Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn C B, C là hai tiếp điểm sao cho tam giác ABC vuông.. Có bao nhiêu số tự nhiên có [r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - Thời gian: 180’ I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y 2x có đồ thị là (C) x2 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = - x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = log 22 x log x (log x 3) dx Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I sin x cos x 2.Giải bất phương trình Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất các cạnh a, góc tạo cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a Câu V (1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a4 + b4 + c4 II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) Cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 + (y+2)2 = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông x 2t Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình y t Lập phương trình mặt phẳng z 3t (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn Câu VIIa (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ 2.Theo chương trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) Cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = và đường thẳng d: x + y + m = Tìm m để trên đường thẳng d có điểm A mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông Cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn Câu VIIb (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net (2) Đáp án I.Phần dành cho tất các thí sính I (0,75 điểm) Hoành độ giao điểm đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm phương trình x 2 2x x m x2 x (4 m) x 2m (1) II (2 điểm) Do (1) có m va (2) (4 m).(2) 2m 3 m nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi đó AB 24 (1 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 1 sin x 6 cos x sin x (VN ) x 0,5 0,5 0,25 0,25 k 2 2 (1 điểm) x ĐK: 2 log x log x Bất phương trình đã cho tương đương với log 22 x log x (log x 3) đặt 0,25 0,5 (1) t = log2x, BPT (1) t 2t (t 3) (t 3)(t 1) (t 3) t 1 t 1 t 3t 4 (t 1)(t 3) 5(t 3) III điểm log x 1 3 log x 0 x Vậy BPT đã cho có tập nghiệm là: (0; ] (8;16) 8 x 16 dx dx I 8 3 sin x cos x cos x sin x cos x đặt tanx = t http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0,25 0,5 (3) dx 2t ; sin x cos x 1 t2 dt (t 1) I 8 dt 2t t ( ) 1 t2 t 3t 3t dt t3 3 (t 3t t 3 )dt tan x tan x ln tan x C t 2 tan x dt Câu IV điểm 0,5 Do AH ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H là góc AA1 và (A1B1C1), theo giả thiết thì góc AA1 H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 a Do tam giác A1B1C1 là tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 và a A1 H nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt khác AH B1C1 nên B1C1 ( AA1 H ) A B A1 H 0,5 C K A1 C1 H B1 Kẻ đường cao HK tam giác AA1H thì HK chính là khoảng cách AA1 và B1C1 A1 H AH a AA1 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số và số a2009 ta có Ta có AA1.HK = A1H.AH HK Câu V điểm 0,25 0,25 2009 1 1 a 2009 a 2009 a 2009 2009.2009 a 2009 a 2009 a 2009 a 2009 2009.a (1) 1 a 2005 Tương tự ta có 2009 1 1 b 2009 b 2009 b 2009 2009.2009 b 2009 b 2009 b 2009 b 2009 2009.b (2) 1 b 2005 http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0,5 (4) 2009 1 1 c 2009 c 2009 c 2009 2009.2009 c 2009 c 2009 c 2009 c 2009 2009.c (3) 1 c 2005 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta 6015 4(a 2009 b 2009 c 2009 ) 2009(a b c ) 6027 2009(a b c ) Từ đó suy P a b c Mặt khác a = b = c = thì P = nên giá trị lớn P = Phần riêng 1.Ban Câu 1.( điểm) VIa Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và AB AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh điểm IA 0,5 0,5 m 1 m 5 m 1 m 0,5 (1 điểm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) Câu VIIa điểm Câu VIa điểm H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 42 cách chọn chữ số chẵn (vì không có số 0)và C 52 10 cách chọn chữ số lẽ => có C 52 C 52 = 60 số thỏa mãn bài toán Mỗi số có 4! số thành lập Vậy có tất C 42 C 52 4! = 1440 số 2.Ban nâng cao 1.( điểm) Từ phương trình chính tắc đường tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn và AB AC => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh IA m 1 m 5 m 1 m (1 điểm) Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (5) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH HI => HI lớn A I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H d H (1 2t ; t ;1 3t ) vì H là hình chiếu A trên d nên AH d AH u (u (2;1;3) là véc tơ phương d) Câu VIIa điểm H (3;1;4) AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = Từ giả thiết bài toán ta thấy có C 52 10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số 0,5 0,5 0,5 đứng đầu) và C 53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C 52 C 53 = 100 số chọn Mỗi số có 5! số thành lập => có tất C 52 C 53 5! = 12000 số Mặt khác số các số lập trên mà có chữ số đứng đầu là C 41 C 53 4! 960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán http://ductam_tp.violet.vn/ Lop12.net 0,5 (6)