Đang tải... (xem toàn văn)
Dễ dàng chứng minh được OA là đoạn đường vuông góc chung của hai đường thẳng và Ox là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.. Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA khi [r]
(1)SỞ GD& ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) =========================================== A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất các thí sinh) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x + (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với Câu II (2 điểm) x y x y x y2 x y Giải hệ phương trình: Giải phương trình + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = dx Câu III (1 điểm) Tính tích phân: x Câu IV (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ASB = 600 , BSC = 900 , CSA = 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc 1 1 2 b(2b 1) c(2c 1) Chứng minh rằng: a (2a 1) B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chọn hai phần: Phần Phần 2) Phần 1: Câu VI a (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ): x + y – = 0, các điểm A( 0; - 1), B(2;1) Tứ giác ABCD là hình thoi có tâm nằm trên ( ) Tịm tọa độ các điểm C, D Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) và đường thẳng ( ) có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = Điểm M di động trên trục hoành, điểm N di động trên ( ) cho: OM + AN = MN Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu cố định Câu VII a (1 điểm) Tìm các giá trị a thỏa mãn: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0, x R Phần 2: Câu VI b (2 điểm) ; Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G( 3 ), đường tròn qua trung điểm các cạnh có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y = Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đường thẳng ( ): x y 1 z Tìm tọa độ điểm M trên ( ) cho diện tích tam giác MAB nhỏ z 1 z 2i Câu VII b (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: z = 1, z i = -Hết - Lop12.net (2) Hướng dẫn giải: Câu I: Tự làm Gọi M(a;b) là điểm cần tìm M thuộc (d) nên b = -3a + Tiếp tuyến đồ thị ( C) điểm (x0;y0) là: y = (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 +2 Tiếp tuyến qua M(a;b) - 3a + = (3x02 – 3)( a – x0) + x03 – 3x0 + 2x03 – 3ax02 = x0 = x0 = 3a/2 27 a Có hai tiếp tuyến qua M với hệ số góc là k1 = f ’(0) = -3 và k2 =f ‘(3a/2) = - 10 Hai tiếp tuyến này vuông góc với k1.k2 = - a2 = 40/81 a = 10 10 2 ; Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M( ) Câu II: Cộng và trừ vế hai phương trình hệ ta hệ tương đương: 2 y x ( x; y ) ( ;1) x y 2 ( x; y ) ( 17 ; 13 ) x ( x) x y 2 … 20 20 Phương trình ( – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + – (sinx + cosx)] = ( sinx – cosx).( – 2cosx) = x k tan x x l. cos x ( k,l Z) Câu III: Đặt x = sint với t [ ; ] 2 2 Ta có:dx = costdt và x sin t cos t =|cost| = cost Đổi cận: Với x =0 thì t = 0; Với x = thì t = Từ đó: 2 cos tdt cos s (t / 2) d (t / 2) dt dt 0 x 0 cos t 0 cos s (t / 2) 0 0 cos (t / 2) = = =( t – tan (t/2) ) | = -1 Câu IV: Tự vẽ hình Trên các tia SB, SC lấy các điểm B’, C’ cho SB’ = SC’ = SA = a Tam giác SAB’ cạnh a nên AB’ = a Tam giác SBC’ vuông cân S nên B’C’ = a Tam dx giác SC’A cân S có C’SA = 1200 nên C’A = a Suy AB’2 + B’C’2 = C’A2 hay tam a2 giác AB’C’ vuông B’ diện tích tam giác AB’C’ = Hạ SH mp(AB’C’) HA = HB’ =HC’ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ Lop12.net (3) H là trung điểm C’A SH = SA Sin 300 = a/2 a2 a a3 12 Áp dụng công thức: Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ = 2 VS ABC SB SC VS AB 'C ' SB' SC ' abc Tính được: VS.ABC = 12 1 Câu V Đặt x = a , y = b , z = c ta có x,y,z là số dương thỏa mãn x + y + z = 2 ( y z) ( 1) x3 Ta có: a(2a – 1)2 = x x = Từ đó: : 1 x3 y3 z3 b(2b 1) c(2c 1) = ( y z ) ( z x) ( x y ) P = a (2a 1) x3 yz yz x3 3 x 8 64 (1) ( y z ) Áp dụng bất đẳng thức Cô si có: y3 zx zx y 8 (2) ( z x ) Tương tự: z3 x y x y z 8 (3) ( x y) 1 Cộng vế (1), (2), (3) ước lược được: P (x + y + z) = Đẳng thức xảy x = y = z = 2/3 a = b = c = 3/2 Câu VIa: A Gọi I(a;b) là tâm hình thoi.Vì I nên a + b – = hay b = – a (1) Ta có: AI (a;b+1) và BI (a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI BI suy : a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = (2) Thế (1) vào (2) rút gọn được: a2 – 2a = a = a = TH1: Với a = thì I(0;1) Do I là trung điểm AC và BD nên áp dụng công thức tọa độ trung xC x I x A x D x I x B 2 y yI y A y yI yB điểm, ta có: C và D ; C(0;2) và D(-2;1) TH2: Với a = thì I(2;-1) Tương tự ta được: C(4;-1) và D(2;-3) Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) và D(-2;1) C(4;-1) và D(2;-3) B Dễ dàng chứng minh OA là đoạn đường vuông góc chung hai đường thẳng và Ox (là hai đường thẳng chéo và vuông góc với nhau) Từ đó MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA và OM + AN = MN Vậy OM + AN = MN thì MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA cố định (Phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + ( z – 1)2 = 1) 3x x Câu VIIa: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 3x > (1 –a).( 2x +1) > – a (*) Lop12.net (4) x (2 x 1) ln x x ln 3x x (2 x 1) Xét hàm số: f(x) = với x R Ta có: f ‘ (x) = > với x lim Hàm số luôn đồng biến., mà: x f(x) = Bất đẳng thức (*) đúng với x – a a Vậy đáp số: a Lop12.net (5)