Đang tải... (xem toàn văn)
Kiến thức cơ bản: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần 2.. Kỹ [r]
(1)GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN TÝch ph©n Tiết 53 – 54 : i môc tiªu: Kiến thức bản: Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất tích phân, các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần) Kỹ năng: Hiểu rõ khái niệm tích phân, biết cách tính tích phân, sử dụng thông thạo hai phương pháp tính tích phân để tìm tích phân các hàm số Thái độ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn Gv, động, sáng tạo quá trình tiếp cận tri thức mới, thấy lợi ích toán học đời sống, từ đó hình thành niềm say mê khoa học, và có đóng góp sau này cho xã hội Tö duy: Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt quá trình suy nghĩ ii chuÈn bÞ: Gi¸o viªn: Gi¸o ¸n, hÖ thèng c©u hái Phiếu học tập, bảng phụ Häc sinh : - ¤n tËp nguyªn hµm - Đọc qua nội dung bài nhà iii phương pháp: - Vấn đáp gợi mởi, quy quen, kết hợp thảo luận nhoựm vaứ hỏi ủaựp - Phöông tieän daïy hoïc: SGK iv TiÕn tr×nh bµi d¹y: 1.Ổn định lớp : KiÓm tra sü sè 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ - Viết công thức tính nguyên hàm số hàm số hàm số thường gặp - Tính : ( x 1)dx - GV nhắc công thức : f ' x0 lim x x0 f x f x0 x x0 Bài Hoạt ñộng Gv I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong: Hoạt động : Yªu cÇu HS th¶o luËn ?1 SGK y B H f(t)=t+1 -1 O A D G C t x Hoạt ñộng Hs Thảo luận nhóm để: + Tính diện tích S hình T t = (H46, SGK, trang 102) + Tính diện tích S(t) hình T t [1; 5] + Chứng minh S(t) là nguyên hàm f(t) = 2t + 1, t [1; 5] và diện tích S = S(5) – S(1) ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (2) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN 73 20 S= -Lấy t 2;6 Khi đó diện tích hình thang AHGD bao nhiêu? t 1 t2 (t 2) t S(t) = 2 -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ nào ? t 2;6 -Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? S’(t) = t+1= f(t) S(t) là nột nguyên hàm Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang cong và công thức tính f(t) = t+1 d/t nó S(6) = 20,S(2) = và S ABCD = S(6)-S(2) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a ; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 102, 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong Thảo luận nhóm để chứng minh y F(b) – F(a) = G(b) – G(a) B SMNEQ = S(x) – S(x0) y= f (x) A SMNPQ < SMNEQ < SMNEF lim f x f(x0) x O a b -Giáo viên đưa bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb Giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các đương thẳng x = a , x = b (a<b) -Cho học sinh đọc bài toán sgk -Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng qua a, x và song song Oy Hãy chứng minh S(x) là nguyên hàm f(x) trên [a; b] lim x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0) x x0 S = S(b) – S(a) y x x0 x x0 S ( x) S ( x0 ) f(x0) (2) x x0 x x0 S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) (3) x x0 x x0 lim S(x) = F(x) +C (C: là số) -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) *Xét điểm x (a ; b ] -Diện tích hình thang cong MNEQ? -Dựa vào hình so sánh diện tích SMNPQ , SMNEQ và SMNEF *f(x) liên tục trên [ a; b] lim f x ? - Suy lim x x0 y=f(x) F f(x) S ( x) S ( x0 ) ? x x0 f(x ) *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) ? Tương tự lim x x0 x x0 Q xo a E P x M N b Hình *Xét điểm x (a ; b ] x GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (3) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN SMNEQ là S(x) – S(x0) Từ (2) và (3) suy gì? Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0) S(x) - S(x ) <f(x) (1 f(x0)< x - x0 Vì lim f x f(x0) S(x) là nguyên hàm f(x) trên x x0 [ a; b ] ta biểu diễn S(x)? S ( x) S ( x0 ) f(x0)(2) (1) lim x x0 x x0 * SMNEQ = S(x) – S(x0) S =? *Xét điểm x [a ; b ) S ( x) S ( x0 ) -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 f(x0)(3) Tương tự: lim x x0 x x0 + Giả sử y = f(x) la hàm số liên tục và f(x) trên [ a; b ] Khi đó diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị (C) Từ (2) và (3)ta có: hàm số y = f(x), trục Ox và đường thẳng S ( x) S ( x0 ) lim f(x0) x = a, x = b là S = F(b) – F(a) đó F(x) là nguyên x x0 x x0 hàm bất kì hàm số f(x) trên [ a; b ] Hay S’ (x) = f(x0) Suy S’ (x) = f(x) (vì x (a ; b ) nên suy S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Định nghĩa tích phân : Vậy S(x) là nguyên hàm f(x) Hoạt động : Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b], F(x) và G(x) trên [ a; b ] S(x)= F(x) +C (C: là số) là hai nguyên hàm f(x) Chứng minh F(b) – F(a) = S = S(b) – S(a) G(b) – G(a) (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc = (F(b) +C) – (F(a) + C) chọn nguyên hàm) = F(b) – F(a) Gv giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa sau : “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: b f ( x) dx a b Ta cßn ký hiÖu: F ( x) a F (b) F (a) b Vậy: F ( x) f ( x)dx b a F (b) F (a ) a Qui ước: a = b a > b: ta qui ước : a b a a a b f ( x) dx 0; f ( x) dx f ( x) dx Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 105) để Hs hiểu rõ định nghĩa vừa nêu Nhận xét: + Tích phân hàm số f từ a đến b có thể ký hiệu là b b a a f ( x) dx hay f (t ) dt Tích phân đó phụ thuộc vào hàm f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (4) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN b f ( x) dx là diện tích S hình thang giới hạn đồ thị a f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47 a, trang 102) b f ( x) dx Vậy : S = a II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN + Tính chất 1: b b a a kf ( x) dx k f ( x) dx + Tính chất 2: b b b a a a Thảo luận nhóm để chứng minh các tính chất 1, [f ( x) g ( x)] dx f ( x) dx g ( x) dx + Tính chất 3: b c b a a c f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx ( a c b) Hoạt động : Hãy chứng minh các tính chất 1, Gv giới thiệu cho Hs vd 3, (SGK, trang 106, 107) để Hs hiểu rõ các tính chất vừa nêu III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: Hoạt động : Cho tích phân I = (2 x 1) dx a/ Hãy tính I cách khai triển (2x + 1)2 b/ Đặt u = 2x + Biến đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du u (1) c/ Tính: g (u ) du và so sánh với kết câu a u (0) Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [; ] cho () = a; () = b và a (t) b với t thuộc [; ] Khi đó:” b a f ( x) dx f ( (t )). ' (t ) dt Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu Chú ý: b Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Để tính f ( x) dx a ta chọn hàm số u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [; ] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi đó ta có: Thảo luận nhóm để: GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (5) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN u (b ) b f ( x) dx = + Tính ( x 1)e x dx phương pháp g (u ) du u (a) a nguyên hàm phần Gv giới thiệu