Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 3)

Dạng 3 : Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình.. không nhiều hơn một..[r]

http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Dạng : Dùng đơn điệu hàm số để giải và biện luận phương trình và bất phương trình Chú ý : Nếu hàm số y  f x luôn đơn điệu nghiêm cách trên D (   luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D ) thì số nghiệm phương trình : f x  k không nhiều và f x  f y      và x  y Chú ý 2:  Nếu hàm số y  f x luôn đơn điệu nghiêm cách trên D (     luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D ) và hàm số y  g x luôn đơn điệu nghiêm ngoặc ( luôn đồng biến luôn nghịch biến ) trên D , thì số nghiệm trên D phương trình f x  g x     không nhiều  Nếu hàm số y  f x có đạo hàm đến cấp n trên D và phương   trình f (k )(x )  có m nghiệm, đó phương trình f (k 1)(x )  có nhiều là m  nghiệm Ví dụ : Giải các phương trình 3x (2  9x  3)  (4x  2)(  x  x  1)  x  4x  5x   7x  9x  Giải : 3x (2  9x  3)  (4x  2)(  x  x  1)  (1) Phương trình   (1)  3x (2  (3x )2  3)  (2x  1)(2  (2x  1)2  3) (2) Đặt u  3x , v  2x  1, u, v  Phương trình (1)  u(2  u  3)  v(2  v  3) (3) Xét hàm số f (t )  2t  t  3t liên tục trên khoảng  0;   Lop12.net http://mathsvn.violet.vn Ta có f '(t )   http://violet.vn/mathsvn 2t  3t   0, t   f t đồng biến trên t  3t   khoảng 0;  Khi đó phương trình (3)  f (u )  f (v )  u  v  3x  2x   x   Vậy x   là nghiệm phương trình x  4x  5x   7x  9x  Đặt y = y  7x  9x  Khi đó phương trình cho x  4x  5x   y  7x  9x   y x  4x  5x   y   y  y  x  3x  4x  * có dạng   f y  f x 1  x  4x  5x   y  y  y  x   x  *     a   Xét hàm f t  t  t , t    Vì f ' t  3t   0, t   nên hàm số đồng biến trên tập số thực  Khi đó a  y  x   Hệ x  4x  5x   y x  4x  6x   * * I   y  x  y  x       Giải phương trình * * ta có tập nghiệm :  1  1   S  5, ,  2   Ví dụ : Chứng minh phương trình: 2x x   11 có nghiệm Lop12.net I  http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Giải : Cách :  Xét hàm số y  2x x  liên tục trên nửa khoảng 2;  Ta có: y '   x 5x  x 2   0, x   2;    lim y  lim 2x x    x  x  Bảng biến thiên : x y' y    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  2x x  luôn cắt đường thẳng y  11 điểm Do đó phương trình 2x x   11 có nghiệm Cách 2:   Xét hàm số y  f x  2x x   11 liên tục trên nửa khoảng  2;        có ít nghiệm khoảng  2;  x  5x   f ' x    0, x  2;    f x  liên tục và đồng biến Ta có f  11, f  Vì f f  77   f x  x 2 trên đoạn 2;    Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng 2; Ví dụ : Giải bất phương trình sau 5x   x   Giải : Điều kiện : x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Xét hàm số f (x )  5x   x  liên tục trên nửa khoảng 1   ;   5  Ta có : f '(x )  5x    ,x   f x là hàm   x 1 1  số đồng biến trên nửa khoảng  ;   và f (1)  , đó bất 5  phương trình cho  f (x )  f (1)  x  Vậy bất phương trình cho có nghiệm là x  Ví dụ : Giải bất phương trình sau 3  2x  2x   2x  Giải : x  2 Bất phương trình cho  3  2x   2x   f (x )  g(x ) (*) 2x  Xét hàm số f (x )  3  2x  liên tục trên nửa khoảng 2x   3  ;  2 2 Điều kiện: Ta có : f '(x )  3  2x  1 3  0, x   ;   f (x ) là 2 2 ( 2x  1)3  3 hàm nghịch biến trên nửa đoạn  ;  2 2 Hàm số g (x )  2x  là hàm đồng biến trên  và f (1)  g(1)   Nếu x   f (x )  f (1)   g(1)  g(x )  (*) đúng  Nếu x   f (x )  f (1)   g(1)  g(x )  (*) vô nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là:  x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Ví dụ : Giải bất phương trình sau (x  2)(2x  1)  x    (x  6)(2x  1)  x  Giải : Điều kiện: x  Bất