23 3 −+−= xxy .T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh 0lg23 3 =++− mxx cã 4 nghiƯm ph©n biƯt. 12.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y .Dïng ®å thÞ biƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh : x 2 - (m+1)x+1+m=0 13.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 32 2 + ++ = x xx y . Dïng ®å thÞ biƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh : x 2 +(2- m)x+1- m = 0 14. VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y .Dïng ®å thÞ biƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh )1sin(1sinsin 2 −=+− xmxx trªn ΠΠ − 2 ; 2 15. VÏ ®å thÞ hµm sè 1 2 − = x x y .Tõ ®ã biƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 1 2 − = x x m 16. VÏ ®å thÞ hµm sè 23 23 −+−= xxy .T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh 0log23 2 23 =−−+− mxx cã 6 nghiƯm ph©n biƯt 17. VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y .Tõ ®ã biƯn ln sè nghiƯm cđa pt m x xx 2 1 1 2 = − +− theo m.212. 18.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y .Dïng ®å thÞ biƯn ln sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 01cos)1(cos 2 =+++− mxmx 19. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh : x 4 - 2x 2 +m = 0 cã 4 nghiƯm ph©n biƯt. 20. ĐH Năm 2006: 1-Kh A : ( C ) y = 2x 3 -9x 2 +12x - 4 a-KH-HS ( C ) . b-Xác đònh m để pt : 2 3 2 9 12 0x x x m− + − = có 6 nghiệm phân biệt. Bµi to¸n 3: c¸c phÐp biÕn ®ỉi ®å thÞ 1.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y .Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − +− = x xx y 2.VÏ ®å thÞ hµm sè 23 23 −+−= xxy .Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè 23 3 −+−= xxy 3.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − −+ = x xx y .Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè 1 1 2 − −+ = x xx y 4.VÏ ®å thÞ hµm sè 23 23 −+−= xxy . Tõ ®ã suy ra ®å thÞ hµm sè 23 23 −+−= xxy 5.VÏ ®å thÞ hµm sè 1 1 )( − + == x x xfy .Tõ ®ã suy ra ®å thÞ c¸c hµm sè )(xfy = , )( xfy = , 1 1 − + = x x y , 1 1 − + = x x y Bµi to¸n 4: Bµi to¸n tiÕp tun *Chó ý: Khi thùc hiƯn bµi to¸n vỊ tiÕp tun cđa ®å thÞ hµm sè cÇn ph©n biƯt 2 ng«n tõ ®ỵc dïng: +. Ph¬ng tr×nh tiÕp tun t¹i ®iĨm M(x 0 ; y 0 ) ∈ (C) ( hc t¹i x=x 0 ) cã ph¬ng tr×nh : y- y 0 = y’(x 0 ) (x-x 0 ) ( Khi ®ã cã duy nhÊt mét tiÕp tun cđa (C) t¹i M ). +, ph¬ng tr×nh tiÕp tun ®i qua M ( cã thĨ thc hay kh«ng thc (C) ) Khi ®ã cã nhiỊu h¬n mét tiÕp tun. +, §êng th¼ng y= kx + b cã hƯ sè gãc k=tg α . • Hai ®êng th¼ng song song cã cïng hƯ sè gãc. VD: y= 5x+ 3; y= 5x-9 • Hai ®êng th¼ng vu«ng gãc cã tÝch hƯ sè gãc b»ng -1.VD: y= 5x+3 ; y=- x 5 1 D¹ng 1: ViÕt PTTT khi biÕt täa ®é tiÕp ®iĨm (ViÕt PTTT t¹i mét ®iĨm) 1. Cho hàm số: y=x 3 6x 2 + 9x (C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I( 2; 2) . 2. Cho hàm số y= x 3 - x (C). Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục hoành. Bài Giải Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm phơng trình : x 3 x = 0 = = 1 0 x x => Giao điểm của (C) và Ox là: 0(0; 0) , A( 1; 0), B( -1; 0) Ta có y= 3x 2 -1 phơng trình tiếp tuyến của (C) tại O(0; 0) là: y=y(0) (x- 0) y= -x phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là: y=y(1)(x-1) y=2x-2 phơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1; 0) là: y=y(-1)(x+1) y=2x+2. 3.Cho hàm số )(232)( 23 Cxxxfy +== Viết PTTT với (C): a) Tại M(0;-2) b)Tại điểm N có hoành độ bằng -1 c)Tại điểm P có tung độ bằng -2 d) Tại điểm uốn của đồ thị e) Tại các điểm cực trị của đồ thị (C) 4. Cho hàm số )( 2 3 3 2 1 )( 24 Cxxxfy +== Viết PTTT với (C) tại các điểm uốn của nó 5.Cho hàm số )(3)( 23 Cxxxfy +== Viết PTTT với (C): a)Viết PTTT với(C) tại điểm uốn b)Tìm các điểm chung khác tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) nếu có c) CMR trong các tiếp tuyến với đồ thị , tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất 6.Cho hàm số:y=f(x)=2x 3 -3x 2 +9x-4(C).Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau : a) y=7x+4 b) y=-x 2 +8x-3 c) y=x 3 - 4x 2 +6x-7 7. Cho hàm số(C):y= f(x) = 2x 4 +mx 2 (m+1)(C).Biết A là điểm thuộc đồthị có hoành độ âm.Tìm m để tt tại A song song với đờng thẳng y=2x 8. Cho hàm số(C):y= f(x) = x 3 - 3x.Tìm m để đờng thẳng y=m(x+1)+2 cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C sao cho tt tại B,C vuông góc với nhau(A là điểm cố định). 9. Cho hàm số )(13)( 23 Cxxxfy +== .Gọi I là điểm uốn của đồ thị, d là đờng thẳng đi qua I với hệ số góc k.Biết rằng d cắt đồ thị trên tại 3 điểm A,B,I.CMR tt của (C) tại A,B song song với nhau 10. Cho h/s 2x y x+1 = a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s . b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến tại M cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A, B và tam giaực OAB có diện tích bằng 1 4 . 2007_D Dạng 2: Viết PTTT khi biết trớc hệ số góc (Biết phơng của tt) 1. Cho hàm số(C):y= f(x) = -x 3 +3x 2 - 4x+2.Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng 3 4 1 += xy 2. Cho hàm số(C):y= f(x) = -x 3 + 3x+1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng y=- 9x+1 3. Cho hàm số )(23 4 1 )( 4 Cxxxfy +== CMR từ điểm A(7/2;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C) và 2tt này vuông góc với nhau 4.Cho hàm số 1 22 2 + ++ = x xx y (C). CMR từ điểm A(1;0) có thể kẻ đợc 2 tt của đồ thị (C) và 2tt này vuông góc với nhau 5.Cho hàm số (C) :y= f(x) = x 3 - 3x 2 .Viết PTTT của (C) biết tt vuông góc với đờng thẳng y=1/3x 6. Cho hàm số(C):y= f(x) = x 3 - 3x 2 +1.Viết PTTT của (C) biết tt song song với đờng thẳng y=9x+2007 7. Cho hàm số(C):y= f(x) = x 3 - 3x+7. Viết PTTT của (C) biết tạo với đờng thẳng y= 2x+3 một góc bằng 45 8. Cho hàm số 1 22 2 + ++ = x xx y (C).Viết PTTT với (C) biết tt vuông góc với tiệm cận xiên Cho h/s 2 x x 1 y x+2 + = a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s . b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với TCXiên của (C) 2006_b 9. Gọi (C m ) là đồ thị h/s 3 2 1 1 y x x 3 2 3 m = + (*) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 2 . b) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đt: y = 5x 2005_d Dạng3: Viết PTTTbiết tt đi qua một điểm cho trớc) 1. Cho hàm số(C):y= f(x) = x 3 +3x 2 +1.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua gốc toạ độ 2. Cho hàm số(C):y= f(x) = x 3 - 3x 2 +2.Viết PTTT của (C) biết tt đi qua điểm A(0;3) 3.Tìm điểm N thuộc đồ thị hs (C) :y= f(x) = 2x 3 +3x 2 -12x-1 sao cho tt tại N đi qua gốc tọa độ 4. Cho hàm số 2 23 + + = x x y (C).CMR không có tt nào của đồ thị đi qua giao điểm của 2 đờng tiệm cận 5. Cho hàm số )(3 4 1 )( 3 Cxxxfy == .Cho M là điểm nằm trên đồ thị có hoành độ bằng 32 ,viết ptđt d đi qua M và là tt của (C) 6. Cho hàm số 1 2 + = x mmxx y (C).Tìm m sao cho 2 tt kẻ từ O đến đồ thị vuông góc với nhau 7. Cho hàm số 2 2 + = x xx y (C),(d) là đờng thẳng đi qua B(0;b) và song song với tt của (C) tại O.Xác định b để (d) cắt (C) tại 2 điểm M,N. 8. Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= 2 2 + x x . Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-6; 5). 9.Cho hàm số y= 1 22 2 + ++ x xx 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2.Chứng minh rằng có 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(1; 0) và vuông góc với nhau. 10. Cho hàm số 23 3 1 xxy = có đồ thị là (C). 1)Khảo sát hàm số. 2)Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (3;0). ( 2,Đs: y= 0 ; y= 3x 9 ) 11. Cho hàm số 1 12 + + = x x y có đồ thị (C) . 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung , trục hoành và độ thị (C). 3)Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(- 1; 3). ( Đs: 2, 1- ln2 ; y= 4 13 4 1 + x ) 12. Cho hm s y = 4x 3 6x 2 + 1 (1) ẹH B 2008 1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1). 2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s (1), bit rng tip tuyn ú i qua im M(-1;-9). (ẹs: y = 24x + 15 hay y = 4 21 4 15 x ) . bin thi n v v th ca hm s (1). 2. Chng minh rng mi ng thng i qua im I (1;2) vi h s gúc k (k > - 3) u ct th ca hm s (1) ti ba im phõn bit I, A, B ng thi. im ca on thng AB. bài toán 2: dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phơng trình Giả sử cần biện luận số nghiệm của phơng trình F(x; m) = 0 (1) trong đó