Các dạng lượng giác

Phương pháp –Dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp đưa pt về các dạng phương trình quen biết –Dùng các phép biến đổi lượng giác và đại số để đưa pt về phương tích có vế phải bằng 0[r]

I.Phương trình lượng giác: 1.Các công thức lượng giác: Hệ thức Công thức cộng Công thức hạ bậc sin( a  b)  sin a cos b  sin b cos a sin a  cos a  sin a tan a  cos a cos a cot a  sin a tan a cot a  1   cot a sin a   tan a cos a cos( a  b)  cos a cos b  sin sin b tan a  tan b tan( a  b)   tan a tan b  cos a  cos a tan a   cos a sin a  Công thức nhân đôi cos a   cos a Công thức biến đổi tổng thành tích Sin2a=2sinacosa Cos2a=cos2a– sin2a= 2cos2a–1 tan a tan a   tan a 2cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b) 2sinasinb=coa(a-b)-cos(a+b) 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 2sinbcosa=sin(a+b)-sin(a-b) Công thức biến đổi tổng thành tích sin( p  q) cos p cos q sin( p  q) tan p  tan q  cos p cos q p q p q cos 2 p q p q cos p  cos q  2 sin sin 2 p q p q sin p  sin q  sin cos 2 p q p q sin p  sin q  cos sin 2 2t  t2 cos a   t2  t2 2t  a tan a   t  tan  2 1 t  tan p  tan q  cos p  cos q  cos sin a    sin a  cos a  sin a   4    sin a  cos a  sin a   4  Công thức nhân Sin3x = 3sinx - 4sin3x Cos3x = 4cos3x – 3cosx sin x  sin x  sin 3x cos x  cos 3x  cos x Các bất đẳng thức lượng giác cần nhớ: x  R : 1  sin x  cos x   cos x  x  R :  a  b  a sin x  b cos x  II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.Phương trình bản:  f ( x)  g ( x)  2k sin f ( x)  sin g ( x)   kZ  f ( x)    g ( x)  2k  f ( x)  g( x)  k  tanf(x) =tang(x)   kZ   f ( x)   k 2/ Phương trình đặt biệt: sinx =  x = k , sinx =  x = cosx =  x =   a  b2 cosf(x) = cosg(x)  f(x) = ±g(x)+2k với k Z  f ( x)  g( x)  k kZ  f ( x)  k cotf(x) = cotg(x)   + k2 ,sinx = -1  x = -  + k2 + k  , cosx =  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 Lop10.com 3/ Phương trình bậc bậc chứa hàm số lượng giác : Định nghĩa: Là phương trình có dạng at  bt  c  a   đó t là bốn hàm số lượng giác: sin x, cos x, tan x, cot x Cách giải: Bước 1: Đặt t hàm số lượng giác có phương trình; Bước 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t ( t = sinx, t = cosx t  1) Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn điều kiện); Bước 4: Với t thoả mãn ta có phương trình lượng giác  nghiệm x 4/ Phương trình bậc sinx và cosx Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) đó a2 + b2  Điều kiện phương trình có nghiệm : a  b  c  Cách giải Bước 1: Chia vế cho a  b Bước 2: Ñaët sin  a pt  a b cos x  b a b 2 sin x  b  cox sin   sin x sin   a  b2   c Bước 3: Giải phương trình sin(x  )  sin arcsin 2  a b   a b 2 ; cos   a 2 c a  b2 c a  b2 5)Phương trình đẳng cấp sinx và cosx : Dạng :asin2x +b sinx cosx + c cos2x = d (1) Cách giải 1: Bước 1:   k ( k  Z) => sin2x = (1)=>a=d  Nếu đẳng thức đúng =>x =  k ( k  Z) là nghiệm pt Bước 2: Xét cosx ≠ : Chia vế cho cosx ,đặt t= tanx (1)=>at2 + bt +c= d(1+t2) (a– d)t2+bt +c – d = Giải phương trình tìm t từ đó suy x Xét cosx = => x= Cách giải 2:  cos 2x  cos x ; cos x  ; sin x cos x  sin x 2 a a cos 2x b c c cos 2x (1)    sin 2x    d  (c  a) cos 2x  b sin 2x  2d  a  c 2 2 Thay sin x  Giải pt tìm suy x 6)Phương trình đối xứng sinx và cosx : Dạng a(sinx+cosx) + bsinxcosx + c= Cách giải : Đặt t = sinx +cosx => sinxcosx = Pt=> at  b t2 1 vaø   t  2 t2 1  c   bt  2at  2c  b  Giải phương trình tìm t Giải phương trình sinx+cosx=t tìm x Chú ý : Pt a(sinx–cosx) +bsinxcosx + c = (Đặt t = sinx – cosx ) 7)Phương trình lượng giác không mẫu mực Lop10.com Phương pháp –Dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp đưa pt các dạng phương trình quen biết –Dùng các phép biến đổi lượng giác và đại số để đưa pt phương tích có vế phải và các thừa số là phương trình lượng giác quen biết –Đặt ẩn số phụ : Đạt ẩn số phụ thích hợp chuyển pt đại số : Một vài nguyên tắc đặt ẩn số phụ: Nếu phương trình không thay đổi ta thay: a) x – x đặt ẩn phụ là cosx b) x  – x đặt ẩn phụ là sinx b) x  + x đặt ẩn phụ là tanx d) Nếu a , b , c thõa đặt ẩn phụ là cos2x x e) Nếu a , ,c không thõa chọn ẩn phụ là t = tan 2 cos 4x Bài 1: Giải phương trình sau: cot x  tan x  (1) sin 2x  ĐK: x  k (1)  cot x sin 2x  tan x sin 2x  cos 4x  cos x  sin x  cos 4x  cos 2x  cos 2x   t  (loại) 2  Ñaëtt  cos 2x    t  pt  2t  t      cos 2x  cos  x    k t  3   2    Bài 2:Giải phương trình : cos  x    cos  x    sin x  1 (1) 3    2   2        (1)   cos 2x     cos 2x      sin x   cos 2x    cos 2x    sin   3  3      sin x      2 sin 2x   sin  sin x   2co2x  sin x    2 sin x  sin x    sin x  2     x   k  sin x   x  k sin x    x  5  k  Bài 3:Giải phương trình cosx+cos2x+cos3x+cos4x+cos5x +cos6x = (1)  (sin x  sin 6x)  (sin 2x  sin 5x)  (sin 3x  sin 4x)   sin 7x 5x 7x 3x 7x x 7x  5x 3x x cos  sin cos  sin cos   sin  cos  cos  cos   2 2 2  2 2  sin 7x  3x 3x  7x 3x  1  cos cos x  cos    sin cos  cos x     2  2  2 k   7x x  sin    3x  k   cos   x     3    x     k cos x     Bài 4:Giải phương trình sinxcosx+ sin-cosx= Lop10.com Giải : Đặt t = sinx-cosx =>0  t  1 t2 1 t2 (1)   t    t  2t   t  2t  =1 –2sinxcosx=>sinxcosx= 2 t     t  (loại)  sin x  cos x   sin x     x   k    =>t2 Bài 5: Giải phương trình 6sinx– 2cos3x = 5sin2xcosx Giải : Nếu cosx = =>sinx = 1 (1)=>6=0 (vô lý )=>cosx ≠ Chia vế phương trình (1) cho cos3x sin x 10 sin x cos x    tan x  tan x   10 tan x  tan x  tan x   cos x cos x cos x   tan x   x   k Bài 6:Giải phương trình sin8x + cos8x = sin6x+cos6x (1) Giải  (1)      Sin8x +cos8x = (sin4x+cos4x)2–2sin4xcos4x = sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x =1- sin2xcos2x +2 sin4xcos4x=1-sin22x+ sin 2x Sin6x +cos6x =1 – 3sin2xcos2x =1 – sin 2x sin 2x  1 (1)   sin 2x  sin 2x   sin 2x  sin 2x  sin 