- NÕu häc sinh lµm c¶ hai phÇn trong phµn tù chän th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn tù chän... TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô C’.[r]
(1)Trường THPT Đông Sơn kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009 (lần 1) M«n Thi: To¸n Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (§Ò thi gåm 02 trang) phÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y x x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt (C) ®iÓm ph©n biÖt A, M, N cho hai tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vµ N vu«ng gãc víi C©u II (2®iÓm) x y( x y ) y Giải hệ phương trình: ( x 1)( x y 2) y Giải phương trình: (x, y ) sin x sin x cos x cos x tan x tan x 6 3 C©u III (1 ®iÓm) TÝnh tÝch ph©n I x ln( x x 1)dx Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông gãc cña A’ lªn mÆt ph¼ng (ABC) trïng víi t©m O cña tam gi¸c ABC Mét mÆt ph¼ng (P) chøa BC vµ a2 vu«ng gãc víi AA’, c¾t l¨ng trô theo mét thiÕt diÖn cã diÖn tÝch b»ng TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô ABC.A’B’C’ Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị lớn biểu 1 thøc P 2 a b b 2c c a PhÇn tù chän ThÝ sinh chØ ®îc lµm mét hai phÇn: PhÇn hoÆc PhÇn PhÇn C©u VI.a (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): y x x và elip x2 (E): y Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i ®iÓm ph©n biÖt cïng n»m trªn mét ®êng trßn Viết phương trình đường tròn qua điểm đó Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x y z x y z 11 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi b»ng 6 n C©u VII.a(1®iÓm) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x2 khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña x , 24 x 22 23 2 n 1 n 6560 Cn biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 2C Cn Cn ( Cnk lµ sè tæ n 1 n 1 hîp chËp k cña n phÇn tö) n Lop12.net (2) PhÇn C©u VI.b (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x + y + = 0, d2: x + 2y - 7= vµ tam gi¸c ABC cã A(2 ; 3), träng t©m lµ ®iÓm G(2; 0), ®iÓm B thuéc d1 vµ ®iÓm C thuéc d2 ViÕt phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc MA MB MC e x y e x y 2( x 1) Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình x y (x, y ) e x y ***HÕt*** -Chó ý: ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph¶i lµm c©u V ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh: Lop12.net (3) Trường thpt đông sơn i Kì thi KSCL trước tuyển sinh năm 2009(lần 1) Hướng dẫn chấm môn toán - §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn - Học sinh làm các khác đúng điểm tối đa - NÕu häc sinh lµm c¶ hai phÇn phµn tù chän th× kh«ng tÝnh ®iÓm phÇn tù chän - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph¶i lµm c©u V; thang ®iÓm dµnh cho c©u I.1 vµ c©u III lµ 1,5 ®iÓm C©u Néi dung §iÓm I.1 1,00 Kh¶o s¸t hµm sè y x x Tập xác định: R Sù biÕn thiªn: 0,25 a) Giíi h¹n: lim y lim (x 3x 4) , lim y lim (x 3x 4) x x b) B¶ng biÕn thiªn: y' = B¶ng biÕn thiªn: x - y' x 3x2 x - 6x, y' = x = 0, x = 0 + - + + + 0,50 y - - Hàm số đồng biến trên (- ; 0) và (2; + ), nghịch biến trên (0; 2) - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 4, đạt cực tiểu x = 2, yCT = §å thÞ: §å thÞ giao víi trôc tung t¹i (0; 4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-1; 0),(2; 0) Nhận điểm uốn I(1; 2) làm tâm đối xứng y 0,25 x -1 O I.2 Tìm m để hai tiếp tuyến vuông góc d có phương trình y = m(x – 3) + Hoành độ giao điểm d và (C) là nghiệm phương trình x x 3x m(x 3) (x 3)(x m) x m Theo bµi ta cã ®iÒu kiÖn m > vµ y' ( m ).y' ( m ) 1 (3m m )(3m m ) 1 9m 36m m II.1 Giải hệ phương trình đại số Ta thÊy y = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña hÖ x2 xy2 y Hệ phương trình tương đương với x ( x y 2) y Lop12.net 18 35 (tháa m·n) 1,00 0,50 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 (4) §Æt u u v u v 1 uv x2 , v x y Ta cã hÖ y 0,25 x2 1 Suy y Giải hệ trên ta nghiệm hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) x y II.2 1,00 Giải phương trình lương giác §iÒu kiÖn: sin x sin x cos x cos x 6 3 6 3 Ta cã tan x tan x tan x cot x 1 6 3 6 6 Phương trình đã cho tương đương với sin x sin 3x cos x cos 3x cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x cos 2x cos 4x 2 2 1 2(cos x cos x cos x) cos x cos x 0,25 0,25 0,25 III x k (lo¹i) , (k ) Vậy phương trình có nghiệm x k , (k ) x k TÝnh tÝch ph©n 2x dx u ln(x x 1) du §Æt x x 1 dv xdx v x / I 1 0,25 0,25 1,00 0,25 x 2x x ln(x x 1) dx 2 x x 0 1 1 2x dx ln (2 x 1)dx dx 2 20 x x 1 x x 1 1 1 3 ln x x ln(x x 1) I ln I 0 2 4 4 * TÝnh I1: I dx x §Æt x VËy I tan t, t , 2 2 0,25 /3 /3 Suy I 0,25 (1 tan t )dt 3 t / tan t /6 3 ln 12 0,25 Lop12.net (5) IV 1,00 TÝnh thÓ tÝch khèi l¨ng trô C’ A’ B’ H C A O M B Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn AA’, Khi ' AM nhän nªn H n»m gi÷a AA’ ThiÕt diÖn cña l¨ng đó (P) (BCH) Do góc A trô c¾t bëi (P) lµ tam gi¸c BCH a a , AO AM Do tam giác ABC cạnh a nên AM 3 2 a a a HM.BC HM Theo bµi S BCH 8 0,25 0,25 3a 3a 3a AH AM HM 16 2 Do hai tam giác A’AO và MAH đồng dạng nên A' O HM AO AH AO.HM a a a AH 3a 1aa a3 a ThÓ tÝch khèi l¨ng trô: V A' O.S ABC A' O.AM.BC 23 12 0,25 suy A' O V T×m gi¸ trÞ lín nhÊt 1,00 1 1 2 a b a b b 2 ab b 1 1 1 , Tương tự 2 b c bc c c 2a ca a 0,50 1 1 P ab b bc c ca a 0,25 Ta cã a2+b2 2ab, b2 + 2b 1 ab b ab b b ab ab b 1 a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c = 2 Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của(E) và (P) Hoành độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm phương trình x2 (x 2x) 9x 36x 37x (*) XÐt f (x) x 36 x 37x , f(x) liªn tôc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < suy (*) có nghiệm phân biệt, đó (E) c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt y x x Toạ độ các giao điểm (E) và (P) thỏa mãn hệ x 2 y 1 9 P VIa.1 0,25 Lop12.net 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 (6) 8x 16 x 8y x y 16 x 8y (**) x y VIa.2 VII.a 161 8 4 (**) là phương trình đường tròn có tâm I ; , bán kính R = Do 9 9 đó giao điểm (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**) Viết phương trình mặt phẳng () Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = (D 17) MÆt cÇu (S) cã t©m I(1; -2; 3), b¸n kÝnh R = §êng trßn cã chu vi 6 nªn cã b¸n kÝnh r = 0,25 1,00 0,25 Kho¶ng c¸ch tõ I tíi () lµ h = R r 2.1 2(2) D D 7 Do đó D 12 2 2 (1) D 17 (lo¹i) 0,25 Vậy () có phương trình 2x + 2y – z - = T×m hÖ sè cña x2 0,25 1,00 2 0 0,25 Ta cã I (1 x) n dx C 0n C 1n x C 2n x C nn x n dx 1 C 0n x C 1n x C 2n x C nn x n 1 n 1 0 0,25 22 23 2 n 1 n Cn Cn C n (1) n 1 n 1 (1 x) n 1 MÆt kh¸c I (2) n 1 n 1 22 23 2 n 1 n n 1 Cn Tõ (1) vµ (2) ta cã 2C n C n C n n 1 n 1 n 1 6560 n 1 6561 n Theo bµi th× n 1 n 1 suy I 2C 0n VIb.1 k 14 3 k 7 7 k Ta cã khai triÓn x C 7k x k C 7k x x 0 2 x 14 3k 2k2 Sè h¹ng chøa x2 øng víi k tháa m·n 21 VËy hÖ sè cÇn t×m lµ C 27 Viết phương trình đường tròn Do B d1 nªn B = (m; - m – 5), C d2 nªn C = (7 – 2n; n) 2 m n 3.2 m n 3 m 1 Do G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn 3 m n 3.0 m n n Suy B = (-1; -4), C= (5; 1) Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x y 2ax by c Do A, B, C (C) nªn ta cã hÖ 4 a b c a 83 / 54 1 16 2a 8b c b 17 / 18 25 10a b c c 338 / 27 Vậy (C) có phương trình x y 83 17 338 x y 0 27 27 Lop12.net 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 (7) VIb.2 1,00 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt 7 Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy G = ; ;3 3 Ta cã F MA MB MC MG GA MG GB MG GC 0,25 3MG GA GB GC MG(GA GB GC ) 3MG GA GB GC F nhá nhÊt MG2 nhá nhÊt M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 7/38/333 19 MG d(G, ( P )) 111 3 56 32 104 64 GA GB GC 9 VIIb 19 64 553 VËy F nhá nhÊt b»ng 3. M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P) 3 Giải hệ phương trình mũ e x y e x y 2(x 1) e x y x y xy xy e x y e x y e v u e v u (1) §Æt u = x + y , v = x - y ta cã hÖ u u v e v e e v u ( ) - Nếu u > v thì (2) có vế trái dương, vế phải âm nên (2) vô nghiệm - Tương tự u < v thì (2) vô nghiệm, nên (2) u v ThÕ vµo (1) ta cã eu = u+1 (3) XÐt f(u) = eu - u- , f'(u) = eu - B¶ng biÕn thiªn: u - + f'(u) + f(u) Theo b¶ng biÕn thiªn ta cã f(u) = u Lop12.net 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 x y x Do đó (3) có nghiệm u = v x y y Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 0) 0,25 0,25 (8)