Các vấn đề liên quan đến hàm số

Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó f’x = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại... CỰC TRỊ HAØM HỮU TỶ:..[r]

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net CHỦ ĐỀ 1: HAØM SỐ – ĐẠO HAØM I MIEÀN (TAÄP) XAÙC ÑÒNH CUÛA HAØM SOÁ: D = {x∈R | y = f(x)∈R} Haøm soá Taäp xaùc ñònh Haøm soá Taäp xaùc ñònh y = A(x ) A (x ) ≥ y = tgx x≠ B(x ) ≠ y = cot gx x ≠ kπ A(x ) ≥ (n ∈ Z ) ⎡ arcsin x y=⎢ ⎣arccos x −1≤ x ≤ ∀x ∈ D n ∈ Z+ y = [A(x )] A (x ) > y= A (x ) B(x ) y = n A(x ) + y = n +1 A(x ) II ( B( x ) ) π + kπ Haøm soá y = logA (x ) B(x ) f (D ) = (− ∞, a] ∀x(a > 0) ∀x > ⎡f (x ) ± g(x ) y=⎢ ⎣ f (x ) g(x ) D = D f ∩ Dg f(D): MGT f (D ) = [a, b] a ≤ f (x ) ≤ b f (D ) = [b,+∞ ) f (x ) ≥ b ⎧ B(x ) > ⎨ ⎩0 < A(x ) ≠ ⎡a x y=⎢ x ⎣e ⎡log x y=⎢ ⎣ ln x MIEÀN (TAÄP) GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM SOÁ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D} Sự tồn nghiệm phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D Haøm f(x) f(D): MGT Haøm f(x) f (x ) ≤ a Taäp xaùc ñònh a < f (x ) < b f (D ) = (a, b ) Đánh giá biểu thức các BĐT: * [A(x )] + a ≥ a ∀a, ∀x laøm A(x ) xaùc ñònh (a * BÑT Coâsi : a + b ≥ ab Bunhiacoâp sky : ac + bd ≤ III HAØM HỢP gof go f là hàm hợp hai hàm f : D f * Tf ∩ D f = φ ⇒ ∃go f : Dg o f Tf vaø g : D f )( + b c2 + d ) Z Z * ∀x ∈ Dg o f : [go f ](x ) = g[f (x )] vaø fog ≠ go f ⎡{x | x ∈ D f ∧ f (x ) ∈ Dg }; Tf ∩ Dg * Dg o f = ⎢ ⎣ D f , {(Tf ≠ ) ∧ (Tf ⊂ Dg )} IV HAØM CHẴN – LẺ y=f(x) ĐỐI XỨNG QUA O: V GIỚI HẠN HAØM SỐ: f (− x ) = f (x ) ∀x ∈ D : f chaün ⎤ ⇒ f (− x ) ≠ ± f (x ) : Haøm khoâng chaün khoâng leõ ∀x ∈ D f (- x ) = − f (x ) ∀x ∈ D : f leõ ⎥⎦ Phương pháp 1: Khử dạng vô định 0 Cơ sở phương pháp là làm xuất dạng biểu thức hàm các thừa số (x - x0), để giản ước chính các thừa số đó tử soá vaø maãu soá • • lim x→ x f (x ) g(x ) với các chú ý: Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x0) Riêng đây ta dùng thủ thuật chia Hormer Nếu tử mẫu có chứa thức, ta nhân cho tử và mẫu lượng liên hợp thức đó llh A + B ←⎯ → A− B llh A ± B ←⎯ → A ± AB + B2 Nếu tử và mẫu có chứa thức, ta nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng • Không loại trừ các khả sử dụng nhanh các đẳng thức: Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net a3 ± b = ( a ± b ) ( a2 ± ab + b ) a2 − b = ( a − b )( a + b ) an − b n = ( a − b ) ( an −1 + an − b + an − b + + ab n − + b n −1 ) a4 − b = ( a2 + b ) ( a − b )( a + b ) • Để ý việc biến đổi sơ cấp có thể làm dạng vô định này trở thành dạng vô định khác Chẳng hạn: lim f (x )g(x ) (dạng × ∞ theo thứ tự đó) x→0 • • Phương pháp 2: Khử dạng vô định ∞ ∞ PP1: Đặt số mũ lớn các đa thức thành phần tử và mẫu làm nhân tử chung để khử vô định PP2: Dùng các định lý giới hạn tương đương: 1/ x → ∞ ⇒ Pn (x ) ~ an x n ⎧⎪ x → +∞ ⇒ ax + bx + c ~ x a ; (a > 0) 2/ ⎨ ⎪⎩x → −∞ ⇒ ax + bx + c ~ −x a ; (a > 0) b + ε(x ); ⎛⎜ với a > và lim ε(x ) = ⎞⎟ / ax + bx + c ~ a x + 2a x→∞ ⎝ ⎠ Phương pháp 3: Khử dạng vô định ∞ − ∞ Cơ sở phương pháp tìm giới hạn này là: 1/ Sử dụng lượng liên hợp 2/ 3/ 4/ • Sử dụng biểu thức tiệm cận: ax + bx + c ~ a x + Sử dụng các đẳng thức Khoâng duøng haøm soá töông ñöông cho daïng toång Phương pháp 4: Giới hạn hàm lượng giác TH1: Khi x → (x tính baèng radian) sin u ( x ) lim u ( x) u( x )→ lim = hay sinu ( x ) ~ u ( x ) − cos u ( x ) u( x )→ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ = llh → ( − sin u ) ( + sin u ) ←⎯ TH2: Khi * Ñaët: * Khi: tgu ( x ) u ( x) u( x ) → llh → ( − cos u ) ( + cos u ) ←⎯ x → x hàm lượng giác có dạng vô định (x tính rađian) ⎧ x = x0 + t t = x − x0 ⇔ ⎨ ⎩x → x ⇒ t → x → x ⇒ t' = x − x, t' → Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số = hay tgu ( x ) ~ u ( x ) 1 hay 1-cos u ( x ) ~ ⎡⎣ u ( x ) ⎤⎦ 2 Không loại trừ nhân các lượng liên hợp lượng giác • lim b + ε(x ) đó: a > và lim ε(x ) = 2a x →∞ ⎧⎪f (x ) ≤ g(x ) ≤ h(x ), ∀x ∈ Vx | {x } ⇒ lim g(x ) = L ⎨ lim f (x ) = lim h(x ) = L x→x ⎪⎩ x→x x→x ⎧ lim f ( x ) = L ⇒ lim f ( x ) = L x → x0 ⎪ x→ x0 Hàm chứa giá trị tuyệt đối: ⎨ f ( x ) = ⇒ lim f ( x ) = ⎪ xlim x → x0 ⎩ → x0 ⎧⎪f (x ) ∈ R, ∀x ∈ D hay lim Δ y = Haøm lieân tuïc: * ⎨ f (x ) = f (x ) Δx → ⎪⎩ xlim →x Haøm keïp: Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt * Lieân tuïc taïi x0: http://www.toanthpt.net ⎡ lim+ f (x ) = f (x ) : lieân tuïc phaûi x→x lim+ f (x ) = lim− f (x ) = f (x ) ⇒ ⎢ x→x x→x0 ⎢ lim− f (x ) = f (x ) : lieân tuïc traùi ⎣ x→x Công thức giới hạn: lim x→ sin x x lim a x→+∞ =1 lim =1 x→ x ( ) lim U x = x→ ( ) =1 U ( x) tgU ( x ) lim =1 x→ U ( x ) lim