Để thiết lập phương trình đặc trưng của phần tử, cần thực hiện xấp xỉ hàm cần tìm là nhiệt độ với một số lượng hữu hạn các biến số tại các nút, hình thành một phương trình ma trận của [r]
(1)1
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN & PHẦN TỬ HỮU HẠN
TRONG TRUYỀN NHIỆT
Bài giảng môn Truyền nhiệt cho lớp cao học Cơ khí PGS TS Trịnh Văn Quang
Bộ môn Kỹ Thuật nhiệt – Khoa Cơ khí ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI HÀ NÔI
(2)2
Mục lục
Lời nói đầu 3
PHẦN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
2.1 Bài toán ổn định hai chiều 4
Phương trình sai phân hữu hạn 4
Xây dựng hệ phương trình bậc 4
2.2 Bài tốn dẫn nhiệt khơng ổn định chiều 5
Phương pháp Ma trận nghịch 5
Phương pháp tính lặp 6
2.3 Bài toán dẫn nhiệt không ổn định hai chiều 9
2.4 Giải hệ phương trình tuyến tính nhiệt độ 13
Phương pháp định thức 13
Phương pháp Gauss 13
Phương pháp Gauss - Jordan 15
Phương pháp Gauss - Seidel 17
PHẦN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giới thiệu khái quát 20
2.5 Nội dung bản, trình tự giải toán nhiệt phương pháp PTHH 20
2.6 Các phần tử hàm nội suy 23
2.6.1 Phần tử chiều bậc 23
2.6.2 Phần tử chiều bậc hai 25
2.6.3 Phần tử hai chiều tam giác bậc 29
2.6.4 Phần tử chữ nhật bậc 36
2.6.5 Các phần tử đẳng tham số 38
2.7 Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử phương trình vi phân dẫn nhiệt 46
2.7.1 Phương pháp biến phân 47
2.7.2 Phương pháp Galerkin 53
2.8 Giải toán dẫn nhiệt chiều phương pháp PTHH 54 2.9 Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên 59
2.10 Dẫn nhiệt qua vách trụ 67
2.11 Dẫn nhiệt qua trụ có nguồn 71
2.12 Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi 75
2.13 Dân nhiệt ổn định hai chiều dùng phần tử tam giác 80
(3)3
Lời nói đầu
Do yêu cầu giải toán thực tế, nhiều năm qua có nhiều phương pháp số phát triển Phương pháp phổ biến sử dụng kỹ thuật tính nhiệt phương pháp sai phân hữu hạn, thể tích hữu hạn phần tử hữu hạn…ngồi cịn có phương pháp phần tử biên giới nêu nội dung ba phương pháp đầu
- Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) phương pháp số tương đối đơn giản ổn định Nội dung phương pháp biến đổi cách gần đạo hàm riêng phương trình vi phân chủ đạo thành thương số gia tương ứng Bằng cách dùng họ đường song song với trục toạ độ để tạo thành mạng lưới chia miền nghiệm vật thể thành số hữu hạn điểm nút, xác định nhiệt độ phẫn tử nút thay cho việc tính nhiệt độ tồn miền Như phương pháp SPHH xấp xỉ phương trình vi phân đạo hàm riêng thành phương trình đại số Kết thiết lập hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng với giá trị nhiệt độ n nút cần tìm
Mức độ xác nghiệm phương pháp SPHH cải thiện nhờ việc tăng số điểm nút Phương pháp SPHH hữu hiệu việc giải nhiều toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn Bởi giáo trình truyền nhiệt đại, phương pháp SPHH trình bày kỹ cho chương trình đại học (Holman ) Tuy nhiên gặp phải vật thể có hình dạng bất quy tắc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH khó sử dụng
(4)4
PHẦN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
2.1 Bài toán ổn định hai chiều 1 Phương trình sai phân hữu hạn
Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều có dạng :
0
2 2
y T x
T
(2.1) Xây dựng phương trình sai phân hữu hạn (SPHH) sau :
Chia vật thể mạng đường vng góc có bước mạng x, y, ứng với hai chiều x,y Khi điểm nút i,j đạo hàm bậc bậc hai nhiệt độ viết dạng sai phân sau (hình 2.1) :
x T T x T x
T i j i j
, 1,
y T T y T y
T i j i j
, , 1
Hình 2.1 Mạng điểm nút
2
, , ,
1
2
) (
) (
) (
) (
) (
x
T T T
T x
T x
T i j i j i j i j
(2.2)
2
1 , , ,
1 , 2
2
) (
) (
) (
) (
) (
y
T T T
T y
T y
T i j i j i j i j
(2.3) Thay (2.2) (2.3) vào phương trình vi phân (2.1) :
) (
) (
) (
) (
) (
) (
2
1 , , , ,
, , ,
y
T T T T x
T T T
Ti j ij ij i j ij ij ij ij
(2.4) (2.4) phương trình SPHH dẫn nhiệt viết cho điểm nút (i,j)
2 Xây dựng hệ phương trình bậc
Để giải (2.4) , chọn x = y Khi :
) (
4
1 , , , ,
,j i j i j i j ij
i T T T T
T (2.5)
(5)5
Từ (2.5) viết cho điểm, chuyển nhiệt độ biết sang vế phải, nhiệt độ chưa biết sang vế trái, xếp lại n phương trình cho n điểm nút chưa biết nhiệt độ bên vật, tạo thành hệ phương trình bậc :
n n
nn n
n
n n n
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
2
1
2 21
2 22
21
1
2 12
11
(2.6)
Từ giải nhiệt độ cần tìm phương pháp: Gauss, Gauss Seidel, Gauss Jordan, Ma trận nghịch đảo
2.2 Bài toán dẫn nhiệt không ổn định chiều 1 Phương pháp Ma trận nghịch đảo
Phương trình vi phân dẫn nhiệt không ổn định chiều :
2
x T a T
(2.7)
a Các điểm bên vật
Gọi p thời điểm trước, (p+1) thời điểm sau Phương trình (2.7) sai phân hố sau :
T T Tip1 Tip
(2.8) Vế phải (2.8) viết cho thời điểm sau (p+1)
2
1 1
1
2
) (
) (
) (
) (
) (
x
T T T
T x
T x
T ip ip ip ip
(2.9) thay (2.8) (2.9) vào (2.7):
2
1 1
1 1
) (
) (
) (
x
T T T
T a T
Tip ip ip ip ip ip
(2.10)
(2.10) phương trình SPHH dẫn nhiệt khơng ổn định chiều, để giải (2.10) cần biến đổi: Tip Tip Tip Tip Tip
x a
1
1 1
1
2 ( )
) (
(2.11)
Đặt 2
) (
x a Fo
Tip1 Tip Fo.(Tip11 2Tip1Tip11) (2.12) :
-FoTip11 (12Fo)Tip1 Fo.Tip11 Tip (2.13) Phương trình (2.13) biểu thị nhiệt độ thời điểm sau theo nhiệt độ thời điểm trước
(6)6
Các điểm biên có i = Phân tố bề mặt vật có bề dày x/2, diện tích y.z = 1m1m, nhận nhiệt từ mơi trường nhiệt từ phân tố liền kề phía (i = 2)
- Dịng toả nhiệt từ mơi trường bên tới sau thời gian :
qh hTKp1T1p1 (2.14) - Dòng nhiệt dẫn từ phân tố bên tới sau thời gian :
)
(
1
p p
k T T
x k
q (2.15) Độ tăng nội dU phân tố sau thời gian :
( )
2 )
(
1 1
1
p p p
p
T T x c T T V c
dU (2.16) Độ tăng nội dU tổng hai dòng nhiệt :
( )
2 )
( 2 1 1 1
1
1 p p p p p
p
K T T
x c T
T x k T
T
h
(2.17)
Kp p Tp Tp Tp Tp
x c
k T
T x k
x h c
k
1 1 1 2
1
2 ( )
) ( 2 )
(
2
(2.18)
Đặt Fo = 2
) (
. x a
,
k x h Bi ,
c
k
a ; Fo tiêu chuẩn Phuriê, Bi tiêu chuẩn Biô, a hệ số khuyếch tán nhiệt độ :
Bi.FoTKp Tp Fo(Tp Tp ) T p T1p
1 1
1
1 2
2
Chuyển nhiệt độ đại lượng biết sang vế phải
2Bi.Fo2Fo1.T1p12Fo.T2p1 2Bi.Fo.TKp1T1p (2.19) (2.13) (2.19) phương trình dạng hàm ẩn nhiệt độ cần tìm điểm thời điểm sau theo nhiệt độ thời điểm trước nhiệt độ mơi trường Từ thành lập hệ phương trình tuyến tính nhiệt độ cần tìm sau :
n n
nn n
n
n n n
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
2
1
2 21
2 22
21
1
2 12
11
(2.20)
trong đó:
aij hệ số nhiệt độ phải tìm,
Ti nhiệt độ cần tìm thời điểm (p+1), viết gọn P i
T
Ci hệ số nhiệt độ biết thời điểm trước
Hệ viết dạng ma trận sau :
aij Ti Ci (2.21) đó:
aij ma trận vuông gồm hệ số nhiệt độ phải tìm, Ti ma trận cột gồm nhiệt độ cần tìm thời điểm (p+1)
(7)7
Ti aij 1 Ci (2.22) aij 1 ma trận nghịch đảo [aii],
Sau giải nhiệt độ thời điểm đó, nhiệt độ biết trở thành hệ số [Ci]
phương trình (2.22) để tính nhiệt độ thời điểm
2 Phương pháp tính lặp
a Các điểm bên vật
Gọi p thời điểm trước, (p+1) thời điểm sau Phương trình (2.7) sai phân hố sau :
T T Tip1 Tip
(2.23) Vế phải (2.7) viết cho thời điểm trước p :
2
1
2
2
) (
) (
) (
) (
) (
x
T T T
T x
T x
T ip ip ip ip
(2.24) thay (2.23)và (2.24)vào (2.7) :
2
1
1
) (
) (
) (
x
T T T
T a T
T p
i p i p i p i p
i p i
(2.25)
Để giải (2.25) cần biến đổi sau :
( )
) (
1
2
1 p
i p i p i p
i p
i T T T
x a T
T
( 2.26)
Đặt 2
) (
x a Fo
:
( 1 p1)
i p i p i p
i p
i T Fo T T T
T
Vậy :
(8)8 Để nghiệm hội tụ cần điều kiện :
(1- 2Fo) (2.28) tức :
Fo
2
hay phải chọn bước thời gian đủ nhỏ :
a x 2
) (
(2.29)
b Các điểm biên
Phân tố bề mặt vật có bề dày x/2, diện tích y.z = 11 nhận nhiệt từ mơi trường nhiệt từ phân tố phía
- Dịng toả nhiệt từ mơi trường bên ngồi tới sau thời gian :
qh hTKp T1p (2.30) - Dòng nhiệt dẫn từ phân tố bên tới sau thời gian :
( 2p 1p)
k T T
x k
q (2.31) - Độ tăng nội dU phân tố dày x/2 sau thời gian :
( )
2 )
(
1
1
1
p p p
p
T T x c T T V c
dU
(2.32) - Độ tăng nội dU tổng hai dòng nhiệt :
( )
2 )
( 1
1
2
p p p
p p
p
K T T
x c T
T x k T
T
h
(2.33) Hay
Kp p Tp Tp Tp Tp
x c
k T
T x k
x h c
k
1 1 2
2 2 ( ) ( )
) (
2
(2.34)
Với Fo = 2
) (
. x a
, Bi =
k x h.
, a =
c
k
: 2Bi.FoTKp T1p2Fo(T2p T1p)T1p1 T1p
Chuyển nhiệt độ thời điểm sau cần tính sang vế trái, chuyển đại lượng biết nhiệt độ thời điểm trước sang vế phải
(9)9
(2.35) phương trình dạng hàm tường cho biết nhiệt độ biên thời điểm sau t1p1 theo nhiệt độ điểm thời điểm trước
Điều kiện để xác định T1p1, tức nghiệm hội tụ cần phải thoả mãn :
(1- 2Fo -2Bi.Fo) (2.36) 2.3 Bài tốn dẫn nhiệt khơng ổn định hai chiều
Bài tốn dẫn nhiệt khơng ổn định hai chiều, với điều kiện biên hỗn hợp loại loại mơ tả - Phương trình vi phân dẫn nhiệt ổn định hai chiều:
2 2 2
.
y T x
T a T a T
(2.37)
- Điều kiên biên loại : với biên giả sử chữ nhật có x = a; y = b
qx = = q1() ; qx = a = q2() (2.38)
qy = = q3() ; qy = b = q4()
- Điều kiện biên loại :
T
k h x
T
x
1
; T
k h x
T
a x
2
T
k h x
T
y
3
; T
k h x
T
b y
4 (2.39)
Đối với hình phức tạp khơng thể giải phương pháp giải tích, nên phải dùng phương pháp số Một phương pháp số PP SPHH xây dựng sau :
Chia vật thể mạng đường vng góc có bước mạng x , y, ứng với hai chiều x,y Khi điểm nút i,j đạo hàm bậc bậc hai nhiệt độ viết dạng sai phân sau ( hình 2.2) :
a Các điểm bên vật
(10)10 , , , , , , 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x T T T x T T T T x T x
T i j i j i j i j i j i j i j
(2.40) , , , , , , , 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y T T T y T T T T y T y
T i j i j i j i j i j i j i j
(2.41)
Riêng đạo hàm theo thời gian ln có
ipj
p j i T T T T , , (2.42)
Viết (2.40), (2.41) thời điểm p với (2.42) thay vào phương trình vi phân (2.37) : , , , , , , , , ) ( ) ( y T T T x T T T c k T
Tipj ipj ip j ipj ip j ipj ipj ipj
(2.43)
Viết (2.40), (2.41) thời điểm (p+1) với (2.42) thay vào phương trình vi phân (2.37) : 1 , , 1 , , 1 , , , , ) ( ) ( y T T T x T T T c k T
Tipj ipj ip j ipj ip j ipj ipj ipj
(2.44)
(2.43) (2.44) dẫn tới hệ phương trình nhiệt độ điểm nút bên vật, giải theo phương pháp khác
- Từ (2.43) có:
ipj
p j i p j i p j i p j i p j i p j i p j i T c k y T T T x T T T
T ,
1 , , , , , , 1 , ) ( ) (
(2.45)
(2.45) dạng hàm tường vế trái chưá nhiệt độ điểm i,j thời điểm (p+1), phải giải phương pháp tính dần
- Từ (2.44) có:
ipj ipj
p j i p j i p j i p j i p j i p j i t t c k y t t t x t t t , , 1 , , 1 , , 1 , , ) ( ) (
(2.46)
(2.46) dạng hàm ẩn chưá nhiệt độ điểm thời điểm (p+1) (2.46) tạo thành hệ n phương trình bậc nhất, giải phương pháp ma trận nghịch đảo, chọn bước thời gian tuỳ ý
Từ (2.45) (2.46) tìm nhiệt độ điểm bên vật
(11)11
Các điểm biên phải áp dụng phương pháp cân lượng phân tố thể tích Tại bề mặt điều kiên loại quy điều kiện loại thời điểm p sau :
- Điều kiên loại :
Dòng xạ qR().IP, với hệ số hấp thụ vật, IP suất xạ chiếu tới - Điều kiên loại :
Dòng đối lưu từ khơng khí qK( ) ( )
P m P
K T
T
h
- Dòng nhiệt tổng :
q ( ) ( ) . . ( P)
m P
K P
m P P K P
P m P
K T h T T
h I T h I T
T
h
(2.47)
trong :
P m P K T
T , nhiệt độ khơng khí nhiệt độ bề mặt kết cấu h, hệ số toả nhiệt hệ số hấp thụ bề mặt
h IP .
nhiệt độ quy đổi xạ
h I T T
P P K P
K
nhiệt độ tương đương không khí có kể đến xạ
Theo ngun lý bảo tồn lượng phần tử thuộc nút (i,j) tổng dòng nhiệt nhận dẫn đến phần tử từ xung quanh sau thời gian độ tăng nội phần tử Bởi phương trình cân lượng viết cho phần tử (được giới hạn đường nét đứt hình) sau :
Hình 2.3 a Hình 2.3 b Hình 2.3 c Hình 2.3 d
+ Các phần tử bên mặt cắt, hình 2.3 a :Phần tử (i,j) rộng x , cao x, dài 1m :
x
y k T T x y k T T
y x k T T
y x k T
Tip1,1j i,pj 1p1,1j i,pj1 i,pj 11 i,pj1 i,pj11 i,pj
x yTipj Ti,pj ,
c
(2.48) + Tại biên giới tiết diện,phần tử rộng x, cao y/2, hình 2.3b, có xạ đối lưu mặt trên:
x hT T x
y k T T y x k T T y x k T
T p
j i p
K p
j i p
j i p
j i p
j i p
j i p
j i
1 , 1
, 1 ,
, , 1
, ,
2
ipj p
j i T
T y x
c , ,
2
.
(12)12
+ Các phần tử góc lồi, hình 2.3c : phần tử rộng x/2, cao y/2, có xạ, đối lưu mặt lồi :
2 2
2 2
1 , 1
, 1 ,
, 1
, ,
x T T h x y k T T y T T h y x k T
Tip j ipj pK ipj ipj ipj pK ipj
ipj p
j
i T
T y x
c ,
1 , 2 .
2
(2.50) + Các phần tử góc khuyết trong, hình 2.3d : rộng x, cao y, có đối lưu, xạ hai mặt khuyết :
2
2
, 1
, , 1
, ,
y T T h y x k T T y x k T
T p
j i p
K p
j i p
j i p
j i p
j
i
ipj ipj pK ipj ipj ipj x c x yTipj Tipj y
k T T x T T h x y k T
T, 11 , 1 , , 11 , , ,
4 3 .
2 2
.
(2.51)
Sau lấy x = y , đặt
2
x c
k Fo
, k
x h
Bi . , thay vào phương trình : Phương trình phần tử thuộc nút bên :
Fo(Tip1,1j Tip1,1j Ti,pj11Ti,pj11)(14)FoTi,pj1 Ti,pj (2.52) Phương trình phần tử thuộc nút biên :
, ,
1 , , 1 ,
1 2 1 4 2 . 2 . .
Tip j Tip j Tipj Fo Fo BiFoTipj Tipj BiFoTpK (2.53) Phương trình phần tử thuộc nút góc lồi :
,
1 ,
1 , ,
1 ) 4 1 4 . .
(
2
FoTip j Tipj Fo Bi Tipj Tipj BiFoTpK (2.54)
Phương trình phần tử thuộc nút góc lõm :
1,1 1,1 , 11 , 11 , , . .
