Ôn thi đại học: Mũ - Logarit (GV: Nguyễn Duy Tình)

NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có ở hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x - pp này chỉ sử dụng được khi phương trình có nghiệm [r]

Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit PhÇn A KiÕn thøc c¬ b¶n I §Þnh nghÜa luü thõa vµ c¨n Với n nguyên dương, bậc n số thực a là số thực b cho bn = a Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kì, có bậc n a, kí hiệu là n a Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, có đúng hai bậc n a là hai số đối nhau; có giá trị dương kí hiệu là n a , có giá trị âm kí hiệu là - n a Sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n  Sè mò  C¬ sè a Luü thõa a a R   n N* a   a n  a  a a nthuaso  0 a0 a0   n(n  N *) m (m  Z , n  N * ) n   lim rn (rn  Q, n  N * )  a  = a0=1 a   a n  a>0  a a a>0 m n an  n am a   lim a rn II TÝnh chÊt cña luü thõa Giả thiết biểu thức xét có nghĩa am  a m  n ; (am)n = amn am.an = am+n; n a n an a n n n (a.b) = a b ;    n b b III TÝnh chÊt cña l«garit Giả thiết biểu thức xét có nghĩa a log a b  b ; loga1 = 0; logaa = 1; logaab = b b loga(bc) = logab + logac; log a    log a b  log a c ; logabn = nlogab c   log b c  log a c log a b hay logab.logbc=logac 22 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit IV Hµm sè mò y=ax(a>0,a≠1) a>1 y’>0 víi mäi x  R Hàm số đồng biến trên R x x lim a   ; lim a  0<a<1 y’>0 víi mäi x  R Hµm sè nghÞch biÕn trªn R x x lim a  ; lim a   B¶ng biÕn thiªn B¶ng biÕn thiªn x   x   x x + - y=ax x  x   + - y=ax + 0 y §å thÞ y x x 23 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit V Hµm sè logarit y = logax (a > vµ a ≠ 1) 0<a<1 y’<0 víi mäi x  0;  Hs nghÞch biÕn trªn 0;  a>1 y’>0 víi mäi x  0;  Hs đồng biến trên 0;  lim log a x   lim log a x   x x x 0  x 0  lim log a x   lim log a x   B¶ng biÕn thiªn B¶ng biÕn thiªn x + + y=logax x + y=logax +  - - §å thÞ §å thÞ y y x x PhÇn B Phương trình Mũ – Logarit (phương trình – bất phương trình – hệ phương trình) A Phương trình mũ: I Phương trình mũ bản: * m  : ptvn * m  0: a f ( x)  m §K:  a  TH1: NÕu m = an th× ta cã: a f  x  an  f  x   n TH2: NÕu m  a n th× ta cã: a f  x   m  f  x   log a m II Các dạng phương trình và phương pháp giải 24 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit f  x g x Phương pháp đưa cùng số: a a  f  x  g  x VÝ dô vµ bµi tËp: x  82 x3 3x 1  182 x.22 x.3x 1 (0, 4) x 1   6, 25  x 5 x.3.3x  2.5 x 1  4000 x  225 x   x 3x  7.2 x  3.9    B Phương trình Logarit I Phương trình logarit bản: C Bất phương trình mũ D Bất phương trình logarit E Hệ phương trình mũ – logarit F Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit: Biến đổi thành tích: 2 VD1: gi¶i pt x  x  4.2 x  x  2 x   NX: cùng số không thể bđ để đặt ẩn phụ theo số Nên ta nhóm thành phương trình tích: 2 x2  x   1 2x   VD2: gi¶i pt 2log x   log x log ( x   1) NX: cùng số không thể bđ để đặt ẩn phụ theo số Nên ta nhóm thành phương trình tích: log x  log   x   log x  TQ: Trong trường hợp cùng số không thể biến đổi và đặt ẩn phụ thì ta biến đổi thành tích II §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn VD1: Giải pt x  2( x  2)3 x  x   Đặt t = 3x, đó ta có t  2 x  2t  x    t  1, t   x NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x) - pp này sử dụng phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (  là số chính phương) VD2: gi¶i pt log ( x  1)   x  5 log  x  1  x   §Æt t = log3(x+1), ta cã t   x  5t  x    t  2, t   x Từ đó ta có nghiệm x = và x = 2 III Phương pháp hàm số C¸c tÝnh chÊt: TÝnh chÊt 1: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) kho¶ng (a; b) th× pt f(x) = k cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm kho¶ng (a; b) TÝnh chÊt 2: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) kho¶ng (a; b) th× víi mäi u, v thuéc (a; b) ta cã f (u )  f v   u  v TÝnh chÊt 3: NÕu hµm f t¨ng vµ hµm g lµ hµm h»ng hoÆc hµm gi¶m (a; b) th× pt f(x) = g(x) cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm (a ;b) §L lagrange: Cho hµm sè F(x) liªn tôc trªn a; b vµ F’(x) tån t¹i trªn (a;b) th× lu«n c  a; b  : F ' c   - F b   F a  ba ¸p dông vµo gi¶i pt: nÕu cã F(b) – F(a) = th× c  a; b  : F ' c    pt F '  x   cã nghiÖm thuéc (a; b) §L R«n: NÕu hµm sè y = f(x) låi hoÆc lâm trªn miÒn D th× pt f(x) = sÏ kh«ng cã qu¸ nghiÖm thuéc D áp dụng: vì chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm sau: CM đồ thị lồi lõm trên (a;b) 25 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit - NÕu lâm th× cm lim y  0, lim y  xa  NÕu låi th× cm lim y  0, lim y  xa  - x b  x b  KL: pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm thuéc (a;b) Lưu ý: a Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) đó hoàn thành, cßn míi nhÈm ®­îc nghiÖm th× ch­a KL pt cã nghiÖm nhÊt ( v× §L chØ kl pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm thuéc (a;b)) b Nếu áp dụng để CM pt có nghiệm thì trường hợp đồ thị lõm ta phải ít giá trị x0 thuéc (a;b) cho f(x0) < ( cßn låi th× f(x0) > ) x  2.3 log x  VD1: gi¶i pt HD: pt  2.3 log x   x ta cã VT lµ hµm ®b cßn VP lµ hµm nb suy pt cã nghiÖm nhÊt x=1 VD2: giải pt    PT tương đương x  x  x  x , giả sử pt có nghiệm là x   x  x x  đó:  5  2  xÐt hµm sè f t   t  1  t  , víi t > Ta nhËn thÊy f(5) = f(2) nªn theo ®l lagrange tån t¹i c  2;5 cho:  f ' c     c  1  1   c  1     0,   , thö l¹i ta thÊy x = 0, x = lµ nghiÖm cña pt NX: pt có số khác không bđ cùng số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên ( ta có thể bđ pt thành x  3x  5x  x ) VD3: gi¶i pt  x x  x 1  ( x  1) Viết lại pt dạng x 1  x   x x f t   t  t là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ) Vậy pt viết lại dạng f  x  1  f x  x  x   x  x  x    x  x , xÐt hµm sè  NX: - pt võa cã Èn trªn mò võa cã ë hÖ sè nh­ng kh«ng s/d ®­îc pp §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn nªn ta dïng pp trªn ( s/d tc 2) - §Ó s/d pp nµy ta b® pt vÒ d¹ng f (u )  f v   u  v ( chó ý ph¶i xÐt f lµ hµm ®b hoÆc nb ) VD4: Giải pt x  x  x  Dễ dàng ta nhÉm ®­îc nghiÖm : vµ Ta CM kh«ng cã nghiÖm nµo kh¸c xÐt hµm sè f  x   x  x  x   f ' '  x   x ln  x ln 2   hs lâm, suy pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm y  x