phương trình cho  ( x   x  6)( 2x   3)  *   Nếu 2x     x   (*) luôn đúng  Nếu x  Xét hàm số f (x )  ( x   x  6)( 2x   3) liên tục trên  khoảng 5;   Ta có: f '(x )  ( x 2  x 6 )( 2x   3)   x 2  x 6 2x   đồng biến trên khoảng 5;  và f (7)  , đó *  f (x )  f (7)  x  Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là:  x  Ví dụ : Giải bất phương trình sau 2x  3x  6x  16    x Giải : 2x  3x  6x  16   Điều kiện:   2  x  4  x  Bất phương trình cho  2x  3x  6x  16   x   f (x )  *  Xét hàm số f (x )  2x  3x  6x  16   x liên tục trên đoạn  2;4  Lop12.net    0, x   f x http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn 3(x  x  1) Ta có: f '(x )   2x  3x  6x  16      0, x  2; 4x    f x đồng biến trên nửa khoảng 2; và f (1)  , đó *  f (x )  f (1)  x  Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là: 2  x  Ví dụ : Chứng minh x  x   ,  x Giải : Xét hàm số f (x )  x  x  liên tục trên  Ta có f '(x )  4x  và f '(x )   x  Vì f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua f (x )  f ( ) 4 Vậy f (x )  , x  1  Ví dụ : Giải hệ phương trình  2x     2y    y  (1)  x  (2)  x  2x  y   y  2y  x 1 2 x  3x  y  3y (1)  6 (2) x  y  Giải : Lop12.net , đó http://mathsvn.violet.vn  2x     2y   http://violet.vn/mathsvn  y  (1)  x  (2)    x  Điều kiện:    y   Cách 1: Trừ (1) và (2) ta được: 2x   4x  Xét hàm số f (t )  2y   2t   3 4y    t liên tục trên đoạn   ;    Ta có:    0, t    ;  2t   t    (3)  f (x )  f (y )  x  y Thay x  y vào (1) ,ta được: f / (x )  2x     x   x   (2x  3)(4  x )  16 x    x   2x  5x  12   x      x  11 x  38 x  33    11  x   x   Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  ,  y  11  y   Cách 2: Trừ (1) và (2) ta được:     2x   2y   (2x  3)  (2y  3) 2x   2y    (x  y )   2x    y  0 4x (4  y )  (4  x ) y  2y   4x y  0    0* 4x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn Vì http://violet.vn/mathsvn  2x   2y  y  Thay x  y vào (1) ,ta được: 2x   4x  nên  *   x  y  x   x   (2x  3)(4  x )  16 x    x   2x  5x  12   x      x  11 x  38 x  33    11   x   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  ,   y   y  11   x  2x  y   y  2y  x Cách : 1 2 Xét hàm số f (t )  t  2t  f / (t )  3t   0, t    f (x )  y (1) Hệ phương trình trở thành   f (y )  x (2) + Nếu x  y  f (x )  f (y )  y  x (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẫn) + Nếu x  y  f (x )  f (y )  y  x (mâu thuẫn) Suy x  y , vào hệ ta   x  x   x x    x  vì x    x  Vậy hệ có nghiệm   y  Cách 2: Trừ (1) và (2) ta được: x  y  3x  3y   (x  y )(x  y  xy  3)    y 3y   (x  y )  x     3   x  y 2    Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Thế x  y vào (1) và (2) ta   được: x  x   x x    x   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm   y  x  3x  y  3y (1)  6 (2) x  y  Từ (1) và (2) suy 1  x , y  (1)  f (x )  f (y ) (*) Xét hàm số f (t )  t  3t liên tục trên đoạn [ 1;1] , ta có  f '(t )  3(t  1)  t  [ 1;1]  f t nghịch biến trên đoạn [ 1;1] Do đó: (*)  x  y thay vào (2) ta nghiệm hệ là: x y  Ví dụ : Giải hệ phương trình  1 (1) x   y   x y  2x  xy   (2)   1 (1) x   y   x y  2y  x  (2)  Giải :  1 (1) x   y   x y  2x  xy   (2)  Điều kiện: x  0, y  Ta có: Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn y  x   (1)  (x  y )   0  y   xy    x  y  x phương trình (2)  x    x  1  y   phương trình (2) vô nghiệm x  x   x  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  ;   y   y  1 Bình luận:  1 (1) x   y  Cách giải sau đây sai:  x y  2x  xy   (2)  Điều kiện: x  0, y  Xét hàm số 1 f (t )  t  , t   \ {0}  f /(t )    0, t   \ {0} t t Suy (1)  f (x )  f (y)  x  y ! Sai hàm số f (t ) đơn điệu trên khoảng rời (cụ thể f  1   f    )  1 (1) x   y   x y  2y  x  (2)  Cách 1: Điều kiện: x  0, y  x  y x y    (1)  x  y    (x  y )   0  xy xy y     x x   x  y phương trình (2)    x  1    y  phương trình (2)  x  x   x Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Xét hàm số f (x )  x  x   f / (x )  4x    x  1  1  f  2  0, lim  lim    x  x  34 43  f (x )  0, x    x  x   vô nghiệm Cách 2: Điều kiện: x  0, y  x  y x y   (1)  x  y    (x  y )   0   y   xy xy    x x   x  y phương trình (2)    x  1    y  phương trình (2)  x  x   x  Với x   x    x  x    Với x   x  x  x  x  x   Suy phương trình (2) vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm phân biệt  1   1  x   x   x   2    y       y  y    2 Ví dụ 10: Giải các hệ phương trình  2x y   x2  2y  z   y2  2z  x   z Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn y  9x  27x  27   z  9y  27y  27  x  9z  27z  27   Giải :  2x y   x2  2y  z   y2  2z  x   z Giả sử x  y  z  Xét hàm số : f t   f t  2t ,xác định trên D   \ 1 Ta có  t2   2(t  1)  0, x  D  f t luôn đồng biến trên D (1  t )2      Do đó : x  y  z  f x  f y  f z  y  z  x Mâu thuẫn, đó điều giả sử sai Tương tự x  y  z không thoả Vậy x  y  z    Hệ cho có nghiệm : x ; y; z  0; 0;  y  9x  27x  27   z  9y  27y  27  x  9z  27z  27   y  9x  27x  27  y  9x  27x  27   2 z  9y  27y  27   z  9y  27y  27 x  9z  27z  27  x  9z  27z  27   Xét hàm số đặc trưng : f (t )  9t  27t  27  f '(t )  18t  27 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn  3  f '(t )  0, t  f '(t )   18t  27   t     f ' t  0, t    3  Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   và nghịch biến trên khoảng 2     27 3  ;  Hàm số đạt giá trị nhỏ t   f    2  2 27 27  9x  27x  27  4  3 x    27 3   y3  y    4 z   3  Và f (t )   f (x )  y  Vậy x , y, z thuộc miền đồng biến, suy hệ phương trình  f (y )  z  f (z )  x  là hệ hoán vị vòng quanh Không tính tổng quát giả sử x  y  f (x )  f (y )  y  z  y  z  f (y )  f (z )  z  x  z  x x y z x x y z Thay vào hệ ta có: x  9x  27x  27   x  Suy ra: x  y  z  BÀI TẬP TỰ LUYỆN 81 Giải phương trình 81sin10 x  cos10 x  * 256 Giải các phương trình  (7  2)cos x  (17  12 2)cos x  cos 3x    e t a n x  cosx =2 ,x   - ;   2 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn 2003x  2005x  4006x  3x   x  log 3(1  2x ) Giải các phương trình log3  1 x  3x      5      3x x 1   2 *  x   log3 x   log5 x    x    x   3 log2  x    2  Giải hệ phương trình: x  2 x  x  2x   3y 1    x 1 y  y  2y    (x , y  ) (1  42x y )512x y   22x y 1 (1)   y  4x   ln(y  2x )  (2)  x y e  2009   y  1 có Chứng minh hệ phương trình  x e y  2009   x2  đúng nghiệm thỏa mãn điều kiện x  1, y    ln(1  x )  ln(1  y )  x  y Giải hệ phương trình  2 2x  5xy  y  Giải các hệ phương trình x  3x   ln(x  x  1)  y   y  3y   ln(y  y  1)  z  z  3z   ln(z  z  1)  x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   x  2x  log3 (6  y )  x   y  2y  log3 (6  z )  y   z  2z  log (6  x )  z  Hướng dẫn : Đặt t  sin x ;  t  Khi đó phương trình *  81t  (1  t )5   81 , t  0;1 256 Xét hàm số f (t )  81t  (1  t )5 liên tục trên đoạn  0;1 , ta có: 4 f '(t )  5[81t  (1  t ) ],t  0;1 81t  (1  t )4  f '(t )    t  t   0;1 81 Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: f (t )  f ( )  256 Vậy phương trình có nghiệm 1  t   sin2 x   cos 2x   x   k  (k  Z ) 4 (7  2)cos x  (17  12 2)cos x  cos 3x (7  2)cos x  (17  12 2)cos x  cos 3x (7  2)cos x  (17  12 2)cos x  cos 3x  (1  2)3 cos x  (1  2)4 cos x  cos x  cos x  (1  2)3 cos x  cos x  cos x  (1  2)4 cos Lop12.net x http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   