x→ sin U x − cos x = 2 x * Quy taéc Lopitan: VI ĐẠO HAØM: lim log a x = +∞ ⎫ x →+∞ ⎪ = +∞ ⎫ ⎪ x + lim a = ⎪ x→−∞ ⎪ x lim e = +∞ ⎪ x→+∞ ⎪ x + lim e = ⎬ x→−∞ ⎪ x ⎪ e lim = +∞ ⎪ x→+∞ x ⎪ x lim x.e = ⎪ ⎭ x→−∞ x + lim a = ⎫ ⎪ x→+∞ ⎬ x lim a = +∞ ⎪ ⎭ x →−∞ tgx lim x→ x lim log a x = −∞ ⎪ x → 0+ ⎪ lim ln x = +∞ x →+∞ a>1 lim ln x = −∞ x → 0+ ln x + =0 lim x →+∞ x lim x ln x = x → 0+ 0<a<1 − lim log a x = −∞ ⎫ ⎪ x →+∞ f (x ) f ' (x ) = lim x → x g(x ) x → x g' (x ) Δy f (x + Δx ) − f (x ) = lim x x Δ → Δx Δx f (x ) − f (x ) ⎡ + ÑH phaû i f ' x lim = x → x +0 f (x ) − f (x ) ⎢ x − x0 ⇒⎢ hay: f ' (x ) = lim x→x ( ) − f (x ) f x x − x0 ⎢ ÑH traùi f ' x − = lim − x→x ⎢⎣ x − x0 + − + − thì f không có đạo hàm x0 ⇒ f có đạo hàm x0 ⇔ f ' x = f ' x Nếu f ' x ≠ f ' x 0 0 f ' (x ) = lim Δx → x ( ) ( ) ( ) ( ) Chứng minh hàm số liên tục: Cơ sở phương pháp để chứng minh hàm f liên tục x0, cần làm bước: x ∈ Df ; tìm soá trò f(x0) lim f (x ) = b ∈ R B1: Kieåm tra B2: Tìm x→x B3: So saùnh (1) vaø (2); neáu (1) (2) lim f (x ) = f (x ) = b , haøm f lieân tuïc taïi x = x0 x→x lim f (x ) = f (x ), thì f lieân tuïc beân traùi x ⎫ ⎪ f (x ) = f (x ) thì f lieân tuïc taïi x ⎬ ⇒ lim f (x ) = xlim → x −0 lim− f (x ) = f (x ), thì f lieân tuïc beân phaûi x ⎪ x → x +0 x→x ⎭ x → x +0 Ghi chú 1: Không loại trừ sử dụng ba phương pháp sau đây để chứng minh hàm liên tục x0: (1) PP2: f laø haøm sô caáp xaùc ñònh taïi x0 ⇒ f lieân tuïc taïi x0 (2) PP3: lim Δy = Δx → ⇒ f lieân tuïc taïi x0 (3) PP4: f khả đạo hàm x0 ⇒ f liên tục x0 Ghi chú 2: Ngoài ra, chứng minh hàm f liên tục trên tập thì sử dụng các định nghĩa: (a, b) ⇔ f lieân tuïc taïi moïi x0 ∈ (a; b) ⎧f lieân tuïc (a; b ) ⎪ ÑN : f lieân tuïc treân [a; b] ⇔ ⎨ f lieân tuïc phaûi taïi a ÑN1: f lieân tuïc 2 ⎪ f lieân tuïc traùi taïi b ⎩ Tìm đạo hàm điểm: Lop10.com ⎬ lim log a x = +∞ ⎪⎭ x → 0− lim ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ a>1 0<a<1 Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt B1: Tính lim Δx → http://www.toanthpt.net f (x ) − f (x ) Δy = b vaø neáu b ∈ R = lim → x x x − x0 Δx B2: Tồn f’(x0)=b Khi tồn hai giới hạn: f (x ) − f (x ) = f ' (x +0 ) : đạo hàm bên phải điểm x0 x→x x − x0 f (x ) − f (x ) = f ' (x −0 ): đạo hàm bên trái điểm x0 lim x → x −0 x − x0 lim+ * * Ghi chú: Nếu x0 là điểm thông thường tập xác định, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) thay vào ta có f’(x0) Tính đạo hàm định nghĩa: Δy = f ' (x ) ∈ R; ∀x ∈ D ta làm ba bước bản: Δx → Δ x lim B1: Gọi Δx là số gia biến số x tùy ý D, Δy là số gia hàm số tương ứng Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx) Δy Δx Δy lim = g(x ) ∈ R ; thì keát luaän: f’(x) = g(x) Δx → Δ x B2: Laäp tyû soá B3: Tính 1) Đạo hàm Haøm cô baûn: 1) y = f (x ) ⇒ dy = f ' (x ).d (x ) (c.u)' = c.u' (c : haèng soá) (u ± v)' = u'±v' (u.v )' = u'.v + u.v' 2) d (u.v ) = v.du + u.dv 2) Hàm hợp: Cho u = u(x); y = f(u) khả đạo hàm thì hàm hợp y = (fou)(x) = f[u(x)] khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)] hay y0 = y’u.u’x 3) Hàm ngược: ⎧ f : D → f (D ) Khả đạo hàm theo x và có hàm ⎨ ⎩x → y = f (x ) ⎧ f −1 : f (D ) → D ngược: ⎨ −1 ⎩y → x = f (y ) 1 Ta coù: y'x = ⇔ x' y = x' y y' x Bảng tính đạo hàm: Haøm soá f(x) Đạo hàm f’(x) ( ) x ;u n n n.x Quy taéc vi phaân: d (u ± v ) = du ± dv ′ ′ v' ⎛ u ⎞ u'.v − u.v' ⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟ =− ⎜ ⎟ = v v ⎝v⎠ ⎝v⎠ Cho: Vi phaân Ñònh nghóa: n −1 ( ; n.u n −1 .u' ⎛ u ⎞ v.du − u.dv d⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠ 3) Hàm hợp: y = [fo u](x ) = f [u(x ) ] ⇒ y' = u'(x ) f [u(x ) ] ⇒ y'(x ) = y'( u ) u'(x ) 4) y = [u(x )] ; (u(x ) > ) u' ⎞ ⎛ ⇒ y' = y(v ln u )' = u' ⎜ v' ln u + v ⎟ u⎠ ⎝ Haøm logarit: ) v(x ) Haøm soá f(x) Đạo hàm f’(x) sinx cosx C cosx x tgx = + tg x cos x ex ex ax axlna x; ( u) x ⎛ u' ⎞ ;⎜ ⎟ x ⎝2 u ⎠ − x Lop10.com -sinx Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net x x ln a lnx − cotgx = − + cot g2 x sin x ( ) logax Đạo hàm cấp cao: Khi cần tính đạo hàm cấp (n): y(n) = f(n)(x), người ta sử dụng phương pháp tính quy nạp ba bước sau: • Tính y’, y”, y’” để dự đoán công thức của: y(n) = f(n)(x) (1) • Giả sử (1) đúng ∀k ≥ , tức là ta có: y(k) = f(k)(x) (2) • Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (2) để chứng minh: y(k+1) = f(k+1)(x); đúng ∀k ≥ Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm • Ứng dụng đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) điểm f’(x0) tồn hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) điểm đó: t k = tgϕ = f ' (x ) (là ý nghĩa hình học đạo hàm) • • • • (C): y = f(x) Nếu hàm f có đạo