e  2007  y  có đúng nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > VD5: CMR hÖ   x e y  2007   x 1  HD: s/d tính chất để x = y đó xét hàm số f  x   e x  NÕu x < -1 th× f  x   e 1  2007  suy hpt v« nghiÖm Nếu x > s/d đl Rôn và với x0 = thì f(2) < để suy đpcm   VD6: Cho a  b  CM  a  b x x2 1  2007 a      b  b  ( D – 2007) a     26 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit     ln a  a  ln b  b         HD: B§T  b ln a  a   a ln b  b   XÐt hµm sè   a b       ln x  x   f x    víi x > x Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến đó với a  b  ta có f (a )  f b  ( đpcm) IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa pt – hệ pt - bpt mũ s/d các pp trªn 1.D¹ng 1: kh¸c c¬ sè: VD1: Giải pt log x  log ( x  2) Đặt t = log x  x  t đó pt trở thành: t t  7 1    2.  t  log (  2)        3   t t t D¹ng 2: Kh¸c c¬ sè vµ biÓu thøc dÊu log phøc t¹p VD1: gi¶i pt log ( x  x  2)  log x  x    §Æt t = x2 – 2x – ta cã pt log t  1  log t  VD2: gi¶i pt log x  3 D¹ng 3: log x  a logb  x  c   x t 3  log x Đặt t  log x , pt tương đương        2 t t t t ( ®k: b = a + c ) t t 4 1 VD1: gi¶i pt  x §Æt t  log  x  3   x  , pt trë thµnh       3.   7 7 log  x   log t 1 VD2: Gi¶i pt  x  Đặt t = x+4 suy pt tương đương t log  x 1 log  x 1 VD3: Gi¶i pt   x  12  x  ¸p dông PP II vµ d¹ng nµy log  x 3  D¹ng 4: s ax  b t t t  c log s dx  e   x   , víi d  ac   , e  bc   Pp: đặt ay  b  log s (dx  e) chuyển thành hệ pt, lấy pt1 trừ pt2 ta s ax b  acx  s ay b  acy Xét f t   s at b  act VD: Giải pt x 1  log (6 x  5)  Đặt y   log 6 x  5 Khi đó pt chuyển thành hệ 7 x 1  y  7 x 1  6 y  1    y 1  x 1  x  y 1  y XÐt hµm sè f t   t 1  6t suy x=y,  7  x   y   log 6 x  5 đó ta có x 1  x   Xét hàm số g  x   x 1  x  áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta t×m ®­îc nghiÖm cña pt: x = 1, x = D¹ng 5: §Æt Èn phô chuyÓn vÒ thµnh hÖ 2x 18  x 1 x 1 x   2  21 x  18  1 x  x 1 HD: Viết PT dạng x 1 , đặt u  x 1  1, v  21 x  1.u , v  1 x 1  2   18 8    Nhận xét u.v = u + v Từ đó ta có hệ:  u v u  v u.v  u  v VD: Gi¶i PT:  Bài tập 27 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit e (x Bài 1: Giải phương trình: (x  2x  2) 4x 2  x  1)x 1 1 x  x ) x 2  f ( g 1 Bài 2:Giải phương trình:  4.32x 5  27  (2  3)x  (2  3)x   a 4x 8 5)x  16(3  5)x  x 3 e (3  b 2x   x 7  17  x c x f (7  3)  3(2  3)   l ( 2 3)x  ( 2 3)x  x x h 2.4 x x g 3.16  2.8  5.36 Bài 3:Giải phương trình:  6x  9x 2 x 5 x   21 x  2.2 5 x  3x  x   22x 1  32x  52x 1  x  3x 1  5x 2 16 x  x  x  x 17 x  15 x  10 x  14 x x 3  (3 x  10)3 x    x  x 18  x.2 x  3 x  x   x 1  ( x  1)  2x 4x x  x  5x  3x 10 3.8  4.12  18  2.27   12  13 x   x 14 2.2  x  x   15 x  x  x  3x  x  x x  (3  x )x  2(1  x )  3x 3 2 x i x 3 x   4x x 6 x 5 x  2x x 3 x 7   19 x.2 x  x3  x   2 x  1 20 x 1  x  x   x x 21 x 11   x 2 x  x 3   x  2 x 12 15   x 22 x  x  x  Bài 4:Giải các hệ phương trình: 4 x  y  128 a  3x 2y 3 1 5 5x  y  125 b  (x  y)2 1 1 4 32x  y  77 b  x y 3   2 x  y  12 d  x  y  x y  x y 2 m  m  m  m e  xy xy  n  n  n  n víi m, n > (m  2).2 x  m.2  x  m  b m.3x  m.3 x  Bài 6: Tìm m để