3 4 1
. 3 4 4
) 2 2
( 3
2
Fo Tip j Tip j Tipj Tipj Fo BiFo Tipj Tipj BiFoT pK (2.55)
(2.52), (2.53), (2.54) (2.55) phương trình đặc trưng để tính nhiệt độ nút toán dẫn nhiệt khơng ổn định hai chiều, tuỳ thuộc vị trí nút cụ thể hình mặt cắt mà số i,j lấy giá trị tương ứng Từ viết cho nút, lập thành hệ phương trình bậc nhiệt độ
(13)13
n n
nn n
n
n n n
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
C T
a T
a T a
2
1
2 21
2 22
21
1
2 12
11
(2.56)
Viết dạng ma trận :
n n
nn n
n n
n
C C C
T T T
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2
1
3
21 23
22 21
1 13
12 11
(2.57)
Các phương pháp giải thông dụng
1 Phương pháp định thức
;
;
3
2 23
22
1 13
12
1
3
2 23
22 21
1 13
12 11
nn n
n n
n n
nn n
n n
n n
a a
a C
a a
a C
a a
a C
D
a a
a a
a a
a a
a a
a a
D
;
; ,
3
2 23
22 21
1 13
12 11
3
2 23
2 21
1 13
1 11
2
n n
n n n
nn n
n n
n n
C a
a a
C a
a a
C a
a a
D
a a
C a
a a
C a
a a
C a
D
Nghiệm 1 1; 2 ; ; ; D D T D D T D D
T n n (2.58) 2 Phương pháp Gauss
Biến ma trận vuông aij thành ma trận “tam giác”
Phép biến đổi ma trận dựa nguyên tắc biến đổi hệ phương trình quen thuộc sau: Nhân (hay chia) phương trình với số phương trình khơng đổi
2 Cộng (hay trừ) phương trình với phương trình khác hệ phương trình tương đương với tương với phương trình ban đầu
Thí dụ 2.1 : Cho hệ phương trình (a1), (b1)
Hệ ban đầu: hệ áp dụng tính chất với (a1) áp dụng tính chất với (b1)
(14)14
x + 4y = (b1) x + 4y = (b1) (b1)-(a2) + 3y = (b2) (b2) y = 1/3 ; (a2) x = - y = – 1/3 = 5/3
Thử lại : (a1) : 2.(5/3) + 2.(1/3) = 12/3 = (b1): 5/3 + 4.(1/3) = 9/3 =
Các bước phương pháp Gauss
Hệ ban đầu
1 1 1 1 33 32 31 22 21 1 12 11 n n nn n n n n n n C C C T T T a a a a a a a a a a a a a a (1)
a. Làm số hạng đầu hàng thành 1, cách chia hàng cho số hạng hàng đó: 1 1 31 21 11 1 1 1 1 1 1 1 31 31 33 31 32 31 31 21 21 22 21 21 11 1 11 12 11 11 / / / / / / / / / / / / / / / / / / n n n n nn n n n n n n n n n a C a a C a C T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2 2 2 2 33 32 2 22 2 12 1 1 1 1 n n nn n n n n n C C C T T T a a a a a a a a a a (2)
b. Từ hàng thứ 2, làm số hạng đầu hàng 0, cách lấy hàng 2, n trừ hàng :
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 1 1 2 2 2 2 2 13 12 2 2 13 33 12 32 2 2 12 22 2 12 C C C C C T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n nn n n n n n n n 3 2 3 3 3 33 32 3 22 2 12 0 0 0 1 n n nn n n n n n C C C T T T a a a a a a a a a a (3)
(15)15 3 22 2 3 3 3 3 32 3 32 33 32 32 22 3 22 22 2 12 / / / / / 0 / / / 0 / / 0 1 n n n n nn n n n n n n n a C a C C T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a 4 2 4 4 33 4 23 2 12 1 0 1 0 1 0 1 n n nn n n n n C C C T T T a a a a a a a a (4)
d. Làm số hạng thứ hàng thứ trở đị 0, cách lấy hàng 3, n trừ hàng (tức lập lại bước với hàng thứ trở đi)
4 2 4 23 4 4 23 33 4 23 2 12 1 1 0 1 1 0 1 0 1 C C C C T T T a a a a a a a a a a a a n n n nn n n n n n 2 5 5 33 4 23 2 12 0 0 0 0 1 0 1 n n nn n n n n C C C T T T a a a a a a a a (5)
e Lập lại bước hàng trở …để số hàng thứ hàng trở thành
5 33 4 2 5 5 33 5 33 33 4 23 2 12 / / / / 0 0 / / 0 0 1 0 1 n n n n nn n n n n n a C a C C C T T T a a a a a a a a a a a a 6 2 6 4 23 2 12 1 0 0 1 0 0 1 0 1 n n nn n n n C C C C T T T a a a a a a (6)
g. Tiếp tục số hạng annk 1, tam giác sau
k n n n n n C C C C T T T T a a a a a 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 4 23 2 12 (7)
h Giải tính ngược từ lên: hàng : Tn Cnk ;
hàng chứa T3 có : ,
6 3 6
3 a T C T a T C
T n n n n
3 Phương pháp Gauss - Jordan
Là phương pháp biến ma trận [aij ] thành ma trận đơn vị
Giả sử có hệ phương trình ban đầu ma trận tam giác
(16)16 a Lấy hàng làm gốc, nhân hàng với a121 được: a121 a232 a22n T2 C22
Lấy hàng trừ hàng vừa có
1 2 1 1 23 2 1 23 13 12 12 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n n n n n n C C C C C T T T T a a a a a a a a a 1 2 1 23 2 13 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 n n n n n C C C C T T T T a a a a a (1)
b Lấy hàng làm gốc, nhân hàng với a123 được: 0 a231 a32n T3 C32 ; Lấy hàng trừ hàng vừa có
1 3 2 1 3 23 23 2 13 1 0 0 0 1 0 0 . 1 0 0 1 n n n n n n C C C C C T T T T a a a a a a a 1 2 1 2 2 13 1 0 0 0 1 0 0 . 0 1 0 0 1 n n n n n C C C C T T T T a a a a (2)
c Tiếp tục
2 2 2 13 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 n n n n C C C C T T T T a a a (4)
d Để triệt tiêu a132 hàng 1, lấy hàng làm gốc, nhân hàng với a132 , lấy hàng trừ kết có 2 3 2 3 14 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n n n C C C C T T T T a a a (5)
(17)17
Cứ đến hàng số hạng đầu , số hạng khác Tiếp tục làm với hàng 2, 3, n
g Cuối có ma trận đơn vị sau, có nghiệm cần tìm
k n k k k
n C
C C C
T T T T
1
0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
3
3
k n k
k k
n C
C C C
T T
T T
3
2
3
(2.59)
4 Phương pháp Gauss - Seidel
Nội dung phương pháp cách tính lặp Phương pháp Gauss- Seidel bao gồm bước sau Ban đầu chuyển hệ phương trình nhiệt độ dạng hàm tường cho nút dạng sau
) ( ;
) 2 ( :
) 1 ( ;
1
2 1
2
32 12
1
31 21
n T a T
a T a T
T a T
a T a T
T a T
a T a T
n n n n
n n
n n
n n
Lần 1:
- Bước Trừ nhiệt độ nút (hoặc nút m định tính trước tiên), tất nhiệt độ cịn lại cho khơng, thay vào (1) tính T1
- Bước Thay giá trị T1 T3 = 0, ,Tn = vào (2) tính T2
- Bước Thay giá trị T1 , T2 T4 = 0, ,Tn = vào (3) tính T3
- Bước n Thay giá trị T1 , T2 , , Tn-1 vào (n) tính Tn
Như tính giá trị nhiệt độ phải sử dụng phương trình cịn lại Nghĩa phương trình ln phải nhận giá trị có, phương trình cuối
Lần 2: Lặp lại từ đầu
- Bước Thay giá trị T2, T3, , Tn vừa có lần vào (1) để tính T1
- Bước Thay giá trị T3, , Tn lần có T1 vào (2) để tính T2 Tiếp tục lần
đến Tn
Q trình tính tính lặp lại lần , lần với giá trị nhiệt độ nhất, chênh lệch nhiệt độ điểm hai lần tính sát nhỏ tới mức đủ chấp nhận dừng
Thí dụ 2.2
Giải toán ổn định hai chiều điều kiện biên loại 1:
Một dầm bêtông , tiết diện ngang có hình dạng hình bên có x=y Biết nhiệt độ cạnh góc tiết diện hình 2.4 Xác định nhiệt độ điểm bên trong.1,2,3,4,5,6
(18)18 , 1 2 3 4
4
i i i i j
i T T T T
T , Hình 2.4 Chia mạng tiết diện ngang dầm bêtông Tại điểm 1,2,3,4,5,6 viết phương trình nhiệt độ dạng hàm tường sau :
T1 = (T2 + 60 + 100 + 50)/ (1)
T2 = (T1 + T3 + T5 + 100)/4 (2)
T3 = (T2 + T4 + T6 + 100)/4 (3)
T4 = (T3 +100 + 80 +70 )/ (4)
T5 = (T2 + T6 + 50 + 40 )/ (5)
T6 = (T3 + T5 + 70 + 40 )/ (6)
Bước 1: Thay T2 = 0; T3 = 0; T4 = 0; T5 = 0; T6 = vào (1) tính T1 = 52,50
Bước 2: Thay T1 =52,5 (giá trị mới) T3 = 0; T5 = vào (2) tính T2 = 38,125
Bước 3: Thay T2 = 38,125 vào (3) tính T3 = 34.5313
Bước 4: .tiếp tục tính T 4, T , T thứ tự sau :
52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406
Các lần sau : Kết tính lặp sau lần viết theo ma trận hàng T = [T1 T2 T3 T4 T5 T6] sau
(1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 (2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819 (3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405 (4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197 (5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915 (6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088 (7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458 (8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575 Bước : Sai số tuyệt đối lần cuối tương ứng :
0.0366 0.0462 0.0259 0.0065 0.0208 0.0117 nhỏ nên dừng phép tính lặp
Nếu tính theo phương pháp ma trận nghịch đảo , nhiệt độ điểm tương ứng : 71.8630 77.4380 80.5120 82.6310 57.3340 61.9500
Các tốn thực tế có số nhiệt độ phải tìm lên tới hàng trăm phương pháp Gauss -Seidel tỏ rõ ưu
5 Phương pháp Ma trận nghịch đảo
Hệ phương trình tuyến tính nhiệt độ dạng ma trận :
n n
nn n
n n
n
C C C
T T T
a a
a a
a a
a a
a a
a a
2
1
3
21 23
22 21
1 13
12 11
(19)
19 Hay dạng gọn sau :
[aij] [Ti] = [Ci] (2.61)
Từ rút :
[Ti] = [Ci] [aij] - (2.62)
trong [aij] -
ma trận nghịch đảo [aij] có dạng :
nn n
n n
n
ij
b b
b b
b a
a b
b b
b b
a
3
21 23
22 21
1 13
12 11
(2.63)
Các phần tử bịj ma trận nghịch đảo phần bù ma trận chuyển vị [aịj]
Khi nhiệt độ phải tìm :
n nn n
n n
n
n n
n n
n n
C b + C + b C b C = b T
.
C b + C + b C + b C = b T
C b + C + b C + b C =b T
C b + C
+ b C + b C = b T
3 2 1
3
33 32 31
2
23 22 21
1
13 12 11
(2.64)
(20)20
Phần PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Giới thiệu khái quát
Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) công cụ số để xác định nghiệm xấp xỉ lớp rộng toán kỹ thuật Phương pháp PTHH ý đào tạo kỹ thuật công nghệ cơng cụ phân tích có tính đa dạng mềm dẻo cao
Phương pháp PTHH bắt đầu hình thành từ nhu cầu giải tốn phân tích kết cấu lý thuyết đàn hồi kỹ thuật cơng trình kỹ thuật hàng không Những người đưa phương pháp Alexander Hrennikoff (1941) Richard Courant (1942) Sau Courant có nhiều tác giả sử dụng ph-ương pháp rời rạc hoá Polya, Hersch,Weinberger tập trung vào nghiên cứu toán giá trị riêng Từ nửa cuối năm 1950, tác giả phát triển dần hoàn chỉnh phương pháp PTHH Năm 1959 Greestadt sử dụng nguyên lý biến phân để xác định hàm xấp xỉ phần tử, xây dựng nội dung phương pháp sau trở thành lý thuyết toán học phương pháp PTHH
Các nhà vật lý phát triển phương pháp PTHH để áp dụng toán vật lý, kỹ thuật Prager, Synge Besselinh, Melosh, Fraeijs de Veubeke Jones coi phương pháp PTHH dạng phương pháp Ritz, phương pháp tổng quát để nghiên cứu toán đàn hồi Họ áp dụng cho toán biến phân học chất rắn đạt kết xác Năm 1965, Zienkiewicz Cheung chứng minh Phương pháp PTHH áp dụng cho tất toán lý thuyết trường, công nhận phương pháp nội suy rộng
Năm 1973, Fix Strang xây dựng lý luận toán học chặt chẽ cho phương pháp PTHH, từ trở thành lĩnh vực toán học ứng dụng phổ biến ứng dụng rộng rãi kỹ thuật, để xây dựng mơ hình dạng số cho tượng vật lý trường điện từ động học chất lỏng…
2.5 Nội dung bản, trình tự giải tốn nhiệt phương pháp PTHH Việc giải tốn liên tục phương pháp PTHH ln thực theo trình tự gồm bước nối tiếp sau:
Bước 1: Rời rạc hóa toán , chọn phần tử hữu hạn
Miền nghiệm toán, tức vật thể, chia thành phần tử có kích thước nhỏ gọi phần tử hữu hạn cho khơng có kẽ hở chồng lên phần tử để bảo đảm tính liên tục tốn Kết tạo nên mạng phần tử hữu hạn
Tùy thuộc tính chất tốn mà chọn phần tử có hình dạng khác nhau: - Với toán chiều, phần tử chọn đoạn thẳng
- Với toán hai chiều, phần tử chọn hình phẳng tam giác, tứ giác, chữ nhật… - Với toán ba chiều, phần tử chọn hình khối, khối tứ diện, lập phương, hình hộp, lăng trụ …
(21)21
Hình 2.5 Các dạng phần tử hữu hạn Tuỳ thuộc loại phần tử mà phần tử có hai hay nhiều nút
Sau rời rạc, nhiệt độ cần phải tìm miền liên tục vật thể xấp xỉ nút phần tử
Bước 2: Chọn hàm nội suy
Mối quan hệ nhiệt độ T bên phần tử với giá trị nhiệt độ nút Ti gọi hàm nội suy
Ni (hay hàm hình dạng)
k
i i i k
kT N T
N T
N T N T
1
2
1 (2.65)
Hoặc dạng ma trận
N T
T T T
N N
N T
k
k
1
2
1 (2.66) đây:
1, 2, i…, k số thứ tự nút phần tử
N1 , N2 …Nk hàm nội suy nút 1, 2…k, [N] ma trận hàm nội suy
T nhiệt độ điểm phần tử
T1, T2, Tk tương ứng nhiệt độ cần tìm nút 1, 2…k ,và [T] véc tơ nhiệt độ cần tìm
Các hàm nội suy N thường chọn đa thức đại số dễ dàng tính đạo hàm tích phân chúng phần tử Bậc đa thức chọn phụ thuộc vào số điểm nút phần tử, đặc điểm số lượng ẩn nút yêu cầu liên tục cần có biên phần tử
Bước 3: Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử
Phương trình đặc trưng phần tử biểu thị đặc tính cá thể phần tử riêng lẻ, mối quan hệ nhiệt độ chưa biết nút với phụ tải nhiệt
(22)22
K e T e ef (2.67)
đây: e số biểu thị cho phần tử
T e nhiệt độ phải tìm nút
K e ma trận hệ số nhiệt độ, gọi ma trận độ cứng phần tử f e véc tơ phụ tải nhiệt nhiệt độ cho trước nút biên
Một số phương pháp sử dụng để xác định nghiệm xấp xỉ toán cho Phương pháp Ritz (tích phân cân nhiệt)
2 Phương pháp Rayleigh Ritz (Biến phân) Phương pháp số dư trọng số
Nhờ áp dụng số lý thuyết toán học lý thuyết biến phân, tích phân phần, tích phân số phép tính ma trận, đưa phương trình vi phân tốn dạng xấp xỉ (2.67) phần tử
Bước 4: Lắp ghép phương trình phần tử để nhận phương trình tương thích hệ
Để tìm đặc tính tồn cục hệ thống, bắt buộc phải kết hợp tất phương trình ma trận phần tử riêng lẻ, thủ tục gọi lắp ghép phần tử Đó việc tổ hợp phương trình ma trận phần tử riêng lẻ cách thích hợp để tạo ma trận đặc trưng trạng thái toàn khu vực nghiệm tốn
Nói cách khác tập hợp phương trình vi phân liên tục theo ẩn Te cần tìm tất nút tất
các phần tử Te dạng ma trận (2.67) thành hệ (n phần tử) dạng:
K T f (2.70)
[ K ] ma trận hệ số hệ
T véctơ ẩn hệ
f tải nhiệt nút hệ
Phương trình cho hệ (2.70) giống phương trình cho phần tử khác có kích thước lớn nhiều
Bước 5: Giải hệ phương trình (2.70)
Hệ phương trình (2.70) giải phương pháp chuẩn như: Lặp, khử, Gauss, ma trận nghịch đảo tương tự giải hệ phương trình phương pháp SPHH
Bước 6: Tính đại lượng thứ cấp
(23)23
2.6 Các phần tử hàm nội suy 2.6.1 Phần tử chiều bậc
Trong phần tử bậc nhất, nhiệt độ hàm bậc toạ độ:
