TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm[r]
(1)Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa Loinguyen1310@gmail.com SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất nguyên hàm và các phép biến đổi đại số Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số Trường hợp thường gặp hợp nx n x n dx x C du u C x 1 x dx C 1 dx x ln x C dx x2 x C x x e dx e C u 1 u du C 1 du u ln u C du u2 u C u u e du e C xdx n 1 C 1 ax b ax b dx a C 1 (ax b) dx a ln ax b C ( ax b ) ( ax b ) e dx a e C a mx n mx n ax au x u a dx C a dx ln a C a du ln a C m ln a cosudu sin u C cos x.dx sin x C cos(ax b)dx a sin(ax b) C sin udu cosu C sin x.dx cos x C sin( ax b) dx cos( ax b) C du a cos2 x dx (1 tan x).dx tan x C cos2 u tgu C dx cos2 ax b a tan ax b C du cot gu C sin u dx dx cot x dx cot x C sin x sin ax b a cot ax b C x x e dx e C TQ: f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a 0dx C Mở rộng: dx x ln tg +C sin x dx x 11 ln tg ( +C cos x dx xa ln 14 +C x a 2a x a dx 15 ln x x a +C 2 x a 16 x a2 2 x a dx x a ln x x a C 2 dx x 17 arcsin C 2 a a x 10 du u ln tg +C sin u du u 11 ln tg ( +C cos u du ua ln 14 +C u a 2a u a du 15 ln u u a +C 2 u a u a2 16 u a du u a ln u u a +C 2 du u 17 arcsin C a a2 u2 10 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (2) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 dx x arctg C a x a a x a2 x 19 a x dx a x arcsin C 2 a Chứng minh số công thức : dx x 10 ln tg +C sin x 18 du u arctg C a u a a u a2 u 19 a u du a u arcsin C 2 a 18 2 dx x ln tan +C cos x 2 4 Chứng minh : 11 x x x x sin cos sin cos 1 2 10 Ta có : x x x x sin x 2sin x cos x 2sin cos cos 2sin 2 2 2 x x x x sin cos d (cos ) d (sin ) dx dx I x x cos x sin x cos sin 2 2 x x x ln cos ln sin C ln tg C 2 x x 11 Ta có: cosx = sin(x+ ) = 2sin( ) cos( ) kết 2 4 dx xa 14 ln +C x a 2a x a 1 ( x a) ( x a) 1 Ta có : x a ( x a )( x a ) 2a ( x a )( x a ) 2a x a x a Do đó : I 15 d ( x a) d ( x a) xa ln C 2a x a x a 2a x a dx x a Ta đặt : ln x x a +C t x x a dt (1 dx x2 a dt t 16 x a dx x x2 a )dx dx x2 a x a dx x a x dt dt I ln t C ln x x a C t t x a2 x a ln x x a +C 2 Ta đặt: xdx u x a du x2 a dv dx v x x dx ( x a a )dx I x x2 a2 x x a x2 a2 x2 a2 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (3) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 dx x x a x a dx a x a2 x x a I a ln x x a I x a2 x a ln x x a C 2 Ví dụ 1: (SGK – ban T 101 và 102) Tìm các nguyên hàm: d I e 3 2x dx e 3 2x C XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA e x khix Ví dụ 1: Chứng minh hàm số: F ( x ) x x 1khix e x khix là nguyên hàm hàm số: f ( x ) trên R x khix Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp sau: - Với x 0, ta có: e x khix F ' ( x) 2 x 1khix - Với x = 0, ta có: F ( x ) F (0 ) x2 x 1 e0 F ' ( ) lim lim 1 x x0 x0 x F ( x ) F (0 ) e x e0 F ' ( ) lim lim 1 x0 x0 x0 x Nhận xét rằng: F’ 0 F ’ 0 F ’ , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = e x khix Tóm lại: F ' ( x ) f ( x) x 1khix Vậy F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên R Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm các hàm số nào ? a F x x n x cosx + sinx + tanx + cotx + e x a x ln x log a x x x x b F x ln tan c F x ln tan 2 4 d F x ln x x a (a R) e F x x x a a.ln x x a C Giải: a F’ x f x nx n 1 x 1 1 sin x cos x e x a x ln a 2 x x.ln a x cos x sin