Tài liệu chủ đề Bất đẳng thức (lớp 10 NC)

Suy ra ®iÒu ph¶i chứng minh Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT..[r]

TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) Bài toán: Với hai số dương x và y ta có: 1 1  (  ) x y x y - 10A9 (1) Đẳng thức xảy x =y Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh đây đưa hai cách chứng minh phổ biến ** Chứng minh : Cách Với hai số dương x và y ta có: ( x  y )   (x + y)2  xy  1 1  (  ) x y x y Rõ ràng, đẳng thức xảy x = y Cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1  2  x y x y xy 1 1 1  (  ) Từ đó: ( x  y ) (  )   x y x y x y x  y  xy, Và đẳng thức xảy x =y Tổng quát: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có: a  b  a  b  a b2 a b2  (  ) hay (  )  x y x y x y x y a b Dấu sảy và  ( chứng minh bất đẳng thức này có nhiều cách chứng x y 2 minh xin dành cho bạn đọc) II ÁP DỤNG TRÊN THỰC TIỄN CÁC BÀI TOÁN : Bài toán Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1    (   ) ab bc ca a b c (2) Đẳng thức xảy a = b = c Áp dụng (1) ta có điều phải chứng minh * Phát triển: Áp dụng (2) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  b b  c c  a (3) * Kết hợp (2) và (3) ta có Bài toán Với a, b, c là các số dương: Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c (4) Đẳng thức xảy a = b = c Chú ý: Nếu thêm giả thiết 1    thì bài toán là nội dung câu V, Đề thi Đại học và a b c Cao đẳng khối A, năm 2005 Bài toán Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1 (5)      a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a ) a  2b  c 1    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1    c  3a a  2b  c (c  3a )  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5) a  3b  b  2c  a  Đẳng thức xảy khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Bài toán Hãy xác định dạng tam giác ABC các góc nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tg tg 2    B C C A A B A B C  tg tg  tg tg  tg tg 4.tg tg tg 2 2 2 2 A B C Giải: Đặt x  tg , y  tg , z  tg thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1 2 x y z    Hệ thức trở thành:  yz  zx  xy xyz tg Ta có: Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 x y z     yz  zx  xy x y z     ( xy  yz )  ( zx  yz ) ( xy  zx)  ( yz  zx) ( xy  yz )  ( zx  xy ) 1 x x  1 y y  1 z z               xy  yz zx  yz   xy  zx yz  zx   xy  yz zx  xy  1 x z x y y  z   1  xy  yz  zx            xy  yz zx  yz xy  zx   x y z  xyz xyz Đẳng thức xảy và khi: x = y = z hay tam giác ABC Bài toán Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + > 0, z + > Hãy tìm giá trị lớn Q x y z   x 1 y 1 z  Giải: Đặt a = x + > 0, b = y + > 0, c = z + > Ta có: a + b + c = và Q a 1 b 1 c  1 4    3    a b c a b c Theo bất đẳng thức (1) ta có: 1 4 16 (  )     a b c ab c abc  Q  3  3 a  b    a  b  x  y   Đẳng thức xảy và khi:  a  b  c 2 a  b  c  c   z  1   x  y    z  1 2x 2y 2z 1 Bài toán : Chøng minh r»ng : víi x, y, z lµ      x6  y y  z z  x x y z Vậy: MaxQ  đạt c¸c sè d-¬ng DÊu b»ng s¶y nµo ? Gi¶i : Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 x  1  1 x2 4x Tương tù ta còng cã      4 6 x y x y x y x y 1 4y 1 4z Céng tõng vÕ bÊt d¼ng thøc trªn ta cã bÊt d¼ng   ;   y z y6  z z x4 z6  x4 thøc cÇn chøng minh Dêu b»ng s¶y vµ chØ x=y=z=1 Bài toán : Cho