T 12x (2.71)
Trong 1, 2 hai tham số cần xác định nên phần tử cần có hai nút Gọi hai nút phần tử i
và j, có toạ độ làxivàxjthì nhiệt độ tương ứng :
Ti 1 2xi; Tj 1 2xj (2.72)
1 Hàm nội suy
Mặc dù nhiệt độ hai nút cịn ẩn số phải tìm, nhiệt độ điểm bên phần tử nội suy theo nhiệt độ hai nút sau:
N T
T T N N T N T N T
j i j i j j i
i
(2.73) NivàNj gọi hàm nội suy hai nút
Từ hai phương trình (2.73) giải 1, 2 thay vào (2.74), xếp lại :
j
i j
i i
i j
j
T x x
x x T x x
x x T
(2.74) Theo (2.74) hàm nội suyNi,Nj
i j
i i
j j j
i
x x
x x x x
x x N
N
N (2.75)
Nếu lấy xi 0; xj l,
l x l x
N 1 (2.76) Lấy tổng hàm nội suy
(24)24
Từ (2.76) , (2.77) thấy hàm nội suyNivà Njlà hàm bậc theo x, biến đổi ngược chiều có
giá trị vị trí khác sau, bảng 2.1 Bảng 2.1
Hàm Nút i Nút j x
Ni Giữa
Nj Giữa
Ni +Nj 1
Từ kết khảo sát cho thấy hàm nội suy có hai đặc điểm quan trọng sau: - Hàm nội suy nhận giá trị nút xác định nhận giá trị nút khác
- Tổng hai nội suy phân tố vị trí bên phần tử, kể biên
2 Quan hệ biến x với toạ độ nút
Từ (2.76) rút toạ độ x ứng với hàmNi thayNj 1Ni sau:
j i j i j j i
i x
x N N x N x N
x (2.78) Quan hệ biến x với toạ độ nút biểu thị qua hàm nội suy, giống nhiệt độ
3 Đạo hàm hàm nội suy
B l
N dx
d dx dN
1 (2.79) Đạo hàm hàm nội suy phần tử bậc số không phụ thuộc x
4 Gradient nhiệt độ
Tuy Ti,Tj ẩn số chưa biết phải tìm, phân tố Ti,Tjcó giá trị không đổi, nên nhiệt độ T phân tố phụ thuộc vào x , gradient nhiệt độ ký hiệu g
B T
T T dx dN dx dN T
dx dN T dx dN dx dT g
j i j i
j j i
i
(2.80)
(25)25
Hình 2.6 Sự thay đổi hàm nội suy, nhiệt độ đạo hàm bên phần tử tuyến tính
Ma trận hàm nội suy [N] ma trận đạo hàm [B] hai ma trận quan trọng sử dụng để xác định đặc tính phần tử sau
Thí dụ2.3 Một dài 12 cm có nhiệt độ đầu 1000C cuối 1600C Biết nhiệt độ thay đổi tuyến tính Xác định nhiệt độ vị trí cách cm từ đầu
Từ phương trình (2.74)
T NiTi NjTj
Với : Ti 1000C;Tj 1600C;xi 0;xj 12cm;x8cm. Và :
12 12
8 12
i j
j i
x x
x x
N
12 8 0 12
0 8
i j
i j
x x
x x
N
thay giá trị vào (2.45) có :
T NiTi NjTj 160 156,6660C
12 100 12
4
= 156,6660C
2.6.2 Phần tử chiều bậc hai
Phần tử chiều bậc hai nhiệt độ thay đổi theo chiều, tỷ lệ với tọa độ theo hàm bậc hai T(x) = 1 + 2x + 3x
2
(26)26
Có tham số 1, 2 3 cần xác định nên phần tử cần điểm nút i, j k phân bố
phần tử Trong phần tử có độ dài lxk xi, lấy xi 0 xj l ;xk l
2
Nhiệt độ ba nút ứng với toạ độ Ti 1 ;
2
2
2
l l
Tj ; Tk 12l3l2 (2.82) Từ (2.82) giải số 1, 2, 3 thay vào (2.81), xếp lại :
j Tk
l x l x T
l x l x T
l x l
x x
T
2 2
2
2
2 4
4 2
3 1 )
( (2.83)
1 Hàm nội suy
Nhiệt độ điểm bên phần tử nội suy theo nhiệt độ ba nút sau:
N T
T T T N N N T N T N T N x T
k j i k j i k k j j i
i
)
( (2.84)
Trong Ni,Nj Nk ba hàm nội suy phần tử chiều bậc hai Từ ta thấy hàm nội suy phần tử chiều bậc hai
2 2
2
2
2 4
4 2 3 1
l x l x l
x l x l
x l
x N
N N
N i j k (2.85) Từ (2.85) thấy hàm nội suy hàm số bậc hai x, giá trị hàm thay đổi phụ thuộc vào
toạ độ
Ta lập bảng giá trị hàm nội suy theo phương trình (2.85) sau :
Bảng 2.2
Giá trị hàm nội suy
Nút i j k
Hàm nội suy
Ni 0
Nj
Nk 0
Tổng: Ni+ Nj + Nk 1
(27)27
Hình 2.7 Thay đổi nhiệt độ hàm hình dạng phần tử chiều bậc hai
2 Đạo hàm hàm nội suy
3 42 4 82 1 42
l x l l
x l l
x l dx
dN dx dN dx dN dx
dN
B i j k (2.86)
Như đạo hàm hàm nội suy phần tử bậc hai hàm bậc x
3 Gradient nhiệt độ
Ký hiệu gradient nhiệt độ: g dx dT
,
T B T
dx dN
T T T
dx dN dx dN dx dN dx
dT
k j i k j i
(2.87)
Gradient nhiệt độ
i i j j kTk dx dN T dx dN T dx dN dx dT
(2.88) đạo hàm biểu thức (2.70) thay vào (2.73) có
i j Tk
l x l T l
x l T l
x l dx
dT
42 2 2 (2.89) Như gradient nhiệt độ dòng nhiệt phụ thuộc vào toạ độ x
(28)28 Hình 2.8
Thí dụ 2.4 : Xác định giá trị hàm nội suy phần tử chiều bậc hai vị trí có toạ độ x = l/4, x = l/3
Tại vị trí có x = l/4 hàm nội suy
2 2
2
) 4 / ( 2 ) 4 / ( 3 1 2
3 1
l l l
l l
x l
x
Ni = 1-3/4 + 1/8 = 0,3750
4 / 1 1 ) 4 / ( 4 ) 4 / ( 4 4
4
2 2
2
l l l
l l
x l x N
k
j = 0,75
2 /4 2( /42) 1/4 1/8
2
2
l l l
l l
x l x
Nk = -0,1250
Thấy Ni + Nj + Nk = 0,3750 + 0,75 - 0,125 =
Tại vị trí có x = l/3 , giá trị hàm hình dạng :
1 3 2 1 3( /3) 2( /3) 1 1 2/9
2 2
2
l l l
l l
x l
x
Ni 0,2222
9 / 4 3 / 4 ) 3 / ( 4 ) 3 / ( 4 4
4 2
2
2
l l l
l l
x l x N
k
j = 0,8889
9 / 2 3 / 1 )
3 / ( 2 3 / 2
2 2
2
l l l
l l
x l x
Nk = -0,1111
(29)29
2.6.3 Phần tử hai chiều tam giác bậc
Phần tử hai chiều tam giác bậc phần tử tam giác có nhiệt độ bên phần tử phụ thuộc bậc vào hai chiều tọa độ x y, biểu thị
T(x,y) = 1 + 2x + 3y (2.90)
Phần tử tam giác bậc phần tử hai chiều đơn giản nhất, nhiệt độ có chứa hệ số
Hình 2.9 Phần tử tam giác bậc toạ độ gốc
Do tam giác bậc có nút (hình 2.9), giá trị 1, 2 3 xác định từ quan hệ
Ti 1 2xi 3yi; Tj 12xj 3yj; Tk 12xk 3yk (2.91)
Có thể giải ẩn hệ số 1, 2 3 theo xi,xj,xk Ti,Tj,Tk phương pháp định thức
như sau Viết (2.91) dạng hệ phương trình:
k k k
j j j
i i i
T y x
T y x
T y x
3
1
3
1
3
1
(2.92)
Ta có
j k k j k i i k i j j i k k
j j
i i
y x y x y x y x y x y x y x
y x
y x
D
1 1
(2.93)
thấy D = 2A, với A diện tích tam giác
j k k j i k i i k j i j j i k
k k k
j j j
i i i
T y x y x T y x y x T y x y x y x T
y x T
y x T
D
1 (2.94)
Tk k (xk,yk)
Tj j (xj,yj) Ti
i (x ,y ) y
x
(30)30
k j j k i i k k i j j i i j k
k k k
j j j
i i i
T y x y x T y x y x T y x y x y T x
y T x
y T x
D
2 (2.95)
k j j k i i k k i j j i i j k
k k k
j j j
i i i
T y x y x T y x y x T y x y x T x y
T x y
T x y
D
3 (2.96)
Giải
D D D
D D
D 3
3 2
1 ; ;
k j i i k j j i k
k j i j i k i k j
k i j j i j k i i k i j k k j
T x x T x x T x x A
T y y T y y T y y A
T y x y x T y x y x T y x y x A
2
1
1
3
(2.97)
Với ký hiệu
ai xjyk - xkyj;bi yj-yk ;ci xk - xj
aj xkyi - xiyk ;bj yk -yi;c j xi - xk (2.98) ak xiyj- xjyi;bk yi -yj;ck xj - xi
(2.97) trở thành
i i j j k k
k k j j i i
k k j j i i
T c T c T c A
T b T b T b A
T a T a T a A
2
1
1
3
(2.99)
Thay giá trị 1, 2 3 vào phương trình (2.95) có
cT c T c T y
A x T b T b T b A T a T a T a A
T i i j j k k i i j j k k i i j j k k
1
1
1
(2.100) xếp lại sau
ai bix ciyTi aj bjx cjyTj ak bkx ckyTk A
T
2
(2.101)
(31)31
Nhiệt độ vị trí có toạ độ (x,y) tam giác nội suy theo nhiệt độ nút tam giác thông qua hàm nội suy N sau
N T
T T T N N N T N T N T N y x T
k j i k j i k k j j i
i
) ,
( (2.102)
Từ (2.101) thấy hàm nội suy
a b x c y
A N
y c x b a A N
y c x b a A N
k k k k
j j j j
i i i i
2
1
1
(2.103)
Viết hàm nội suy đày đủ theo toạ độ nút:
x y
A y c x b a A
Ni i i i xjyk - xkyj yj-yk xk - xj
1
1
x y
A y c x b a A
Nj j j j xkyi - xiyk yk -yi xi - xk
1
1
(2.104)
x y x y y y x x x y A
y c x b a A
Nk k k k i j j i i j j i
1
1
Để thấy rõ đặc điểm hàm nội suy phần tử tam giác bậc nhất, tính giá trị chúng nút sau
- Tính Ni nút i có tọa độ xi yi
2 2
1
A A y
x x x y y y x y x A
Ni i j k k j j k i k j i (2.105 a)
- Tính Ni nút j có tọa độ xj;yj
x y - x y y -y x - x
1
j k k
j j k k
j
j j j j
j
i x x y y
A
N (2.105b)
- Tính Ni nút k có tọa độ xk;yk
x y - x y y x -y x x - x
1
j k k k k j j k k
j
k k
k
i y y
A
N (2.105c)
- TínhNj nút i có tọa độ xi yi
x y - x y y - y x - x
1
k i i k k
i i
k
i i i i
i
j x x y y
A
(32)32 - TínhNj nút j có tọa độ xj;yj
x x y -y y
x -y
xk i i k k i i k
j k k j k i i k i j j i
j j j
j j
j
y x y x y x y x y x y x
y y x
x
N (2.105e) - TínhNj nút k có tọa độ xk;yk
x y - x y y - y x - x
1
k i i k k
i i
k
k k k k
j x x y y
A
N (2.105g)
- Tính Nk nút i có tọa độ xi yi
2
i j j i i i i j j i i i
i
k x y x y x y x y x y x y
A
N (2.105h)
- Tính Nk nút j có tọa độxj;yj
2
i j j i j i j j j j i j
j
k x y x y x y x y x y x y
A
N (2.105h)
- TínhNk nút k có tọa độ xk;yk
1
j k k j k i i k i j j i
k i k j j k i k i j j i k k
y x y x y x y x y x y x
y x y x y x y x y x y x
N (2.105k) Có thể lập bảng giá trị hàm nội suy nút tam giác bậc sau
Bảng 2.3
Nút i Nút j Nút k
i
N 0
j
N
k
N 0
Như ta thấy hàm nội suy có giá trị nút định tất nút lại
Cũng chứng minh
Ni Nj Nk 1 (2.106) tất vị trí bên phần tử kể biên giới
2 Quan hệ biến x,y với toạ độ nút
(33)33
a x b x x c x y
A x N
y x c x x b x a A x N
y x c x x b x a A x N
k k k k k k k
k
j j j j j j j
j
i i i i i i i
i
2
1
1
(2.107)
Tính tổng
Nixi Njxj Nkxk
aixi ajxj akxk xbixi bjxj bkxk ycixi cjxj ckxk
A
2
(2.108) Ký hiệu tính số hạng dấu móc đơn biểu thức sau
aaixi ajxj akxk xjyk - xkyjxi xkyi - xiykxj xiyj- xjyixk 0
bbixi bjxj bkxk yj-ykxi yk yixj yi -yjxk 2A (2.109) ccixi cjxj ckxk xk - xjxi xi - xkxj xj- xixk 0
Thì thấy
(0 0)
2 ) (
2
Ax
A cy bx a A x
N x N x
Ni i j j k k
Bởi rút
xNixi Njxj Nkxk (2.110) Tương tự vậy, từ (2.107) có
a y b y x c y y
A y N
y y c x y b y a A y N
y y c x y b y a A y N
k k k k k k k
k
j j j j j j j
j
i i i i i i i
i
2
1
1
(2.111)
Tính tổng
Niyi Njyj Nkyk
aiyi ajyj akyk xbiyi bjyj bkyk yciyi cjyj ckyk
A
2
(34)34
aaiyi ajyj akyk xjyk - xkyjyi xkyi - xiykyj xiyj- xjyiyk 0
bbiyi bjyj bkyk yj-ykyi yk yiyj yi -yjyk 0 (2.112) cciyi cjyj ckyk xk - xjyi xi - xkyj xj - xiyk 2A
Thì thấy
(0 )
2 ) (
2
Ay x A
cy bx a A y
N y N y
Ni i j j k k
Rút
y Niyi Njyj Nkyk (2.113)
Như toạ độ x, y điểm thoả mãn mối quan hệ với toạ độ nút theo hàm nội suy tương tự quan hệ nhiệt độ điểm với nhiệt độ nút
x Nixi Njxj Nkxk
y Niyi Njyj Nkyk (2.114)
3 Đạo hàm hàm nội suy
Lấy đạo hàm hàm nội suy (2.103) theo x y
B
c c c
b b b A y
N y N y N
x N x N x N
y Nx N
B
k j i
k j i k
j i
k j i
2 1
4 Gradient nhiệt độ
Gradient nhiệt độ xác định
B T T
T T c c c
b b b A
T T T
y N y N y N
x N x N x N
T y N T y N T y N
T x N T x N T x N
y T x T g
k j i
k j i
k j i
k j i
k j i
k j i
k k j j i i
k k j j i i
2
(2.115)
5 Tọa độ khu vực tam giác
(35)
35
đó đến cạnh, hình 2.10 Tỷ số khoảng cách với đường cao từ đỉnh tương ứng tọa độ khu vực Li , Lj , Lk
Hình 2.10
Tọa độ Li định nghĩa tỷ số khoảng cách từ điểm P đến cạnh ‘i j’ (tức đoạn PO) khoảng
cách từ điểm i đến cạnh ‘jk’(tức đoạn QR), nghĩa
QR PO
Li (2.116) Các tọa độ khu vực Lj Lk định nghĩa cách tương tự
Giá trị Li tỷ số hai diện tích Ai đối diện với điểm ‘i’ diện tích tam giác toàn phần
A, nghĩa
QR PO jk
QR jk PO A
A
L i
i
) ).( .( 5 , 0
) ).( .( 5 , 0
(2.117)
Các tọa độ Lj Lk tính tương tự có Lj = Aj/A , Lk = Ak/A Bởi tọa độ khu vực
gọi tọa độ diện tích Do
Ai + Aj + Ak = A
nên
1 A A A A A
Ai j k
(2.118) Nghĩa
Li + Lj + Lk = (2.119)
Mối quan hệ tọa độ (x,y) điểm tam giác với tọa độ nút xác định bởi: x = Lixi + Ljxj + Lkxk
y = Liyi + Ljyj + Lkyk (2.120)
(36)
36
a bx c y
A
Li i i i
1
a b x c y
A
Lj j j j
1
a b x c y
A
Lk k k k
1
(2.121) Các số a, b c phương trình xác định theo phương trình (2.98) Tức
ai xjyk- xkyj;bi yj-yk;ci xk - xj
aj xkyi- xiyk;bjyk -yi;cj xi- xk
ak xiyj- xjyi;bk yi -yj;ck xj- xi
Nghĩa tọa độ khu vực hàm nội suy tam giác bậc
Li = Ni
Lj = N
Lk = Nk (2.122)
Nói chung tọa độ khu vực hàm nôi suy phần tử tuyến tính, phần tử chiều, hai chiều hay ba chiều
Tích phân hàm nội suy
Đối với phần tử hai chiều tam giác bậc có tọa độ Li , Lj Lk ln có cơng thức đơn
giản để tích phân tồn tam giác
a b c A
c b a dA
N N N dA L L
L bj kc
A a i c
k b
j A
a
i
! ! ! !
(2.123) ‘A’ diện tích tam giác
2.6.4 Phần tử chữ nhật bậc
Phần tử tứ giác bậc có nút hình 2.11 Phần tử tứ giác đơn giản có dạng hình chữ nhật, trường hợp tổng qt cạnh hình chữ nhật khơng song song với trục toạ độ, hình 2.12
Hình 2.11 Phần tử tứ giác bốn nút
Hình 2.12 Phần tử chữ nhật bốn nút
y
x
(x1,y1)
(x2,y2)
3 (x3,y3)
(37)37
Nhiệt độ bên tứ giác bậc đặc trưng phương trình
T = 1 + 2x + 3y + 4xy (2.124)
Nhiệt độ điểm bên tứ giác nội suy theo nhiệt độ nút
T = N1T1 + N2T2 + N3T3 + N4T4 (2.125)
trong N1, N 2, N N hàm nội suy
1 Hàm nội suy
Để xác định hàm nội suy, cần viết giá trị nhiệt độ nút T1, T2, T3 T4 toạ độ
nút (x1, y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4, y4), theo phương trình (2.116), giải nhận giá trị 1, 2, 3
và 4 Thay quan hệ vào phương trình (2.116), xếp lại theo nhiệt độ so sánh với (2.117)
sẽ rút hàm nội suy N1, N 2, N N
Xét trường hợp chữ nhật có gốc toạ độ nằm hình cạnh song song với hai trục toạ độ, hình 2.13, tức sau thực phép biến đổi chữ nhật trường hợp tổng quát toạ độ khu vực
Hình 2.13 Phần tử chữ nhật toạ độ khu vực Khi hàm nội suy N1, N2, N3 N4 xác định theo
) )( (
1
1 b x a y
ab
N
) )( (
1
2 b x a y
ab
N
) )( (
1
3 b x a y
ab
N (2.126)
) )( (
1
4 b x a y
ab
N
2 Đạo hàm hàm nội suy
(38)38
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
1
x b x b x b x
b
y a y
a y a y a ab y
N x N
B (2.127)
3 Gradient nhiệt độ
Từ (2.118), gradient nhiệt độ viết
y x
T
4
2
x y
T
4
3
(2.128) Như gradient nhiệt độ phần tử thay đổi theo đường thẳng
Do hàm nội suy bậc x y, nên chúng gọi có cấu hình song tuyến tính Các đạo hàm biểu thị sau
4 3 2 1
T x N T x N T x N T x N x T
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4
1
T y a T y a T y a T y a
ab
(2.129) tương tự có
( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 4
1
T x b T x b T x b T x b ab y
T
Ma trận gradient nhiệt độ
B T
T T T T
x b x b x b x
b
y a y
a y a y a ab y
T x T
g .