hàm x0 thì hàm f liên tục điểm x0 Nhưng hàm f liên tục x0 thì chưa có đạo hàm điểm x0 Một hàm f không liên tục x0 thì không có đạo hàm điểm x0 Giả sử hàm f : y = f(x) có đạo hàm y’=f’(x) trên D, ta có: ) f laø haøm haèng treân D ) f đồng biến trên D ) f nghòch bieán treân D ⇔ f ' (x ) = 0; ⇔ f ' (x ) ≥ 0; ⇔ f ' (x ) ≤ 0; ∀x ∈ D ∀x ∈ D ∀x ∈ D ϕ x M(x0,y0) (h.1) (1) (2 ) (3) Để ý (2) và (3), đạo hàm thể hàm số đơn điệu nghiêm cách (đồng biến hay nghịch biến) D có thể không giá trị rời rạc biến số (xem h.2) không thể triệt tiêu khoảng tùy ý A y C f'(x0,1)=0 y A (α; β) ⊂ D (xem h.3) f'(x0,1)=0 ∀x0 ∈ (α;β) D C D f'(x0,2)=0 B B x x0,2 x0,1 a x b a α (h.2) x0 b β (h.3) • Neáu haøm f lieân tuïc treân [a;b] vaø f(a).f(b) < thì phöông trình f(x) = coù ít nhaát moät nghieäm: • ⎧ f lieân tuïc treân [ a;b] ⎧ phöông trình f ( x ) = Neáu: ⎪ ⇒⎨ ⎨f ( a) f ( b ) < ⎩ coù nghieäm nhaát x ∈ [ a;b] ⎪ f ñôn ñieäu nghieäm caùch treân a;b [ ] ⎩ x ∈ (a; b) y B f(b) a x0 A f(a) (C) : y = f(x) x (C) : y = f(x) b x a f(b) Lop10.com x0 b B (h.6) Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt • http://www.toanthpt.net Giả sử hàm f : y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] ) Hàm f đạt cực đại ) Hàm f đạt cực tiểu x ∈ (a; b) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x ) ∈ (a; b) cho: f (x ) < f (x ); ∀x ≠ x x ∈ (a; b) , neáu toàn taïi moät laân caän V(x ) ∈ (a; b) cho: f (x ) > f (x ); ∀x ≠ x * Định lý Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trị) Nếu hàm f có đạo hàm V(x0) và đạt cực trị x0 đó thì điều kiện cần là f’(x0) = y f'(x0)=0 A f'(x0)>0 a x0 (h.9) (C):y=f(x) f'(x0)>0 B A f'(x0)=0 f'(x0)<0 (C):y=f(x) B f'(x0)<0 b x a x0 (h.10) b y x Ý nghĩa hình học: tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) điểm cực trị thì song song trục hoành Hệ quả: Mọi điểm cực trị hàm số y = f(x) là điểm tới hạn * Định lý 2: (Điều kiện đủ thứ để hàm f có cực trị) Nếu hàm f có đạo hàm V(x0) và f’(x0) = (*), đồng thời f’ đổi dấu x qua x0 thì đủ để f đạt cực trị x0 • Khi f’(x0) = và f’(x) qua x0 mà không đổi dấu, ta nói (x0;f(x0)) là điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang Điều kiện (*) coù theå thay theá baèng f’(x0) vaø f lieân tuïc taïi x0 • Tiếp điểm nằm trên đường cong (C) : y = f(x) là điểm uốn ⇔ đó đường cong vặn mình băng qua tiếp điểm đó * Ñònh lyù 3: (Toàn taïi ñieåm uoán) Nếu f có đạo hàm bậc hai f” V(x0) (**) và f”(x0) = 0; đồng thời f” đổi dấu qua x0 thì M(x0;y0) là điểm uốn (C) : y = f(x) Trong (**) neáu f” khoâng toàn taïi thì caàn coù theâm toàn taïi y A f"(x0)=0 I f"(x0)>0 a x ∈ V(x ) để f liên tục x0; thì M là điểm uốn (C):y=f(x) B f"(x0)<0 x0 (h.10) b x • f”(x) < trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lồi (a;b) phía y dương • f”(x) > trên (a;b) ⇔ Đồ thị (C) : y = f(x) lõm (a;b) phía y dương * Định lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để hàm có cực trị) Nếu f’(x0) = V(x0) đồng thời f”(x0) # thì hàm f có cực trị x0 Cụ thể: f'(x0)=0 f"(x0)>0 f"(x0)<0 f'(x0)=0 * Định lý 5: (Điều kiện tồn hàm ngược - Điều kiện đủ) Neáu f laø moät haøm soá lieân tuïc, ñôn ñieäu ngaëc [a;b] thì f coù haøm soá f-1 xaùc ñònh treân [f(a);f(b)] • Lúc đó f-1 liên tục đơn điệu ngặt trên [f(a);f(b)] và cùng chiều biến thiên với f • Xét tính đối xứng hai đồ thị hai hàm ngược (C) : y = f(x) và (C-1) : y = f-1(x) qua đường phân giác thứ • Hàm f tăng nghiêm ngặt (nếu f giảm ngặt ta biến đổi sơ cấp chẳng hạn (-f) là hàm tăng ngặt) Lúc đó, ta có: ⎧f taêng ngaët treân D ⇔ f (x ) = x; ∀x ∈ D ∩ f (D ) ⎨ −1 ⎩ f (x ) = f (x ) • Thêm ứng dụng đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (định lý) L’ Hospitale sau: (n ) f (x ) ⎛ 0⎞ f ' (x ) f " (x ) f (x ) = lim = = lim (n ) Daïng ⎟ = lim ⎜ x → x g(x ) x→x0 g (x ) ⎠ x → x g' (x ) x → x g" (x ) ⎝ lim Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt ⎛0⎞ ⎜ ⎟ Trong đó n0 là số dừng đạo hàm cấp n dạng vô định ⎝ ⎠ vừa khử ⎛0⎞ ⎛∞⎞ Dạng ⎜ ⎟; (0 × ∞ ); (∞ − ∞ ) có thể biến đổi dạng ⎜ ⎟ để sử dụng quy tắc L’ Hospitale ⎝0⎠ ⎝∞⎠ ) ) • http://www.toanthpt.net Tính lồi lõm hàm số đẳng thức Jensen y y ⎛ x + x2 ⎞ f⎜ ⎟ ⎝ ⎠ f x1 + f x 2 f x1 + f x 2 ⎛ x + x2 ⎞ f⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a x1 x + x x2 b a x x1 x1 + x x b ⎧ ⎪⎪ ⎨f " < ⎪ ⎪⎩ f lieân tuïc treân treân ( a;b ) ⇒ [ a;b ] ⎛x f⎜ ⎝ + x + + x n n [ ] ⎞ ⎟≥ ⎠ x ( ) ( ) + + f ( x n ) f x1 + f x n x ; x ; x n ∈ a; b Dấu đẳng thức BĐT xảy x1 = x2 = = xn * Ñònh lyù Lagrance: ⎧ f lieân tuïc [a; b] ⇒ ∃ c ∈ (a; b ); f (b ) − f (a ) = (b − a)f (x ) ⎨ ⎩f khả đạo (a; b ) Ý nghĩa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn trên đồ thị (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến đó song song với đoạn nối hai đầu nút đồ thị Heä quaû: (Ñònh lyù Rolle) [ ] () f có đạo hàm trên ( a;b ) ⎧giữa nghiệm x1 ;x phân biệt ⎪ ⎬ ⇒ ⎨ neáu coù cuûa f ( x ) = phaûi coù ⎭⎪ ⎪ ít nhaát nghieäm x cuûa f' ( x ) = ⎩ ( )⎫⎪ f lieân tuïc treân a;b vaø f a = f b CHỦ ĐỀÀ 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU I TÍNH TAÊNG - GIAÛM (ÑÔN ÑIEÄU) CUÛA HAØM SOÁ: ⎡ ∀x , x ∈ (a; b ) : x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x ) f taêng treân (a; b ) ⇔ ⎢ ⎣f ' (x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Hàm số đồng biến ⎡ ∀x1 , x ∈ (a; b ) : x1 < x ⇒ f (x1 ) > f (x ) f giaûm treân (a; b ) ⇔ ⎢ ⎣f ' (x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b ) : Haøm soá nghòch bieán f(x) laø haøm baát kyø Tính chaát ñôn ñieäu (x ) ≥ Neáu max f ' (x ) ≤ (x ) ≥ f luoân giaûm: f ' (x ) ≤ Neáu f ' II f luoân taêng: f ' f(x) haøm baäc a > vaø Δ ≤ a < vaø Δ≤0 TĂNG - GIẢM TRONG KHOẢNG: Heä soá a=0 Haøm baäc 2: y = ax2 + bx + c ⇒ y' = 2ax + b Taêng, giaûm (α;+∞ ) y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m1 ⇒ y' = b > : nhaän m1 y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) m = m1 ⇒ y' = b < : nhaän m1 Haøm f taêng Haøm f giaûm Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt b ≤α⇒m =? 2a − a>0 http://www.toanthpt.net a<0 Khoâng xaûy − Khoâng xaûy y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y' = 3ax2 + 2bx + c (α;+∞ ) hay [α;+∞ ) f taêng y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Heä soá Haøm baäc 3: * TH1: Heä soá a=0 Xeùt daáu y’ ⎧a > ⎨ ⎩Δ ≤ Thoûa x ⎧a > ⎨ ⎩Δ > x1 y' [α;+∞ ) x2 * TH2: x y' x y' x x1 −∞ y' (− ∞; α ] (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 − ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x + y' ≥ +∞ (α; β) [α;β] x + [α;+∞ ) Khoâng thoûa (− ∞; α] (- ∞; α] và (α;β) [α; β] Taêng x2 − + − ⇔ x1 < x ≤ α a>0 y' x1 −∞ x2 − + x1 ≤ α < β ≤ x +∞ − ⇔ a.y' (α ) ≤ vaø a.y' (β) ≤ (− ∞; α ] (- ∞; α ] (− ∞; α] x1 x2 Giaûm y' ≤ +∞ (α; β) [α;β] x −∞ x1 x2 y' + − x1 ≤ α < β ≤ x + − ⎧ a>0 ⎨ ⎩α ≤ x1 ≤ x ax + bx + c g(x ) Hàm hữu tỷ: y = = a' x + b' a' x + b' − +∞ + ⇔ a.y' (α ) ≤ vaø a.y' (β) ≤ Caùch 1: Giaûi nhö phaàn II.2 Caùch 2: Phaàn II.2 cuõng coù theå laøm theo caùch naøy (α;+∞ ) x ≥ α y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) (α;+∞ ) x ≥ α y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) thì g(x ) ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) ⎞ ⎛ b ⇔ g(x ) ≥ ⇒ g(x ) taêng ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎠ ⎝ 2a ⇒ g(x ) = g(α ) ⎞ ⎛ b ⇔ max g(x ) ≤ ⇒ g(x ) giaûm ⎜ − ;+∞ ⎟ ⎠ ⎝ 2a ⇒ max g(x ) = g(α ) f taêng x g' (x ) g(x ) III y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) ⎧a < ⎨ ⎩Δ > Khoâng thoûa y' ≤ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) Xeùt daáu y’ ⎧a < ⎨ ⎩Δ ≤ + − + ⇔ x1 < x ≤ α a<0 f giaûm a=0 y' ≥ 0, ∀x ∈ (α;+∞ ) −∞ b ≤α⇒m =? 2a − b 2a CT g(x ) α +∞ + +∞ f giaûm x ⎧ a>0 ⎪ b ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a ⎩ g(α ) ≥ g' (x ) g(x ) DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VAØ BPT: Bất đẳng thức: Lop10.com b α +∞ 2a − CÑ g(x ) +∞ − ⎧ a<0 ⎪ b ⇔ ⎨− ≤α ⎪ 2a ⎩ g(α ) ≤ Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt ( ) ( ) http://www.toanthpt.net ( ) f x ≤ f x ≥ 0, ∀x ∈ a; b ⎡ f ( x ) taêng thì x ≥ ⇒ f ( x ) ≥ f ( ) ⎢ f ( x ) giaûm thì x ≤ ⇒ f ( x ) ≤ f ( ) ⎣ Nếu BĐT có biến thì: f (α ) < f (β ) với a < α < β < b ⎧ f (x ) taêng ⇔ α < β ⇒ f (α ) < f (β ) Xét tính đơn điệu f(x) khoảng (α; β ) ⇒ ⎨ ⎩f (x ) giaûm ⇔ α < β ⇒ f (α ) > f (β ) ( ) ( ) f ' x ⇒ f x tăng giảm ⇒ • • Phöông trình coù nghieäm nhaát: Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm ) Suy đoán x = x0 là nghiệm phương trình ) Chứng minh x0 là nghiệm ⇔ f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm) Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có nghiệm ) Suy đoán x = x0 là nghiệm phương trình ) Chứng minh f(x) và g(x) là hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghịch biến) CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HAØM SỐ I CỰC TRỊ: ( ) f đạt cực trị x ⇒ f ' x = ⇒ ⎡ f đạt CĐ ⇔ f' ( x ) > đổi dấu ( + ) sang (-) ⎢ ⎢⎣ f đạt CT ⇔ f' ( x ) < đổi dấu (-) sang ( + ) () () ⎡ f' a = f có đạt cực trị x ⇒ f ' x = : Hàm f x nhận M a,b làm cực trị ⇔ ⎢ ⎣f a = b ( ) ( ) ( ) f đạt CĐ và CT ⇔ f' x = đổi dấu lần ⇔ ( ) { ( ) a≠0 Δ>0 ⇒ f không đạt cực trị { ⎡ f' ( x ) = Voâ nghieäm a≠0 ⎢ f' ( x ) = Nghieäm keùp ⇔ Δ ≤ ⎣ ⎧⎪ f ' ( x ) = ⎪⎧ f ' ( x ) = ⇔⎨ ⇒ f đạt CT x ⇔ ⎨ ⎪⎩ f " ( x ) < ⎪⎩ f " ( x ) > ⇔ f ' x = không đổi dấu ⇔ f đạt CĐ x Chú ý: Hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó f’(x) = đạo hàm không tồn II y= CỰC TRỊ HAØM HỮU TỶ: ax + bx + c a'x + b' ( ) ⇒ y' = f ' x = aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c a'x + b' ( y ' = ⇔ aa ' x + 2ab ' x + bb '− a ' c = ) (1) ( aa ' ≠ ) *f coù CÑ, CT thì (1) coù nghieäm phaân bieät ⇔ Δy' > ⎛ ⎝ *f khoâng coù CÑ, CT thì (1) voâ nghieäm ⇔ Δy' < hay ag ⎜ - b' ⎞ ⎟<0 a' ⎠ ( ) ⇒ C cắt Ox điểm bên TCĐ ⎧ y' = ( Δy' > 0;x1 ≠ x ) ⎨ ⎩ y max y > ⎧ y' = ( Δy' > 0;x1 ≠ x ) ⇔⎨ y max y < ⎩ *f coù CÑ, CT vaø giaù trò CÑ, CT cuøng daáu ⇔ ⎧⎪ điểm cực trị cùng phía Ox ⇔ ⇔⎨ ⎪⎩ đồ thị cắt Ox điểm phân biệt *f coù CÑ, CT vaø giaù trò CÑ, CT traùi daáu ⇔ Đồ thị không cắt Ox ⇔ ( ) *Điều kiện cần và đủ để tồn điểm mà từ đó kẻ đến C ⎛ ⎝ tiếp tuyến là: ag ⎜ − Lop10.com b' ⎞ ⎟>0 a' ⎠ ⎧ y' = ⎨y = ⎩ ⎧y ' = ⎨y=0 ⎩ ( Δy' > ) ( Δy < ) ( Δy' > ) ( Δy > ) Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net III CỰC TRỊ HAØM TRÙNG PHƯƠNG: Daïng 1: 2 y = ax + bx + c ⇒ y ' = 2x 2ax + b ( y' = ⇔ ⎡ 2x = ⎢ ⎣ 2ax + b = ) (1) ⎡ f có cực trị ⎡(1) coù hai nghieäm phaân bieät x ≠ ⎢ f coù ñieåm uoán ⇔ ⎢ ab < ⎣ ⎣ ⎡ a = 0, b ≠ ⎢ a ≠ 0, b = ⎡ f có cực trị ⇔ ⎢ f khoâng ñieåm uoán ⎢(1) voâ nghieäm ⎣ ⎢ ⎢⎣ ab ≥ * * Daïng 2: 2 y = ax + bx + c + d ⇒ y ' = x 4ax + 3bx + c ( ) y' = ⇔ ⎡x = ⎢ ⎣ 4ax + 3bx + c = * ⎡Δ ≤ ⎡ f chæ coù CT ⎡(2) vô nghiệm nghiệm kép ⇔ ⇔ ⎢ mà không có CĐ ⎢(2) có nghiệm x = nghiệm x ≠ ⎢g ( ) = ⎣ ⎣ ⎣ Daïng 3: y = ax + bx + cx + dx + e ⇒ y ' = 4ax + 3bx + 2cx + d (2) ( y' = x − α ) ( Ax + Bx + C) = ( x − α ) g ( x ) = y' có nghiệm thực α ⎡g ( x ) = vô nghiệm nghiệm kép ⎡ Δ ≤ ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣g ( x ) = có nghiệm x = α x ≠ α ⎣g ( α ) = * f có cực trị ⇔ Chuù yù: 1) f có cực trị mà hoành độ lớn α ⇔ y' = thỏa α < x1 < x 2) f có cực trị mà hoành độ nhỏ α ⇔ x1 < α < x x1 < x ≤ α 3) f có cực trị α;β ⇔ y ' = thỏa α < x1 < x < β 4) IV 1/ ( ) f đạt CĐ x ∈ [ α ,β ] , đạt CT điểm ngoài x ∈ [ α;β ] ⇔ y ' = thỏa α ≤ x1 ≤ β ≤ x PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG QUA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ: Dạng 1: Đường thẳng qua điểm cố định (Cm) : y = fm(x) có bậc ba: Gọi (x0;y0) là điểm cố định hệ phương trình đặc trưng các điểm cố định tương ứng từ y0 = fm(x0) (I) là: ⎧⎪fm (x ) = a2 x30 + b2 x 20 + c2 x + d ⇔⎨ ⎪⎩g(x ) = a1x 30 + b1x 20 + c1x + d1 = (I) (II) Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố định 2/ Thực phép chia đa thức fm(x0) : g(x0) để đưa (I) dạng: y = f (x ) = γg(x ) + baèng khoâng αx + β phöông trình heä quaû ⇒ (d ) : y = αx + β : là đường thẳng qua ba điểm cố định (Cm); ∀m Hay ba điểm cố định (Cm) qua ∀m thẳng hàng trên (d) (mặc dù ta không cần tìm rõ ba tọa độ cụ thể ba điểm cố định đó) Dạng 2: Đường thẳng qua hai cực trị hàm bậc ba (Cm) : y=fm(x) 10 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 1/ http://www.toanthpt.net Gọi (x0,y0) là các điểm cực trị (Cm) thì nó thỏa hệ: ⎧ y = fm x = ax 30 + bx 02 + cx + d (I) ( ) ⎪⎪ ⎨g ( x ) = f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c = ⎪ ⎪⎩ với: b -3ac > 0; ∀m ∈ Dm ( 2/ ) Thực phép chia fm(x0) : g(x0) để đưa (I) dạng: y = fm (x ) = (αx + β) g(x ) + ⇒ (d ) : y = γx + ξ; 1/ (II) baèng khoâng γx + ξ phöông trình heä quaû ∀m ∈ D m : là đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm hữu tỷ (C m ) : y = fm (x ) = u(x ) v(x ) Gọi (x0;y0) là điểm cực trị (Cm); thì nó thỏa hệ: ⎧ u ( x0 ) ⎪y = ( I) v ( x0 ) ⎪⎪ u ' ( x) ⇒ y0 = = αx + β ⎨ ′ v ' ( x) ⎪⎛ u ( x ) ⎞ ⎟⎟ = ( II ) phöông trình heä quaû ⎪⎜⎜ v x ( ) ⎠ ⎩⎪⎝ 2/Ta có: (d ) : y = αx + β là đường thẳng qua hai cực trị (Cm) (mặc dù ta không cần tìm rõ tọa độ hai điểm cực trị nó) 1/ Dạng 4: Đường thẳng qua ba điểm uốn (Cm) : y = fm(x) Goïi (x0;y0) laø ñieåm uoán cuûa (Cm); thì noù thoûa heä: ⎧y = fm (x ) ⎨ " ⎩y = g(x ) = a1x + b1x + c1x + d1 = Với g(x0)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã chứng minh là có nghiệm phân biệt 2/ Thực phân tích: Biến đổi thêm bớt để rút ra: y = γg(x ) + baèng khoâng αx + β phöông trình heä quaû 3/ ⇒ (d ) : y = αx + β; ∀m ∈ D m : là đường thẳng qua ba điểm uốn V PHÖÔNG TRÌNH CHUØM PARABOL: Trong hệ trục Oxy; đường cong (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là Parabola có trục đối xứng song song Oy Khi (P) qua đồng thời ba điểm A(xA;yA); B(xB;yB); C(xC;yC) cố định thì ta luôn xác định ba (a;b;c) hệ trục Oxy Khi (P) qua hai điểm A, B qua điểm A, thì ta nhận các Parabola lưu động họ Parabola và chúng tạo thành chùm (như chùm đường thẳng, chùm đường tròn mp (Oxy) đó) y (d):y = αx + β y yB yA A xA a yA B (PA) A (d):y = αx + β (PA) xB b x (Pλ ) : y = λ(x − xA )(x − xB ) + αx + β xA (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β 11 Lop10.com x Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net y (d):y = αx + β (Δ):x = xA y yB B yA A xA (PA) a xB b (d):y = yA (PA) yA A S x xA x (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x 2A ) + β (Pλ ) : y = λ(x − xA )(x − xB ) + β Tập hợp các Parabola (Pλ) qua nhiều hai điểm cố định A và B gọi là chùm Parabol (Pλ); với λ ≠ là tham số đặc tröng cuûa chuøm Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) gọi là đường đế chùm (Pλ) lúc đó • • d ≡ (AB) : y = αx + q làm đường đế, có dạng: (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + αx + β (λ ≠ 0) (*) Phương trình chùm (Pλ) qua hai điểm đế A, B và nhận • ) ) (y A ≠ y B và α ≠ 0) , là trường hợp tổng quát (*) Khi đường đế nằm ngang: (y A = y B hay α = ) , ta có trường hợp (P ) có đường đế (d ) : y = y A = β Khi đường đế xiên góc: λ (vuông góc với các trục đối xứng (Pλ)) (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + y A ⇒ ) Khi α ≠ 0, A ≡ B ta có trường hợp (Pλ) là chùm tự tiếp xúc (có trục đối xứng (Pλ) song song (Oy)) (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + αx + β ⇒ ) Khi (2) α = 0, A ≡ B ta có trường hợp (Pλ) là chùm tự tiếp xúc đỉnh (chung đỉnh, đường đế vuông góc với trục đối xứng (Pλ)) (Pλ ) : y = λ(x − x A )2 + y A ⇒ Chuøm Parabola: • (1) (Pλ ) : y = λ(x − x A )(x − x B ) + Phần đặc trưng cho số lượng ñieåm coá ñònh maø ( Pλ )ñi qua ⎧ ⎪ Hoï ( Pλ ) ⎪ B1: Xaùc ñònh: ⎨ ⎪ Đường đế ⎪⎩ qua ( d) (3) αx + β Phaàn ñaëc tröng cho đường đế Hai ñieåm coá ñònh (I) Moät ñieåm coá ñònh (II) Xiên góc (đế xiên) Đế (III) (IV) B2: Họ (Pλ) thỏa các cặp thứ tự (I, III); phương trình (Pλ) có dạng tổng quát (*) ) Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt (1) ) Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt (2) ) Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt (3) B B3: Đưa các giá trị cụ thể giả thiết vào phương trình (Pλ), ta xác định B Laáy x0 thay vaøo caùc phöông trình (Pλ) ta coù ycbt VI TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ CỰC TRỊ HAØM SỐ: Nằm cùng phía với trục hoành Nằm hai góc phần tư: ⎧Δy' > ⇔⎨ ⎩y1 y < 12 Lop10.com λ = λ0 baèng caùc phöông trình ñaëc tröng Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net (I) vaø (III) ⎧Δy' > ⎪ ⎨x1 > 0; y1 > ⎪x < 0; y < ⎩ VII (II) vaø (IV) ⎧Δy' > ⎪ ⎨x < < x ⎪a > vaø y = VN ⎩ y' ⎧Δy' > ⎪ ⎨x1 < 0; y1 > ⎪x > 0; y < ⎩ ⎧Δy' > ⎪ ⎨x1 < < x ⎪a < vaø y = VN ⎩ y' ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HAØM BẬC CẮT TRỤC HOAØNH TẠI HOẶC ĐIỂM: y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ PTHÑ giao ñieåm : ax3 + bx2 + cx + d = (*) (*) coù nghieäm ñaëc bieät x0 (x − x )(ax2 + bx + c) = Coù nghieäm keùp Coù nghieäm ⎡ ⎧y = coù nghieäm chung ⎢⎨ ⎢ ⎩ y' = ⎢ ⎡ax + bx + c = nghieäm keùp ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣⎢ax + bx + c = nghieäm x = α Coù nghieäm ax + bx + c = vô nghiệm nghiệm kép ⎧Δ ≤ ⎪ ⇔⎨ b ⎪⎩x = − 2a ax + bx + c = coù nghieäm x ≠ x ⎧Δ > ⇔⎨ ⎩g(x ) ≠ (*) khoâng coù nghieäm ñaëc bieät y' = 3ax2 + 2bx + c ⎡Δy' ≤ ⎢ ⎢⎧Δy' > ⎢⎣⎨⎩y max y < ⎡y max y = ⎢ ⎢⎧y = nghieäm chung ⎢⎣⎨⎩y' = Ghi chuù: PT baäc 3: y=0 khoâng theå coù nghieäm phaân bieät VIII ⎧Δy' > ⎨ ⎩y max y < ⎧ Δy ' ≤ ⇔⎨ ⎩y max y > ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HAØM BẬC CẮT TRỤC HOAØNH TẠI ĐIỂM CÓ HOAØNH ĐỘ DƯƠNG (HAY ÂM): Hoành độ Hoành độ dương Hoành độ âm Lớn α Nhoû hôn α ⎧Δy' > ⎪ ⎪⎪af (0 ) < ⎨x CÑ > ⎪x > ⎪ CT ⎪⎩y max y < ⎧Δy' > ⎪ ⎪⎪af (0 ) > ⎨x CÑ < ⎪x < ⎪ CT ⎪⎩y max y < ⎧Δy' > ⎪af (α ) < ⎪ ⎨ ⎪α < x1 < x ⎪⎩y max y < ⎧Δy' > ⎪af (α ) > ⎪ ⎨ ⎪x1 < x < α ⎪⎩y max y < CHỦ ĐỀÀ 4: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT I • GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT TRÊN ĐOẠN [a;b]: f lieân tuïc treân [a;b] coù M[GTLN] vaø m[GTNN] cuûa f treân [a;b] ⇔ m ≤ f (x ) ≤ M ∀x ∈ [a; b] • Tìm giá trị cực trị f(x) trên [a;b] để tìm maxf và minf Chuù yù 1: ∃ maxf, minf ⇔ f lieân tuïc treân [a; b] ⇒ M = max{f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m = {f (a), f (b ), fCÑ , fCT } x∈[a; b ] m ≤ y0 ≤ M Duøng MGT tìm max, min: Duøng BÑT Coâsi, Bunhiacoâpsky 13 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net Chuù yù 2: x x1 −∞ y' + y x2 − max x x0 ) a<0 ) ) III y +∞ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HAØM BẬC TRÊN ) • y' + a>0 hoành độ đỉnh x0 = − x +∞ y = f (a) x1 x2 + +∞ − max f(x) tăng giảm trên [a;b] y • y y' II x ∈ (a; b) +∞ x −∞ y' + − Nếu f(x) liên tục khoảng (a;b) có