DAÏNG 1 : Tính tích phaân baèng ñònh nghóa PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyeân haøm Baøi 1 : Tính caùc tích phaân : 1/... * Aùp dụng cho những[r]
(1)NGUYEÂN HAØM I ÑÒNH NGHÓA, ÑÒNH LYÙ VAØ TÍNH CHAÁT Ñònh nghóa a/ Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a; b) neáu "x Î (a; b) ta coù F/ (x) = f(x) b/ Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên đoạn [a; b] "x Î (a; b) ta coù F/ (x) = f(x) vaø F+/ (a) = f(a), F-/ (b) = f(b) Nhaän xeùt: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) thì F(x) + C, C Î cuõng laø nguyeân haøm f(x) Do đó f(x) có nguyên hàm thì có vô số nguyên hàm (họ nguyên haøm) khaùc haèng soá C Kyù hieäu: ò f(x)dx = F(x) + C Tính chaát a/ b/ c/ ( ò f(x)dx ) / = f(x) ò a.f(x)dx = a.ò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) ± g(x) ] dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx Baûng nguyeân haøm Nguyeân haøm cuûa haøm soá cô baûn ò a.dx = ax + C, ò ò ò x a dx = aÎ xa +1 + C, a ¹ -1 a +1 ò dx = ln x + C, x ¹ x dx +C a = x (a - 1)x a-1 ò e dx = e x ò Nguyên hàm mở rộng (a 0) a x dx = x ò sin x x dx ò (ax + b) ax +C ln a ò ò ò dx = tan x + C ò dx = -cotx + C ò a =- +C 1 +C a (a - 1)(ax + b)a-1 ax + b e +C a a ax +b a ax +b dx = +C a ln a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C a sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C a 1 dx = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 dx = - cot(ax + b) + C sin (ax + b) a òe +C ò sin xdx = - cos x + C dx (ax + b)a + +C a a +1 ò ax + b = a ln ax + b ò cos xdx = sin x + C ò cos (ax + b)a dx = ax + b dx = Lop12.net (2) Baøi taäp Baøi 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1/ f(x) = (2x - 3)5 2/ f(x) = sin x cos x x 3/ f(x) = (sin 2x - 1)3 cos 2x 4/ f(x) = x +1 2x - x - 3x + ln x 7/ f(x) = 2x 9/ f(x) = sin(ax + b) cos2 (ax + b) 5/ f(x) = 11/ f(x) = x2 x + 13/ f(x) = 6/ f(x) = (x + 1)5x 2 - x2 cos x + sin x sin x + cos x sin2 x - 3cotg2 x 19/ f(x) = cos2 x ( x - )3 21/ f(x) = x x 4x + 23/ f(x) = 2x + 1 25/ f(x) = x cos (ln x) 17/ f(x) = + 2x - (ln x + 3)3 2x 10/ f(x) = tan x 8/ f(x) = 12/ f(x) = e3 cos x sin x x - 3x + 17x 16/ f(x) = 10x + 13x - cos x 18/ f(x) = (sin x + cos x)3 x x 20/ f(x) = sin - cos 2 22/ f(x) = ex - x xe 3x 24/ f(x) = 3x + sin x cos x 26/ f(x) = cos2 x - sin2 x 14/ f(x) = f(x) = sin 7x cos 5x cos x 2 ( ( 15/ ) ) Bài 2: Tìm nguyên hàm các hàm số sau với điều kiện kèm theo: ( ) cos x p ,F - = 20 sin x 2 4/ f(x) = + ,F =0 3x - ex 1/ f(x) = x , F(0) = - ln e +2 p f(x) = sin2 2x cos3 2x , F =0 x 3x 3x 1 5/ f (x) , F(1) x 2x 2/ f(x) = ( ) ( ) () TÍCH PHAÂN Ñònh nghóa Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và F(x) là nguyên hàm f(x) trên khoảng đó, với a, b Ỵ (a; b) ta gọi hiệu F(b) - F(a) là tích phân từ a đến b f(x) Kyù hieäu: b ò f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) a b a (công thức Newton - Leibniz) + Hàm số f(x) gọi là hàm dấu tích phân Lop12.net 3/ (3) + f(x)dx laø vi phaân cuûa moïi nguyeân haøm cuûa f(x) + a là cận và b là cận trên tích phân (a có thể lớn hay b) + x