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) 4
1
4
(2.130)
2.6.5 Các phần tử đẳng tham số 1 Các loại phần tử hệ tọa độ
Phần tử bản, phần tử cong
(39)39
rất lớn phần tử có cạnh thẳng dọc theo đường biên giới cong để đạt đặc tính hình học phù hợp Trong trường hợp toán ba chiều tổng số biến lớn việc giảm tổng số biến quan trọng, đặc biệt khối lượng tính tốn có liên quan với nhớ máy tính /giá thành Số phần tử cần thiết giảm đáng kể sử dụng phần tử cong Có nhiều phương pháp tạo phần tử cong, phương pháp phổ biến sử dụng ánh xạ từ phần tử bản, hình 3.17 Do hàm nội suy phần tử biết, viết xác định hệ tọa độ khu vực đó, nên đại lượng đặc trưng phần tử cong tương ứng xác định
Như có hai hệ thống khái niệm cần xác định Một hệ thống hình dạng phần tử, hệ thống thứ hai bậc hàm nội suy trường biến Nói chung khơng thiết phải sử dụng hàm nội suy phép biến đổi tọa độ phương trình nội suy, có hai hệ thống điểm nút tổng thể khác tồn Hai hệ thống đồng trường hợp phần tử đẳng tham số
Phần tử thực phần tử quy chiếu
Mối quan hệ hàm số đại lượng đặc trưng phần tử (hàm nội suy, đạo hàm, tọa độ) trở nên đơn giản, sử dụng phần tử quy chiếu hay phần tử chuẩn hóa Phần tử ban đầu rời rạc miền khảo sát gọi phần tử thực Trong toán phẳng, phần tử thực định vị hệ tọa độ gốc (x,y) Phần tử quy chiếu phần tử đơn giản, định vị hệ tọa độ quy chiếu (,) dùng để biến đổi thành phần tử thực thơng qua phép biến đổi hình học Để tạo phần tử thực từ phần tử quy chiếu, phép biến đổi hình học phải có tính thuận nghịch (song ánh), tức điểm không gian quy chiếu ứng với điểm không gian thực ngược lại Một phần tử quy chiếu biến thành phần tử thực loại thông qua phép biến đổi khác phần tử có phép biến đổi riêng Bởi phần tử quy chiếu gọi phần tử “cha-mẹ”
Hình 2.14 ánh xạ đẳng tham số tam giác tứ giác
Phần tử đẳng tham số
(40)40 N gọi hàm nội suy trường biến
Tọa độ phần tử biểu thị hàm số tọa độ nút Hàm số gọi hàm nội suy tọa độ
N y y
N y
N y N y
x N x N x
N x N x
m m
m m
2 1
2 1
Sự biểu thị nhiệt độ tọa độ gọi biểu thị đẳng tham số, phần tử gọi phần tử đẳng tham số
Nói chung phần tử đẳng tham số có hàm nội suy nhiệt độ hàm nội suy tọa độ đa thức bậc Các phần tử khảo sát phần trước đẳng tham số, phần tử quy chiếu hệ tọa độ quy chiếu phải đẳng tham số
2 Phần tử đẳng tham số chiều bậc
Tọa độ quy chiếu phần tử chiều tỷ số chiều dài định nghĩa là:
-1 1 , tọa độ quy chiếu Để chuyển đổi từ tọa độ quy chiếu sang tọa độ gốc, ta thay x = , có gốc điểm đoạn thẳng, thay x1 = -1và x2 =1vàophương trình (2.75), ta nhận
2 1
1
1
N
1
2 1 ) 1 ( 1
) 1 (
2
N (2.131) i j hai nút cuả phần tử chiều bậc
Vậy hàm nội suy N
1 1
2
N (2.132) Nhiệt độ :
1 1 1 2
1
T T
T ,
tức là:
T N1T1N2T2 (2.133) Tọa độ: từ (2.131) rút ra:
12N1 1N1(1N2)N1N2, hay
(41)41 Đạo hàm hàm nội suy [B] theo biến x:
Từ (2.132) có
1 1 2
1
d dN
(2.135) Mặt khác theo đạo hàm hợp
J
dx dN d
dx dx dN d
dN
; với d
dx
J gọi Jacobian phép biến đổi tọa độ Từ suy
1 1
2 1
1
J
d dN J dx dN B
3 Phần tử đẳng tham số chiều bậc hai
Phần tử chiều bậc hai có ba nút, hàm nội suy theo phương trình (2.85) Tọa độ quy chiếu phần tử chiều bậc hai , với -1 1 Khi chuyển từ tọa độ quy chiếu sang tọa độ gốc, thay x = , gốc điểm đoạn thẳng, thay x1 = -1, x2 =0 x3 = vàophương trình (2.85)
được:
2 1 )
1
i
N
2
1 ) (
1 ) (
j
N
2 ) (
0 ) (
k
N (2.136) i, j k ba nút phần tử bậc hai
Để xác định ma trận độ cứng cần tính đạo hàm hàm nội suy tọa độ gốc x, tọa độ gốc x hàm tọa độ nút hàm nội suy
xxiNi xjNjxkNk (2.137) Đạo hàm N theo viết dạng hàm hợp qua x
d
dx dx dN d
dNi i
d
dx dx dN d
dNj j
(2.138)
d
dx dx dN d
dNk k
(42)42 với J
d dx
gọi Jacobian phép biến đổi tọa độ Từ suy
d dN J dx
dNi 1 i
d dN J dx
dNj 1 j
d dN J dx
dNk 1 k
(2.139) Theo (2.137) Jacobian phép biến đổi phần tử chiều bậc hai
i i j j k xk d dN x d dN x d dN d
dx J
i j xk
d d x d
d x d
d
J
1
2
J xi xj xk
2 )
2 (
1
(2.140) Đạo hàm hàm nội suy theo tọa độ gốc xác định theo phương trình sau:
d dN
d dN
d dN
J
dx dN dx dN dx dN
dx dN B
k j i
k j i
1
2
2
2 )
2 (
1
k j
i x x
x (2.141)
Thí dụ 2.5 Xác định đạo hàm hàm nội suy phần tử chiều bậc hai với nút có tọa độ gốc xi = 2, xj = xk =
(43)43 i i j j k xk
d dN x d dN x d dN d
dx J
2 8
6 2
Nghịch đảo Jacobian
2
1
J
Đạo hàm hàm nội suy
2 4 1
2 4 1
2 1
2 2 1 2 1
1
d dN
d dN
d dN
J
dx dN dx dN dx dN
B
k j i
k j i
(2.142)
4 Các phần tử hai chiều
Đối với phần tử hai chiều, biểu diễn tọa độ x y hàm
x = x(,) y = y(,) (2.143)
Để xác định ma trận độ cứng phần tử, cần biểu thị đạo hàm hàm nội suy tọa độ gốc x,y Đạo hàm hàm nội suy viết theo quy tắc hàm hợp sau
y
y N x x N y x
Ni i i
,
y
y N x x N y x
Ni i i
, (2.144) (2.144) viết dạng ma trận
y N x N
J
y N x N
y x
y x
N N
i i
i i
i i
(2.145)
(44)44
i i
i i
N N
J
y N x N
1
Ma trận Jacobian [J]
y x
y x
J (2.146)
Nghịch đảo ma trận Jacobian [J]-1 tính theo
x x
y y
J J
det 1
1
(2.147)
Các đạo hàm phải tính số điểm tích phân, nghiệm dạng xác chưa biết 5 Phép biến đổi đẳng tham số phần tử tam giác bậc
Khi chuyển đổi hệ tọa độ diện tích phần tử tam giác bậc (Li, i = 1, 2, 3) sang tọa độ quy
chiếu, biểu thị hàm nội suy trở nên đơn giản, chọn hệ tọa độ (; ) hình 2.15b, N1L1 1-
N2 L2 ;0 1
N3 L3 ;01 (2.148)
Hình 2.15 Phép biến đổi đẳng tham số phần tử tam giác đơn (a) Tổng thể; (b) Tuyến tính - cục bộ; (c) Bậc hai – cục
(45)45
Đối với tam giác bậc hai có sáu nút, tọa độ quy chiếu chọn hình 2.15c Các hàm nội suy góc
N1 = L1(2L1 – 1) = [2(1 - - ) –1](1 - - )
N3 = L2(2L2 – 1) = (2 - 1)
N5 = L3(2L3 – 1) = (2 - 1) (2.149)
Tại nút cạnh
N2 = 4L1L2 = 4(1 - - )
N4 = 4L2L3 = 4
N6 = 4L3L1 = 4(1 - - ) (2.150)
7 Phép biến đổi đẳng tham số phần tứ giác bậc hai
Đối với phần tử đẳng tham số tám nút, tọa độ quy chiếu chọn hình 2.16 Nhiệt độ T điểm phần tử xác định
8
1 i
i iT
N
T (2.151)
Hình 2.16 Phần tử đẳng tham số tám nút Các giá trị tọa độ x y điểm bên phần tử cho
i
i
i x
N
x( , ) ( , )
8
1
i
i
i y
N
y( , ) ( , )
8
1
(2.152) xi yi tọa độ nút ‘i’
Các hàm nội suy phần tử đẳng tham số quy chiếu 111
4
1
(46)46 1 1
2
1
2
N
1 1 1
4
3
N
2
4 1
2
N
1 1 1
4
5
N
1
2
1
6
N
1 1 1
2
7
N
2
8 1
2
N (2.153)
Các biến tọa độ cong hướng chúng thay đổi theo vị trí Các nút phần tử nhập vào theo trình tự ngược chiều kim đồng hồ góc Hướng
được xác định hình 2.16 dương theo chiều từ nút đến dương theo chiều từ nút đến 2.7 Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử phương trình vi phân dẫn nhiệt
Phương trình đặc trưng phần tử mối quan hệ hàm số cần tìm nút, tức nhiệt độ, phụ tải lực tương ứng dạng ma trận
K T f (2.154)
Để nhận phương trình ma trận trên, cần xấp xỉ tích phân phương trình vi phân biểu thị toán Tùy thuộc toán mà nhiệt độ biểu thị hàm số dạng phương trình vi phân khác
- Dạng tổng quát hàm nhiệt độ toán dẫn nhiêt phương trình vi phân dẫn nhiệt
x y z qV
z T k z y T k y x T k x T
- Bài toán dẫn nhiệt ổn định vật đồng chất đẳng hướng biểu thi 2 0
2 2 2
z T y
T x
T
(47)47 ( ) 0
2
hP T Ta dx
T d
kA (2.155) vv, với điều kiện biên tùy theo trường hợp cụ thể
Các phương trình gọi phương trình chủ đạo tốn Nghiệm xác tốn nhiều trường hợp khơng thể giải nên phải tìm nghiệm xấp xỉ
Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ tốn Sai phân hữu hạn phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dạng vi phân, xấp xỉ vi phân thành số gia, đạo hàm riêng xấp xỉ thành thương số gia phương trình vi phân xấp xỉ thành phương trình sai phân Cuối dẫn tới hệ phương trình bậc nhiệt độ
Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dạng tích phân, nghiệm kết việc lấy tích phân phương trình vi phân phần tử hữu hạn Nhưng lấy tích phân trực tiếp phương trình vi phân được, nên phải áp dụng số lý thuyết tốn học lý thuyết biến phân, tích phân hàm trọng số, tích phân phần, tích phân số phép tính ma trận để đưa phương trình vi phân chủ đạo dạng xấp xỉ (2.154) phần tử
Một số phương pháp áp dụng để xác định nghiệm xấp xỉ tích phân tốn cho Phương pháp Ritz (tích phân cân nhiệt)
2 Phương pháp Rayleigh Ritz (Biến phân) Phương pháp số dư trọng số
Phương pháp Tích phân cân nhiệt Biến phân gọi phương pháp xấp xỉ tích phân yếu, áp dụng với số toán định Phương pháp số dư trọng số gọi phương pháp xấp xỉ tích phân mạnh, áp dụng với hầu hết loại toán
Phương pháp số dư trọng số gồm có:
Phương pháp Collocation (đặt trước giá trị) Phương pháp Sub - domain (miền phụ) Phương pháp Galerkin
Phương pháp bình phương nhỏ
Trong phương pháp Phương pháp Biến phân Phương pháp Galerkin hai phương pháp quan trọng nhất, chúng có độ xác cao cho kết nhau, nên ưa chuộng sử dụng tính nhiệt
2.7.1 Phương pháp biến phân
Phương pháp biến phân áp dụng lý thuyết quan trọng phép tính biến phân phát biểu sau:
“Hàm T(x) nghiệm phương trình vi phân chủ đạo điều kiện biên giới, làm Tích phân biểu thức tương ứng với phương trình vi phân chủ đạo điều kiện biên tốn (gọi phương trình Euler – Lagrange) đạt cực trị”
(48)48
0
V z
y
x q
z T k z y T k y x T k
x (2.156)
Cùng với điều kiện biên
T = Tb mặt S1
0
q k z T k j y T k i x T
kx y z mặt S2
( )0
a z
y
x k hT T
z T k j y T k i x T
k mặt S3 (2.157)
ở i, j k pháp tuyến bề mặt, h hệ số tỏa nhiệt đối lưu, k hệ số dẫn nhiệt, q mật độ dòng nhiệt xạ
Phương trình Euler- Lagrange
Phương trình Euler- Lagrange phát triển Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange năm 1750 Đó cơng thức phép tính biến phân, sử dụng để giải toán tối ưu, kết hợp với nguyên lý hành vi để tính tốn đường vật thể khơng gian
Phương trình Euler- Lagrange phát biểu sau: “Nếu hàm I cho tích phân dạng
I f(t,y,y')dt (2.158) Thì I có giá trị khơng đổi, phương trình vi phân Euler- Lagrange sau thỏa mãn
0
'
y f dt
d y f
.” (2.160) Ở y’ đạo hàm y theo thời gian t:
dt dy
y' Nếu đạo hàm theo thời gian y’ thay đạo hàm tọa độ yx phương trình trở thành
0
x
y f dx
d y f
(2.161) Phương trình Euler- Lagrange tổng quát ba biến độc lập
0
z y
x u
f z u
f y u
f x u f
(49)49
I gọi phiếm hàm, biểu thức dạng tích phân, chứa hàm số chưa biết đạo hàm
Phiếm hàm I toán dẫn nhiệt
Bằng cách áp dụng phương trình Euler- Lagrange, xác đinh phiếm hàm I tương ứng với phương trình vi phân dẫn nhiệt với điều kiện biên
2
2
2
1
2 1 2
) (
S
a S
V z
y
x q T d qTds hT T ds
x T k x T k x T k T
I (2.163)
Nguyên tắc trình tự thiết lập phương trình đặc trưng
Chia miền xác định toán thành ‘n’ phần tử hữu hạn, phần tử có ‘m’ nút Nhiệt độ phần tử biểu thị
T NT N T
m
i i i e
1
(2.164) [N] = [N1, N2 , …, Nm ] ma trận hàm hình dạng,
m
T T T
T
2
(2.165)
là véc tơ nhiệt độ nút
Theo nguyên lý biến phân tìm nghiệm xấp xỉ xác định giá trị T để làm I(T) không thay đổi, nghĩa giá trị T thõa mãn biến phân phiếm hàm I triệt tiêu
( ) 0
1
n
i Ti
I T
I
(2.166)
ở n số giá trị rời rạc T gán miền nghiệm Do Ti tùy chọn, phương trình
(2.166) thỏa mãn 0
i
T I
với i = 1, 2,…, n (2.167)
Phiếm hàm I(T) viết tổng phiếm hàm riêng lẻ phần tử hình thành việc rời rạc hóa miền nghiệm
n
i
e e
T I T
I
1
(50)50
Như thay phải xác định phiếm hàm toàn miền nghiệm, ta cần xác định phiếm hàm phần tử riêng biệt Từ
1
n
i e
I
I
(2.169) Ie lấy m giá trị nút liên quan tới phần tử e, nghĩa
0
j e e
T I T I
với i = 1, 2,…, m (2.170)
Vì phần tử có m nút, nên việc giải phương trình (2.170) dẫn tới hệ m phương trình biểu thị đặc tính phần tử
Tiếp theo lắp ghép phần tử cách cộng tồn phương trình đặc trưng tất phần tử theo nguyên tắc định Cuối giải hệ phương trình
Thiết lập phương trình đặc trưng phần tử
Tính số hạng phiếm hàm
2
2
2
2
2 1 2
S
a e S
e e
V e
z e
y e
x e
ds T T h ds qT d
T q x
T k x T k x T k
I (2.171)
Ma trận gradient nhiệt độ :
B T
T T T
z N z
N z N
y N y
N y N
x N x
N x N
z T
y T
x T
g
m m m m
e e e
2
2
2
2
(2.172)
Ba số hạng đạo hàm đầu:
2
z T k y T k x T k
e z e y e
x
g D g
z T
y T
x T
k k k
z T y T x
T T
e e e
z y x e e e
0 0
0 0
0 0
(2.173)
(51)51 Nên
g T D g T T BT D B T (2.174) Nhiệt độ phần tử :
m m
m m e
T N T
N T N
T T T
N N N T N
T
, ,
, 1 1 2 2
1
2
1 (2.175)
thay (2.174) (2.175) vào phương trình (2.171), ta có
S e
a e
S V
T T e
ds T T N h ds
T N q d
T N q T B D B T I
3
2
2 2
1 2
2 1
(2.176) thực cực tiểu hóa tích phân
0
T Ie
2 0
1 2
1
3
2
e S
a e
S
V T
T e
ds T T N h T
ds T N q T
d T N q T d
T B D B T T T
I
(2.177)
Vế phải có số hạng dấu tích phân, đánh số (1),(2),(3),(4) Đạo hàm nhiệt độ phần tử theo nhiệt độ nút
T T N T
Te
tính theo (2.175) sau
1
1
N T Te
2
2
N T Te
…
r
r e
N T T
(52)52
T
m e
N N
N N N
T T
2
(2.178)
Tính riêng số hạng phương trình sau (1)
d T B D B d
T B D B T T
T T
T
2 2
1
(2.179) (2)
d N q d
T N q T
T V V
2
1
(2.180)
(3)
e S
T
e S
ds N q ds T N q
T 2 2 (2.181)
(4)
e S
a a e
S
a h N T N T T T ds
T ds T T N h
T 3
2
3
2
2 2
1 2
1
e S
a T
e S
T
ds T N h ds N T N h
3
(2.182) Thay kết vào (2.177)
0
3
2
e S
a T
e S
T
e S
T T
V T
e
ds T N h ds N T N h
ds N q d
N q d
T B D B T
I
Chuyển vế số hạng chứa nhiệt độ T sang vế trái, số hạng lại sang vế phải
S e
a T e
S
T T
V e
S
T T
ds T N h ds N q d
N q ds T N N h d
T B D B
3
3
(2.183) Và viết dạng gọn
K T f (2.184)
S3
T T
ds N N h d
B D B
(53)53
S3
T a S
T T
V N d q N ds hT N ds
q
f (2.186) [K] gọi ma trận độ cứng phần tử, phần tử bên [K] biểu thị nhiệt dẫn {f} gọi véc tơ phụ tải nhiệt, chứa số hạng nguồn trong, xạ đối lưu biên
(2.184) phương trình đặc trưng phần tử, viết cho phần tử tổng quát có đủ nguồn trong, xạ đối lưu biên giới Đó phương trình cốt lõi phương pháp biến phân phương pháp phần tử hữu hạn tốn dẫn nhiệt Nếu phần tử khơng có nguồn sinh nhiệt bên (qV = 0), số hạng
tương ứng khơng có mặt Tương tự, biên giới cách nhiệt (tức q = h = 0), số hạng tương ứng khơng có mặt
2.7.2 Phương pháp Galerkin
Phương pháp Galerkin phương pháp số dư trọng số Phương pháp yêu cầu biểu thức sau phải thỏa mãn:
0
d T L
k
(2.187)
ở k hàm trọng số chọn hàm nội suy Nk(x) nút, L T phương trình vi phân chủ
đạo, Tlà nghiệm xấp xỉ Điều nghĩa
0
d q z T k z y T k y x T k x
Nk x y z V (2.188)
Tích phân phần dùng để biến đổi đạo hàm cấp hai Khi sử dụng bổ đề Green viết số hạng đạo hàm cấp hai móc vuông thành hai thành phần
d T x N k x N ds x T k x N d
x T k x
N x k x m m
S k x
k (2.189)
ở m đặc trưng cho nút Với điều kiện biên giới (2.157), viết (2.189) thành
0
S
k a S
m m k
S k k
V m
m k x m k x m k x
dS N hT dS T N hN
qdS N d
N q d
T x N x N k x N x N k x N x N k
(2.190) Gộp hệ số nhiệt độ nút Tm lại với
S
m k m
k z m k y m k x
km d hN N ds
z N z N k y N y N k x N x N k
K (2.191)
(54)54
S
k a S
k k
V
k q N d qN ds hT N ds
f (2.192) dẫn tới
Kkm Tm fk (2.193)
Tức
K T f (2.194)
Có thể thấy hai phương trình (2.184) (2.194) nhau, nghĩa hai phương pháp Biến phân Galerkin cho kết có mặt tích phân biến phân kinh điển toán dẫn nhiệt
2.8 Giải toán dẫn nhiệt chiều phương pháp PTHH
1 Vách phẳng lớp
Khảo sát vách phẳng lớp dày l , hệ số dân nhiệt k , hình 2.17 Phía mặt trái có dịng nhiệt q, mặt phải tiếp xúc với mơi trường nhiệt độ Ta , hệ số toả nhiệt bề mặt phải h Coi nhiệt độ vách thay đổi
bậc nhất, xác định nhiệt độ hai mặt vách
Hình 2.17 Vách phẳng phần tử chiều tương ứng
Phần tử hữu hạn chọn chiều bậc nhất.Đó đoạn thẳng ký hiệu có hai nút ‘1’ ‘2’
a Ma trận độ cứng véc tơ phụ tải nhiệt
Nhiệt độ hai nút hàm nội suy tương ứng biết
T N1T2 N1T2 (2.195)
1
2
x x
x x N
1
1
x x
x x N
(2.196) + Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng phần tử theo (2.185) biết
(55)55 K B D Bd h N T N dA
As T
e (2.197)
Trong vi phân thể tích d = Adx, diện tích toả nhiệt AS = A diện tích dẫn nhiệt
- Tính số hạng đầu [K]e :
B D B d
K e1 T ,
ma trận [B], [D], [N] xác định sau Chọn tọa độ x1 0;x2 l, hàm nội suy :
l x N1 1
l x
N2 (2.198) [D] ma trận hệ số dẫn nhiệt : [D] = k
Đạo hàm hàm nội suy [B] : 11 1
l
B ; nên
1 1 1
l BT
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
2
l k l
k l B D
B T (2.199) Vậy số hạng đầu [K]e1
1 1
1 1 1
1 1 1 .