x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (4) Giáo viên: Nguyễn Thành Long x t an ' 2 b F’ x f x x tan Nhận xét: DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 x ' 2 x cos 1 x x x s inx tan 2cos tan 2 x sin x dx ln tan C x t an ' 1 c F’ x f x x cosx t an s in x+ 2 2 4 Nhận xét: x d F’ x f x x2 a x x a Nhận xét: / x 1 x a x x a x a dx ln x x a C x a e F’ x f x Nhận xét: x co s x dx ln tan C 1 x a x adx x2 x2 a x a x a a x x a a.ln x x a C Bài tập áp dụng Bài 1: Tính đạo hàm hàm số F ( x) x từ đó suy nguyên hàm: ln x 1 )dx ln x ln x Bài 2: Cho hàm số f ( x) x x Xác định a, b, c để F x ax bx c x I = ( là nguyên hàm f(x) Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: I (1 x x nx n 1 )dx biết F Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) hàm số f x sin x 1 sin x biết F 1 4 Bài 5: Tính đạo hàm F(x) = ln x x C từ đó suy nguyên hàm hàm số: f ( x) x2 Bài 6: Chứng minh x a F ( x) ln tg C là nguyên hàm hàm số: f ( x) ( x k ) sin x x b F ( x ) ln tg ( ) C là nguyên hàm hàm số: f ( x) ( x k ) cos x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (5) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 c F ( x) [ x x a a ln( x x a )] là nguyên hàm hàm số: f(x) = x a Bài 7: Chứng minh hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) thì hàm số f ax b với a, b là hắng số a khác F ax b C a Áp dụng tính các nguyên hàm sau a sin xdx có nguyên hàm là: b e3 x dx dx 7x Bài 8: Cho g(x) là hàm số tuỳ ý Cmr hàm số F ( x ) ln g ( x) C là nguyên hàm hàm số: c cos3 dx d. g '( x) Áp dụng tính các nguyên hàm các hàm số sau g ( x) 2x cos x a dx b dx 2sin x 5 x f ( x) c cot gxdx d tgxdx Bài 9: Tính đạo hàm hàm số g x x ln x từ đó suy nguyên hàm hàm số: f x x ln x Bài 10: Chứng minh: F x ln x x k k là nguyên hàm f x x2 k trên các khoảng mà chúng cùng xác định dx Áp dụng: tính I x 16 Bài 11: Tính đạo hàm u x x x Suy nguyên hàm các hàm số sau : a f x x x2 b h x x2 1 c g x x2 1 x2 x x2 Bài 12: Tìm hàm số f x biết f ’ x x và f 1 HD: f x f ' x dx x x C f 1 C C f x x x x3 1 8x x x 40 f ’ x x x và f(4) = Đs: f x 3 x f ’ x x và f(1) = Đs: f x 2x x x x2 b f ’ x ax , f '(1) 0, f (1) 4, f ( 1) Đs: f x x x 2 f ’ x – x và f Đs: f x x TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm: 2010 x 3 2009 a I x 3 dx C 4020 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (6) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 b I 4sin xdx x sin x C cos x 1 sin x dx x C 2 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: cos x 1 sin x tan x dx x a I dx C b I C 3 2 cos x 3cos x Bài 3: Tìm các nguyên hàm sau: e x e x e2 x lg x a y b y c y sin x.cos x cos3 x.sin x 2 d y log a x ln x e y sin mx.cos nx (m, n là số) Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau: c I x x3 x m x p d y ( qx) x a y b y x 3x x m x c y 2m ln x x x e y cos px.cos qx (với m, n, p, q là các số) TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP) Cho hàm số y f x xác định trên a , b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có Vi phân hàm số y f x kí hiệu là : dy df ( Vi phân biến là dx) Công thức tính: dy y ' dx df x f ' x dx Muốn tính vi phân hàm số ta lấy đạo hàm hàm số đó nhân với vi phân biến số Vi phân các hàm số thường gặp: d ax b a.dx d ax bx c 2ax b dx d ax3 bx cx d 3ax 2bx c dx 11 d cos x sin x.dx 12 d sin x cos xdx d sin ax b a.cos ax b dx d cos ax b a sin ax