Ôn thi Đại học - Tính đơn điệu của hàm số

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, ở tất cả các biểu thức của y’ thì tham số đều đồng bậc bậc nhất, và ta đều sử dụng cùng một cách biến đổi đó là độc lập tham số với biến số, sau đó sử dụn[r]

tính đơn điệu hμm số I Tãm t¾t lý thuyÕt Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) §Þnh nghÜa 1: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a,b) ∀ x1, x2 ∈ (a,b), x1< x2 thì f(x1) < f(x2) - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn (gi¶m) trªn kho¶ng (a,b) nÕu∀ x1,x2∈ (a,b), x1< x2 th× f(x1) > f(x2) - Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng (a; b) gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó §Þnh nghÜa 2: - Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) ⇔ Δy > trªn kho¶ng (a, b) Δx - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn (a; b) ⇔ Δy < trªn kho¶ng (a, b) Δx NhËn xÐt: Δy ≥ trªn kho¶ng (a; b) Δx → Δx - Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) ⇒ f'(x) = lim Δy ≤ trªn kho¶ng (a; b) Δx → Δx - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn (a; b) ⇒ f'(x) = lim §Þnh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Nếu f'(x) ≥ (hoặc f'(x) ≤ 0) và dấu "=" xảy số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó II Mét sè d¹ng bμi to¸n th−êng gÆp Tìm điều kiện tham số để hs đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nào đó Ví Dụ 1: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 - 3x2 - 3x + luôn nghịch biến GI¶I : Ta cã y’ =3(m + 2)x2 - 6x - ⎧ m+2<0 ⇔ m ≤ −3 Hµm sè lu«n nghÞch biÕn ⇔ y’≤ ∀x ⇔ ⎨ ⎩Δ ' = 9m + 27 ≤ Ví Dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + đồng biến trên (1 ; 2) GI¶I : Hàm số đồng biến trên (1 ; 2)⇔ y' = 3x2 + 6x + m ≥ ∀x ∈ (1; 2) ⇔ 3x2 + 6x ≥ -m, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ x2 + 2x ≥ - m m , ∀x ∈ (1; 2) ⇔ g ( x) ≥ (1), víi g(x) = x2 + 2x x∈[1;2] 2 Lop12.net Ta có g'(x) = 2x + > ∀x ∈ (1; 2), nên hàm số g(x) đồng biến (1;2) và g ( x) = g(1) = x∈[1;2] VËy (1) ⇔ - m ≤ ⇔ m ≥ -6 Suy m ≥ -6 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Ví Dụ 3: Tìm m để hàm số y = x − 3x + m đồng biến trên khoảng (3; +∞ ) x −1 HD: Ycbt ⇔ y ' = 2x2 − 4x + − m ( x − 1) ≥ 0, ∀x > ⇔ f(x)=2x2 - 4x + - m ≥ 0, ∀ x>3…(t−¬ng tù vÝ dô 2) §¸p sè: m ≤ NhËn xÐt: Tõ vÝ dô vµ vÝ dô 3, ta cã tham sè y' ë hÖ sè kh«ng chøa biÕn sè Cã thÓ ®−a tham sè vµo hÖ sè chøa biÕn y' Ví Dụ 4: Cho hàm số y = x3 + mx2 + x + Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; 2) GI¶I : Yªu cÇu bµi to¸n ⇔ y' = 3x2 + 2mx + ≥ 0; ∀x ∈ (1; 2) ⇔ 3x + ≥ -2m; x Ta cã g'(x) = 3- ∀x ∈ (1; 2) ⇔ g ( x) ≥ -2m (1), víi g(x) = 3x + x∈[1;2] x 3x − 1 = > ∀x ∈ [1; 2] x2 x2 Suy g ( x) = g(1) = x∈[1;2] VËy (1) ⇔ ≥ - 