2x    8 sin 2x  (loại) sin 2x   x  k Bài 7: Giải phương trình cos3x + sin 2x  cos x  (1) GIẢI : (1)  cos x    3 sin x cos x  cos x   cos x cos x  sin x    2   cos x  cos x       x   k   sin x  sin x   VN  Bài 8:Giải phương trình sin 3x  cos 9x   sin x GIẢI: sin 9x  cos 9x  2    k   x    k x          18  sin 9x cos  sin cos 9x  sin  sin 9x    sin     3 3  9x    5  k  x    k 54   (1)  sin 3x  sin x  cos 9x   sin 9x  cos 9x   Lop10.com  21  Bài 9:Giải phương trình sin24x–cos26x=sin    10x  (1)   GIẢI :   21    sin   10x   sin10x   10   cos10x      cos 8x  cos12x (1)    cos10x   cos 8x  cos12x  cos10x  2 cos10x cos 2x  cos10x 2  k  x  20  10 cos10x   cos10x1  cos 2x       cos 2x  1  x    k   3 5 7 9   Do x   0;  Pt coù nghieäm thoõa : x  ;x ;x ;x ;x 20 20 20 20 20  2 Bài 10: Cho phương trình cos3x – 4cos2x + 3cosx – = Tìm tất nghiệm x  (0; 14 ) phương trình GIẢI : t  Đặt t = cosx  t   (1)=>4t3 – 3t – 4(2t2 –1 ) + 3t –4 =  4t3 –8t2 =0   t  (loại) t= \=>cosx= 0=> x=   k  14   k  Z  k  0;1;2;3 Do x (0;14)=> <  k  14    k  2   3 5 7 k   x  k   x  ; k   x  ; k   x  2 2 BÀI TẬP 1.Giải các phương trình sau:   x   k  3  a) tan  x    tan x  ÑS : b) sin x  cos x   4 cos x  x  k'   x  k ÑS :   x    k  (cos x  sin x)  HD : Ñöa veà sin cos ÑS : x    k cot x   7  d )3  cos x  sin x(2 sin x  1) ÑS : x    k ; x   k ; x   k 6 4x cos  cos x   21    k e)  ÑS : x  3k f )3 cos 4x  cos 3x  ÑS : x  k ; x   arccos  2  tan x    g) cos 2x  sin 2x  sin x  cos x   HD : Nhoùm caùc soá haïng ÑS : x   k c)  tan x  cot 2x Lop10.com h) sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos3 x  cos x HD : Đặt thành nhân tử chung (cosx - sinx)   ÑS : x   k ; x    k x    k  5 i) sin 3x  cos 2x   sin x cos 2x x  ( ; ) HD : Dùng công thức biến đổi tích thành tổng ĐS : x  ; x  6   3 j) cos3 x  sin 2x  cos x  ÑS : x   k ; x   k ; x   k 4 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I,CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ: Định lý hàm số cosin –2bc cosA b2 = c2+a2 –2cacosB c2= a2+c2 –2abcosC Định lý hàm số sin a b c    2R sin A sin B sin C Định lý đường trung tuyến A bc cos 2 2 b  c  a 2 ma  la  bc a2=b2 +c2 Các công thức tính diện tích tam giác 1 S  ah a  bh b  ch c 2 1 S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc a b c  S S  pr  p   4R   S  p( p  a)( p  b)( p  c) Bài 1:Cho tam giác ABC có diện tích S và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh : 2S Sin2A+sin2B+sin2C= R Giải : VT= sin2A+sin2B+sin2C= 2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinC[cos(A–B)–cos(A+B)]=4sinAsinBsinC a b c abc S   =4 2R 2R 2R 4R.2R 2R Bài 2:Cho tam giác ABC có góc A ; B ; C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân công bội 1 a)Chứng minh   a b c b)Tính A=cos A +cos2B +cos2C = 5/4 với a ; b ; c là độ dài cạnh BC ;CA ; và AB tam giác ABC Giải A  B  C   A  B  C    2 4  a)    A  ; B  ;C  B 7 