b dx d e x e ax b e dx ae 13 14 x ax b dx dx cos x d cot x dx sin x d x dx x a d ax b dx ax b d ln x dx x x d dx 2 x a x a d x m 1 m 1 x m 10 d tan x 15 16 Bài 1: Tìm nguyên hàm các hàm số sau (với a, b, c, m, n là các số): 1 2x 2007 y mx n y y mx n x x3 x 2ax b cos x sin x ln n x y y y (ax bx c ) x (sin x cos x )2008 “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (7) Giáo viên: Nguyễn Thành Long y x3 3x 10 y 13 y y ex 3e x x 2007 x ( x 1)2007 11 y y x x 4 x 10 x a 16 y cos x.sin p x 19 y x e3 x 22 y tan x DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 25 y tan x cot x x.ln x.ln(ln x ) 12 y (ln x 1)m x 14 y x 15 y sin x.cos 2007 x 17 y sin x.cos p x 18 y cos x.esin 20 y cos5 x 23 y tan x 21 y sin x 24 y cot x 26 y x.e x 2 x 27 y sin x 4 1 TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm nhân tử đó có thể nhận từ bảng nguyên hàm các phép biến đổi đơn giản đã biết Phương pháp chung: Bước 1: Biến đổi f x dạng: n f x i f i ( x ) với f i x có nguyên hàm bảng công thức và i là các số i 1 Bước 2: Khi đó: n f ( x) dx i 1 n i f i ( x ) dx i f i ( x ) dx i 1 Một số kĩ thuật phân tích: Nhân phân phối: a b c d ac ad bc bd Khai triển các đẳng thức A B A2 AB B , A B A3 A2 B AB B3 … Thêm bớt hạng tử X X B B, X Nhân liên hợp: X B với B … B llh A B A B, llh A B A2 AB B … Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp hàm lượng giác Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích) Chú ý: Kĩ thuật phân tích thành tổng hàm phân thức dựa vào tính chất a1 a2 an a1 a2 a n kết hợp với số tính chất hàm lũy thừa sau b b b b “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (8) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 n m a n an a n , a n n a m , (ab) n a n b n ; n , a m a mn a b b n Một số dạng thường gặp: Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I x ax b dx , a 1 ax ax b b a a x2 Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I dx ax b Sử dụng đồng thức x Sử dụng đồng thức x 2 1 a x ax b b ax b 2b ax b b a a a Bài tập giải mẫu: 2002 Bài 1: Tìm nguyên hàm: I x 1 x dx Cách 1: Sử dụng cách đồng thức: x 1 x x(1 x) 2002 (1 x) 2002 1 (1 x) (1 x) 2002 (1 x) 2002 (1 x) 2003 I 1 x 2002 dx 1 x 2003 dx 1 x 2002 d (1 x) 1 x 2003 dx 1 2003 2004 1 x 1 x C 2003 2004 Cách 2: Đổi biến số: Đặt t x x t dx dt I (1 t )t 2002 dt t 2002 dt t 2003dt 2003 2004 1 2003 2004 t t C 1 x 1 x C 2003 2004 2003 2004 dx Bài 2: Tìm nguyên hàm: I x 4x Giải : Cách 1: 1 ( x 1) ( x 3) 1 Ta có: x x ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x x d ( x 3) d ( x 1) 1 x3 I ln x ln x ln C x3 x 1 2 x 1 Cách 2: Ta có: dx dx x3 I ln C x 4x x 2 x Bài 3: Tìm nguyên hàm: I xdx 1 3x Giải: C1: Sử dụng đồng thức: x x 1 3x 1 3x 1 1 x 1 1 2 1 3x (1 x) (1 x) “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (9) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 d (1 x) d (1 x) 1 (1 x) 2 d (1 x) (1 x) 3 d (1 x) (1 x) (1 x) 9 I 1 (1 x)1 (1 x)2 C 18 C2: Phương pháp hệ số bất định Bài 4: Tìm nguyên hàm: I dx x x2 Giải: Sử dụng đồng thức: 1 ( x 1) ( x 2) 1 x x ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x x 1 1 x2 I dx dx ln C x2 x 1 x 1 dx Bài 5: Tìm nguyên hàm: I x x2 Giải: Sử dụng đồng thức: 1 ( x 3) ( x 1) 1 dx dx I 2 2 x 1 x ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) ( x 1) ( x 3) Bài 6: Tìm nguyên hàm: I x dx ( x 1)10 Giải: Cách 1: 3 Sử dụng