2m ⇔ m ≥ -2 §¸p sè: m ≥ -2 1 Ví Dụ 5: Cho hàm số y= x3 - (2m + 1)x2 +(3m + 2)x - 5m +2 Tìm m để hàm số nghịch biến kho¶ng (0; 1) HD: Ycbt ⇔ y' =x2 - (2m+1)x + 3m + ≤ 0, ∀x ∈(0; 1) x2 − x + ⇔ x - x + ≤ m(2x-3),∀x ∈(0; 1) ⇔ ≥ m,∀x ∈(0; 1), ( x ∈(0; 1), nªn 2x-3 < 0) 2x − ⇔ g ( x) ≥m, víi g(x)= x∈[ 0;1] x2 − x + KSHS g(x), ta tìm đ−ợc g ( x) =g(1) = - Vậy đáp số m ≤ -2 x∈[ 0;1] 2x − Nhận xét: Trong các ví dụ trên, tất các biểu thức y’ thì tham số đồng bậc (bậc nhất), và ta sử dụng cùng cách biến đổi đó là độc lập tham số với biến số, sau đó sử dụng khảo sát hàm số đã độc lập với tham số trên khoảng xét và suy giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán Tuy nhiên, số hàm số không thuộc dạng này thì ta không thể dùng cách đó đ−ợc Để minh họa, chúng ta xét ví dụ sau đây: VÝ Dô 6: Cho hµm sè y= x − (3m + 1) x + 5m − Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) x−m GI¶I : Lop12.net ⎡m ≤ Đkxđ x ≠ m HS xác định khoảng (0; 1) ⇔ ⎢ (1) ⎣m ≥1 Ta cã y’= x − 2mx + 3m − 4m + Hàm số đồng biến khoảng (0; 1) ⇔ y’ ≥ ∀x ∈(0; 1) ( x − m) Hay f(x) = x − 2mx + 3m − 4m + ≥ ∀x ∈(0; 1) V× f(x) lµ mét tam thøc bËc hai cã ⎧ −4 m + ≥ ⇔⎨ ⇔ m≤ ⎩3m − 6m + ≥ ⎧ f (0) ≥ S =m ∉ (0; 1), nªn f(x) ≥ ∀x ∈(0; 1) ⇔ ⎨ ⎩ f (1) ≥ (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ tham sè tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ m ≤ Ví Dụ 7: Cho hàm số y = (2m + 3) sin x + (2 - m)x Tìm m để hàm số đồng biến trên R GI¶I : TX§: R Ta cã y' = (2m + 3) cosx + (2 - m) §Æt cosx = t ∈ [-1; 1], suy y' = g(t) = (2m + 3)t + (2 - m) Hàm số đồng biến trên R y' ≥ ∀x ∈ R ⇔ g(t) ≥ ∀t ∈ [-1; 1] ⎧⎪g(−1) ≥ ⎧⎪−3m − ≥ 1 ⇔ −5 ≤ m ≤ − §¸p sè - ≤ m ≤ - §iÒu kiÖn: ⎨ ⇔⎨ 3 ⎪⎩m + ≥ ⎪⎩g(1) ≥ Nhận xét: Bằng phép t−ơng tự, xét các hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b); trên hai khoảng nào đó Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + đồng biến trên khoảng (1; 2) §¸p sè: m ≥ -1 Bài 2: Tìm m để hàm số y= x3 -(3m - 1)x2 + (m + 3)x + 4m -3 đồng biến trên (1; + ∞ ) §¸p sè: m ≤ 1 Bài 3: Tìm m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1) x2 + 5mx + nghịch biến trên (-∞; 1) 2x2 + mx + Bài 4: Tìm m để hàm số y = nghÞch biÕn trªn (-3; -2) x-1 Bài 5: Tìm m để hàm số y = Bµi 6: Cho hµm sè y= x2 + mx + 2m - nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1;+∞) x - 2m x + (1 − m) x + + m đồng biến trên khoảng (0; + ∞ ) x−m §¸p sè: m ≤ − 2 ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải ph−ơng trình, bất ph−ơng trình và hệ ph−¬ng tr×nh VÝ Dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh x −1 − x −x = (x - 1)2 (1) Lop12.net GI¶I : Ta cã: x2 - x - (x - 1) = (x -1)2 Nªn (1) cã d¹ng: x −1 + ( x − 1) = x −x + (x2 - x) (2) §Æt f(t) = 2t + t; f'(t) = 2tln2 + > ∀ t∈R Nªn