phương trình có nghiệm: (m  4).9 x  2(m  2).3x  m   Bài 5: Giải và biện luận phương trình: a 28 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit x x  3 Bài 7: Giải các bất phương trình sau: a b 2x 1  3x 1 c  x2 x  25 d x (x  x  1)  e (x  2x x 1 x  3) 1 1 f (x  1)x  2x  x2  Bài 8: Giải các bất phương trình sau: a x d  9.3 x  10  x 55 x 1 5 b 5.4 x  2.25x  7.10 x  c x 1  10 x  5x  25 21x   x 0 2x  e 25.2 Bài 9: Giải bất phương trình sau: Bài 10: Cho bất phương trình: x x  1  3x  x  3x   3x  f 16 b Định m để bất phương trình thỏa x  R x 1  m.(2 x  1)  a Giải bất phương trình m=  x  x Bài 11: a Giải bất phương trình:      3 3 2  12 (*) 2x   m   x   3m  b.Định m để nghiệm (*) là nghiệm bất phương trình: Bài 12: Giải các phương trình: a c log5 x  log5  x    log5  x     log x 2x  5x   d lg(x b log5 x  log25 x  log 0,2  2x  3)  lg lg(5x  4)  lg x    lg 0,18 x3 0 x 1 e Bài 13: Giải các phương trình sau: a  1  lg x  lg x b log x  10 log2 x   c log 0,04 x   log 0,2 x   d 3log x 16  log16 x  log x e log x2 f lg(lg x)  lg(lg x 16  log2x 64  3  2)  g ln x  ln x   Bài 14: Giải các phương trình sau: c  x a log3  log x     2x   x x b log 4.3   log          log2 x 1  log2 x   log  d lg  6.5 x   25.20 x  x  lg25 29 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit e   lg2  1  lg f x  lg     lg 51 x x 5 g  h     x lg2  lg3  50  x lg5 log32 x Bài 15: Giải các phương trình: a x  lg x   x    lg  x   b log3  x   log32  x  1   x  1 log3  x  1  16  e log x  ( x  4) log x  x   c 2 g x  log 5 x  1  x  i log x    x   log x  x  lg2 x  lg x2 x 1 i x lg x d  x 1  x log3 x  162  x  1  log5  2x  1  log5  x 3  x f log ( x  x  2)  log x   2x   Bài 15: Giải các hệ phương trình:   lg x  y   3lg2 c  lg  x  y   lg  x  y   lg3 lg x  lg y  a  2 x  y  29 log3 x  log3 y   log3 b  x  y  log x  log2 y  d  2 x  5y    xy log x xy  log y x 4 y x  32 e  f  log x log3  x  y    log3  x  y  y y  4y  Bài 16: Giải và biện luận các phương trình: a c lg  mx   2m   x  m  3  lg   x  logsin x 2.logsin2 x a  1 Bµi 17 a b   b lg  ax  2 lg  x  1 Bài 18: Tìm a để phương trình có nghiệm phân biệt x log32 x  log3 x  a  Bài 19: Giải bất phương trình:   log8 x  4x   b log3 x  log3 x   c log  log x       d    log x  log9 3x      g log x 2.log 2x 2.log 4x  4x  0 h log x f   log x  6x   log5  x    i log2  x     log2  x  1 j log8 (x  2)  log (x  3)  e a 4 1 2a  x log a a.log2a d : Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: log3 x  4ax  log  2x  2a  1  log3 a  log x a  log x a log x   log x 3 30 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit   k log3  log x       l log5 3x  4.log x  m log3 n x  4x  x2  x  0 log x  log3 x      x  x  1    x2 1 q log r x 1   log x 6  log2 0 x    s log22 x  log2 x  t log x 2.log x  3x 16  log2 x  o log2x x  5x   u p log3x x2   x   log32 x  log3 x   log3 x  v log21 x  log2 x   log16 x   Bài 20: Giải bất phương trình:a c  x   log2  log x 1 log6 x  x log6 x  12    2 d b x 2log2 2x log2 x    x  log5 x  4x  11  log11 x  4x  11  5x  3x 2  0 Bài 21: Giải hệ bất phương trình:   x2  0 a   x  16x  64 lg x   lg(x  5)  lg2      x  1 