f ' t  1 t    t liên tục trên  ,ta có  ln 1     0, t    f t  là hàm số  Xét hàm số : f t   t  đồng biến trên  , nên ta có f cos x  f cos x    cos x  cos3 x  cos 3x   x      k  ,k      e t a n x  cosx =2 ,x   - ;   2 Xét hàm số : f (x )  e t a n x  cosx liên tục trên khoảng    x  - ;   2 Ta có f '(x )  t a n x cos2x e t a n2 x  tan2x  2e  cos 3x    sin x  sin x   cos3x   Vì 2e t a n x   cos 3x  Nên dấu f '(x ) chính là dấu sin x Từ đây ta có f (x )  f (0)  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2003x  2005x  4006x  Xét hàm số : f (x )  2003x  2005x  4006x  liên tục trên  Ta có: f '(x )  2003x ln 2003  2005x ln 2005  4006 f ''(x )  2003x ln2 2003  2005x ln2 2005  x      f "(x )  vô nghiệm  f ' x  có nhiều là nghiệm   Do đó phương trình f x  có nhiều là hai nghiệm và   f  f  nên phương trình đã cho có hai nghiệm x  0, x  3x   x  log 3(1  2x ) Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Phương trình cho x   3x  x   2x  log (1  2x )  3x  log 3x   2x  log 3(1  2x ) *    Xét hàm số: f (t )  t  log3 t liên tục trên khoảng 0;  , ta có  0, t   f t là hàm đồng biến khoảng t ln 0;  nên phương trình   f ' t 1   *  f (3x )  f (1  2x )  3x  2x   3x  2x   * *  Xét hàm số: f (x )  3x  2x   f '(x )  3x ln   f "(x )  3x ln2    f (x )  có nhiều là hai nghiệm, và f (0)  f  nên phương trình đã cho có hai nghiệm x  0, x  log3  1 x  3x      5  3x x 1  2 * Điều kiện x  3x    x   x  Đặt u  x  3x  2, u  Phương trình u 1 *  log u     5    1   log3 u     5u  2, u  * * 5   1 Xét hàm số : f u  log u     5u liên tục trên nửa khoảng 5  0;  , ta có :      Lop12.net   http://mathsvn.violet.vn f ' (u )  http://violet.vn/mathsvn 1  5u ln 5.2u  0, u   f u đồng biến (u  2)ln     trên nửa khoảng  0;  và f   u  là nghiệm phương   trình * *  3 x  thoả Khi đó x  3x    x  3x      3 x   điều kiện       x   log3 x   log5 x    x    Điều kiện : x  Khi đó phương trình : x  3 log x    log x    x   log x    log x    xx  23       Xét hàm số f x  log x   log5 x  liên tục trên khoảng  5;   và có   f' x   x  5 ln x   ln biến trên khoảng  5;    Xét hàm số g x    g' x  5  x 3    0, x   f x luôn đồng x 2 liên tục trên khoảng 5;  và có x 3     0, x   g x nghịch biến trên khoảng  5;     Mặt khác g  f  , đó phương trình cho có nghiệm x  x   3 log2  x    2  x  2 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Điều kiện : x  Đặt t  x,t  t t   3 Phương trình cho  log2  t      0, t  2  t t   3 Xét hàm số : f t  log2  t     liên tục trên nửa 2  khoảng  0;  Ta có :   t t   (2t  1)2 ln  0, t   f t luôn    t   ln 2  1 đồng biến trên nửa khoảng  0;  và f     t  là nghiệm 2   f' t    phương trình f t  t 1  x  x  2 4 x  x  2x   3y 1    x 1 y  y  2y    Đặt u  x  1, v  y  (x , y  )  v u  u   (I ) viết lại  (II ) u v  v    Xét hàm số : f x  x  x  và g x  3x liên tục x   , ta     có   f ' x 1 x x 1  x2   x x 1  x x  0, x   x 1   g  x   3x đồng biến x    f x đồng biến x   Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn  v u  u    f u  g v   f u  f v g u g v  v  v   3u  f v  g u                    Nếu u  u  f u  f v  g v  g u  v  u vô lý Tương tự v  u dẫn đến vô lý   Do đó hệ II u  u   3u 1  3u ( u   u ) (1)     u  v u  v Đặt: g u  3u ( u   u ) liên tục u      u  Ta có g '(u )  3u ln 3( u   u )  3u   1    u 1       0, u   g '(u )  3u  u   u   ln      u 1    1 Nên  II   u  v  Vậy (I )  x  y  Do đó g u đồng biến u   và g   u  là nghiệm (1  42x y )512x y   22x y 1 (1)   y  4x   ln(y  2x )  (2) Đặt t  2x  y Khi đó phương trình (1) trở thành: t t  1 4          2.2t *        t t  1 4   Xét f t       , g t   2.2t           Lop12.net