đồng thức: x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x3 3 10 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)10 dx dx dx dx 1 3 1 I 3 3 C 10 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) Cách 2: Đặt t x ta có: x t nên dx dt t 1 (t 3t 3t 1)dt t 7 dt 3 t 8 dt 3 t 9 dt t 10 dt 10 10 t t 1 3 1 C ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) A dt Bài 7: Tìm nguyên hàm: I x 2001 x 1002 1 dx Giải: Ta phân tích : x 2001 x 1002 1 Đặt: t x 2000 x 1000 x 1 1000 x 1 x2 x 1 x x 1 x2 2x dt dx 2 x 1 x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net (10) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 1000 1001 x2 I x 1 x2 x2 d C x 2002 x dx Bài 8: Tìm nguyên hàm: I x x5 Giải: Sử dụng dồng thức: x x x2 x2 1 x2 x2 1 3 x ( x 1) x x ( x 1) x x x( x 1) x x 1 x ( x 1) x 1 x2 x2 1 x x x x( x 1) x x x ( x 1) 1 x 1 1 I dx dx dx dx ln x ln x C x x x x 1 4x 2x dx Bài 9: Tìm nguyên hàm: I x x3 Giải: Sử dụng đồng thức: x x x2 x2 1 x2 x2 1 x 3 3 2 x x 1 x ( x 1) x x( x 1) x x( x 1) x x x 1 1 x 1 dx dx dx ln x ln x C x 2x x x 1 x dx Bài 10 : Tìm nguyên hàm: I 39 1 x Giải: Cách 1: I 2 Sử dụng đồng thức : x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 2(1 x) 39 39 37 38 39 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x2 I 1 x 37 dx 1 x 38 dx 39 1 x dx 1 1 C 36 1 x 36 37 1 x 37 38 1 x 38 Cách 2: Đặt: t x x t dx dt 1 t dt 1 1 1 I 39 dt 38 dt 37 dt C 39 38 37 38 t 37 t 36 t 36 t t t t dx Bài 11: Tìm nguyên hàm: I 1 ex Giải: Sử dụng đồng thức: 1 e x – e x Ta được: ex ex ex ex I e x ex ex ex dx dx d 1 e x ex x ln 1 e x C “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 10 (11) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 12: Tìm các nguyên hàm sau a x x3 e x dx x3 b x 32 x 53 x dx HD: x x3 e x x x3 e x dx ( )dx x dx e x dx x e x C 3 x x x 3 Vậy I x e x C (2250) x b I x 32 x 53 x dx x x125 x dx (2.9.125) x dx (2250) x dx C ln 2250 (2250) x Vậy: I C ln 2250 Bài 14: Tìm các nguyên hàm sau: 3 3 3 I x C dx ( x x )dx x x C x x 4 x x x a I I 3x x 1 dx e 3x (e2 ) x dx e (3e2 ) x dx e (3e ) x x.2 x 1 C C ln ln(3e ) 5 x x 1 3 3 I x dx x ( x x 1)dx ( x x x )dx ? x Nhận xét: Nếu hàm số dấu tích phân có dạng tích và có đẳng thức thì khai triển đưa phân thức Bài 15: Tìm các nguyên hàm sau: x3 3x x x3 I dx x x dx x x ln x C x 1 x dx e x ex ex dx e x e x ex x dx x ln(e 1) C x x dx 3 2 2x 1 I dx dx x ln(2 x 3) C x x x 3 3 ln 3 3 Nhận xét: Nếu hàm số dấu tích phân có dạng phân thức thì thông thường ta sử dụng chia đa thức phân tích cách thêm bớt Bài 16: (dựa vào các công thức lượng giác) Tìm các nguyên hàm sau: x cos x 1 I sin dx dx ( x sin x) C 2 1 1 I sin x.cos 3xdx (sin x sin x)dx cos8 x cos x C 2 4 2 cos x sin x cos x sin x 1 2sin x dx dx dx 2dx cot x 2x C I 2 sin x sin x sin x sin x 2 I tan xdx (1 tan x 1)dx tan x x C I I tan xdx (tan x tan x tan x 1)dx tan x(tan 1)dx (tan x 1)dx dx tan x tan x x C tan x tan2 x ln cos x C I tan xdx tan x.tan xdx 1 tan xdx dx tan xdx cos cos x Bài tập tự giải: “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 11 (12) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 1: Tìm nguyên hàm: I x 1 x x Bài 2: Tìm nguyên hàm: I Bài 3: Tìm nguyên hàm: 1 2003 2004 1 x 1 x C 2003 2004 1 1 2 dx 1 x 1 x C 18 2002 dx 1 3x 2005 I x 1 x dx Bài 4: (SGK – Ban T100 – T101) Tìm các nguyên hàm: x x 1 a I dx x5 x x C x 1 