lg2  lg x 1   lg 7.2 x  12 b  c log x  x    log2x   y    log 4y  2x    Bài 22: Giải và biện luận các bất phương trình(  a a x loga x 1  a x b log2a 1 x 1  loga x c  ):  1  loga x  loga x d log x 100  loga 100      Bài 23: Cho bất phương trình: log a x  x   log a  x  2x  thỏa mãn với: x phương trình Gi¶i bÊt lg2 x  m lg x  m   Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm:  Bài 26: Giải và biện luận bất phương trình: x  Bài 25: Cho bất phương trình: x   m   x  3m   x  m  log x log  8a  x   x a b a     Giải bất phương trình m = Giải và biện luận bất phương trình Một số phương pháp hay giải phương trình – bất phương trình mũ logarit: 31 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit Biến đổi thành tích: 2 VD1: gi¶i pt x  x  4.2 x  x  2 x   NX: cùng số không thể bđ để đặt ẩn phụ theo số Nên ta nhóm thành phương trình tích: 2 x2  x   1 2x   VD2: gi¶i pt 2log x   log x log ( x   1) NX: cùng số không thể bđ để đặt ẩn phụ theo số Nên ta nhóm thành phương trình tích: log x  log   x   log x  TQ: Trong trường hợp cùng số không thể biến đổi và đặt ẩn phụ thì ta biến đổi thành tích II §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn VD1: Giải pt x  2( x  2)3 x  x   Đặt t = 3x, đó ta có t  2 x  2t  x    t  1, t   x NX: - ta thấy pt vừa có ẩn trên mũ vừa có hệ số, nên phần nhiều hs không mạnh dạn đặt ẩn phụ (mặc dù nhìn qua pt có dạng đặt t = 3x) - pp này sử dụng phương trình có nghiệm t tương đối đơn giản và dể tính (  là số chính phương) log VD2: gi¶i pt ( x  1)   x  5 log  x  1  x   §Æt t = log3(x+1), ta cã t   x  5t  x    t  2, t   x Từ đó ta có nghiệm x = và x = 2 III Phương pháp hàm số C¸c tÝnh chÊt: TÝnh chÊt 1: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) kho¶ng (a; b) th× pt f(x) = k cã kh«ng qu¸ mét nghiÖm kho¶ng (a; b) TÝnh chÊt 2: NÕu hµm f t¨ng (gi¶m) kho¶ng (a; b) th× víi mäi u, v thuéc (a; b) ta cã f (u )  f v   u  v TÝnh chÊt 3: NÕu hµm f t¨ng vµ hµm g lµ hµm h»ng hoÆc hµm gi¶m (a; b) th× pt f(x) = g(x) cã nhiÒu nhÊt mét nghiÖm (a ;b) §L lagrange: Cho hµm sè F(x) liªn tôc trªn a; b vµ F’(x) tån t¹i trªn (a;b) th× lu«n c  a; b  : F ' c   - F b   F a  ba ¸p dông vµo gi¶i pt: nÕu cã F(b) – F(a) = th× c  a; b  : F ' c    pt F '  x   cã nghiÖm thuéc (a; b) §L R«n: NÕu hµm sè y = f(x) låi hoÆc lâm trªn miÒn D th× pt f(x) = sÏ kh«ng cã qu¸ nghiÖm thuéc D áp dụng: vì chương trình THPT không trình bày ĐL Rôn nên để s/d ta làm sau: CM đồ thị lồi lõm trên (a;b) NÕu lâm th× cm lim y  0, lim y  NÕu låi th× cm lim y  0, lim y  xa  - xa  x b  x b  KL: pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm thuéc (a;b) Lưu ý: a Nếu áp dụng để giải pt thì ta phải nhẩm nghiệm ( thường là dễ nhẩm ) đó hoàn thành, cßn míi nhÈm ®­îc nghiÖm th× ch­a KL pt cã nghiÖm nhÊt ( v× §L chØ kl pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm thuéc (a;b)) b Nếu áp dụng để CM pt có nghiệm thì trường hợp đồ thị lõm ta phải ít giá trị x0 thuéc (a;b) cho f(x0) < ( cßn låi th× f(x0) > ) VD1: gi¶i pt HD: x  2.3 log x  pt  2.3 log x   x ta cã VT lµ hµm ®b cßn VP lµ hµm nb suy pt cã nghiÖm nhÊt x=1 VD2: giải