số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh : a  b4 b4  c c4  a4   1 3 3 3 ab a  b bc b  c ca c  a    Gi¶i: ta cã ab+bc+ca = abc  ta cã: a  b4  ab a3  b3   x3  y 1  x4 y 1 1     xy  x3 y3   1 1 1    Đặt x  ; y  ; z   x+y+z=1 Khi đó a b c a b c  x4  y x3  y Tương tự ta có   y4   x6 x x3  y  x2  y y6   x3  y    y2 x3  y3  x3  y3 x2  y2   x2  y x  y       x y x2  y x x2  y y x  y x  y  x  y  x4      b4  c yz c4  a4 zx  ;  3 3 bc b  c  ca c  a  Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có a  b4 b4  c c4  a4    x  y  z  3 3 3 ab a  b bc b  c ca c  a       Suy ®iÒu ph¶i chứng minh Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A xt t  y y  z z  x    t  y y z z x xt Với x, y, z, t là các số dương Giải : Ta có: Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 xt ty yz zx  1)  (  1)  (  1)  (  1)   ty yz zx xt x y t  z y x zt     4 t  y y z z x xt A(   1    ( x  y)    ( t  z )    4 t  y z  x  y z xt 4  ( x  y)  (t  z ) 4 x y zt x y zt 4( x  y  z  t )  40 z y zt Vậy MinA=0 x = y = z = t Trên đây là số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là số bài tập tương tự: Bài Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức: 1/ 1 1         2a  3(b  c) 2b  3(c  a ) 2c  3(a  b)  a  b b  c c  a  2/ 1 1 1         a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b  a  2c b  2a c  2b  Bài Chứng minh a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 17    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 96 Bài Cho x > 0, y > thỏa mãn x + y  Tìm giá trị nhỏ của: A x2  y 2  xy xy  Bài Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá trị lớn biểu thức: T ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b Bài Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài cạnh) Chứng minh rằng: 1 1 1    2    p a p b p c a b c III Mở rộng Cho x, y,z là ba số dương chứng minh rằng: Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 1 1  (   ) 7 ;Dấu sảy và x=y=z x yz x y z Tổng quát: Cho ba số a, b, c bất kì, x, y, z la ba số thực dương ta có: a b c a  b  c     6  (Bất đẳng thức s-vac) Dấu sảy và x y z x yz a b c   x y z Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:   a 2  b 2  c 2   a b2 c2           x  y  z         x   y   z    y z   x          x  y  z  a  b  c  Từ đó suy điều phải chứng minh IV Áp dụng Bài toán 1: Chøng minh r»ng : a b2 c2    a  b  c với a, b, c là các số thực dương b c a Giải :áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : a b c a  b  c      a  b  c Suy ®iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng s¶y vµ b c a abc a b c chØ   abc b c a Bài toán : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B a6 b6 c6 đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c    b3  c c  a a  b3 Gi¶i : ¸p dông bÊt đẳng thøc (6) ta a  b  c  a  b3  c  a6 b6 c6 MÆt kh¸c theo bÊt B 3     b  c c  a a  b3 a  b3  c  3 đẳng thức Bunhiacovski ta có :  a  b  c   3 a  b  c   3   cã :  aa a  bb b  cc c   3 3 3 3  a  b  c a  b  c  a  b  c  a  b  c  Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) VËy B  - 10A9 18 Bài toỏn : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 chứng minh 1 1     x  yz  zt  ty  y xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  3 Gi¶i : 1 1 theo bµi ta cã abcd = vµ x  ; y  ; z  ; t= , a b c d 1 a2   ; tương tự ta có : 1  bcd x  yz  zt  ty     a  bc dc bd  b2 c2 d2  ;  ;  y xz  zt  tx  a  c  d z  yt  xt  xy  a  b  d t  yz  zx  xy  a  b  c đặt C«ng c¸c vÕ bÊt đẳng thøc trªn ta cã : biÓu thøc 1 1    x  yz  zt  ty  y xz  zt  tx  z  yt  xt  xy  t  yz  zx  xy  a2 b2 c2 d2 a  b  c  d       b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c a  b  c  d  a  b  c  d 4 abcd    3 (Mở rộng tự nhiên bất đẳng thức (6) cho bốn số) a  b  c  d   DÊu b»ng s¶y vµ chØ  a b c d     b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c Bài B a toán  4: b b2  c  a  c ab  bc  ca  2 T×m  2  gi¸ c trÞ nhá nhÊt cña b2  a  , đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện Gi¶i : áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) B a8 b2  c  b8  2 a  b a  b  c    a  c   b c8 b2  a  a  b  c   c  a b  b c   a  c  - 10A9  b  c2 4 2 2  a2  4 2 2  a 2c  Xét biểu thức a b  b c  a c Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : Do a 2b  b c  a c  a  b  c 2 B a 2 2  b4  c  a  b  c   a   a  b  c  a  b  c  a  b  c 4 4 4 đó  b4  c4 Mát khác theo bất đẳng thức Bunhiacovski  ab  bc  ca   a  b  c Bài toán : Cho x,y,z>0 và thoả : x  y  z  2 4 y3 x3 z3   x  y  z y  3z  x z  3x  y Tìm giá trị nhỏ của: Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu sảy và chúng vµ b»ng Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : x3 y3 z3 x4 y4 z4      x  y  z y  3z  x z  3x  y x  3xy  xz y  yz  yx z  3xz  yz 2 x2  y  z x2  y  z x2  y  z    2 2 2 2 2 x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z  x  y  z 10 x  y  z    x2  y  z              30 DÊu b»ng s¶y vµ  x2 y2 z2     x  3xy  xz y  yz  yx z  3xz  yz  x yz x  y  z  2 x  y  z    Bài toán : Cho a,b,c>0 và thoả : a.b.c = Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT chØ - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) Chứng minh rằng: 2   a3 b  c  b3 c  a  c3 a  b  - 10A9 3 Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu sảy và chúng vµ b»ng 1 1 - Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt a  ; b  ; c  x y z 1 ; b  ; c  Theo gi¶ thiÕt ta cã: xyz = x y z 2 x2   Ta cã ; tương tự ta có: a b  c   1  y  z  x3  y z  2 2z2 2 y2     ; Do đó áp dụng bất đẳng b3 a  c   1  x  z c3 b  a   1  y  x   y  x z  z  y x  Gi¶i: §Æt a  thøc (6) ta cã : y2 2 2 x2 2z2       a b  c  b2 c  a  c a  b  y  z x  z y  x 2 x  y  z  x  y  z    xyz  x  y  z  DÊu b»ng s¶y vµ chØ x  y  z 1 Bài toán : Cho số thực dương x,y,z >o thoả : x  y  z  Tìm GTNN A= y2 x2 z2   x  yz y  zx z  xy Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có : x  y  z  y2 x2 z2    x  yz y  zx z  xy x  y  z  yz  zx  xy .Ta cã yz  zx  xy  x  y  z x  y  z  y2 x y z x2 z2      2 x  yz y  zx z  xy x  y  z  x  y  z Do đó Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9   x  y  z   DÊu b»ng s¶y vµ chØ  x  y  z  x  y  z 1  x y z     x  yz y  zx z  xy x y.z  y z   (1) y  zx z  xy Bài toán : Với x, y, z là số dương và x Chứng minh rằng: x  yz  Hướng dẫn Đặt a x,b  y,c  z Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và a Chứng minh : a  bc  a.b.c  b2 b  ac  Áp dụng bất đẳng thức trên ta có a2 a  bc  b2 b  ac  c2 c  ab c2 c  ab  (2) a  b  c   a  bc  b  ac  c  ab 3 Bình phương hai vế bất đẳng thức: 2   a  b  c a  b  c     VT (3)     