0
0 l
Ak Adx l
k dx A B D B d
B D
B x l l
x T T
(2.200)
- Tính số hạng sau [K]e : S T
As
e h N N dA
K 2
AS diện tích toả nhiệt mặt phải A Mặt khác toả nhiệt xảy nút nên [N] lấy nút ,
tức
N N1 2 N220 1 (2.201) Nên
0 1 00 10
1 0
hA dA h
dA N N h
A S T
As (2.202)
Vậy ma trận độ cứng phần tử
hA l Ak l
Ak
l Ak l
Ak
hA l
Ak K e
1 0
0 0 1
1 1 1
(2.203)
(56)56 Theo (2.186):
S3
T a S
T T
V N d q N ds hT N ds
q
f Trong đó:
- Nguồn nhiệt khơng có nên qV =
- Số hạng thứ 2, dòng nhiệt q mặt trái, tức nút i phần tử nên [N][(Ni)i (Nj)i]1 0
- Số hạng thứ 3, toả nhiệt mặt phải, tức nút j phần tử nên [N][(Ni)j(Nj)j]0 1
Vậy véc tơ phụ tải nhiệt {f}
A hT
qA A
hT qA
ds hT dA q ds N hT ds N q f
a a
A a A
S
T a S
T
1 0 0
1 1
0 0
1
3
(2.204)
b Phương trình đặc trưng phần tử
Phương trình đặc trưng K T f
A hT
qA T
T
hA l Ak l
Ak
l Ak l
Ak
a j
i
(2.205)
Ví dụ 2.6. Cho toán với số cụ thể sau: l = cm, k = 0,5 W/m0C, q = 100 W/m2, Ta = 40
C, h = 20 W/m2 0C; lấy A = 1m2 , thay số vào được:
800 100 32,50
12,50
-12,50 -12,50
j i
T T
Giải
45 53
2
T T
2 Vách phẳng nhiều lớp
Khảo sát vách phẳng có lớp, bề dày hệ số dẫn nhiệt lớp tương ứng l1, l2, l3 k1, k2, k3 Mặt
trái có dịng nhiệt q, mặt phải có mơi trường nhiệt độ Ta hệ số toả nhiệt h,hình 2.13
(57)57
Hình 2.18 Vách nhiều lớp cách rời rạc thành phần tử
a Phương trình đặc trưng phần tử
Từ kết lớp viết cho lớp sau - Phần tử - (lớp 1)
Ma trận nhiệt dẫn véc tơ phụ tải nhiệt
1 1
1 1
1
1
l A k l
A k
l A k l
A k
K ;
0
1
qA
f (2.206) Phương trình đặc trưng phần tử
0
2
1 1
1 1
1
qA T
T
l A k l
A k
l A k l
A k
- Phần tử - (lớp 2)
Ma trận nhiệt dẫn véc tơ phụ tải nhiệt
2 2
2
2 2
2
2
l A k l
A k
l A k l
A k
K ;
0 0
2
f
Phương trình đặc trưng phần tử
0 0
3
2 2
2
2 2
2
T T
l A k l
A k
l A k l
A k
(2.207)
1 2 3 4
l1 l2 l3 L
(58)58 - Phần tử - (lớp 3)
hA l
A k l
A k
l A k l
A k
K
3 3
3
3 3
3
3 ;
a
hAT
f 3 0 (2.208) Phương trình đặc trưng phần tử
a
hAT T
T
hA l
A k l
A k
l A k l
A k
0
4
3 3
3
3 3
3
(2.209)
b Lắp ghép phần tử
Việc lắp ghép phần tử thực theo nguyên tắc: cộng phương trình nút lại với Để thấy rõ, ta viết phương trình ma trận phần tử thành phương trình đại số nút sau:
Từ (2.205)
T qA l
A k T l
A k
2
1 1
1 (nút 1) (2.210)
2 0
1 1
1
T
l A k T l
A k
(nút 2) (2.211) Từ (2.206)
3 0
2 2
2 T
l A k T l
A k
(nút 2) (2.212)
2 2 2
T
l A k T l
A k
(nút 3) (2.213) Từ (2.207)
4 0
3 3
3 T
l A k T l
A k
(nút 3) (2.214) hA T hATa
l A k T l
A k
4
3 3
3 (nút 4) (2.215)
(59)59 - Nút 1: giữ nguyên (2.210): T qA
l A k T l
A k
2
1 1 1
- Nút 2: (2.211) + (2.212): 3 0
2 2 2 1 1
1
T
l A k T l
A k l
A k T l
A k
- Nút 3: (2.213) + (2.214) : 4 0
3 3 3 2 2
2
T
l A k T l
A k T l
A k T l
A k
- Nút 4: giữ nguyên (2.215): hA T hATa l
A k T l
A k
4
3 3 3
Để chuyển trở lại sang dạng ma trận, phương trình điền hệ số nhiệt độ khơng có mặt, kết có dạng ma trận tổng thể sau
a
hAT qA
T T T T
hA l
A k l
A k
l A k l
A k l
A k
l A k l
A k l
A k l
A k
l A k l
A k
0 0
0 0
0 0
0 0 0
4
3 3
3 3 2
2
2 2
2 1 1
1 1
1
(2.216)
2.9 Dẫn nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên
1 Giải phần tử bậc nhất
Khảo sát vách phẳng dày 2L, hệ số dẫn nhiệt k, nguồn qV, nhiệt độ hai mặt Tm
Trong chương ta biết phương trình vi phân tốn chiều ổn định có nguồn bên 2 0
2
k q dx
T
d V
(60)60
Nghiệm giải tích tốn hàm bậc toạ độ, hình 2.19
V L x Tm k
q x
T
2 )
( (2.218) Để khảo sát phương pháp PTHH, đối xứng, cần khảo sát nửa hình 2.20
Hình 2.19 Vách phẳng có nguồn
a Rời rạc miền nghiệm
Chia nửa thành phần tử, nút, phần tử dài l = L/8 Coi diện tích mặt cắt ngang truyền nhiệt A = m2
b Ma trận độ cứng Véc tơ phụ tải
Tính K evà f
- Ma trận độ cứng phần tử theo (2.185), khơng có toả nhiệt, nên cịn
Hình 2.20 Rời rạc phần tử nửa phẳng có nguồn
B D B d
K e T (2.219)
Hàm nội suy phần tử [N] đạo hàm hàm nội suy [B] hai tốn trước, nên có
1 1
1 1 l kA d
B D B
K e T (2.220) - Véc tơ phụ tải nhiệt theo (2.186), khơng có dịng nhiệt bề mặt toả nhiệt nên
d N q
f V T (2.221)
Khi tính véc tơ phụ tải phần tử ta lưu ý rằng, qV phân bố phần tử, nên hàm
nội suy nút lấy giá trị trung bình hai vị trí, tức
2 1 0 2
0 1 2
2
j j i j j i i i j
i
N N
N N
N N
N (2.222)
(61)61 1 1
2
N ;
1 1 2 1 T
N (2.223) 1 1 2 . 1 1 2 1 Al q dx A q d N q
f x l V
x V
T
V (2.224)
c Phương trình đặc trưng phần tử
Phương trình đặc trưng phần tử có K e f
2 2 1 1 2 1 1 1 1 Al q Al q T T l kA l kA l A k l kA Al q T T l kA V V j i i V j i (2.225)
d Phương trình ma trận tổng thể
Lắp ghép phần tử ma trận tổng thể hệ sau
2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 Al q Al q Al q Al q Al q Al q Al q Al q T T T T T l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA l kA V V V V V V V V (2.226)
Thí dụ 2.7. Vách phẳng đầu với số liệu cụ thể sau : 2L = 0,06(m); l = L/4 = 0,03/4 (m); k =12 (W/m0C) ; qV = 200000 W/m3 ; nhiệt độ hai mặt Tm =300C
Cho A = 1m2 ; Tính k/l = 1600 m2/W ; q*l/2 = 750 W/m
Nếu phần tử có phương trình ma trận đặc trưng tổng thể
(62)62
Tuy nhiên toán cho điều kiện biên bề mặt có nhiệt độ Tm =30 = T5 , nên phải áp đặt điều kiện biên
tại phần tử sau :
Phương trình ma trận phần tử
) 3 ( 750 .
1600 .
1600
) 3 ( 750 .
1600 .
1600 750
750 1600
1600
1600 1600
4
4
4
b T
T
a T
T T
T
(2.227) Phương trình ma trận phần tử cũ
) 4 ( 750 .
1600 .
1600
) 4 ( 750 .
1600 .
1600 750
750 1600
1600
1600 1600
5
5
5
b T
T
a T
T T
T
(2.228) để T5 = 30 (4b) phải : 0.T4 .T5 30 (4b)'
Khi ( 4a) : 1600.T4 1600.30750 (4a)'
Vậy phần tử có :
)' 4 ( 30
. . 0
)' 4 ( 48750 30
. 1600 750
. 0 . 1600
5
5
b T
T
a T
T
(2.229)
(4a)’ cộng với (3b) thuộc nút 4, (4b)’ đứng riêng thuộc nút Kết ma trận tổng thể giải nghiệm sau
30 48750 1500 1500 750
1 0
0
0 3200 1600
0
0 1600 3200
1600
0 1600 3200
1600
0 0
1600 1600
5
T T T T T
→ Giải
30,0000 32,8125 35,1563 36,5625 37,0313
5
T T T T T
(2.230)
So sánh với nghiệm giải tích Bảng 2.4
Phương pháp
PTHH Giải tích T1 37,0313 37,5000
T2 36,5625 37,0313
T3 35,1563 35,6250
T4 32,8125 33,2813
T5 30,0000 30,0000
2 Giải phần tử bậc hai
(63)63
T = NiTi + NjTj + NkTk (2.231)
Các hàm nội suy có phần trước : 2 2 l x l x
Ni ;
2 4 l x l x
Nj ;
2 2 l x l x
Nk (2.232) Đạo hàm hàm nội suy [B] xác định
l l x l x l l l x
B 42 82 42 (2.233)
a Ma trận độ cứng
Để tính ma trận độ cứng
B D Bd
K T , cần phải xác định tích số BT D B
Trong [D] = k; ý phép nhân ma trận sau: 1.3 2.4 11;
4 3 2
1
8 6 4 3 4 . 2 3 . 2 4 . 1 3 . 1 4 3 2 1 (2.234) Nên l l x l x l l l x l l x l x l l l x k B D
BT 4
1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 8 4 4 4 l l x l x l l l x l l x l l x l l x l x l l x l l l x l x l l l x l l x l x l l l x l l x (2.235)
+ Tính ma trận độ cứng
B D Bd
(64)64 x dx l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l x l Ak 16 32 16 12 16 32 16 64 64 16 24 32 12 16 12 16 24 12 32 16 24 16 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Sau lấy tích phân có:
l x l x l x l x x l x x l x l x l x x l x l x l x x x l x l x x l x l x x l x l x x l x l x l Ak K 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 16 32 24 16 16 32 24 64 64 16 12 32 40 16 16 12 32 40 24 16
Thay cận được:
14 16 16 32 16 16 14 16 32 12 16 32 12 64 32 16 12 32 20 16 12 32 20 12 16 l Ak l Ak K
Cuối có ma trận độ cứng phần tử bậc hai chiều
14 16 16 32 16 16 14 6l Ak
K (2.236)
b Véc tơ phụ tải
Theo (2.186) :
q N d
f V T , thay [N]T vào
Adx
l x l x l x l x l x l x q d N q
f V T V
2 2 2 4 (2.237)
(65)65 12 6 2 2 3 2 4 2 3 2 2 Al q l A q l l l l l l l A q l x l x l x l x l x l x x A q f V V V L V (2.238)
c Phương trình ma trận đặc trưng phần tử
1 4 1 6 14 16 2 16 32 16 2 16 14 6 Al q T T T l Ak V k j i (2.239)
Thí dụ 2.8. Giải lại với tốn với phần tử bậc hai Theo đề có L = 0,03 m; k =12 W/m0C ; q = 200000 W/m2 ;
+ Khảo sát phần tử chiều bậc hai
Phần tử có l = L = 0,03 m; A =1 m2 Tính số hạng : k/6.l = 12/(6.0.015) = 133,3333 ; qVl/6 = 200000.0.015/6 = 500 Thay vào phương trình đặc trưng phần tử
1 4 1 6 14 16 2 16 32 16 2 16 14 6 Al q T T T l Ak V k j i = 1 4 1 500 14 16 2 16 32 16 2 16 14 33 , 133 k j i T T T = 500 2000 500 T T T 1866,7 2133,3 266,7 2133,3 4266,7 2133,3 266,7 2133,3 1866,7
Áp đặt điều kiện biên: Do T3 =30, thay vào, hệ trở thành
. 30 36001 333,33 -T T 1 0 0 0 2133,4 1066,7 -0 1066,7 933,33 T
giải
30 38,9600 44,1701 T
+ Khảo sát phần tử chiều bậc hai
Mỗi phần tử có l = L/2 = 0,03/2 = 0,015 m; A =1 m2 Tính k/6.l = 66,6667; qVl/6 = 1000
(66)66 Phần tử
500 2000
500 T
T T 1866,7 2133,3
266,7
2133,3
4266,7 2133,3
266,7 2133,3
1866,7
3
Phần tử
500 2000
500 T
T T 1866,7 2133,3
266,7
2133,3
4266,7 2133,3
266,7 2133,3
1866,7
5
Lắp ghép
500 2000
500 500
2000 500
T T T T T
1866,7 2133,3
-266,7
0 0
2133,3
-4266,7 2133,3
-0
0
266,7 2133,3
-1866,7 1866,7
2133,3
-266,7
0 0
2133,3
-4266,7 2133,3
-0 0
266,7 2133,3
-1866,7
5
Áp đặt điều kiện biên T5 =30, hệ trở thành
30
65999 2133,3.30
2000
1000 2000 500
T T T T T
1
0
0
0 4266,7 2133,3
-0
266,7 2133,3
-4 , 3733 2133,3
-266,7
0
2133,3 -4266,7 2133,3
-0
266,7 2133,3
-1866,7
5
T=
30,0000 33,2705 35,6051 37,0070 37,4732
So sánh với nghiệm giải tích, phần tử bậc nhất, bậc hai phần tử hai phần tử sau Bảng 2.5
Nghiệm giải tích PTHH bậc (5 phần tử)
PTHH bậc hai phần tử phần tử T1 37,5000 37,0313 44,1701 37,4732
T2 37,0313 36,5625 37,0070
T3 35,6250 35,1563 38,9600 35,6051
T4 33,2813 32,8125 33,2705
T5 30,0000 30,0000 30,00 30,0000
(67)67
2.10 Dẫn nhiệt qua vách trụ
Xét vách trụ đường kính d1, ngồi d2 , hệ số dận nhiệt k, mặt có nhiệt độ Tm1, mặt ngồi toả
nhiệt mơi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta Khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn,
có thể coi thay đổi nhiệt độ tuyến tính
Chọn phần tử chiều bậc nhất, chiều dài phần tử bề dầy vách l = r2 – r1, hình 2.21
Hình 2.21 Vách trụ chọn phần tử chiều tương ứng Thể tích phần tử khảo sát = (r2
2
- r1
)1, vi phân thể tích d = 2rdr Như biến số độc lập vách trụ r thay cho x vách phẳng Nhiệt độ vách trụ tuân theo công thức phần tử chiều bậc nhất, nội suy qua nhiệt độ hai nút
T N1T1 N2T2 (2.240)
1 Hàm nội suy
Khi đặt r1 = 0; r2 = l , hàm nội suy [N] vách trụ giống vách phẳng
l r l r N
N
N 1 2 1 (2.241)
2 Đạo hàm hàm nội suy
Đạo hàm hàm nội suy [B] vách phẳng 11 1
l
B (2.242)
Toạ độ r biểu thị qua hàm nội suy r N1r1N2r2
3 Ma trận độ cứng
(68)68
As s
T T
dA N N h d
B D B
K (2.243) + Tính số hạng thứ nhất :
B D Bd
T
:
tích số BT D B phần tử chiều bậc nhất, ta biết
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
2
l k l
k l B D
B T
và với vách trụ l2 = (r2 – r1)
; nên
2
1 2
1 2
2
2 1
1
1
1
2 r
r r
ri
T r
r r
k rdr
l k d
B D
B
Sau thay cận có
1 1
1 1 2 2 r1 r2
l k d
B D
BT (2.244) - Tính số hạng thứ hai :
As s
T
dA N N
h :
Diện tích toả nhiệt mặt vách trụ AS = 2r21 Toả nhiệt nút tính (2.202), nên có
0 1 2 00 10
1 0
2h
r dA h
dA N N h
A S T
As (2.245)
Vậy ma trận độ cứng [K]
1 0
0 0 . 2 1 1
1 1 2 2
2
1 r r h
r l
k
K (2.246)
Véc tơ phụ tải nhiệt
Do toả nhiệt mặt ngồi diện tích AS = 2r21, nên
1 0 . 2 r2 hT dA N hT
f a
As S
T
a
5 Phương trình đặc trưng phần tử
(69)69
1 0 . 2 1
0 0 0 . 2 1 1
1 1 2 2
2
1
2
1 hT r
T T h
r r
r l
k
a
(2.247)
Thí dụ 2.9 Tính nhiệt độ mặt ngồi phân bố nhiệt độ vách trụ với số liệu sau: r1 = 40 cm, r0 = r2 = 60 cm, k = 10W/m
0
C, Tm1 =100
C, h = 10W/m2 0C, Ta = 30
C
+ Khảo sát sơ đồ phần tử
Chiều dài phần tử l = r2 – r1 = 60 – 40 = 20 cm Ma trận độ cứng véc tơ tải sau
62 50
50 50
1 0
0 0 10 . 6 , 0 . 2 1 1
1 1 2
) 4 , 0 6 , 0 ( . 2 , 0
10 . 2
1 0
0 0 . 2 1 1
1 1 2
) ( 2
2
1
h r r
r l
k K e
360 0 1
0 6 , 0 . 2 . 30 . 10 1 0 .