điểm cực trị x0 max y = f (b ) +∞ − −∞ [α;β] : b 2a [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy max y vaø y Neáu x ∈ α; β : y = f x ; max y = max f α , f β [ ] { ( ) ( )} ( ) Neáu x ∉ [ α; β ] : so saùnh f ( α ) vaø f ( β ) suy max y vaø y Neáu x ∈ α; β : max y = f x ; y = max f α , f β TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ: ( ) ( ) ( ) Phöông phaùp 1: GTLN f x = max f x vaø GTNN f x x∈Df x∈Df x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≥ m; ∀x ∈ D f x = m ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x ∈ Df : f x = m ( ) ( ) ( ) = f x x∈Df ( ) ⎧ ñn ⎪ f x ≤ M; ∀x ∈ D max f x = M ←⎯ →⎨ x∈Df ⎪⎩∃x ∈ Df : f x = M ( ) y f a A ( ) = max f x B a≤ x≤ b f(b) a b y CT = f x a≤x ≤ b Phöông phaùp 2: B1: Kieåm tra tính lieân tuïc cuûa haøm f treân B D f = [a; b] B2: Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trị y0=f(x0) các cực trị địa phương các điểm B Tìm f(a), f(b): laø caùc soá trò bieân cuûa haøm f B3: So saùnh f(a), f(b) vaø caùc y0, ta coù: M = max{f (a); f (b ); (caùc y )} = max f (x ) B a≤ x ≤ b a≤ x ≤ b m = min{f (a ); f (b ); (caùc y )} = f (x ) a≤ x ≤ b Ghi chuù: Khi vieát a≤ x ≤ b m ≤ f (x ) ≤ M , ta coù taäp giaù trò cuûa haøm f laø: f(Df) = [m;M] 14 Lop10.com x ∈ (a; b) ) x Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net CHỦ ĐỀÀ 5: LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN, TIỆM CẬN I LOÀI, LOÕM, ÑIEÅM UOÁN I(x0,f(x0)): x −∞ y" + y Loõm x 01 − Uoán Loài Daáu hieäu ñieåm uoán: Daáu hieäu 1: f ′′ Daáu hieäu 2: II x 02 ( x0 ) = +∞ x + y" − Uoán Loõm y Loài +∞ + Uoán Loõm f ′′ ( x ) đổi dấu ( -∞ ,x ) ; ( x , +∞ ) ; ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x ) ≥ x0 −∞ ⎧⎪ f ′′ ( x ) = 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x ) ≤ CAÙC DAÏNG ÑIEÅM UOÁN: HÌNH DAÏNG ÑIEÅM UOÁN DAÁU HIEÄU NHAÄN BIEÁT ÑIEÅM UOÁN (T) ( i) f"<0 I (C) ( f">0 I ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f">0 (T) ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′′ ( x ) = 0; ∃f ′ ( x ) ≠ 0 0 ⎨ ⎪⎩ f ′′ ( x ) đổi dấu x qua x ( i2 ) (C) ( ⎧⎪∃x ∈ ( a; b ) : f ′ ( x ) = 0 ⎨ ⎪⎩ f ′ ( x ) không đổi dấu x qua x ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 ; f x0 f"<0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ (C) f"<0 I f">0 (T) ⎧∃x ∈ a; b :gt mở rộng f ′′ x = ∞ ( i3 ) : ⎪⎨f′′ (0x) (đổi dấ) u x qua x( ) ( i4 ) ( ⎪⎩ ⎧giá trị mở rộng f ′ ( x ) = ∞ ⎪ : ⎨ f ′ ( x ) không đổi dấu x băng qua x ⎪ f ′′ x đổi dấu x qua x ⎩ ( ) ( ) ) : laø ñieåm uoán cuûa ( C) : y = f ( x ) ⇒ I x0 , f x0 III TIEÄM CAÄN: Tiệm cận đứng x = x0 lim y = ∞ x→x Tieäm caän ngang y = y0 Tieäm caän xieân y = ax+b lim y = y ⎡⎧ y ⎢⎪a = lim x →∞ x ⎢⎨ [y − (ax + b)] ⎢⎪⎩b = lim x →∞ ⎢ ⎢⎧⎪lim = ∞ ⎢ ⎨x →∞ [y − (ax + b)] = ⎢⎪⎩lim ⎣ x →∞ x →∞ Chuù yù: 15 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net y = ax + b + ε(x ) với lim ε(x ) = thì y = ax + b là tiệm cận xiên x →∞ Hàm phân thức TCÑ: x = x0 Tìm nghieäm x0 cuûa Q(x) = y= P (x ) : Q(x ) TCN TCX TC cong laø Parabola Baäc P(x) ≤ Baäc Q(x) Baäc P(x) > Baäc Q(x) baäc Baäc P(x) > Baäc Q(x) baäc ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ ax + bx + c P (x ) a a' b − ab' a' ⎠ y= = = x+ + ⎝ a' x + b' Q(x ) a' a' a' x + b' 2 Hàm hữu tỷ: ⎛ b' ⎞ P⎜ − ⎟ a a' b − ab' a' ⎠ lim ⎝ : TCX = 0⇒ y = x+ x →∞ a' x + b' a' a'2 • Neáu ( ) f x = Hàm vô tỷ (hàm thức): y = f(x) ax + bx + c = a x+ b 2a ( ) ( ) + ε x Với lim ε x = x→∞ ⎡ b ⎞ ⎛ Nhaùnh traùi : y = - a ⎜ x + ⎢ ⎟ b ⎝ 2a ⎠ ⇒ TCX : y = a x + =⎢ 2a ⎢ b ⎞ ⎛ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = a ⎜ x + 2a ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ p + ε(x ) Neáu f (x ) = ax + b + x + px + q = ax + b + x + • ⎡ ⎛ p⎞ Nhaùnh traùi : y = ax + b- ⎜ x + ⎟ ⎢ p ⎝ 2⎠ ⇒ TCX : y = ax + b + x + =⎢ ⎢ ⎛ p⎞ ⎢ Nhaùnh phaûi : y = ax + b + ⎜ x + ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ( C) Ñaëc bieät: ( ) ( ) ( ) y= f x =g x +ε x maø ⎧ lim f ( x ) = ∞ ⎪ x→∞ ⎨ ⎡ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦ = lim ε ( x ) = ⎪⎩ xlim →∞ ⎣ x→∞ ( ) ⇒ T ( ) y = g x laø tieäm caän cong CHỦ ĐỀÀ 6: KHẢO SÁT HAØM SỐ I • Goïi (P ) : y = f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (a ≠ 0) Tam thức bậc hai có dạng: (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c HAØM BAÄC HAI: Δ = b2 − 4ac; Δ ≥ 0, ñaët x1,2 = -b± Δ 2a , ta có f(x1) = f(x2) = thì x1, x2 là hai nghiệm tam thức bậc hai (cũng là hai nghieäm cuûa phöông trình baäc hai: ax2+bx+c = 0) Tính chất các nghiệm số x1; x2 (quy ước x1 < x2) • 16 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net b ⎧ ⎪⎪S = x1 + x = − a (Ñònh