ph−¬ng tr×nh (2) <=> f(x - 1) = f(x2 - x) <=> (x2 - x) = x -1 <=> x = lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh NhËt xÐt: Ta cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n trªn: Cứ cho ph−ơng trình f(x) = g(x) Khi đó: af(x) + f(x) = af(x) + g(x) (a > 0; a ≠ 1) Ta ®−îc mét ph−¬ng tr×nh míi víi c¸ch gi¶i t−¬ng tù Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: / e x −5 −e x −1 = 1 − 2x − x −1 1− x 2 / 2 / 2009sin x − 2009cos x = cos x 1− x −2 x2 x2 = 1 − x / 2009cos x − 2008cos x = cos x 5* / 22 + 32 = x + 3x +1 + x + x VÝ Dô 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log x x2 + x + = x − 3x + 2x − 2x + GI¶I : §Æt u=x2 + x +1; v=2x2 - 3x + (u > 0, v > 0) Suy v - u=x2 -3x +2 Ph−ơng trình đã cho trở thành: log u = v − u ⇔ log u − log v = v − u ⇔ log u + u = log v + v (1) v XÐt hµm sè: f(t)= log t + t trªn (0; +∞ ), ta cã f’(t)= + > 0, ∀t > nên hàm số đồng biến trên (0; t ln +∞ ) ⎡ x =1 VËy tõ (1) ta cã f(u) = f(v), suy u = v, hay v - u = 0, tøc lµ x2 -3x +2 = ⇔ ⎢ ⎣x = NhËn xÐt: • §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh d¹ng log a log a u = v − u , với u, v >0 và a > 1, ta th−ờng biến đổi dạng v u = v − u ⇔ log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v v • Vì hàm số f(t)= log a t + t đồng biến trên (0; +∞ ), nên ta có u = v • Víi c¸c ®iÖu kiÖn nh− trªn, ta cã bÊt ph−¬ng tr×nh: log a VÝ Dô 3: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log (3 + x ) > log x Lop12.net u < v − u ⇔ f (u ) < f (v) ⇔ u < v v GI¶I : §iÒu kiÖn x > t t ⎛1⎞ ⎛2⎞ §Æt t = log4x ⇔ x = 4t, bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: log5(3 + 2t) > t ⇔ + 2t > 5t ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ > ⎝5⎠ ⎝ 5⎠ t t ⎛1⎞ ⎛2⎞ Hµm sè f(t) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghÞch biÕn trªn R vµ f(1) = VËy bpt trë thµnh f(t) > f(1) ⇔ t < ⎝5⎠ ⎝5⎠ Từ đó ta đ−ợc log4x < ⇔ < x < Chó ý: • §èi víi BPT d¹ng logau < logbv, ta th−êng gi¶i nh− sau: Đặt t = logau (hoặc t = logbv), đ−a BPT mũ; sử dụng tính đơn điệu hàm số để suy nghiệm • Víi PT d¹ng logau = logbv, ta th−êng gi¶i nh− sau: ⎧u = a t ; sử dụng ph−ơng pháp để đ−a PT mũ ẩn t Tìm t (thông th−ờng §Æt t = logau = logbv ⇒ ⎨ t ⎩v = b cã nghiÖm t nhÊt); suy x Bµi tËp ¸p dông: Giải phương trình: 1) log ( x − x − 3) = log ( x − x − 4) 2) log ( x + 3log6 x ) = log x 3) log5(3 + ( 3x + ) = log4(3x + 1) ) 3) 3log + x + x > log x log 22 x 5) − 3log2 x < log x − log 22 x VÝ Dô 4: Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh: ⎧⎪ 3x + 2x − < 0(1) ⎨ ⎪⎩x − 3x + > (2) GI¶I : • NghiÖm bÊt ph−¬ng tr×nh (1) lµ: - < x < • Xét bất ph−ơng trình (2): đặt f(x) = x3 - 3x + 1, với x ∈ (-1; ) Ta có: f'(x) = 3x2 - = ⇔ x = ± BBT: x -∞ f'(x) -1 + +∞ _ + +∞ C§ f'(x) -∞ CT 