2 r0
hT
f a Phương trình ma trận đặc trưng phần tử
360 0 62
50 50 50
2
T T
(2.248) Áp đặt điều kiện biên : T1 = 100
0
C có
100 . 50 360
100 62
0 0 1
2
T T
T2 = 86,45
C lớn so với nghiệm xác 86,300C
+ Khảo sát sơ đồ hai phần tử bậc
Khi coi bề dày vách trụ gồm hai phần tử, sơ đồ có ba nút:1, và3 Chiều dài phần tử là: l = (r2 – r1)/2 = (60 – 40)/2 = 10 cm, ba nút tương ứng với toạ độ là: r1 = 40 cm, r2 = 50 cm
r3 = 60 cm
+ Phần tử 1: Phần tử có hai nút 2, khơng có đối lưu
- Ma trận độ cứng
90 90
90 90
1 1
1 1 2
5 , 0 4 , 0 1 . 0
10 . 2 1 1
1 1 2 .
2 1 2
1
r r
(70)70 - Véc tơ tải
0 0 f
- Phương trình ma trận đặc trưng :
0 0 90 90 90 90 T T
+ Phần tử 2: Phần tử có hai nút 3, có đối lưu nút - Ma trận độ cứng :
122 110 110 110 1 0 0 0 10 . 6 , 0 . 2 1 1 1 1 2 ) 6 , 0 5 , 0 ( . 1 , 0 10 . 2 1 0 0 0 . 2 1 1 1 1 2 ) ( 2 2 h r r r l k K
- Véc tơ tải 360 0 1 0 6 , 0 . 2 . 30 . 10 1 0 . 2 3
2 hT r
f a
- Phương trình ma trận đặc trưng:
360 0 122 110 110 110 T T
+ Lắp ráp phương trình đặc trưng tổng thể :
360 0 0 122 110 0 110 110 90 90 0 90 90 T T T (2.249)
Hay gọn lại
360 0 0 122 110 0 110 200 90 0 90 90 T T T (2.250)
Áp đặt điều kiện biên : T1 = 100 C, nên 360 100 . 90 0 100 122 110 0 110 200 0 0 0 1 T T T
giải
(71)71
2.11 Dẫn nhiệt qua trụ có nguồn
Xét trụ đường kính d1, d2 , hệ số dận nhiệt k, mặt có nhiệt độ Tm1, mặt ngồi toả
nhiệt môi trường hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, bên vách có nguồn qV
1 Ma trận độ cứng
Khi phần tử có nguồn bên trong, phương trình ma trận độ cứng (2.220) không thay đổi
1 0
0 0 . 2 1 1
1 1 2 2
0h
r r
r l
k
K i j (2.252)
2 Véc tơ phụ tải nhiệt
Véc tơ phụ tải, số hạng đối lưu có thêm số hạng nguồn
r
T
V N rdr
q 2. , nên
r
T V
As S
T
a N dA q N rdr
hT
f 2. (2.253) - Số hạng đối lưu biết
hT N dA hTa2 .r2 10
As S
T
a
- Tính số hạng nguồn ký hiệu f qV
r
T V
qV q N rdr
f 2. (2.254) Biến số độc lập r tọa độ trụ biểu thị
r Niri N jrj (2.255) Trong Ni Nj hàm nội suy:
l x N l x
Ni 1 ; j (2.256) thay (2.229) vào (2.228)
r j i i j j
j j i i i V r
j j i i j i V
qV dr
r N r N N
r N N r N q dr
r N r N N N q
f 2
2
2 )
.(
2 (2.257)
Để tính biểu thức trên, cần áp dụng cơng thức tích phân :
)! 1 (
! !
N N dl a abb
l b j a
(72)72
Với Ni;Nj hàm nội suy toạ độ khu vực; a, b số mũ Các số hạng
6 1 )! 1 1 1 (
! 1 ! 1
1
lNiNjdl (2 0 1)! 3
! 0 ! 2
2 l
dl N
l i
(2.259) Thực tích phân số hạng nguồn (2.257)
j i
j i V rj
ri j i
j i V rj
ri j i
j i V qV
r r
r r l q r
r r
r r q
r r r r
r r r r q f
2 2 6 2 . 2 2 6 2 3
6 6 3 .
2 (2.260)
Vậy véc tơ lực phân tố
j i
j i V a
r
T V
As S
T a
r r
r r l q r
hT rdr N
q dA N hT f
2
2 2 (2.261)
3 Phương trình ma trận đặc trưng
Phương trình ma trận đặc trưng phân tố đối vách trụ có nguồn
j i
j i V a
j i j
i
r r
r r l q r
hT T
T h
r r
r l
k
2
0 0 1
1 2
2
(2.262)
Thí dụ 2.10. Xác định nhiệt độ trụ dài bán kính 25 mm, có nguồn nhiệt thể tích 35,3MW/m3, hệ số dẫn nhiệt 21W/m0C Mặt ngồi tiếp xúc với chất lỏng nhiệt độ 200C, hệ số tỏa nhiệt 4000W/m2 0C
Chúng ta chia nửa miền khảo sát bán kính thành phần tử, phần tử dài 6,25 mm hình 2.22
Hình 2.22 Rời rạc phần tử hữu hạn trụ dài vô hạn Toạ độ nút r1 = 0; r2 = 0,00625; r3 = 0,0125 ; r4 = 0,01875; r5 = 0,025
+ Ma trận độ cứng phần tử:
- Các phần tử 1, 2, khơng có đối lưu nên có cơng thức chung
5
Ta = 200C Tâm trụ Mặt
(73)73 1 1 1 1 2 2 ri rj
l k
K (2.263) với l rj ri
, 10 , 10 , 10 , 10 1 1 00625 , 00625 , 21 1 1 00625 , 21
2
1
r r
K , 31 , 31 , 31 , 31 1 1 0125 , 00625 , 00625 , 21 1 1 00625 , 21
2
2
r r
K , 52 , 52 , 52 , 52 1 1 01875 , 0125 , 00625 , 21 1 1 00625 , 21
2
3
r r
K
- Phần tử có đối lưu,nên ma trận độ cứng :
1 0 0 0 . 2 1 1 1 1 2 2 0h r r r l k
K i j (2.264)
100 0 0 0 2 5 , 73 5 , 73 5 , 73 5 , 73 2 1 0 0 0 4000 . 025 , 0 . 2 1 1 1 1 2 025 , 0 01875 , 0 00625 , 0 21 . 2 1 0 0 0 . 2 1 1 1 1 2 00625 , 0 21 . 2 5 4 h r r r K
- Véc tơ lực phần tử 1, 2, khơng có đối lưu, phần tử có đối lưu j i j i V r r r r l q f 2 2 6 . 2 (2.265)
+ Véc tơ phụ tải nhiệt phần tử
- Véc tơ phụ tải phần tử 1, khơng có thành phần đối lưu
(74)74 54 , 1838 27 , 1608 2 01875 , 0 . 2 0125 , 0 01875 , 0 0125 , 0 . 2 00625 , 0 6 35300000 . 2 2 2 6 . 2 4 3 r r r r l q f V
- Véc tơ lực phần tử có thành phần đối lưu
1 0 . 2 . 2 2 6 . 2 5
4 hT r
r r r r l q ds N hT d N q
f V a
S T a T V (2.266) 1 0 025 , 0 . 20 . 4000 . 2 025 , 0 . 2 01875 , 0 025 , 0 01875 , 0 . 2 00625 , 0 6 35300000 . 2 00 , 4528 18 , 2298 2 0 , 2000 0 2 00 , 2528 18 , 2298
2
+ Lắp ghép phần tử
00 , 4528 18 , 2298 54 , 1838 27 , 1608 09 , 1149 27 , 919 64 , 459 82 , 229 100 5 , 73 5 , 73 0 0 0 5 , 73 5 , 73 5 , 52 5 , 52 0 0 0 5 , 52 5 , 52 5 , 31 5 , 31 0 0 0 5 , 31 5 , 31 5 , 10 5 , 10 0 0 0 5 , 10 5 , 10 T T T T T Tức 00 , 4528 72 , 4136 81 , 2757 9 , 1378 82 , 229 5 , 173 5 , 73 0 0 0 5 , 73 0 , 126 5 , 52 0 0 0 5 , 52 84 5 , 31 0 0 0 5 , 31 0 , 42 5 , 10 0 0 0 5 , 10 5 , 10 T T T T T 130,3081 245,9926 329,1562 380,2270 402,1146 T T T T T (2.267)
So sánh với nghiệm giải tích bảng 2.7 sau Bảng 2.6 So sánh kết tính nhiệt độ
PTHH (0C) Chính xác (0C) T1 402,1146 392,26
T2 380,2270 376,54
T3 329,1562 327,29
T4 245,9926 245,22
(75)75
2.12 Dẫn nhiệt qua cánh tiết diện thay đổi
Khảo sát phần tử cánh điển hình, vị trí i j có bề dày divà dj diện tích Aivà Aj, chu vi Pi j
P hình 2.23
Hình 2.23 Cánh mỏng dần vị trí i j Từ hình vẽ có diện tích tiết diện cánh chu vi i,j :
Ai bdi;Aj bdj; Pi 2(bdi);Pj 2(bdj) (2.268) Vì A thay đổi theo bậc theo x
L x A L x A x L
A A A
A i i j i(1 ) j nên biểu thị theo hàm nội suy
ANiAi NjAj (2.269) L chiều dài phần tử Bằng cách tương tự chu vi biến đổi thành
PNiPi NjPj (2.270)
1 Ma trận độ cứng
Từ định nghĩa
S T T
dS N N h d
B D B
K (2.271) S thể tích diện tích bao quanh miền khảo sát, nên:
l x
x
Adx d
0
l x
x S
Pdx dS
0
- Tính số hạng đầu:
B D B d
T
x dx
l A A A l
k d
B D
BT l i i j
1 1
(76)76 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 j i j i i A A l k l l A A l A l k Vậy
B D Bd
T 1
1 Ai Aj
l
k (2.272)
- Tính số hạng sau:
A T dA N N h
N P N Pdx
N N N N N N h Pdx N N N N h dA N N
h i i j j
l j j i j i i l j i j i A T 2
N P N P N N P N P dx
N N P N P N N N P N P N N h l j j i i j j j i i j i j j i i j i j j i i i 2 dx P N N P N P N N P N N P N N P N N P N N P N h l j j i i j j j i i j i j j i i j i j j i i i
0 2
2 2 ) ( ) ( ) ( ) (
áp dụng cơng thức tích phân (2.113):
)! 1 ( ! !
N N dl a abb
l b j a
i , với hai số hạng
l l
dx N N l l dx N l j i l i 24 ! ! ! ; 24 ! ! ! (2.273) j i j i j i j i i j j i j i j i l j i j i P P P P P P P P hl P P P P P P P P hl Pdx N N N N h 3 12 12 12 12 12 (2.274)
- Vậy ma trận độ cứng:
j i j i j i j i j i P P P P P P P P hl A A l k K 3 3 12 1 1 1 1
2 (2.275)
2 Véc tơ phụ tải
(77)77
A
T a A
T
l
T
V N Adx q N dA hT N dA
q
f (2.276)
qV mật độ nguồn thể tích, q mật độ dịng nhiệt bề mặt, h hệ số tỏa nhiệt bệ mặt, Ta nhiệt độ môi trường
bao quanh; Adx = d , dA = Pdx Xác định số hạng sau
- Số hạng nguồn :
l i j i j j
j j i i i V l
j j i i j i V l
T
V dx
A N A N N
A N N A N q dx A N A N N
N q Adx N
q 2
2
) (
j i
j i V j i
j i
V A A
A A l q A A
A A l q
2 6
6
3 (2.277)
- Số hạng dòng nhiệt xạ :
l i j i j j
j j i i i l
j j i i j i
l j
i
A T
dx P N P N N
P N N P N q dx P N P N N N q Pdx N N q dA N
q 2
2
) (
j i
j i j
i j i
P P
P P ql P P
P P ql
2 6
6
3 (2.278)
- Số hạng đối lưu bề mặt xung quanh A:
j i
j i a l
T a A
T
a P P
P P l hT Pdx N hT dA N hT
2 2
6 (2.279)
- Nếu mặt cuối cánh có diện tích An, , phần tử cuối có toả nhiệt biểu thị
10
0
0 a n
A
T
a N dA hT A
hT (2.280) Vậy véc tơ phụ tải nhiệt phân tố :
1 0 2
2 6 2
2 6 2
2
6 i j a n
j i a j
i j i j
i j i
V hT A
P P
P P l hT P
P P P ql A A
A A l q
f (2.281)
(78)78 3 Phương trình đặc trưng phần tử
Phương trình đặc trưng phần tử ijđối với cánh có thiết diện thay đổi
1 0 2
2 6 2
2 6 2
2 6
3 3
12 1 1
1 1 2
n a j
i j i a j
i j i j
i j i V
j i j i j i
j i j i j
i
A hT P P
P P l hT P
P P P ql A A
A A l q
T T P P P P
P P P P hl A
A l k
(2.282)
Thí dụ 2.11 Khảo sát cánh phẳng bề dày nhỏ dần từ gốc dày mm đến đỉnh dày mm, hình 2.19 Đỉnh nhiệt môi trường, hệ số tỏa nhiệt, h = 120W/m2 0C , nhiệt độ môi trường Ta = 25
0
C Xác định phân bố nhiệt độ gốc giữ nhiệt độ 1000C Chiều dài tổng cánh L = 20 mm, chiều rộng cánh b = mm Hệ số dẫn nhiệt vật liệu 200W/m0C
Chia miền khảo sát thành hai phần tử chiều dài 10 mm hình 2.24
Hình 2.24 Rời rạc phần tử hữu hạn Từ số liệu có
A1 = bd1 = 0,003.0,002 = 6,0.10-6 ; P1 = 2(b+d1) = 2(0,003+0,002) = 0,01
A2 = bd2 = 0,003.0,0015 = 4,5.10-6; P2 = 2(b+d2) = 2(0,003+0,0015) = 0,009
A3 = bd3 = 0,003.0,001 = 3,0.10-6 ; P3 = 2(b+d3) = 2(0,003+0,001) = 0,008
A4 = bd3 = 3,0.10 -6
+ Ma trận độ cứng phần tử
- Phần tử 1:
2
2 2
1
3 3
12 1 2
1 1
2 P P P P
P P P P hl A
A l k K
009 , 0 . 3 01 , 0 009 , 0 01 , 0
009 , 0 01 , 0 009 , 0 01 , 0 . 3 12
01 , 0 . 120 1
2 1 1 2
10 5 , 4 6 01 , 0
200
0,1086 0,1031
-0,1031
0,1089 0,0037
0,019
0,019 0039
, 0 105 , 0 105 , 0
105 , 0 105 , 0
- Phần tử 2:
T1 T2 T3
(79)79 0,0783 0,0733 -0,0733 0,0785 3 3 12 1 2 1 1
2 2 3 2 3
3 3 2 P P P P P P P P hl A A l k K
+ Véc tơ phụ tải
- Phần tử 1:
0,1400 0,1450 009 , 0 . 2 01 , 0 009 , 0 01 , 0 . 2 6 01 . 0 . 25 . 120 2 2
6 1 2
2 1 P P P P l hT f a
- Phần tử 2:
0,1340 0,1300 10 01 , 25 120 008 , 009 , 008 , 009 , 01 , 25 120 2 6 3
2 hT A
P P P P l hT
f a a
- Lắp ghép phần tử
0,1340 0,1340) (0,1400 0,1450 0,0783 0,0733 -0 0,0733 -0,0785) (0,1086 0,1031 -0 0,1031 -0,1089 T T T
Phương trình đặc trưng tổng thể (chưa kể điều kiện biên)
134 , 0 270 , 0 1450 , 0 0,0783 0,0733 -0 0,0733 -0,1871 1031 , 0 0 1031 , 0 1089 , 0 T T T
- Áp đặt điều kiện biên T1 =100
C , phải thay đổi sau Dòng : T1 = 100;
Dòng : 0T1 + 0,1871T2 – 0,0733.T3 = 0,270 + 0,1031100
- Phương trình đặc trưng tổng thể.