lyù Viete thuaän) ⎨ ⎪P = x x = c ⎪⎩ a ) (⇒ ) Mệnh đề : x1 - x = Δ a (⇒ ) Hệ (Định lý Viete đảo): Nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P; thì hai số đó là nghiệm phương trình: f (x ) = x − Sx + P = (Với : S2 - 4P ≥ 0) ) c < ⇔ x1 < < x (hai nghieäm traùi daáu) a b ⎡ ⎢S = − a < ⇒ x1 > x Ta có hai trường hợp nhỏ: ⎢ ⎢S = − b > ⇒ x < x ⎢⎣ a c ⎧ ⎪⎪P = a > ⇔ x1 < x < (hai nghiệm âm) ) Neáu ⎨ ⎪S = − b < a ⎩⎪ c ⎧ ⎪⎪P = a > ⇔ < x1 < x (hai nghiệm dương) ) Neáu ⎨ b ⎪S = − > ⎪⎩ a • Tính chất đồ thị (P ) : y = f (x ) = ax + bx + c ⎛ b Δ⎞ ; ⎟ là Parabola (đứng) có đỉnh S⎜ − ⎝ 2a 4a ⎠ b b ) Để ý x S = − ; là nghiệm kép tam thức bậc hai, thì d : x = − 2a 2a Neáu ) • P= Dấu tam thức bậc hai: Viết tam thức dạng: 4af (x ) = 4a2 x2 + 4abx + 4ac ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) + 4ac − b2 là trục đối xứng (P) (a ≠ 0) ⇔ 4af (x ) = (2ax + b ) − Δ (*); với Δ = b2 - 4ac Từ (*) ta có định lý thuận dấu tam thức bậc hai sau: Tam thức bậc hai luôn có dấu hệ số a; với giá trị x và loại trừ hai trường hợp: ) Neáu ) Neáu Δ>0 • • ⎛ b⎞ Δ = ⇒ af ⎜ − ⎟ = ⎝ 2a ⎠ Δ < ⇒ af (x ) < 0; ∀x ∈ (x1; x ) −∞ Tồn (x1;x2) mà đó f(x) trái daáu a Cuøng f x = ax + bx + c daáu ( ) [x1; x ] ≠ φ;{0} 17 Lop10.com a x1 | x2 +∞ | Traùi daáu Cuøng daáu | a | a Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt x Không tồn (x1;x2) mà đó f(x) traùi daáu a • Δ=0 http://www.toanthpt.net [x1; x2 ] = {0} • f x = ax + bx + c ( ) ⇒ Sự trái dấu bị suy biến Δ<0 [x1; x ] = φ • Cuøng daáu a | a −∞ +∞ Cuøng f x = ax + bx + c ( ) daáu a Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tam thức bậc hai: Daáu a a>0 Daáu Δ a<0 y y (P) Δ 4a x1 S − Δ>0 b − 2a x1 x2 0 x2 Δ − 4a +∞ 2a | ⇒ Sự trái dấu bị biến • b Cuøng daáu x Không tồn (x1;x2) mà đó f(x) traùi daáu a • x1 = x = − −∞ x b 2a − x (P) S y y − b 2a (P) Δ<0 − − (P) x b 2a y y (P) − x∈R − − b 2a x (P) x b 2a Δ b ; x = − 4a 2a GTNN f (x ) = − x∈R Δ b ; x = − 4a 2a α thỏa af (α ) < , thì tam thức B2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < α < x Heä quaû: α và β cho f (α )f (β ) < thì tam thức B2 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 và có nghiệm nằm (α; β)(với α < β) Neáu toàn taïi hai soá khoảng Δ 4a Định lý đảo dấu tam thức bậc hai: Nếu tồn số thực ) S S − GTNN f (x ) = − max ) Δ 4a S S Δ 4a Δ=0 x Δ − 4a 18 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt Chaúng haïn: • http://www.toanthpt.net x1 < α < x < β hay α < x1 < β < x Từ định lý đảo trên ta có so sánh số thực α với hai nghiệm x1, x2 tam thức nhö sau: af (x ) < ⇔ x1 < α < x ) TH1: ) TH2: Δ < 0: vieäc so saùnh khoâng ñaët ) TH3: ⎧ ⎪Δ > ⎪ ⎨ af ( α ) > ⇔ α < x1 ⎪S ⎪ −α> ⎩2 < x2 ) TH4: (a ≠ 0) (khoâng caàn xeùt daáu Δ, vì luoân luoân coù Δ > 0) ( xem hình 1) x1 α (hình 1) f (x ) = ax2 + bx + c // // S x1 + x2 = 2 x2 x ⎧ ⎪Δ > ⎪ ⎨af (α ) > ⇔ x1 < x < α (xem hình ) ⎪S ⎪ −α<0 ⎩2 x1 (hình 2) f (x ) = ax2 + bx + c x2 // // S x1 + x2 = 2 x ⇔a=b=c=0 • Tam thức • Hai tiếp tuyến phát xuất từ điểm M đến trên đường chuẩn (d) đến Parabola vuông góc với và đồng thời đoạn nối các tiếp điểm T1T2 luôn luôn qua tiêu điểm F (P) (t2) có ít ba thực nghiệm α (P) (t1) T1 T2 (d) M (C) : y = f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d (C) : y = f (x ) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) • MXÑ: D = (− ∞;+∞ ) II HAØM BAÄC BA: (a ≠ 0) Hoïc sinh xem phaàn naøy Sgk y′ = 3ax2 + 2bx + c vaø y′′ = 6ax + 2b • Các đạo hàm: • Tâm đối xứng là điểm uốn: • Xeùt ⎛ b ⎛ b ⎞⎞ I⎜⎜ − ; f ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ⎝ 3a ⎝ 3a ⎠ ⎠ Δ′ = Δ′y ' = b2 − 3ac Ta bảng tổng kết 19 Lop10.com Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt http://www.toanthpt.net y x −∞ +∞ y′ + +∞ y −∞ a>0 Δ′ < I x a>0 Δ′ = −∞ y' y x a<0 Δ′ = y' y b 3a + +∞ − (C) +∞ I +∞ −∞ y (C) +∞ I − −∞ x1 < x ) x −∞ y' + y x1 − CÑ x2 − + (C) I +∞ − y a<0 Δ′ < (y′ = coù nghieäm x1 < x ) x −∞ y' − +∞ y x1 x2 +∞ + − CÑ CT −∞ (C) y' = f ' (x ) = g(x ) = 3ax2 + 2bx + c coù Δ′g = b2 − 3ac > Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị Ba điểm A, I, B thẳng hàng ⎧⎪y = f (x ) = ax30 + bx 20 + cx + d ⎨ ⎪⎩g(x ) = 3x 20 + bx + c = Gọi (x0;y0) là tọa độ các điểm cực trị trên nó thỏa: • Thực phép chia hai đa thức đã xếp f(x0) : f(x0), ta có: y = f ( x ) = ( Ax + B) g ( x ) + αx + β ⇔ y = αx + β vì g ( x ) = 20 Lop10.com b 3a x I Chú ý: Xem thêm phần CHỦ ĐỀà Điều kiện cần và đủ để đồ thị (C) trên có điểm cực tiểu và điểm cực đại (hàm số có cực trị) là: • x b 3a +∞ CT −∞ x b − 3a y a>0 Δ′ < (y′ = coù nghieäm x x b − 3a y + b 3a I −∞ b 3a − y (C) x −∞ +∞ y′ − +∞ y −∞ a<0 Δ′ < (C) − b 3a x