1 1 • C¨n cø vµo BBT ®−îc hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn (-1; ),nªn ∀x∈ (-1; ) th× f(x) >f(3 ) = 27 > 1 • VËy f(x) > víi ∀ x∈ (-1; ) KÕt luËn: HÖ cã nghiÖm -1 < x < Lop12.net ⎧ x − y = e x − e y (1) VÝ Dô 5: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ ⎩log x − log y + = 0(2) GI¶I : • §iÒu kiÖn: x, y > Tõ (1) <=> ex - x = ey - y (3) • Đặt f(t) = et - t xét (0;+∞) có f'(t) = et - > 0, ∀t > , nên f(t) đồng biến (0;+∞) Do vËy (3) <=> f(x) = f(y) <=> x = y • Thay vµo (2): log 22 x − log x + = ®−îc log2x = hoÆc log2x = ta ®−îc nghiÖm cña hÖ lµ x = hoÆc x = NhËn xÐt: §èi víi lo¹i hÖ ph−¬ng tr×nh mµ hÖ cã ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) = f(y), ph−¬ng tr×nh cßn l¹i giúp ta giới hạn đ−ợc x, y để trên đó hàm số f đơn điệu Từ đó suy x=y ⎧ x − x = y − y (1) VÝ Dô 6: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ ⎩ x + y = 1(2) GI¶I : • Tõ PT (2) ta cã x8 ≤ 1, y4 ≤ ⇔ x ≤ 1; y ≤ • Xét hàm số: f(t) = t5 - 5t, t ∈ [ −1;1] , ta có f’(t) =3t2 -5 < 0, ∀ t ∈ [ −1;1] Do đó hàm số f(t) nghịch biến trªn kho¶ng (-1; 1), nªn tõ PT (1) suy x=y Thay vµo PT (2) ta ®−îc: x8 + x4 - = • §Æt a = x4 ≥ 0, gi¶i PT t−¬ng øng ta ®−îc a = −1 + −1 + ⇒ x = y = ±4 2 y −1 ⎪⎧ x + x − x + = + VÝ Dô 7: Gi¶i hÖ PT ⎨ ⎪⎩ y + y − y + = 3x −1 + GI¶I : ⎧⎪ u + u + = 3b (1) • §Æt u = x - 1, v = y - 1, ta ®−îc hÖ: ⎨ ⎪⎩v + v + = 3u (2) • Trõ tõng vÒ t−¬ng øng hai PT cña hÖ ta ®−îc u + u + + 3u = v + v + + 3v (3) • XÐt hµm sè: f(t) = t + V× t + + 3t , ta cã f’(t) = t2 +1 + t t +1 + 3t ln t + ≥ t ≥ -t ⇒ t + + t > => f’(t) > ∀t ∈ R , đó hàm số f(t) đồng biến trên R • Từ đó PT (3) <=> u = v Thay vào PT (1) ta đ−ợc u + u + = 3u (4) Theo trªn ta cã u + + u > 0, nªn PT (4) <=> ln(u + u + 1) − u ln =0 • XÐt hµm sè g(u) = ln(u + u + 1) − u ln , cã g’(u) = u2 +1 − ln < − ln < 0, ∀u ∈ R , nªn hµm sè g(u) nghịch biến trên R và đó PT (4) có nghiệm u = Lop12.net Từ đó suy hệ PT ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1) Mét sè bµi tËp t−¬ng tù: T×m x, y ∈ (0; π) tho¶ m·n hÖ: ⎧cot x − cot y = x − y ⎨ ⎩ x + y = 2π ⎧ x − y = (log y − log x)(1 + xy ) Gi¶i hÖ: ⎨ xy − y + = ⎩ ⎧ x + 5x + < Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh: ⎨ ⎩ x + x − x − 10 > ⎧ log 22 x − log x < ⎪ Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh: ⎨ ⎪⎩ x − 3x + x + > ⎧2( x + x − y − 1) = x ( y + 1) Gi¶i hÖ: ⎨ ⎩ y + x + + ln( y + x) = Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải các bài toán giải ph−ơng trình và bất ph−ơng tr×nh chøa tham sè: VÝ Dô 1: T×m a ph−¬ng tr×nh x2 + 3ax + =0 (1) cã nghiÖm ph©n biÖt GI¶I : • Ta cã (1) <=> x3 + = - 3ax (2) a) Víi x = kh«ng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2) ∀a b) Víi x ≠ 0: ph−¬ng tr×nh (2) <=> x2 + x = -3a 