Sau thay thế, phương trình đặc trưng tổng thể trở thành
134 , 0 45 , 10 0 , 100 0,0783 0,0733 -0 0,0733 -0,1871 0 0 0 1 T T T
giải :
(80)80
2.13 Dân nhiệt ổn định hai chiều dùng phần tử tam giác
Khảo sát toán dẫn nhiệt hai chiều phần tử tam giác 3, có diện tích tam giác A, bề dày
thể hình 2.25 Để tốn mang tính tiêu biểu, nghĩa có đủ thành phần phụ tải nhiệt, ta cho mặt bên ứng với cạnh 12 có dịng nhiệt q, mặt bên phải ứng với cạnh 23 có toả nhiệt với mơi trường tam giác có nguồn nhiệt phân bố qV Mặt bên trái ứng với cạnh 31 cách
nhiệt
Hình 2.25 Phần tử tam giác tiêu biểu Phương trình đặc trưng cần xác định
K T f (2.283) Trong ma trận độ cứng phần tử
2
2 S
T T
dS N N h d
B D B
K (2.284) véc tơ phụ tải
2
1 S
T a S
T T
V N d q N dS hT N dS
q
f (2.285) Trong công thức :
d = dA với A diện tích tam giác, bề dày ;
dS1 = dl12 với S12 l12 diện tích chiều dài cạnh 12 mặt bên có dịng nhiệt q ;
dS2 = dl23 với S23 l23 diện tích chiều dài cạnh 23 mặt bên có dịng nhiệt đối lưu ;
1 Ma trận độ cứng
Phân bố nhiệt độ phần tử tam giác viết theo nhiệt đọ nút
T N1T1N2T2 N3T3 (2.286)
Các hàm nội suy
a bx c y
A
N1 1 1 1
2 1
(81)81
a b x c y
A
N2 2 2 2
2
(2.287) a b x c y
A
N3 3 3 3
2 Với
a1 x2y3- x3y2; b1 y2- y3 ; c1 x3- x2
a2 x3y1 - x1y3 ; b2 y3 - y1 ; c2 x1 - x3 (2.288) a3 x1y2 - x2y1 ; b3 y1- y2 ; c3 x2 - x1
số
Đạo hàm hàm nội suy
3 3 2 c c c b b b A y N y N y N x N x N x N
B (2.289)
- Tính B D Bd B D B dA
A T T
Trường hợp tổng quát vật liệu khơng đẳng hướng hệ số dẫn nhiệt [D]: y x k k D 0 0 (2.290) 3 3 2 1 2 1 0 0 2 1 0 0 c c c b b b A k k c b c b c b A k k B D B y x y x T 3 3 3 3 3 2 2 2 3 2 1 1 3 3 2 1 4 c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b c k c b k b A c k c k c k b k b k b k c b c b c b A y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x 3 3 3 3 2 2 2 3 2 2 4 1 c k b k c c k b b k c c k b b k c c k b b k c k b k c c k b b k c c k b b k c c k b b k c k b k A y x y x y x y x y x y x y x y x y x (2.291) 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 4 c c c c c c c c c c c c c c c k b b b b b b b b b b b b b b b k A dA B D
B x y
A
T
(82)82 - Tính 3
2
2 h N N dl
dS N N
h T
S T
2 3
3 2 2
3 2
2
N N N N N
N N N
N N
N N N N N N
N N N N N N
N T (2.293)
Tại cạnh 23 có N1 = 0, cịn N2 N3 thay đổi biết phần trước, bảng
Bảng 2.7
Nút Nút Nút
1
N 0
2
N
3
N 0
Bởi
2
2 3
3 2 2
2 .
0 0
0 0
0
dl N
N N
N N N h
dS N N h
S T
(2.294)
áp dụng cơng thức tích phân (2.113):
)! 1 (
! !
N N dl a abb
l b j a
i với số hạng
l l
dx N N
l l dx
N dx N
l
l l
6 ! 1
! !
; !
! !
3
2
2
(2.295)
Nên
2 1 0
1 2 0
0 0 0 6
.23
2
2
l h dS N N h
S
T
(2.296)
Vậy ma trận độ cứng
2 1 0
1 2 0
0 0 0 6
. 4
23
3 3
3 2 2
3 2
2 3
3 2 2
3 2
1 h l
c c c c c
c c c c c
c c c c c k b b b b b
b b b b b
b b b b b k A
(83)83 Chỉ số e phương trình biểu thị phần tử đơn
2 Véc tơ phụ tải nhiệt Cơng thức tính chung :
2
1
S
T a S
T T
V N d qN dS hT N dS
q
f (2.298)
- Số hạng nguồn trong
A
V T
V dA
N N N q d N
q
3
Do nguồn phân bố tam giác nên
3 0 3
1
3 1 1
1 N N N N
N
3 1 3
1
3 2 2
2 N N N N
N
3 1 0 3
1
3 3 3
3 N N N N
N
Vậy:
1
1 1 3 1
1 1 3
A q dA q
d N
q V
A V T
V
(2.299)
- Số hạng dòng nhiệt tại cạnh 12
2
1
1
1 .dl
N N N q dS
N q
S T
Trên cạnh 12 có N3 = 0; cịn N1 N2 thay đổi 1, nên áp dụng công thức tích phân
)! 1 (
! !
L L dl a abb
l b
j a
i N1 N2 có
2 1 )! 1 0 1 (
! 0 ! 1
0
l j i l
j l
idl N dl N N dl
N
Vậy:
0 1 1 3
.12
1
1
l q dS N q
S
T
(84)84 - Số hạng toả nhiệt trên cạnh 23
2
3
2
2 .dl
N N N hT dS
N
hT a
S
T
a
Cũng tương tự trên, N1 = 23, cịn N2 N3 tính theo tích phân số, nên có
1 1 0 2
a S
T a
T h dS N
hT (2.301) Véc tơ phụ tải nhiệt
1 1 0 2
. 0
1 1 2
. 1
1 1 3
13 12 hT l
l q GA
f a
e
(2.302)
3 Phương trình đặc trưng phần tử tam giác
1 1 0 2
. 0
1 1 2
. 1
1 1 3
2 1 0
1 2 0
0 0 0 6
. 4
13 12
3 23
2 3
3 2 2
3 2
2 3
3 2 2
3 2
l hT l
q A
q
T T T l
h
c c c c c
c c c c c
c c c c c k b b b b b
b b b b b
b b b b b k A
a V
y x
(2.303)
Nếu nguồn nhiệt không phân bố miền , mà tập trung điểm có toạ độ (x0, y0) gọi
“nguồn điểm” q* số hạng nguồn thứ vế phải
1 1 1 3
A qV
thay
) , (
3 *
y x
N N N A q
, với [N] tính (x0, y0) (2.304)
Nguồn điểm q* có đơn vị (W/m) phân bố theo bề dày tam giác
Thí dụ 2.12. Hình vng phẳng có bề dày 1m, kích thước 10 cm hình 2.22 Tại cạnh đỉnh có nhiệt độ 5000C, ba cạnh cịn lại có nhiệt độ 1000C Biết hệ số dẫn nhiệt vật liệu không đổi k = 10W/m 0C Sử dụng phần tử tam giác bậc để xác định phân bố nhiệt độ hình
(85)85
Miền vuông chia thành phần tử tam giác bậc có kích thước hình 2.26
Hình 2.26 Rời rạc phần tử hình vng
Từ (2.288) có nhận xét rằng, đại lượng bi, ci ma trận hiệu tọa độ nút tam giác,
hiệu khơng phụ thuộc vào vị trí tam giác miền Nói cách khác hai tam giác có hướng [K] Như có hai dạng ma trận độ cứng phần tử theo định hướng tam giác Các phần tử 1,3,5 có ma trận độ cứng [K]1 , phần tử 2,4,6 có
ma trận độ cứng [K]2 Nghĩa toán cần xác định hai ma trận [K]1 [K]2
đủ Tuy nhiên xác định tất ma trận phần tử nhằm trình bày giải thích cách tính tổng qt, sau dùng cho tốn khác
Để dễ dàng thực tính tốn, lập bảng thể quan hệ số phần tử , số nút, thứ tự nút tọa độ chúng Lấy gốc tọa độ nút 1, nút khác có tọa độ sau, bảng 2.8
Bảng 2.8 Tọa độ nút
Nút
Tọa độ (m)
x 0,5 0,5 0,5
y 0 0,5 0,5 0,5 1
Bảng 2.9 Số nút phần tử, thứ tự nút (còn gọi bậc tự do) tọa độ nút
Phần tử
Thứ tự nút
1 3 3 3 3 Nút số 5 5 8 Tọa
độ
x 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 y 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 0,5 1 Công thức chung (chỉ số theo thứ tự nút phần tử)
b1 = y2 – y3 b2 = y3 – y1 b3 = y1 – y2
c1 = x3 – x2 c2 = x1 – x3 c3 = x2 – x1
Tính hệ số b1,b1, c1, c2 phần tử
Phần tử b1 = y2 – y4 = – 0,5 = - 0,5 b2 = y4 – y1 = 0,5 – = 0,5 b3 = y1 – y2 = – =
c1 = x4 – y2 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x1 – x4 = – = c3 = x2 – x1 = 0,5 – = 0,5
Phần tử b1 = y3 – y5 = – 0,5 = - 0,5 b2 = y5 – y2 = 0,5 – = 0,5 b3 = y2 – y3 = – =
c1 = x5 – y3 = 0,5 – = - 0,5 c2 = x2 – x5 = 0,5 – 0,5 = c3 = x3 – x2 = - 0,5 = 0,5 1
7
(86)86
Phần tử b1 = y5 – y7 = 0,5 – = - 0,5 b2 = y7 – y4 = - 0,5 = 0,5 b3 = y4 – y5 = 0,5 – 0,5 =
c1 = x7 – y5 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x4 – x7 = – = c3 = x5 – x4 = 0,5 – = 0,5
Phần tử b1 = y6 – y8 = 0,5 – = - 0,5 b2 = y8 - y5 = - 0,5 = 0,5 b3 = y5 – y6 = 0,5 – 0,5 =
c1 = x8 – y6 = 0,5 – = - 0,5 c2 = x5 - x8 = 0,5 - 0,5 = c3 = x6 – x5 = - 0,5 = 0,5
Phần tử b1 = y5 – y4 = 0,5 – 0,5 = b2 = y4 – y2 = 0,5 – = 0,5 b3 = y2 – y5 = – 0,5 = - 0,5
c1 = x4 – y5 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x2 – x4 = 0,5 – = 0,5 c3 = x5 – x2 = 0,5 – 0,5 =
Phần tử b1 = y6 – y5 = 0,5 – 0,5 = b2 = y5 – y3 = 0,5 – = 0,5 b3 = y3 – y6 = – 0,5 = - 0,5
c1 = x5 – x6 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x3 – x5 = - 0,5 = 0,5 c3 = x3 – x6 = - =
Phần tử b1 = y8 – y7 = – = b2 = y7 – y5 = - 0,5 = 0,5 b3 = y5 – y8 = 0,5 - = - 0,5
c1 = x7 – y8 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x5 – x7 = 0,5 – = 0,5 c3 = x8 – x5 = 0,5 – 0,5 =
Phần tử b1 = y9 – y8 = - = b2 = y8 – y6 = - 0,5 = 0,5 b3 = y6 – y9 = 0,5 - = - 0,5
c1 = x8 – y9 = 0,5 – = - 0,5 c2 = x6 – x8 = - 0,5 = 0,5 c3 = x9 – x6 = – =
Thấy rõ ràng phần tử 1, 3, 5, có b1,b1, c1, c2 phần tử 2, 4, 6, vậy, có
b1,b2, c1, c2
2 Ma trận độ cứng phần tử
Tính ma trận độ cứng [K]1 [K]2 , với =1, kx = ky có
2 3
3 2 2
3 2
2 3
3 2 2
3 2
4
c c c c c
c c c c c
c c c c c
b b b b b
b b b b b
b b b b b
A k
K e (2.305)
Tính diện tích tam giác A = D/2
0,25
5 , 0 0 1
0 5 , 0 1
0 0 1 1
1 1
3
2
1
y x
y x
y x
D Vậy A = 0,25/2 2.306)
Tính [K]1
Các số hạng móc vng
0 0
0 1
0 1 25 , 0
0 , 0
,
0 ,
,
,
0 , ,
,
2
2
2 3
3 2 2
3 2
b b b b b
b b b b b
(87)87 1 0 1 0 0 0 1 0 1 25 , 0 5 , 0 5 , 0 . 0 5 , 0 . 5 , 0 5 , 0 . 0 0 0 . 5 , 0 5 , 0 . 5 , 0 0 . 5 , 0 5 , 0 2 2 3 3 2 2 2 c c c c c c c c c c c c c c c Vậy 1 1 1 1 1 1 2 25 , 25 , 10 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 1 c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b b b b b b A k K Tính [K]2
Phần tử b1 = y5 – y4 = 0,5 – 0,5 = b2 = y4 – y2 = 0,5 – = 0,5 b3 = y2 – y5 = – 0,5 = - 0,5
c1 = x4 – y5 = – 0,5 = - 0,5 c2 = x2 – x4 = 0,5 – = 0,5 c3 = x5 – x2 = 0,5 – 0,5 =
1 1 0 0 25 , , , , , , , , , , , 0 2 2 3 3 2 2 2 b b b b b b b b b b b b b b b 0 0 1 1 25 , 0 , 0 , 0 , , , , 0 , , , , 2 2 3 3 2 2 2 c c c c c c c c c c c c c c c Vậy 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 25 , 25 , 10 K
Do dẫn nhiệt ổn định, nên phần tử có K e T e 0 với e = 8, nghĩa bỏ hệ số
K e
; 1 1 0 1 2 1 0 1 1 ; 1 0 1 0 1 1 1 1 2 , , , , , , e e K
K (2.307)
3 Lắp ghép phần tử
Quá trình lắp ghép ma trận đặc trưng phần tử thành ma trận tổng thể hệ thủ tục quan trọng, đặc biệt hệ thống lớn gồm hàng trăm, đến hàng ngàn phần tử Để hiểu rõ trình lắp ghép này, trình bày giải thích cách tỉ mỉ bước tiến hành:
(88)88
a Tách ma trận phần tử thành phương trình đại số theo nhiệt độ nút, đánh số phương trình :
Phần tử 1: gồm nút 1,2
Nút 1: (2T1 – T2 – T4) = (1)
Nút 2: (-T1 + T2 + 0T4) = (2)
Nút 4: (-T1 + 0T2 + T4) = (3)
Phần tử 2: gồm nút 2,5
Nút 2: ( T2 – T5 + 0T4) = (4)
Nút 5: (-T2 + 2T5 - T4) = (5)
Nút 4: ( 0T2 – T5 + T4) = (6)
Phần tử 3: gồm nút 2,3
Nút 2: (2T2 – T3 – T5) = (7)
Nút 3: (-T2 + T3 + 0T5) = (8)
Nút 5: (-T2 + 0T3 + T5) = (9)
Phần tử 4: gồm nút 3,6
Nút 3: (T3 – T6 + 0T5) = (10)
Nút 6: (-T3 + 2T6 – T5) = (11)
Nút 5: (0T3 – T6 + T5) = (12)
Phần tử 5: gồm nút 4,5
Nút 4: (2T4 – T5 – T7) = (13)
Nút 5: (-T4 + T5 + 0T7) = (14)
Nút 7: (-T4 + 0T5 + T7) = (15)
Phần tử 6: gồm nút 5,8
Nút 5: (T5 – T8 + 0T7) = (16)
Nút 8: (-T5 + 2T8 – T7) = (17)
Nút 7: (0T5 – T8 + T7) = (18)
Phần tử 7: gồm nút 5,6
Nút 5: (2T5 – T6 – T8) = (19)
Nút 6: (-T5 + T6 + 0T8) = (20)
Nút 8: (-T5 + 0T6 + T8) = (21)
Phần tử 8: gồm nút 6,9
Nút 6: (T6 – T9 + 0T8) = (22)
Nút 9: (-T6 + 2T9 – T8) = (23)
Nút 8: (0T6 – T9 + T8) = (24)
b Lập bảng Thống kê nút số phương trình phần tử thành bảng để dễ dàng nhận biết , chuyển sang bảng số phương trình theo nút
Bảng 2.10 Bảng thể số nút, số phương trình theo phần tử
Phần tử
Nút số 5 5 8 Phương
trình số
1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Bảng 2.11 Bảng thể số phương trình nút
Nút số
Phương trình số
1 2,4,7 8,10 3,6,13, 5,9,12, 14,16,19
11,20,22 15,18 17,21,24 23 Số nút toàn miền 9, nghĩa cần có phương trình biểu thị nhiệt độ hệ nút Muốn phải lắp ghép phần tử rời rạc biểu thị 24 phương trình lại với để tạo thành phương trình Do có nút chung phần tử xung quanh nên phải thỏa mãn mối quan hệ nhiệt độ với phần tử xung quanh Bởi nguyên tắc lắp ghép cộng tồn phương trình có số nút lại để nút có phương trình nhất Muốn phải lập bảng sau
c Cộng phương trình có nút
Nút 1: có phương trình 1: 2T1 – T2 – T4 = (25)
Nút 2: có phương trình 2, 7: ( -T1 + T2 + 0T4 ) = (2)
( T2 – T5 + 0T4 ) = (4) -T1 + 4T2 - T3 – 2T5 = (26)
( 2T2 – T3 – T5 ) = (7)
(89)89 Nút 3: có phương trình 10
(-T2 + T3 + 0T5 ) = (8)
(T3 – T6 + 0T5 ) = (10) -T2 + 2T3 - T6 = (27)
Nút 4: có phương trình 3,6 13 ( -T1 + 0T2 + T4 ) = (3)
( 0T2 – T5 + T4 ) = (6) -T1 + 4T4 – 2T5 – T7 = (28)
( 2T4 – T5 – T7 ) = (13)
Nút 5: có phương trình 5,9,12,14,16 19 (-T2 + 2T5 - T4 ) = (5)
( -T2 + 0T3 + T5 ) = (9)
( 0T3 – T6 + T5 ) = (12)
( -T4 + T5 + 0T7) = (14) - 2T2 – 2T4 + 8T5 – 2T6 – 2T8 = (29)
( T5 – T8 + 0T7 ) = (16)
( 2T5 – T6 – T8 ) = (19)
Nút 6: có phương trình 11, 20 22: (-T3 + 2T6 – T5 ) = (11)
( -T5 + T6 + 0T8 ) = (20) -T3 – 2T5 + 4T6 – T9 = (30)