laø bieán soá tích phaân Nhaän xeùt: b b b a a a ò f(x)dx = ò f(t)dt = ò f(u)du = = F(b) - F(a) Tính chaát Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng (a; b) và a, b, c Ỵ (a; b) ta có 1/ 2/ 3/ 5/ a ò f(x)dx = a b a ò f(x)dx = -ò f(x)dx a b b b ò k.f(x)dx = k ò f(x)dx "k Î a b a b b ò [f(x) ± g(x)]dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx a a 6/ f(x) ³ "x Î [ a; b ] Þ f(x) £ "x Î [ a; b ] Þ Baøi taäp b a b ò f(x)dx ³ a ò f(x)dx £ a DAÏNG : Tính tích phaân baèng ñònh nghóa PP : Biến đổi hàm số dấu tích phân dạng tổng hiếu các hàm số có nguyeân haøm Baøi : Tính caùc tích phaân : 1/ 16 2/ x x ( x 1)dx x ( x 1)dx 3/ 1 x 5x dx x 4/ (1 x) x x dx Baøi : Tính caùc tích phaân : dx x 1/ x3 6/ dx x 3x 5 2x 2x x 2x dx 3/ dx 4/ dx x x x x 4 2/ 5 2x 8/ dx x 6x 7/ dx x 6x 5/ dx x 3x 2 Baøi : Tính caùc tích phaân : 2 2 0 0 1/ cos 3x cos xdx 2/ sin x sin xdx 3/ cos x sin 3xdx 4/ sin x cos xdx Lop12.net x 1 x3 9/ dx 10/ dx x 3 1 x 1 (4) cos x 6/ 7/ dx dx 2 sin x cos x sin x cos x 5/ cos xdx 8/ e x (3 e x )dx cos x DẠNG : Phương pháp đổi biến dạng b * Aùp dụng cho tích phân có dạng f [u ( x)].u ' ( x)dx ( đó u(x) là hàm a soá bieán x) *Phöông phaùp: + Ñaët t = u(x) dt = u’(x)dx + Đổi cận : Khi x = a t = u(a), x = b t= u(b) + Thay theá : b Khi đó u (b ) = f [u ( x)].u ' ( x)dx f (t )dt u(a) a *Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, mập Baøi :Tính caùc tích phaân : 1/ x 1 x dx 2/ 15 x x dx 3/ 0 x 1 x dx 4/ ln 2 5/ e x 1dx dx 6/ x 1 x2 12 dx x 1 x2 Baøi : Tính caùc tích phaân : 1/ e x2 2 xdx 2/ e 1 sin x e 3/ e e dx cos xdx ex 4/ x 0 e ln x e tgx 5/ dx cos x dx x Baøi :Tính caùc tích phaân : e2 1 sin x dx 1/ dx 2/ x ln x cos x e 3/ e x sin e x dx 6/ cos xdx 7/ ( 12 x 11 x ) dx 8/ 1 sin x dx 3 sin x cos x 10/ 11/ 4/ 27 ex e x e x cos x sin x dx cos x dx sin x cos x 9/ dx 5/ ln ln 12/ ln dx x (1 x ) dx ex 1 dx e e x x DẠNG : Phương pháp tích phân phần b * Aùp dụng cho tích phân có dạng u ( x).v' ( x)dx ( đó u(x), v’(x) là a hàm số biến x) *Phöông phaùp: u u ( x) dv v' ( x)dx + Ñaët du u ' ( x)dx v v( x) ta coù b b Khi đó u ( x).v' ( x)dx = u ( x)v( x) a - u ' ( x).v( x)dx b a a Lop12.net dx (5) *Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, … - Sau đặt u, toàn phần còn lại là dv Baøi taäp : Tính caùc tích phaân sau : 1/ e cos xdx x sin x cos x dx e2 ln e x e x sin x x 2/ dx 3/ dx 4/ x ln(1 x )dx 5/ (ln x) dx cos x 0 sin x x e e 6/ 7/ x sin xdx 8/ (1 ln x) dx 9/ ln x dx 10/ e sin xdx 11/ x ln(1 x)dx 12/ 2 1e x 0 dx ln x DẠNG : Phương pháp đổi biến dạng * Aùp dụng cho tích phân có chứa các biểu thức a x , không thể tính các phương đã học *Phöông phaùp: + Đặt biến maø a x2 -Dạng chứa a x : Đặt x = asint, t ; 2 : Ñaët x = atant, t ; a x 2 - Dạng chứa + Các bước : đổi cận, thay tương tự phương pháp đổi biến dạng Baøi taäp : Tính caùc tích phaân sau : a 1/ x a x dx ( a > ) 2 2/ 2 1 dx 7/ 1 x x 6/ x 1 1 e x2 1 x2 dx dx 3/ 4/ x x 3dx 5/ dx 2 x x ln x 0 9 x 8/ x x dx dx 9/ 1 x2 x2 dx BAØI TAÄP OÂN TAÄP 1) x x dx 2) 2 x e x2 e sin(ln x ) dx 5) (x - x ) ln xdx 4) x 1 e 3) sin