pt    PT tương đương x  x  x  x , giả sử pt có nghiệm là x   x  x x  đó:  5  2  xÐt hµm sè f t   t  1  t  , víi t > Ta nhËn thÊy f(5) = f(2) nªn theo ®l lagrange tån t¹i c  2;5 cho:  f ' c     c  1  1   c  1     0,   , thö l¹i ta thÊy x = 0, x = lµ nghiÖm cña pt 32 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit NX: pt có số khác không bđ cùng số để đặt ẩn phụ, nên ta s/d pp trên ( ta có thể bđ pt thành x  3x  5x  x ) VD3: gi¶i pt  x x  x 1  ( x  1) Viết lại pt dạng x 1  x   x x f t   t  t là hàm đồng biến trên R ( s/d đạo hàm ) Vậy pt viết lại dạng f  x  1  f x  x  x   x  x  x    x  x , xÐt hµm sè  NX: - pt võa cã Èn trªn mò võa cã ë hÖ sè nh­ng kh«ng s/d ®­îc pp §Æt Èn phô nh­ng hÖ sè vÈn cßn chøa Èn nªn ta dïng pp trªn ( s/d tc 2) - §Ó s/d pp nµy ta b® pt vÒ d¹ng f (u )  f v   u  v ( chó ý ph¶i xÐt f lµ hµm ®b hoÆc nb ) VD4: Giải pt x  x  x  Dễ dàng ta nhÉm ®­îc nghiÖm : vµ Ta CM kh«ng cã nghiÖm nµo kh¸c xÐt hµm sè f  x   x  x  x   f ' '  x   x ln  x ln 2   hs lâm, suy pt cã kh«ng qu¸ nghiÖm y  x e  2007  y  có đúng nghiệm thoã mãn đk x> 0, y > VD5: CMR hÖ   x e y  2007   x 1  HD: s/d tính chất để x = y đó xét hàm số f  x   e x  NÕu x < -1 th× f  x   e 1  2007  suy hpt v« nghiÖm Nếu x > s/d đl Rôn và với x0 = thì f(2) < để suy đpcm b x x2 1  2007 a     VD6: Cho a  b  CM  a  a    b  b  ( D – 2007)         ln a  a  ln b  b         HD: B§T  b ln a  a   a ln b  b   XÐt hµm sè   a b       ln x  x   f x    víi x > x Suy f’(x) < với x > 0, nên hàm số nghịch biến đó với a  b  ta có f (a )  f b  ( đpcm) IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarit) ta thường phải đặt ẩn phụ đưa pt – hệ pt - bpt mũ s/d các pp trªn 1.D¹ng 1: kh¸c c¬ sè: VD1: Giải pt log x  log ( x  2) Đặt t = log x  x  t đó pt trở thành: t t  7 1    2.  t  log (  2)        3   t t t D¹ng 2: Kh¸c c¬ sè vµ biÓu thøc dÊu log phøc t¹p VD1: gi¶i pt log ( x  x  2)  log x  x   §Æt t = x2 – 2x – ta cã pt log t  1  log t  VD2: gi¶i pt log x  3 D¹ng 3: log x  a logb  x  c   x  t 3  log x Đặt t  log x , pt tương đương        2 t t t t ( ®k: b = a + c ) 33 Lop12.net Nguyễn Duy Tình – Ôn thi đại học: Mũ - logarit log  x 3  VD1: gi¶i pt  x §Æt t  log  x  3  t  x  , pt trë thµnh t t 4 1 t  t      3.   7 7 log  x   VD2: Gi¶i pt  x  Đặt t = x+4 suy pt tương đương log3 t 1  t log  x 1 VD3: Gi¶i pt   x  12 log3  x 1  x  ¸p dông PP II vµ d¹ng nµy D¹ng 4: s ax  b  c log s dx  e   x   , víi d  ac   , e  bc   Pp: đặt ay  b  log s (dx  e) chuyển thành hệ pt, lấy pt1 trừ pt2 ta s ax b  acx  s ay b  acy Xét f t   s at b  act VD: Giải pt x 1  log (6 x  5)  Đặt y   log 6 x  5 Khi đó pt chuyển thành hệ 7 x 1  y  7 x 1  6 y  1    y 1  x 1  x  y 1  y XÐt hµm sè f t   t 1  6t suy x=y,  7  x   y   log 6 x  5 đó ta có x 1  x   Xét hàm số g  x   x 1  x  áp dụng PP định lí Rôn và nhẩm nghiệm ta t×m ®­îc nghiÖm cña pt: x = 1, x = D¹ng 5: §Æt Èn phô chuyÓn vÒ thµnh hÖ 2x 18  x 1 x 1 x   2  21 x  18  1 x  x 1 HD: Viết PT dạng x 1 , đặt u  x 1  1, v  21 x  1.u , v  Nhận xét u.v 1 x 1  2   18 8    = u + v Từ đó ta có hệ:  u v u  v u.v  u  v VD: Gi¶i PT:  34 Lop12.net