( T6 – T9 + 0T8 ) = (22)
Nút 7: có phương trình 15 18: ( -T4 + 0T5 + T7) = (15)
( 0T5 – T8 + T7 ) = (18) -T4 + 2T7 – T8 = (31)
Nút 8: có phương trình 17,21 24: (-T5 + 2T8 – T7 ) = (17)
( -T5 + 0T6 + T8 ) = (21) - 2T5 - T7 + 4T8 – T9 = (32)
( 0T6 – T9 + T8 ) = (24)
Nút 9: có phương trình 23 : -T6 + 2T9 – T8 = (33)
Chuyển phương trình (25)(33) sang dạng ma trận
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 1 0 0 0 0 0
1 4 1 0 2 0 0 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0 0
1 0 0 4 2 0 1 0 0
0 2 0 2 8 2 0 2 0
0 0 1 0 2 4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 0 0 2 0 1 4 1
0 0 0 0 0 1 0 1 2
9
(90)90
3.2 Phương pháp lắp ghép thực tế
Thực tế tốn có số nút lớn, việc chuyển ma trận phần tử sang dạng đại số công thời gian, bước tóm lược cho gọn đơn giản sau
a. Đánh số phương trình nút có nhiệt độ tương ứng
- Viết phương trình ma trận đặc trưng phần tử đánh số bên phải từ đến 24 sau
Phần tử 1: Phần tử 2:
6 5 4 0 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 3 2 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 T T T T T T
Phần tử 3: Phần tử 4:
12 11 10 0 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 9 8 7 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 T T T T T T
Phần tử 5: Phần tử 6:
18 17 16 0 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 15 14 13 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 T T T T T T
Phần tử 7: Phần tử 8:
24 23 22 0 0 0 1 1 0 1 2 1 0 1 1 21 20 19 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 T T T T T T
24 số biểu thị 24 phương trình đại số triển khai từ phương trình ma trận phần tử tương ứng Mỗi chữ số biểu thị phương trình nút có nhiệt độ tương ứng Thí dụ:
Phương trình (5) biểu thị phương trình nhiệt độ nút 5, : -T2 + 2T5 – T4 =
Phương trình (21) biểu thị phương trình nhiệt độ nút 8, : -T5 + 0T6 + T8 = 0…
b. Lập bảng nguyên tắc lắp ghép
Bậc tự do, số nút số phương trình lập bảng để dẫn cho việc cộng phương trình nút sau
Bảng 2.12
Phần tử 1 2 3 4 5 6 7 8 Thứ tự nút
trong phần tử 3 3 3 3 Số nút toàn cục 1 5 6 5 4 5 7 5 5 6 8 6 9 8 Phương trình số 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
(91)91
Để thể nút có phương trình nào, hệ số nhiệt độ phương trình, cần xếp lại Số của phương trình theo Số nút Hệ số nhiệt độ có mặt phương trình để tạo thành Bảng lắp ghép sau
Bảng 2.13 Nút
số
Số phương trình nút
Hệ số nhiệt độ có mặt phương trình
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9
1 -1 -1
2 -1 +1
4 +1 -1
7 +2 -1 -1
3 -1 +1
10 +1 -1
4 -1 +1
6 +1 -1
13 +2 -1 -1
5 -1 -1 +2
9 -1 +1
12 +1 -1
14 -1 +1
16 +1 -1
19 +2 -1 -1
6 11 -1 -1 +2
20 -1 +1
22 +1 -1
7 15 -1 +1
18 +1 -1
8 17 -1 -1 +2
21 -1 +1
24 +1 -1
9 23 -1 -1 +2
d. Lập ma trận độ cứng tổng thể
(92)92
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 0 1 0 0 0 0 0
1 4 1 0 2 0 0 0 0
0 1 2 0 0 1 0 0 0
1 0 0 4 2 0 1 0 0
0 2 0 2 8 2 0 2 0
0 0 1 0 2 4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 0 0 2 0 1 4 1
0 0 0 0 0 1 0 1 2
9
T T T T T T T T T
(2.308)
4 Giải phương trình
Trong toán trên, nhiệt độ biên biết có nhiệt độ T5 chưa biết, nên cần từ phương
trình nút giải ra:
- 2T2 – 2T4 + 8T5 – 2T6 – 2T8 = (2.309)
Thay giá trị T2 = T4 = T6 = 100
C, T8 = 500
C vào T5 = 1600/8 = 200
C Có thể so sánh kết với nghiệm xác phương pháp giải tích Holman:
1
1 1
2
sinh sinh sin
1 ) ( ) (
) ,
( T
H b n
y b n x
b n n
T T y x T
n n
(2.310)
trong T1 nhiệt độ cạnh , T2 nhiệt độ cạnh lại chữ nhật ; b, H bề rộng cao chữ nhật
Với x = 0,5; y = 0,5 giải T5(0,5;0,5) = 200,11
0
C Nếu dùng phương pháp sai phân hữu hạn dễ dàng suy
T5 T2 T4 T6 T8 100 100 100 500 2000C
4
1
(2.311)
Thấy phương pháp phần tử hữu hạn cho kết đồng với phương pháp giải tích sai phân hữu hạn
Có thể xác định nhiệt độ điểm khác hình phẳng, tùy theo u cầu mức xác mà phải dùng mạng lưới tam giác mịn Nghiệm mạng lưới tam giác có cấu trúc ln xác mạng lưới chia không
(93)93 Hình 2.27
Nhiệt độ vị trí bên phần tử tam giác xác định theo nhiệt độ ba nút: T = N1T1 + N2T2 + N3T3
Trong cần xác định hàm hình dạng N1, N2 N3 xác định theo
a bx c y A
Ni i i i
2
; i = 1,2,3 (2.312) Toạ độ nút:
Nút
Tọa độ (m)
x 50 50
y 50 50
Xác định hệ số ai, bi , ci :
50 50 ;
0 50 50 ;
2500 50
50
50 3
2 3
1x y x y b y y c x x
a
50 0 50 ;
50 0 50 ;
2500 50
. 50
0 2 3 1 2 1 3
3 1
2 x y x y b y y c x x
a
0 50 50 ;
50 50 0 ;
2500 0
50 .
50 3 1 2 3 2 3
1 2
3 x y x y b y y c x x
a
Tính D = 2A:
2500 50
0
50 50
0 50
2
A
Tính hàm nội suy N1, N2 N3
a bx c y x y y
A
N 50
50 50 2500 2500
1
1
1 1
a b x c y x y x y
A
N 50
50 50 50 2500 2500
1
1
2 2
(50 )
50 50 50 2500 2500
1
1
3 3
3 a bx c y x y x
A
N
3(0;50) 2(50;50)
4(40,40)
(94)94 Tại điểm có x = 40; y = 40
5 ;
5 ;
5
3
1 N N
N (2.313) Tính nhiệt độ điểm 4:
C
0
3 2 1
4 100 20 3.40 20 160
5 200 100 T N T N T N
T
Mật độ dòng nhiệt:
1 2 3 1 2 3
2A bT bT bT
k T
N T N T N x k T
N x k x T k
qx
0.100 50.200 50.100 20 / 2500
10
cm W
1 2 3 1 2 3
2A cT c T cT k
T N T N T N x k T N y k y T k
qy
50.100 50.200 0.100 20 / 2500
10
cm W
Như mật độ dịng nhiêt khơng đổi tồn miền tam giác
Thí dụ 2.14
Cho hình vng phẳng dày m, cạnh cm hình 2.28 Hệ số dẫn nhiệt 2W/cm0C Tam giác nửa phía có nguồn sinh nhiệt 1,2W/cm2, nửa điểm (1;1) cm có nguồn điểm q* = 5W/cm theo hướng bề dày Cạnh đáy cách nhiệt, cạnh dọc đứng bên phải có nhiệt độ 1000C, cạnh đỉnh có đối lưu mơi trường có nhiệt độ Ta = 30
0
C, với hệ số tỏa nhiệt 1,2 W/m2 K Cạnh đứng bên trái có dịng nhiệt q = 2W/cm2
Xác định nhiệt độ điểm góc cịn lại hình
Tách hình vng thành phần tử tam giác hình 2.24 Các phương trình đặc trưng phần tử thành lập riêng theo cơng thức biết
Hình 2.28
Bảng 2.14
Nút
Tọa độ (m)
x 5
y 0 5
Phần tử 1
Phần tử
1 3 4
5 cm
5 cm
(1,1) q* (5W/cm)
qV =1,2W/cm2
T=1000C q = 2W/cm2
h = 1,2 W/cm2 Ta = 300C
(95)95 Công thức chung
S T T
dS N N h d B D B
K (2.314)
S
T
S T T
V N d q N dS hT N dS
q
f . (2.315)
Phần tử 1: Tam giác -Tính A, hệ số ai,bi, ci :
25
0
0 1
1
3
2
1
y x
y x
y x
A
a1x2y3x3y2 5.50.025;b1 y2y3055;c1x3x2055
0 0 0 ;
5 0 5 ;
0 5 . 0 0 .
0 2 3 1 2 1 3
3 1
2 x y x y b y y c x x
a
5 0 5 ;
0 0 0 ;
0 0 . 5 0 .
0 3 1 2 3 2 3
1 2
3 x y x y b y y c x x
a
a1 = 25,0 b1=-5,0 c1 = -5,0
a2 = 0,0 b2 = 5,0 c2 = 0,0
a3 = 0,0 b3 = 0,0 c3 = 5,0
+ Tính [K]1 , khơngcó đối lưu nên
2 3
3 2 2
3 2
2 3
3 2 2
3 2 1
4 1
c c c c c
c c c c c
c c c c c k b b b b b
b b b b b
b b b b b k A
K x y
1
0 1
1 25
0 25
0 0
25 25
0
0 25 25
0 25 25 25
2
+ Tính [f]1 ,do có nguồn điểm xạ cạnh bên:
S T T
dS N q d
N q f 1
- Số hạng nguồn điểm
) ; (
k j i
N N N
q , điểm (1;1) có
5 25 15
5 25
1
1
1 1
1 x y
(96)96
5 25
5 ) (
1
1
2 2
2 x y
A y c x b a A N
5 25
5 0
1
1
3 3
3 x y
A y c x b a A N
Vậy nguồn điểm =1
1
1 5 *
) ; ( k
j i
N N N q
- Số hạng xạ cạnh bên:
dl
N N N q dS
N q
S T
3
Hình 2.29 Phần tử Trên cạnh 31 có N2 = 0; cịn N3 N1 thay đổi 1, nên áp dụng công thức tích phân
)! 1 (
! !
N N dl a abb
l b j a
i N1 N3 có
2 1 )! 1 0 1 (
! 0 ! 1
0
1
l j i l
l
dl N N dl N dl N
Vậy:
5 1
5 1
31
ql dS
N q
S T
Véc tơ tải
4
1 2 5
0 5 1 1 3 .
*
1
S T T
dS N q d
N q f
- Phương trình đặc trưng phần tử
4
2
0
0 1
1
3
T T T
(2.316)
Phần tử 2:
1
(97)97
+ Tính [K]2 :
S T T dS N N h d B D B K 2
Phần tử 2
Nút
Tọa độ (m)
x 5
y 5
Diện tích 25 25 25 25 5 5 1 1 3 2 1 y x y x y x A
Các hệ số
5 ; 5 ; 25
5 1 2 3 1 3 2
2 3
1 x y x y b y y c x x
a 5 0 5 ; 5 0 5 ; 25 5 . 5 0 .
0 2 3 1 2 1 3
3 1
2 x y x y b y y c x x
a 0 5 5 ; 5 5 0 ; 25 0 . 5 5 .
5 3 1 2 3 2 1
1 2
3x y x y b y y c x x
a
Tính [K]2
1 0 0 23 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 l h c c c c c c c c c c c c c c c k b b b b b b b b b b b b b b b k A
K x y
- Số hạng đầu 1 1 0 0 25 25 25 25 25 25 25 25 0 0 25 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b b b b b b A k
- Số hạng sau 2 1 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 0 0 6 5 . 1 . 2 , 1 2 1 0 1 2 0 0 0 0 6
.l23 h
(98)98 0 1 1 0 0 1 1 K
- Tính véc tơ phụ tải :
Theo công thức tổng quát, tam giác tiêu biểu có nguồn trong, xạ đối lưu, hình 2.30, có
1 1 0 2 . 0 1 1 2 . 1 1 1 3 23
12 hT l
l q A
q
f V a
e
Hình 2.30 Tamgiác tiêu biểu Phần tử có nguồn trong, có đối lưu khơng có xạ nên rút véc tơ lực
1 1 0 2 . 1 1 1 3 43 l hT A q
f V a
Thay số với qV =1,2; A=25/2; =1; h=1,2; Ta=30; l34=5
95 95 5 90 90 0 5 5 5 1 1 0 2 1 . 5 . 30 . 2 , 1 1 1 1 2 . 3 1 . 25 . 2 , 1 f
- Phương trình đặc trưng phần tử
95 95 5 3 0 0 0 4 1 0 1 1 T T T (2.317)
Lắp ghép phần tử
Lắp ghép phương trình nút sau - Đánh số phương trình ma trận phần tử
) ( ) ( ) ( 1 1 1 T T T
; ghép với
) 6 ( ) 5 ( ) 4 ( 95 95 5 3 0 0 0 4 1 0 1 1 T T T
- Bảng lắp ghép Bảng 2.15
2 4 3
qV
Ta = 30
T = 100
(99)99 Nút
số
Phươn g trình
Hệ số nhiệt độ Phụ tải
T1 T2 T3 T4
1 -1 -1 -2
2 -1 1
4 -1
3 -1 -4
6 95
4 -1 95
- Lập phương trình ma trận đặc trưng tổng
95 91
2
4
0
1
0 1
4
T T T T
- Áp đặt điều kiện biên : biên 24 có nhiệt độ 1000C, tức T2 = 100; T4 =100 thay vào phương trình nút
nút 4, phương trình trở thành : 2T1 – T3 = -2 + 100
Nên dạng ma trận
100 91 100
98 1
0 0 0
0 4 0 1
0 0 1 0
0 1 0 2
4
T T T T
giải
100 40 100
69
4
T T T T
(2.318)
2.14 Dẫn nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật Phần tử chữ nhật có điều kiện biên hỗn hợp thể hình 2.32
(100)100
T N1T1 N2T2 N3T3 N4T4 (2.319) Lấy gốc điểm (k), hàm nội suy
b x a y N
ab xy N
a y b x N
a y b
x N
2
2
2
4
(2.320)
Ma trận đạo hàm hàm nội suy
) ( )
2 (
) ( ) (
1
4
4
y b x x y
b
y y
y a y a ab y
N y N y N y N
x N x N x N x N
B (2.321)
Ma trận dộ cứng
S
T T
dS N N h dV B D B
K
trong
y x
k k D
0 0
, [B]T[D][B]
) 2 ( )
2 (
) 2 ( ) 2 ( 4
1 0
0 )
2 ( ) 2 (
) 2 ( ) 2 ( 4
1
y b x x y
b
y y
y a y a ab k k
y b y
x y
x y
a
y b y
a
ab B
D B
y x T
Thay vào phương trình [K] ma trận 44 Số hạng điển hình ma trận
dxdy ab xy dxdy
x b b a k dxdy
y a b a
k b a y b a
b a x
0 2
0
2
2
0
2
2
4 )
2 ( 16 )
2 (
16 (2.322)
(101)101
4 2 0 0
2 4 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 12 2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2 6 2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2 6
hl a
b k b
a k
K x y (2.323)
Véc tơ tải
1 1 1 1 4
2
2
4
GA dxdy
N N N N
G dA
N G
f T b a (2.324)
Tích phân dịng nhiệt đối lưu xạ biên giới xác định phần tử tam giác
Thí dụ 2.15. Xác định phân bố nhiệt độ phẳng vuông ví dụ 2.13 Sử dụng phần tử chữ nhật, hình 2.33
Hình 2.33
Ma trận độ cứng
Ma trận độ cứng theo (2.323)
4 2 0 0
2 4 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 12 2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2 6 2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2 6
hl a
b k b
a k
K x y
(102)102 4 2 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 15 5 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 15 5 K
sau biến đổi
20 4 4 2 4 20 2 4 4 2 8 2 2 4 2 8 6 1
K (2.325)
Véc tơ phụ tải
1 1 0 0 2 . 1 0 0 1 2 1 1 1 1 4
6 14 31
4
* q l hT l
N N N N
q
f a
thay giá trị vào
, 93 , 97 , ,
f (2.326)
Phương trình ma trận đặc trưng cuả phần tử
3 , 93 7 , 97 3 , 8 7 , 5 20 4 4 2 4 20 2 4 4 2 8 2 2 4 2 8 6 1 T T T T (2.327)
Áp điều kiện biên, với T2 = T3 = 1000C, phương trình đặc trưng giải nghiệm
559 100 100 634 20 0 0 0 0 , , , , T T T T
giải
8385 36 0000 100 0000 100 4846 88 , , , ,
(103)103
Trên toàn Phần Phương pháp số truyền nhiệt chương trình cao học khí Các tốn dẫn nhiệt không ổn định không dạy chương trình cao học
Bạn đọc cần phần để áp dụng tính tốn nghiên cứu, xem
“ Cơ sở Phương pháp Phần tử hữu hạn truyền nhiệt “– Nxb Thế giới có mạng Vinabook