2  a  bc  b  ac  c  ab   a  bc  b  ac  c  ab    4 a  b  c  a  b  c    3(a  b  c  ab  bc  ac) a  b  c 2  ab  bc  ac    a  b  c   a  b  c   3 ( Vì ab  bc  ac  3 abc   ) Đặt t  Ta có: a  b  c  thì t  ( vì a  b  c  3 abc  ) t2 3t  15 t  3 3.9  15 t 3     2  3(t  3) 12 12 t  12 12 t  Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com 10 TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9  VT (4 ')  2 Dấu xảy x = y = z =  điều phải chứng minh Tổng quát : ta có bài toán sau: với x1 , x2 , , xn n   là số dương và x1 x2 xn   VT (5')  x1 Cmr: x1  x2 x3 xn  x2 x2  x3 x4 xn   xn xn  x1 x2 xn1  n Bài toỏn : chứng minh a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 abc  ab  bc  ca th×    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 16 Gi¶i : Tõ abc  ab  bc  ca suy ¸p dông 1 1 1    đặt x  ; y  ; z  thì x  y  z  a b c a b c bÊt đẳng thøc (7) 36 x  y  3z      x y z x  y  3z a  2b  3c 36 y  z  3x z  2x  3y Tương tự ta có  ;  ; b  2c  3a 36 c  2a  3b 36 ta cã : a  2b  3c  Cộng ba bất đẳng thức trên ta có x  y  z  1      a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36 16 C¸ch2 : 1 1 1  1 3           a  2b  3c a  c   b  c   b  c   a  c b  c b  c   a b c  Tương tự ta cú: 1 1 1  1 2           ; b  2c  3a a  c   a  c   b  a   a  c a  c b  a   a b c  1 1 1  13 2           c  2a  3b b  c   b  a   b  a   b  c a  b b  a   b c a  cộng vế với vế ta có: 1 1 6 6        a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b 36  a b c  16 suy điều phải chứng minh dấu sảy và a=b=c=3 Bài toán 10 Cho  x, y , z  Cmr: P  x  y  z  x  y  z 1  x  y  z 10 Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com 11 TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) - 10A9 Giải:  x2  y2   z2   P  x 1   y 1   z 1       1 x   1 y   1 z   x3 y3 z3   1     2  1 x 1 y 1 z  x2  y  z    x4 y4 z4   1     1 3  x  x y  y z  z x  y  z  x3  y  z   Đặt t  x2  y  z từ điều kiện t  Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Côsi ta có: x  y  z  x  y  z x  y  z  xy  yz  zx  xyz  3 t  x2  y  z  2  x  y  z  1  x  y  z     t  t  2   2t 2t 3t  10t  9 P  1  1     t t  10 t  10 10 t 3t   t   3t  3t 3 (  t )(57t  9) 9 P   3t  10t  10 10 Dấu xảy và x = y = z =  đpcm 2 Bài toỏn 11: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN cña biÓu thøc: P = Giải: P  x2  y  z  y y  2z z 2x x y y  2z z   x2  y  z  y y  2z z y z  x  z z  2x x 2y y z z  2x x    y z  x  z z  2x x z x  y  x x  2y y   z x  y  x x  2y y x 2 yz y y  2z z  y 2 xz z z  2x x  z 2 xy x x  2y y 2z z x x  2y y để đơn giản đặt a  x x ; b  y y ; c  z z ; Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com 12 TÀI LIỆU CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC ( LỚP 10 NC ) Ta P  - 10A9 a  b  c  2a 2b 2c 2a 2b 2c       b  2c c  2a a  2b a b  2c  b c  2a  c a  2b  ab  bc  ca  2 a  b  c  2ab  2bc  2ca  ab  bc  ca  a  b  c    ab  bc  ca  có 2 a  b  c  2ab  2bc  2ca    ab  bc  ca  ab  bc  ca  Mặt khác ta có a  b  c  ab  bc  ca Nên ta có: 2 P  dấu sảy và a  b  c Hay x x  y y  z z  x=y=z=1 Một số bài tập tương tự: Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức Q = x3 y3 z3   yz zx x y ,với x, y ,z là các số dương thoả mãn điều kiện x+y+z  HẾT Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2009-2010 Lop10.com 13