Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 trường THPT Lương Ngọc Quyến năm học 2014 - 2015

1 SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2014-2015 MÔN TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm). Cho hàm số:         3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 1y x m x m m x m        . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. c) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) vuông góc với đường thẳng d: 9 5. 2 y x  Câu 2: (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:         2 1 1 1 1 2 2 2 ) 3 - 82.3 + 9 0. ) log 1 log 1 - log 7 1. x x a b x x x        Câu 3: (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 3 2 3 ln 2 f x x x x     trên đoạn 1 ;4 2       . Câu 4: (0,5 điểm). Cho các số , , 1x y z   . Chứng minh rằng: ln( 1) ln( 1) ln( 1) 1 1 1.x y z x y z           Câu 5: (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA= 2a. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi B', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên cạnh SB và SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD. Từ đó suy ra thể tích của khối chóp S.AB'C'D'. Câu 6: (1,5 điểm). Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB= a, AD=2a, AA'=3a và góc BAD bằng 60 0 . a) Chứng minh:   ' 'AB BB D D . b) Tính khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (ABD'). Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:………… Phòng thi:………. 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN. HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ I- MÔN TOÁN- LỚP 12. NĂM HỌC : 2014-2015. Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5 điểm ) a) 1,25 b) 0,75 c) 0,5 Cho hàm số:         3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 1y x m x m m x m        . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. c) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) vuông góc với 9 : 5. 2 d y x  a) 1,25 a) Khi m=0, ta có: 3 2 2 2.y x x x    * TXĐ: D  * Giới hạn: lim ; lim . x x y y       0,25 * Chiều biến thiên: 2 2 ' 3 4 1 1 ' 0 3 4 1 0 1 3 y x x x y x x x                0,25 * Bảng biến thiên x  1 3 1  y' + 0 - 0 + y 50 27    -2 0,25 - Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 ; 3        và   1; . - Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;1 3       . - Hàm số đạt cực đại tại x CĐ = 1 3 , 1 50 3 27 CĐ y y          . - Hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 1,   1 2 CT y y   . 0,25 3 * Đồ thị: f(x)=x^3-2*x^2+x-2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 x y 0,25 b) 0,75 b) Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT: 3 2 2 2 0x x x    0,25     2 2 1 0 2 0.x x x y        y'(2) = 5. 0,25 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M( 2; 0) :   5 2 5 10.y x y x     0,25 c) 0,5 Ta có:   2 2 ' 3 4 1 4 1.y x m x m m      H/S có CĐ, CT <=> y'=0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 2 2 3 ' 4 1 0 2 3 m m m m                  (*) Ta có:         2 2 2 1 2 2 8 2 2 1 . ' 2 1 - 1 4 1 3 9 9 9 9 9 y x m y m m x m m m m                         0,25 PT đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là:       2 2 2 2 8 2 2 : 2 1 - 1 4 1 9 9 9 9 AB y m m x m m m m                => Hệ số góc của đường thẳng AB là: 2 2 8 2 . 9 9 9 k m m    Vì AB d nên : 9 2 . 1 2 9 k k     Do đó: 2 2 0 2 8 2 2 4 0 4 9 9 9 9 m m m m m m                (T/m (*) KL: m=0, m= - 4. 0,25 Câu 2 ( 2,0 điểm) a) 1,0 b) 1,0 Giải các phương trình :   2 1 ) 3 - 82.3 + 9 0 . x x a           1 1 1 2 2 2 ) log 1 log 1 - log 7 1 1 b x x x     4 a) 1,0 a) Ta có:   2 1 2 3 - 82.3 + 9 0 9.3 82.3 + 9 0 x x x x      0,25 Đặt t= 3 x , t>0 . Ta có: 2 9 9 82 9 0 1 9 t t t t           0,25 9 3 9 2 1 1 3 2 9 9 x x t x t x            0,25 Vậy: PT có 2 nghiệm x=2, x=-2. 0,25 b) 1,0 *ĐK: 1 0 1 0 1 7. 7 0 x x x x               (*) 0,25           2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 log 1 2log 7 1 log 1 7 x x x x          0,25     2 2 2 1 3 1 14 51 0 17 2 7 x x x x x x                0,25 Kết hợp với ĐK (*), PT (1) có nghiệm x = 3. 