CHUYÊN ĐỀ 8 VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN Các định nghĩa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : JJJG JJJG J[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN Các định nghĩa và phép toán vectơ không gian giống mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề thông dụng : JJJG JJJG JJJG Qui taéc ñieåm : ∀ A, B, C thì AB + BC = AC Cộng vectơ cùng gốc là vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có cạnh là vectơ đã cho I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M nào ta luôn có: JJJJG JJJJG JJJG MA + MB MI = JJJG JJJG JJJG G G laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇔ GA + GB + GC = Ngoài ta còn có : G Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng giá chúng cùng song song nằm moät maët phaúng G G G G Bất kỳ vectơ a ≠ nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương e1 , e2 G G không gian, có thể phân tích theo e1 , e2 có nghĩa: G G G a = α e1 + β e2 ( α , β ∈ R) và phân tích trên là G G Bất kỳ vectơ a ≠ nào không gian có thể phân tích theo vectơ G G G không đồng phẳng e1 , e2 , e3 có nghĩa : G G G G a = α e1 + β e2 + γ e3 ( α , β , γ ∈ R) G gọi là trọng tâm tứ diện ABCD JJJG JJJG G JJJG JJJG GA + GB + GC + GD = ⇔ Ghi chuù : G G G G 1) Nếu vectơ a , b , c là thì chúng đồng phẳng G G G 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G ⎡ a, b ⎤ c = ⎣ ⎦ Lop12.net (2) JJJG JJJG JJJG 3) OA , OB , OC đồng phẳng ⇔ O, A, B, C cuøng naèm treân moät maët phaúng Ví duï 1: Cho hình lăng trụ ABC A ′ B′ C′ Gọi I, I′ là trọng tâm Δ ABC và Δ A ′ B′ C′ , O laø trung ñieåm cuûa I I′ a) Chứng minh JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG G OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = b) Gọi G là trọng tâm hình tứ diện ABC C′ và M là trung điểm A ′ B′ Chứng minh raèng O, M, G thaúng haøng JJJJG OM JJJG c) Tính tæ soá OG Giaûi JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG G a) OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = JJG JJG JJG G I laø troïng taâm cuûa Δ ABC ⇒ IA + IB + IC = JJG JJJG JJG JJJG JJG JJJG G ⇒ ( IO + OA ) + ( IO + OB ) + ( IO + OC ) = JJJG JJJG JJJG JJG ⇒ OA + OB + OC = OI Tương tự, I′ là trọng tâm Δ A ′ B′ C′ JJJJG JJJJG JJJJG JJJG ⇒ OA′ + OB′ + OC′ = OI′ JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG OA + OA′ + OB + OB′ + OC + OC′ = Vaäy JJG JJJG JJG JJJG = OI + OI′ = 3( OI + OI′ ) G = (vì laø trung ñieåm I I′ ) b) O, M, G thaúng haøng G là trọng tâm tứ diện ABC C′ JJJG JJJG JJJG JJJJG G ⇒ GA + GB + GC + GC′ = JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG G ⇒ ( GO + OA ) + ( GO + OB ) + ( GO + OC ) + ( GO + OC′ ) = JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG ⇒ OA + OB + OC + OC′ = OG M laø trung ñieåm cuûa A ′B′ JJJJG JJJJG JJJJG ⇒ OA′ + OB′ = OM JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG ⇒ OA + OB + OC + OC′ + OA′ + OB′ = OG + OM Lop12.net (3) JJJJG JJJG G ⇒ = OG + OM JJJJG JJJG ⇒ OM = –2 OG JJJJG JJJG ⇒ OM cùng phương với OG JJJJG JJJG ⇒ OM , OG cuøng giaù (vì cuøng goác O) ⇒ O, M, G thaúng haøng JJJJG OM c) Tæ soá JJJG OG JJJJG JJJG OM = –2 OG ⇒ JJJJG OM JJJG = –2 OG Ví duï 2: JJJJG G JJJG G JJJJG G Cho hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ với AA ′ = a , AB = b , AC / = c Hãy biểu thị các JJJG JJJJG JJJJG JJJJG G G G vectô AD , A′C , B′D , BD′ theo caùc vectô a , b , c A D Giaûi G b B G a Ta có với hình hộp ABCD A ′ B′ C′ D′ thì : JJJJG JJJJJG JJJJG JJJG AD = AC′ + C ′D / + D′D G G G =c– b –a C G c A′ B′ D′ JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG A′C = A ′A + AC / + C / C JJJJG G G A′C = –2 a + c JJJJG JJJJG JJJG JJJG B′D = B′B + BA + AD G G G G G = – a –b + c – b – a G G G = – 2a – 2b + c JJJJG JJJG JJJG JJJJG BD′ = BA + AD + DD′ G G G G G = – b + (c – b – a) + a G G = – 2b + c C′ *** Lop12.net (4)