b I dx dx 2 cot x C sin x cos x sin x phân tích sin x cos x thì I tan x cot x C 11 c I sin x.cos3xdx cos8x cos x C 4 x x 1 ln d I x dx x e e ln 1 e I 1 1 x dx ln 2x 1 x 1 x phân tích: 1 x 1 x Bài 5: Tìm các nguyên hàm sau: 3 1 a I dx x 3 x 1 C 3 x x 1 4 3 b I dx x 1 x 1 C 2 8 x 1 x x 1 Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau: b I 2sin x cos xdx cos x cos x C a I tan xdx tan x – x C c I 2a x 3x dx a x 3x C ln a ln d I tan x – cot x dx tan x cot x – x C cos x dx cot x – tan x C sin x.cos x Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau: f I e x (2 e I x 3x x a I x x x dx C ( x 1) x3 c I dx 2x C x x x e I 2sin dx x – sin x C Bài 8: Tính các nguyên hàm sau e x )dx 2e x tan x C cos x 1 x 3x b I x – 3x dx ln x C x d I e x e x – 1 dx e2 x e x C 2 ( x 1) e I dx x x ln x C x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 12 (13) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 b ( x 1)( x x 2)dx a. x( x a )( x b)dx c ( x x )3 dx d (ax b) dx e sin xdx f sin xcoxdx g (e x 1)3 dx h e x e x 2dx i e x e x dx k x e x dx l ( x x ) dx m sin x cos xdx Bài 9: Tính các nguyên hàm sau a ( x x ) xdx b cos x sin xdx e ( x x x )dx x 4 x x dx 2x 1 f ( )dx x x g cot g xdx h tg xdx c cos x(cos x 1) dx d Bài 10: Tính các tích phân sau: sin x cos x a f x cos x b f x x d f x sin x.sin x.sin x x x 2 e f x 22 x.3x x g f x x x h f x k (ĐHKTQD 1999) f x tan x sin x cos x sin x c f x x 1 x f f x sin x i f x 3 (2 x 1) x 1 2x x PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng khá phổ biến việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý 1: a Nếu f x dx F x C và u x là hàm số có đạo hàm thì: f u du F u C b Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt u t đó φ t cùng với đạo hàm φ ' t là hàm số liên tục, ta được: f x dx t ' t dt Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng dựa trên định lý sau: Định lý 2: a Nếu f x dx F x C và u t là hàm số có đạo hàm khoảng [a,b] ( b) (b ) thì: f (u )du F (u ) ( a) ( a) “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 13 (14) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x φ t xác định và liên tục trên đoạn [, ] và thoả mãn các điều kiện sau: i Tồn đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ] ii φ(α) a và φ(β) b b iii Khi đó: a f ( x) dx f (t ) ' (t ) dt Tuy nhiên cái khó phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay u = (x) cho phù hợp với bài toán cụ thể Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: A Đổi biến số nghịch đặt u x Loại 1: Đối với hàm lượng giác: Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I f cos ax b sin ax b dx đặt u cos ax b du sin ax b dx a n TQ: I f cos x sin xdx với n R Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a I b I sin x cos x sin x cos3 x 1 Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: dx cos3 x a I b I dx sin x sin x Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I f sin x cos xdx đặt u sin x du cos xdx TQ: I f sin n x cos xdx với n R Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: tan x cos x a I dx b I dx cos x cos3 x Bài 2: Tìm các nguyên hàm sau: dx dx a I b I cos x sin x cos x sin x sin x sin x Dạng 3: Tìm nguyên hàm: I sin xdx đặt u du dx sin x cos x cos x Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: sin x sin x a I dx b I dx 2007 4 4 sin x cos x sin x cos x Dạng 4: Tìm nguyên hàm: I f tan ax b dx cos ax b đặt u tan ax b du dx cos ax b Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: a I tan xdx tan x ln cos x C b I dx sin x.cos3 x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 14 (15) Giáo viên: Nguyễn Thành Long c I DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 dx 2sin x 5sin x cos x 3cos x d I dx sin x cos x Dạng 5: Tìm nguyên hàm: I f cot ax b dx sin ax b đặt u cot ax b du dx sin ax b Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau: a I cot xdx b I dx sin x cot10 x dx dx d I sin x sin x cos x Dạng 6: Tìm nguyên hàm: I f sin x cos x sin x cos x dx c I đặt u sin x cos x du sin x cos x dx Loại 2: Đối với hàm số mũ là logarit: Dạng 7: Tìm nguyên hàm: I f e x e x dx đặt u e x du e x dx 1 Dạng 8: Tìm nguyên hàm: I f ln x dx đặt u ln x du dx x x 1 Dạng 9: Tìm nguyên hàm: I f ln ln x dx đặt u ln ln x du dx x ln x x ln x u ln x du dx x Loại 3: Đối với hàm hữu tỷ và vô tỷ Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I f x n 1 x n dx đặt u x n 1 du n 1 x n dx Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I f Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I x dx đặt u x du x x f ax b dx đặt u ax b du adx dx 1 Dạng 13: Tìm nguyên hàm: I f x dx đặt u x du dx x x x x B Đổi biến số thuận đặt x u Dạng 1: Tìm nguyên hàm: I f x, x a dx với a Cách 1: đặt x a tan u du π π dx tan x 1 dx với u cos x 2 Cách 2: đặt x a cot u với u π u x x Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I f x, x a dx với a > a π π với u ; \ 0 sin u 2 a π Cách 2: đặt x với u 0;π \ cos u 2 Cách 1: đặt x Hoặc u x a TỔNG QUÁT BẢNG SAU: “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 15 (16) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Dấu hiệu Cách chọn a x2 x a sin t , t x a cos t , 0 t x2 a2 a ,t , , t x sin t 2 a x , t 0, , t cos t ax ax , ax ax x a cos 2t x a b x x a b – a sin t Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm f(x, t f (x) ) Hàm f x f ( x) t xa xb x a x b Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tìm nguyên hàm: I x x3 5dx HD: udu 2 x3 5dx u udu u du u C 3 Đặt u x suy u x3 x dx Khi đó: I x Vậy I ( x3 5)3 C Bài 2: Tìm nguyên hàm: I dx x2 HD: d (1 tan u )du đó: cos u dx (1 tg u )du I du u C x tg u Bài tậptự giải: Đặt x tan u dx Bài 1: (SGK – ban T101) Tìm các nguyên hàm: 10 1 x a I 1 x dx C b I x 1 x dx 10 Bài 2: ( SGK – ban nâng cao T145 ) Tìm các nguyên hàm: dx x2 a I b I dx 6 1 x3 C 5x x3 1 x2 C 5x C “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 16 (17) Giáo viên: Nguyễn Thành Long c I x x dx DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 x2 C d I dx x 1 x 1 x C Bài 3: Tìm các nguyên hàm: a (SGK – ban T101) I dx x C x e e 2 e 1 x x e 1 b I dx ln x x x C x e e2 e e x C1: đặt u e C2: đặt u e x Bài 4: (SGK – ban nâng cao T145 – T 175) Tìm các nguyên hàm: x x x 1 1 a I sin cos dx sin C b I sin cos dx sin C 3 x x x x 3 sin x 1 c I x sin x 1dx cos x 1 C d I dx C cos x 1 cos x 1 1 1 e I cos 1 dx sin 1 C x x x Bài 4: Tìm các nguyên hàm: cos x.sin x a I dx 1 sin x ln 1 sin x C sin x 2 C1: đặt u sin x C2: đặt u sin x C3: đặt u sin x C4 : đặt t cos x 1 b I dx tan x tan x C cos x cos x c I dx 15cot x 42 cot x 35cot x C sin x 105 x d I dx ln tan C sin x x d dx C1: I x x x x 2sin cos tan cos 2 2 sin x C2: I dx 1 cos x e I sin x cos xdx 3cos3 x cos x cos x C 21 sin x cos x dx ln sin x