cho Hs vd 6, (SGK, trang 108) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu Phương pháp tính tích phân phần: Hoạt động : + Tính: ( x 1)e x dx a/ Hãy tính ( x 1)e x dx phương pháp nguyên hàm phần b/ Từ đó, hãy tính: ( x 1)e x dx Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau: “Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì b b u ( x)v ( x) dx (u ( x)v( x)) b a b b a a ' a u ' ( x)v( x) dx a Hay u dv uv ba v du ” Gv giới thiệu cho Hs vd 8, (SGK, trang 110, 111) để Hs hiểu rõ định lý vừa nêu IV Củng cố: + Gv nhắc lại các khái niệm và quy tắc bài để Hs khắc sâu kiến thức + Dặn BTVN: SGK, trang 112, 113 LUYỆN TẬP Tiết 55 – 56 : Hoạt động thầy Bµi (SGK) H1 Ta nên đổi biến cách đặt t= ? Tính tích phân đó ( víi c©u a, b, d, e) ? H2 B¹n nµo cã c¸ch gi¶i kh¸c? H3 Nêu cách tính tích phân hữu tỷ? Tính tích phân đó? (C©u e) Hoạt động trò HS lªn b¶ng gi¶i, nhËn xÐt, ph¶n diÖn a) 1 x 2 2 dx 1 x d 1 x 1 x e) 2 33 1 10 1 1 dx dx x 1 x x 1 1 x ln x x 1 2 3ln Baøi : Tính caùc tích phaân GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (6) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN a x.e-x dx b e3x 1 dx c dx 1 x Giaûi : Bµi (SGK) a x.e-x dx = - H1 Nên đặt ẩn phụ t= ? Từ đó biểu diễn theo t và tính tích phaân ? e * Giáo viên hướng dẫn cách không cần chuyển qua bieán t dx c = b Hướng dẫn : Đặt t =1+x 1 x H2 Gọi học sinh thực 2 e-x d(- x2 = - e-x = d(1 x) = ln|x+1| = ln2 1 x Baøi : Tính caùc tích phaân : a lnx dx b sin3 xcosxdx x esinx cosxdx c Bµi (SGK) e d 4sinx cosxdx Giaûi : a Ñaët t=1+lnx Neân dt = Khi x=e thì t=2 Ta coù a Hướng dẫn : đặt t=1+lnx Gọi học sinh thực t t dt = (2 -1) b.Hướngdẫn : Đặt t=sinx Gọi học sinh thực e dx Khi x=1 thì t=1 x lnx dx = t dt = x sin x b.Tacoù sin xcosxdx = sin xd(sinx) = 0 = Bµi (SGK) Bài 4: Tính các tích phân sau ( với a > ) a H1Khi ñaët t=atgt thì dx=? Khi x=0 thì t = ? Khi x=a thì t = ? a dx a2 x2 b a Ta coù I= a dx Từ đó tính =? x2 a a dx a2 x2 => dx= a a dt cos t dx a x Giaûi : Ñaët x = atgt t Khi x=0 thì t=0 ; x=a thì t= GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (7) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN Vaäy I= Câu b tương tự gọi học sinh giải a dt cos2 t(1 tg2 t) = a dt = 0 b Ta goïi I= a dx .Ta ñaët x=asint t a x a a Khi x=0 thì t=0 ; x= thì t= Vaø dx=acostdt Vaäy I= Baøi : Tính a acost dt = acost x e3x dx x2 e-x dx Giaûi : du -dx u - x c Ñaët ta coù dv sin3xdx v cos3x 6- * Nêu công thức tính tích phân phân u - x du H1 Ñaët thì Từ đó tính dv sin3xdx v (x-2)cos3x cos3xdx = Vaäy I= u x du 2xdx d Ñaët ta coù Do đó I= -x2.e-x -x -x v e dv e dx + 2x.e-x dx = + e 2x.e-x dx (2 - x)sin3xdx Gọi J= 2x.e-x dx Tính tương tự ta có J= - du - x)dx H2i Neáu ñaët thì có tính I= 2- v sin3x e (2 - x)sin3xdx 0 Bµi (SGK) d b (x - 1)cosxdx c (2 - x)sin3xdx dt = ? Baøi : Tính : a x2 sinxdx ex cosxdx b c e lnxdx d 2x.ln(x - 1)dx + Vaäy e e e (lnx)2 dx Giaûi : GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net (8) GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 – BAN CƠ BẢN u x2 du xdx a Ñaët , ta coù Vaäy I= v cosx dv sinxdx 2+ x2.cosx 2xcosxdx Goïi J= 2xcosxdx u x2 du Hoûi Ñaët thì Từ đó tính 0 v dv sinxdx tương tự ta có J= -2 Vậy I= -2 u ex b.Hướ n g daã n : Ñaë t x sinxdx =? dv cosxdx Cñng cè : Nhắc lại các phương pháp tính tích phân Đọc trước bài 3 Lµm thªm bµi tËp: a (2cos3x 3sin2x) dx c cotgxdx b tgxdx sinx dx 3cosx d GIÁO VIÊN : HOÀNG THÀNH TRUNG Lop12.net Tính (9)