Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải có thể với cách giải khác Vì S là đỉnh, H là tâm của hình tròn đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ của mặt cầu.. Đặt SH = [r]
(1)ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2008 – 2009 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 17 I PHẦN CHUNG: (7,0 điểm) Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y x x (1) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x 3x m 3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x0 = Câu II: (3,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 142+ 22+ 71+ 2) Giải các phương trình sau: a) x 10.3x b) log ( x 3) log4 x Câu III: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông C, cạnh SA vuông góc với đáy, góc ABC 600 , BC = a và SA = a Tính thể tích khối chóp đó II PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm) A Theo chương trình chuẩn: Câu IVa: (3,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y log ( x 1) trên đoạn [1; 3] 2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB vuông a) Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón đó b) Giả sử M là điểm thuộc đường tròn đáy cho BAM 30 Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mặt phẳng (SAM) B Theo chương trình nâng cao: Câu IVb: (3,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y log31 x log21 x 3log x trên 2 1 đoạn ; 4 2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính diện tích xung quanh hình nón ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: SBD : Lop12.net (2) ĐỀ THI HỌC KÌ – Năm học 2008 – 2009 Môn TOÁN Lớp 12 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 17 Câu I Ý Nội dung Điểm (3.0 điểm) 1.5 điểm 0.25 Cho hàm số y x x (1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) TXĐ: R y ' x 1 y’ = 3x2 – 3, y' > x < – x > 1; y ' 1 x 0.25 HS đồng biến trên các khoảng ; 1 ; 1; và nghịch biến trên khoảng (–1; 1) yCĐ = y(–1) = 1và yCT = y(1) = –3 Bảng biến thiên: x – –1 y’ + – y – 0.25 + + + 0.25 –3 Đồ thị: + y '' x, y'' = x = Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (0; –1) + Các điểm khác thuộc (C) là (– 2; – 3), (2; 1) 0.50 11 -6 -4 -2 -2 O -1 22 -1 -2 -3 -3 -4 -5 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x x m Ta có: x x m x x m (2) (2) là PT HĐGĐ (C) và (d): y = m, (d) song song trùng với Ox Số nghiệm PT (2) đúng số giao điểm (C) và (d) Dựa vào đồ thị (C) ta có: – Khi m < –3 m > 1: (d) cắt (C) điểm nên phương trình có nghiệm – Khi m = –3 m = 1: (d) và (C) có hai điểm chung phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt – Khi –3 < m < 1: (d) cắt (C) điểm phận biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt (đúng ý cho 0.25) Lop12.net 1.0 điểm 0.25 0.25 0.50 (3) Viết PTTT đồ thị (C) tiếp điểm có hoành độ x0 = x0 = y0 = y’ = 3x2 – y’(2) = PT tiếp tuyến (C) điểm (2; 1) là: y = 9(x – 2) + hay y = 9x – 17 II 0.25 0.25 (3.0 điểm) Rút gọn biểu thức: 142+ A= A= 2.a 142 22 71 72 1 7 72 2+ 22 72 22 71 7 1 7 1.0 điểm 1+ .7 0.50 7 0.50 Giải phương trình x 10.3x PT 3x 1.0 điểm x 10 3 0.25 Đặt t 3x > ta phương trình theo t: t2 – 10t + = t = t = Với t = ta 3x = x = 2.b Giải phương trình log ( x 3) log4 0.25 x 1.0 điểm 0 x 3 x Điều kiện: x 0.25 0.25 Với t = ta 3x = x = Tập nghiệm phương trình là: S 0;2 0.25 Khi đó: PT log4 ( x 3) log4 x log4 x log4 ( x 3) = x x 1 4 x 3 x 3 x = 4(x – 3) 3x = 12 x = (thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = Tính thể tích khối chóp SABC log4 III 0.5 điểm 0.25 0.25 0.25 (1.0 điểm) S a 0.25 C a 600 A B Ta có: AC = BC.tanB = a.tan600 = a 0.25 Diện tích ABC: dt(ΔABC) = CA.CB = a 3.a = a 2 Lop12.net 0.25 (4) Theo giả thiết SA = a là chiều cao hình chóp Vậy thể tích khối chóp là: 1 a a3 V = dt(ΔABC).SA a2 2 IVa 0.25 (3,0 điểm) Tìm GTLN, GTNN hàm số y log ( x 1) trên đoạn [1 ; 3] Đặt t = x +1 , x [1; 3] t [2; 4] Khi đó hàm số đã cho trở thành y = log t 1.0 điểm 0.25 Vì < a = < nên hàm số y = log t nghịch biến trên (0; ) 0.25 Giá trị lớn hàm số trên đoạn [2; 4] là log 1 Giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [2; 4] là log 2 0.50 (đúng ý cho 0.25) 2.a Tính thể tích khối nón giới hạn hình nón đó 1.0 điểm Ta có SA và SB là các đường sinh hình nón nên SA = SB Theo giả thiết thì tam giác ASB vuông S có SO là trung tuyến nên chiều cao hình nón là: h = SO = AB = R 0.25 πR Thể tích khối nón là V= dtđáy.SO = πR R = 3 0.25 S B 0.50 O M 30 R H A Nếu hình vẽ để phục vụ câu a) cho 0.25 2.b Tính diện tích thiết diện hình nón tạo mp(SAM) Vì M thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABM vuông M có góc A 300 MA =AB.cosA = 2R.cos300 1.0 điểm 0.25 = R Vì tam giác SOM vuông O nên OS = OM = R SM = R Gọi H là trung điểm MA, ta có MH = Lop12.net MA = R 2 0.25 (5) R SH MA SH SM MH R R Mp(SAM) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAM cân đỉnh S có SH là đường cao.: 1 R R 15 SΔSAM = SH.AM = 5.R = 2 IVb 0.25 0.25 (3.0 điểm) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 1 y log31 x log21 x 3log x trên đoạn ; 4 2 1.0 điểm 1 Đặt t = log x , ta thấy x ; t [2;2] 4 2 Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN hàm số y t t 3t trên đoạn [–2; 2] 0.25 y' = t + 2t - ; y ' t [2; 2] t 3 [2; 2] 8 25 y(2) 1 ; y(1) ; 3 3 y(2) 3 25 Vậy GTLN hàm số là , GTNN hàm số là 0.25 Cho mặt cầu tâm O, bán kính R Xét hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy r Tính DTXQ hình nón 0.25 0.25 2.0 điểm S R O M r 0.25 H S' Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải (có thể với cách giải khác) Vì S là đỉnh, H là tâm hình tròn đáy hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ mặt cầu Đặt SH = h là chiều cao hình nón Vì M thuộc đường tròn (H) nên tam giác MSS’ vuông M r MH SH S ' H h.(2 R h) h2 – 2Rh + r2 = h = R R r h R R r Lop12.net 0.25 0.50 (6) * Nếu SH = h = R R r thì độ dài đường sinh hình nón: l = SM = SH HM h2 r = Diện tích chung quanh hình nón: R2 R R2 r 0.50 Sxq rl r R R R r * Nếu SH = h = R R r thì độ dài đường sinh hình nón: l = SM = SH HM h2 r = Diện tích chung quanh hình nón: R2 R R2 r Sxq rl r R R R r Nếu học sinh tìm hai kết trên (có thể với cách trình bày khác) thì cho nửa số điểm câu này ============================ Lop12.net 0.50 (7)