cos x C sin x cos x C1: Đồng thức C2: Đặt u sin x cos x d sin x cos x C3: I sin x cos x f I “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 17 (18) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 sin x 4 C4: I dx cos x 4 sin x cos x e I dx sin x cos x C sin x cos x Bài 5: Tìm cácnguyên hàm: cos x sin x.cos x a (ĐHNT TPHCM – 1997) I dx sin x ln sin x C sin x b (ĐH TCKT HN – 1996) I dx 4 tan x C sin x.cos x Bài 6: Tìm các nguyên hàm: a I sin x cos xdx 3cos3 x cos x cos x C 21 b I cos x sin xdx sin x sin x sin11 x C 11 Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau: dx 1 I C I e5 sin x cos xdx e5 sin x C x ln x ln x x e dx I e2x e 2x dx e2x C I x ln(e x 1) C e 1 dx 2x 2x C I I dx ln |x x | C x x 2x xdx I I x x3 dx x3 C x -1 x2 C x2 I dx (1 x) x 1 x ln 1 x C (t x ) 2 11 I xe x dx e x C tan x e dx tan x 13 I e C cos x 15 I cos x sin x sin x cos x 10 I xdx C 2 (1 x ) 2(1 x ) 12 I sin x cos x 1dx 14 I 2cos x C dx ex ln x C t e x x x e 1 e e dx sin x cos x C PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Phương pháp tích phân phần sử dụng thông dụng quá trình xác định nguyên hàm hàm số Phương pháp này cụ thể sau: Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì: udv uv vdu Còn tích phân xác định, ta có: b udv uv a b b a vdu a “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 18 (19) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Dựa vào công thức tính tích phân phần,để tính tích phân I f x dx ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu dạng: I f x dx f1 x f x dx u f1 x du Bước 2: Đặt: dv f x dx v Bước 3: I uv vdu Chúng ta cần chú ý, sử dụng phương pháp tích phân phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng - Tích phân vdu xác định cách dễ dàng so với I Một số dạng thường gặp: sin ax Dạng 1: I Pn ( x) cosax dx eax u Pn ( x) du P 'n ( x)dx sin ax sin ax Đặt: dv cos ax dx v cosax dx eax eax Chú ý: - Ta phải tính n lần tích phân phần Pn ( x).sin f ( x).dx TQ: Pn ( x).cos f ( x).dx u Pn ( x) Pn ( x).e f ( x ) dx Dạng 2: I P( x) ln(ax)dx dx u ln(ax) du x Đặt: dv P( x)dx v P( x)dx TQ: P( x).ln n f ( x).dx u ln n f ( x) Chú ý: - Ta phải tính n lần tích phân phần “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 19 (20) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 sin bx Dạng 3: I e ax dx cos bx du aeax dx u eax Đặt: dv cos bxdx v sin bx b Đây là hai tích phân mà ta tính tích phân này phải tính luôn tích phân Ta làm sau - Tính eax sin bxdx Đặt u eax sau tính tích phân phần ta lại có tích phân eax cos bxdx Ta lại áp dụng tích phân phần với u trên - Từ hai lần tích phân phần ta có mối quan hệ hai tích phân này Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính nguyên hàm: I e x cos xdx HD: u e x du e x dx Đặt đó dv cos xdx v sin x I e x cos xdx uv vdu e x sin x sin xe x dx Ta tính I1 sin xe x dx u e x du e x dx Đặt dv sin xdx v cos x x Vậy I1 e sin xdx uv vdu e x cos x cos xe x dx Thay I1 vào I ta I e x sin x cos x C Vậy I x e (sin x cos x) C Bài 2: Tìm nguyên hàm: I x ln( x x 1) x2 1 dx Giải: Ta viết lại I dạng: I ln( x x x 1) x 1 u ln x x x 1 dx Đặt: du x x x dv dx x2 1 v x dx x 1 dx x2 1 Khi đó: I x ln x x xdx x 1ln x x x C Một số dạng toán: Dạng 1: Tính tích phân dạng P( x) sin axdx , P ( x) cos axdx , đây P(x) là đa thức ẩn x “ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “ Lop12.net 20 (21)