xdx dx 6) x dx 7) x3 dx 1 x 8) e e lnx dx 9) ln x x dx e 10) sin x ln(1 cos x )dx 11) ln xdx 12) tan xdx Lop12.net (6) e 13) ( x x 1) ln xdx 14) 5( x 1) dx x6 15) e x sin xdx 16) e x cos xdx 17) x sin x 0 cos x dx 18) 22) x x dx x 26) x 1 dx 27) π lnx 1 x dx 19) 0 2 4 xdx cos sin x dx 20) 0 21) x 2 x 1 dx 24) x 2 1 sin x dx 23) 0 2 x.sin2xdx 28) sin x 0 cos x dx 25) x 1dx 29) x.e 2x 1dx 30) x 0 x 2 x cos xdx .ln(x 1) dx 31) sin x dx 32) e x.lnx dx 33) x.sin(x ) dx 34) (cos x 2cos x) dx 35) x 0 (x 1) dx 36) x 1 cos x sin x dx 37) 0 x dx 38) 0 sin x sin xdx 39) x x dx 40) 2 x I x2 1 dx x x 4 41) sin x sin x π dx 45) x.sin2xdx 46) x dx 42) x x 1 1 47) 0 x.e 2x 1dx x 1dx dx 43) x sin x cos xdx 44) 48) 0 x ln(x 1) dx e 49) 02 sin x dx 50) x.lnx dx tan x x 1 cos x dx 51) x.sin(x ) dx 52) dx 53) dx 54) tan x x sin x 0 2 6 DIEÄN TÍCH HÌNH PHẲNG, THEÅ TÍCH VAÄT THEÅ TROØN XOAY BAØI : Tính dieän tích hình phaúng: 1) Giới hạn (P): y = x2 và tiếp tuyến phát xuất từ A (0, -2) 2) Giới hạn (C ) : y = x2 , đường tiệm cận xiên và đường thẳng x = 2và x x 1 = ( > 2) Tính để diện tích S = 16 đvdt 3) Giới hạn : y2 = 4x và đường thẳng 2x – y – = 4) Giới hạn : y = x và y = sin2x + x (0 x ) 5) Giới hạn y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 6) Giới hạn y = x2 – 2x ; y = x + 7) Giới hạn : y = 2x và 27 y2 = ( x- 1)3 Lop12.net (7) 8) Giới hạn các đường : y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 9) Giới hạn y = x2 – 4x + ; y = x – ; x = ; x = 10) Giới hạn y2 = x ; y = – x + 11)Giới hạn y 2x 10x 12 và đường thẳng y = x2 BAØI : Cho Parapol (P) Hai điểm A, B di động trên Parapol cho AB = a) Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa AB b) Xác định vị trí A, B cho diện tích phần mp giới hạn parapol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn BAØI 3: Tính thể tìch các hình tròn xoay các hình phẳng giới hạn các đường sau đây quay quanh truïc Ox 1) y = - x2 + 2x vaø y = 2) y = sin x, y = 0, x = 3) y = cosx , y = 0, x = 0, x = 4) y = vaø y = – x x 5) y = lnx, y = 0, x = 1, x = x,0 x 6) Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn 0,3 với : f(x) = 1,1 x 3 x,2 x a/ Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) b/ Tính diện tích hình (H) chắn đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox c/ Tính thể tích khối tròn xoay gây nên hình (H) quay quanh Ox 7) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình giới hạn các đường sau ñaây quay xung quanh truïc Ox : y = x2 – vaø y = BAØI : Cho hình phẳng (H) giới hạn cácđường : x = –1 ; x = ;y = ; y = x2 – 2x 1) Tính dieän tích hình (H) 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H)xoay xung quanh trục Ox BAØI : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình giới hạn các đường sau ñaây quay xung quanh truïc Ox : y = x2 – vaø y = BAØI : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường : y = x2 + 2x +1 ; y = – vaø x = – Lop12.net x (8) 2) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh các đường sau đây quay xung quanh truïc Ox : x=0 ; x= ; y= ; y= Lop12.net x sin x (9)