A ; B; C laø caáp soá nhaân coâng boäi A  ; C  2B  2 4 Theo định lý hàm số sin a = 2Rsin b = 2Rsin c = 2Rsin 7 Lop10.com 4 2  3       sin  sin sin cos  1   1   7   7      2 4 2R  2 4  2R  4 2  R  4   2R sin 2R sin sin  sin   sin sin   sin sin cos  7 7  7  7 7    1    a 2R sin  cos 2A  cos 2B b) cos A  cos B  cos C    cos C   (cos 2A  cos 2B)  cos C 2 2   cos(A  B) cos(A  B)  cos C   cos Ccos C  cos(A  B)   cos A cos B cos C  2 4    2 4 2 2 4 X  cos A cos B cos C  cos cos cos  sin X  sin cos cos cos  sin cos cos 7 7 7 7 7 4 4 8 sin         sin sin cos sin  7  7    X    A    sin X   4 4 Bài 3:Xác định hình dang tam giác ABC biết các cạnh và các góc nó thõa:  A  B a tan B  b tan A  (a  b) tan    GIẢI:  A;B ≠  ABC khoâng theå vuoâng taïi A vaø B A  B AB  A  B  A  B    a tan B  b tan A  a tan  b tan  tan A    b tan   atan B  tan             AB A  B  B A B A sin A sin sin B sin  sin B     sin  A      b     2  a   A  B A  B A  B A B  cos B cos   cos A cos  cos B cos cos A cos       2   1   b c 1 B A B A B A sin 2A  sin 2B   sin B cos B sin   sin 2   B A A  B (1) sin 0        A  B   (2) sin 2A  sin 2B  (1)  ABC caân taïi C (2)  ABC vuoâng taïi C  sin A cos A sin  sin B sin C  Bài 4:Cho tam giác ABC có các cạnh a;b ;c và các góc A ;B ;C thõa :  Chứng minh tam giác 3 a  a  b  c  abc ABC đều, GIẢI: Lop10.com a3  b  c3  a  a b  a c  a  b  c  a b  a c  b  c  a ( b  c)  ( b  c)( b  c  ab) abc b2  c2  a2  a  b  c  bc  cos A    A  60 bc  3 sin B sin C   cos(B  C)  cos(B  C)  cos(B  C)   cos120  cos(B  C)   B  C  120  a2   B  C   B  C  60  ABC đeàeà Bài 5:Cho tam giác ABC có góc A ; B ; C tạo thành cấp số công và A  B  C và thõa hệ thức cos A  cos B  cos C  1 , cho biết bán kính đường tròn nội tiếp r = 1.Tính số đo góc và độ dài cạnh tam giác ABC GIẢI: A ; B ; C là cấp số cộng =>A+C=2B mà A+B+C=1800 =>B=600 =>A+C=1200 1 CA CA 3  cos A  cos C   cos cos   cos(C  A)  2 2 2 0 0  C  A  30  A  30 : C  90 : B  60 cos A  cos B  cos C  S 1 a  b  c a  a  2a a(3  ) a(3  ) 3 ab  a p     a   a   1 2 2 2 b   c  2(  1) Bài 6:Cho tam cân có cạnh đáy là a cạnh bên b góc đỉnh là 200 chứng minh a3 +b3 =3ab2 Giải: Gọi H là trung điểm BC=>BAH=100 BH a sin BAH   sin 30  sin 10  sin 10 AB b 3a 4a     a  b  3ab 2 b 8b BÀI TẬP 1)Xác định hình dạng tam giác ABC biết a)sin4A+sin4B+sin4C = (Tam giác ABC vuông ) c) tan B sin B  (vuông cân) tan C sin C A B H C cos A  cos B cot A  cot B  (Tam giác cân) sin A  sin B sin B  sin C  sin A d)  (Tam giác đều) tan B  tan C  tan A b) đường cao AA’ Chứng minh các đẳng thức sau: a)tanB.tanC= b)2tanA=tanB+tanC c)cos(B – C) = 2cosA 3.Cho tam giác ABC Chứng minh A = 2B a2 = b2 +bc 4.Chứng minh O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì OA.OB.OC =4Rr2 5.Cho tam giác ABC có góc A ; B ;C tạo thành cấp số nhân có công bội q = 2.Tính a2+b2+c2 (ĐS:7) 2)Trực tâm H tam giác ABC cách đỉnh A Lop10.com