0,25 Câu 3 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số   2 3 2 3 ln 2 f x x x x     trên đoạn 1 ;4 2       . Hàm số f(x) liên tục trên đoạn 1 ;4 2         2 3 4 4 3 f ' 2 2 2 2 x x x x x x         0,25   3 1 ;4 2 2 f ' 0 1 1 ;4 2 2 x x x                          0,25 Ta có:   1 9 3 3 9 3 3 ln 2 , ln , 4 11 3ln 2. 2 4 2 2 4 2 2 f f f                      0,25 5 Vậy:       1 1 ;4 ;4 2 2 3 9 3 3 4 11 3ln 2, ln . 2 4 2 2 Min f x f Max f x f                           0,25 Câu 4 ( 0,5 điểm) Cho các số , , 1x y z   . Chứng minh rằng: ln( 1) ln( 1) ln( 1) 1 1 1.x y z x y z           Xét hàm số: ( ) ln( 1) 1f t t t    với 1t   2 1 '( ) ; '( ) 0 3 2( 1) t f t f t t t        0,25 * Bảng biến thiên x -1 3  f'(t) 0 + 0 - f(t) ln4-2   ( ) ln 4 2 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 f t f x f x f y f z          Hay ln( 1) ln( 1) ln( 1) 1 1 1x y z x y z           (đpcm). 0,25 Câu 5 ( 2,5 điểm) a) 1,0 b) 1,0 c) 0,5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA= 2a. a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. c) Gọi B', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB và SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB'C'D' và S.ABCD. Từ đó suy ra thể tích của khối chóp S.AB'C'D'. a) 1,0 a) Hình vẽ (0,25 đi˔m) D C B A S D' B' C' O 6 Hình chóp S.ABCD có   SA ABCD  SA là đường cao của hình chóp. 0,25 Diện tích đáy: 2 ABCD S a (đvdt) 0,25 Thể tích của khối chóp S.ABCD : 1 . . 3 ABCD V SH S   3 2 1 2 .2 . . 3 3 a a a đvtt  0,25 b) 1,0 b) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD 0,25 + Qua I dựng đường thẳng   ABCD  =>  là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. 0,25 + Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt  tại O. Khi đó OS=OA=OB=OC=OD . => O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và O là trung điểm của cạnh SC. 0,25 + Bán kính mặt cầu: 2 2 2 2 1 1 1 6 4 2 2 2 2 2 a R OS SC SA AC a a       . 0,25 c) 0,5 c) Ta có:         ' AB' ' 1 ' CB AB SB SBC AB SC AB CB do SAB             Tương tự:         ' AD' ' 2 ' CD AD SD SDC AD SC AD CD do SAD             Từ (1) và (2)   ' ' ' '.SC AB C D SC AC    0,25 Do tính đối xứng của hình chóp S.AB’C’D’, ta có: . ' ' ' . ' ' 2 S AB C D S AB C V V Ta có: . ' ' ' . ' ' . ' ' 2 2 . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' '. '. . . 2 4 4 8 = . . . 5 6 15 S AB C D S AB C S AB C S ABCD S ABC S ABC V V V SB SC SB SB SC SC V V V SB SC SB SC SA SA a a SB SC a a          3 3 . ' ' ' . 8 8 2 16 . . 15 15 3 45 S AB C D S ABCD a a V V đvtt    0,25 7 Câu 6 (1,5 điểm): a) 1,0 b) 0,5 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB= a, AD=2a, AA'=3a và góc BAD bằng 60 0 . a) Chứng minh:   ' 'AB BB D D . b) Tính khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (ABD'). a) 1,0 a) Hình vẽ (0,25 đi˔m) 0,25 Trong tam giác ABD ta có: 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2. . .cos60 4 4 . 3 2 BD AB AD AB AD a a a a       2 2 2 ABDAB BD AD     vuông tại B. 0,25 Như vậy:       ' ' ' ' AB BD AB BB D D đpcm AB DD do DD ABCD         0,5 b) 0,5 b) Gọi   ' 'O AD A D  => O là trung điểm của A'D. =>         ', ' , 'd A ABD d D ABD Kẻ     ' ' 1DH BD H BD  Từ     ' ' 2AB BB D D AB DH   Từ (1), (2) =>       ' , 'DH ABD d D ABD DH   0,25 Trong tam giác BDD' vuông tại D, có DH là đường cao:     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 ' 3 9 9 9 3 3 ', ' . 4 2 2 DH DB DD a a a a a a DH DH d A ABD            0,25 ( Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm ) D' A C' B' B C H D O 60 0 A' . 1 SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 014 -2 015 MÔN TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài 18 0 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,5. CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ I- MÔN TOÁN- LỚP 12 . NĂM HỌC : 2 014 -2 015 . Câu ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5 điểm ) a) 1, 25 b) 0,75 c) 0,5 Cho hàm số:         3 2 2 2 2 1 4 1 2 1 1y x m x m m x m   . m=0, m= - 4. 0,25 Câu 2 ( 2,0 điểm) a) 1, 0 b) 1, 0 Giải các phương trình :   2 1 ) 3 - 82.3 + 9 0 . x x a           1 1 1 2 2 2 ) log 1 log 1 - log 7 1 1 b x x x     4 a) 1, 0 a)