1 2x3 - 1 • §Æt f(x) = x + x ⇒ f'(x) = 2x - x2 = x2 , f'(x) = <=> x = 2 BBT: x -∞ _ f'(x) +∞ _ 0 + +∞ +∞ +∞ f(x) -∞ • §Æt g(x) = - 3a lµ ®−êng th¼ng song song víi trôc Ox C¨n cø vµo b¶ng biÕn thiªn ë trªn ⇒ (1) cã nghiÖm ph©n biÖt <=> f(x) c¾t g(x) t¹i ®iÓm ph©n biÖt <=> g(x) > f( 3 <=> a < - ) <=> - 3a > 2 §¸p sè: a < 2 Ví Dụ 2: Tìm m để bất ph−ơng trình - x3 + 3mx - < - x3 (1) nghiệm đúng ∀ x ≥ Lop12.net 33 2 GI¶I : Ta cã (1) <=> x3 + - x3 > 3mx (do x ≥ 1) <=> x2 + x - x3 > 3m (2) §Æt f(x) = x2 + x - x3 xÐt trªn [1; + ∞) Ta cã f'(x) = 2(x3 - 1) x2 + x4 > ∀x ≥ => f(x) đồng biến [1; + ∞) 2 VËy 3m < f ( x) = f(1) = <=> m < §¸p sè: m < x∈[1; +∞ ] NhËn xÐt: C« lËp tham sè sang mét bªn Sö dông tÝnh biÕn thiªn cña hµm sè vµ hµm sè h»ng Mét sè bµi to¸n t−¬ng tù: Bµi to¸n 1: T×m m ph−¬ng tr×nh: x3 + 3ax + = a Cã hai nghiÖm ph©n biÖt b Cã nhÊt nghiÖm Bµi to¸n 2: m = ? ph−¬ng tr×nh x3 + 3x + 2m - = cã nghiÖm Bài toán 3: Tìm m để bất ph−ơng trình luôn đ−ợc nghiệm đúng x3 + 3ax + > ∀x > Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: VÝ Dô 1: Chøng minh r»ng: x - sin x > ∀x > (1) GI¶I : Thật vậy, đặt f(x) = x - sin x, xét trên (0; +∞) Ta cã f’(x) = - cos x ≥ ∀x > => f(x) đồng biến trên (0; +∞) và xác định x = nên x > thì f(x) > f(0) = nªn (1) ®−îc chøng minh NhËn xÐt: Sö dông vÝ dô trªn cã thÓ chøng minh ®−îc x2 Bµi to¸n 1: CMR: cosx > - víi x > x3 Bµi to¸n 2: CMR: x - < sin x víi x > π VÝ Dô 2: Chøng minh r»ng: sin x + tan x - 2x > víi ∀x ∈ (0; ) GI¶I : π §Æt f(x) = sin x + tan x - 2x xÐt trªn (0; ) Lop12.net 1 Ta cã f'(x) = cos x + cos2x - > cos2x + cos2x - ≥ - = π => f(x) đồng biến trên khoảng (0; ) mà f(x) xác định x = nªn f(x) > f(0) = π ∀x ∈ (0; ) => ®pcm NhËn xÐt: Sö dông ph−¬ng ph¸p cña bµi to¸n trªn ta chøng minh ®−îc: π ∀x ∈ (0; ) Bµi to¸n 1: CMR: 2sin x + 2tan x > 2x + Bµi to¸n 2: CMR: 2sin x tan x +2 >2 π ∀x ∈ (0; ) 3x +1 π ⎛ sin x ⎞ Bµi to¸n 3: CMR: ⎜ ⎟ > cos x ∀x ∈ (0; ) ⎝ x ⎠ NhËn xÐt: • Sử dụng kết bài toán 1, ta có thể CM đ−ợc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 2sinA + 2sinB + 2sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2π • Sử dụng kết bài toán 2, ta có thể CM đ−ợc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 4sinA + 4sinB + 4sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2π x2 VÝ Dô 3: CMR: e > + x + , víi mäi x > x GI¶I : x2 • Ta cã B§T cÇn CM t−¬ng ®−¬ng víi x > ln(1 + x + ) • XÐt hµm sè f(x) = x - ln(1 + x + x2 x2 ), ta cã f’(x) = >0, ∀x ∈ R x + 2x + • Vậy hs đồng biến trên R Do đó với x > 0, ta có f(x) > f(0) = 0, hay x > ln(1 + x + x2 ) ∀x > (®pcm) NhËn xÐt: Víi x > vµ n ∈ N*, ta cã B§T tæng qu¸t sau: ex > + x + x2 xn x2 xn + + , hay ln(1 + x + + + ) < x C¸ch CM B§T nµy t−¬ng tù nh− trªn 2! 2! n! n! Lop12.net