MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và hcn * HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập [r]
(1)Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Buổi : đẳng thức Ngµy so¹n: 06 - - 2010 a môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải các bài toán phép nhân đa thức – đẳng thức * T¹o høng thó cho HS qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động GV Hoạt động HS HS ghi đề, thực theo nhóm Bµi 1: Rót gän biÓu thøc HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän + 2x + = x3 + 3x2 + 6x + b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = HS ghi đề bài 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3) áp dụng các H.đẳng thức nào để giải 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = Biến đổi, rút gọn vế trái 172 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – 9) = 172 … 8x = 96 x = 12 Bµi 3: Cho x + y = a; xy = b tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu HS ghi đề bài, tiến hành bài giải thøc sau theo a vµ b: 2 4 Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x +y; x +y x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 Bµi 4: chøng minh r»ng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (2) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh y4 = x4 – y4 = VP (®pcm) b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = (a – b)2 = a – b = a = b (®pcm) c) Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = x2 + y2 + z2 = ( v× xy + yz + zx = 0) x=y=z d) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2) Tõ (1) (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3) Tõ (2) vµ (3) suy a4 + b4 + c4 = b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ®iÒu g×? c) NÕu: x + y + z = vµ xy + yz + zx = th× x = y = z Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 =? Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? d) cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = c/m: a4 + b4 + c4 = HD cách giải tương tự Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 1999 vµ B = 19982 4(32 1)(34 b)A = + + 128 vµ B = - TÝnh theo 32 – 1? 1)…(364 a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 A < B + 1) 32 b) V× = nªn Khi đó A = ? áp dụng đẳng thức nào liên tiếp để so s¸nh A vµ B Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – ch÷ sè 0) Cmr: ab + là số chính phương A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 (3 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) 16 = (3 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) 32 = (3 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 1 = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B 2 = VËy: A < B Ta cã: b = 10n + = 9….9 + = 9(1…1) + = 9a + b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè vµ n ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 ch÷ sè 5) = (3a + 1)2 là số chính phương Cmr: Un + là số chính phương Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (3) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Ta viÕt: Un = n sè n sè + = n sè 11…1.10n n sè n sè = + 11…1 §Æt: a = 11…1 th× 9a + = 10n Do đó : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: cho x + y = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + Bµi 2: Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bµi 4: Chøng minh r»ng: Nếu n là tổng hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng hai số chính phương Bµi 5: So s¸nh: x2 y2 xy A= víi B = (Víi < y < x ) x y2 xy Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (4) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Buổi : đẳng thức ( Tiếp) Ngµy so¹n: 20 - - 2010 a môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải các bài toán đẳng thức * T¹o høng thó cho HS qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Những đẳng thức đáng nhớ: Bình phương tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương tổng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) Lập phương hiệu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tổng hai lập phương: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) Hiệu hai lập phương: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động GV Hoạt động HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi đề, tiến hành bài giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) 1HS lªn gi¶i Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = = 5x - HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i 2 b) (x - 2)(x - 2x + 4)(x + 2)(x + 2x + 4) b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n HS ghi đề, tiến hành bài giải Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = x3 - 27 - x(x2 - 4) = x3 - 27 - x3 + 4x = 4x = 28 x = Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (5) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Bài 3: Viết biểu thức sau dạng tổng ba bình phương: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i NÕu HS cha gi¶i ®îc th× gîi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10 H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Từ đây, làm nào để tính giá trị Bt B Bµi 5: Cho a = 1 ; b = 1 vµ c = 6 Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = x2 + y2 + 2xy = xy = - (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = a4 + b4 + c4 = - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Thay (2) vµo (1) ta cã: B = - 1 =1- = 2 HS ghi đề, tìm cách giải n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + lµ số chính phương §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh phương, ta cần c/m gì? A=a+b+c+8=? HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) ab + bc + ca = a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? n 1 A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 1 (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = (2) a2b2 + b2c2 + c2a2 = Khi đó ab + bc + ca = ? 2n HS ghi đề, tìm cách giải §¹i diÖn HS lªn tr×nh bµy( NÕu kh«ng gi¶i ®îc th× theo Hd cña GV) §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh phương, ta cần c/m nó bình phương mét sè Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (6) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh 9 A = 1 + 1 + 6 +8 Ta cã: 11 ViÕt thµnh luü (11 1) n n 1 2n n 9 (1 ) + (1 ) + 6( 1 )+8 2n n 1 n 2n n 1 n 10 10 10 = + + +8 9 102n 10n 1 10n 64 102n 16.10n 64 = = 9 thõa 10? = Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z thoã mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng các bình phương? Có nhận xét gì hai vế đẳng thức? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x = ; y = n 10n 100 08 = 33 36 n 1 x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ = (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + = Rõ ràng, vế trái đẳng thức là số dương víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng Vậy không tồn các số x, y, z thoã mãn đẳng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = vµ z=4 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bµi 2: a) Cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh x3 + y3 theo a vµ b Bµi 3: Chøng minh r»ng NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = abc Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (7) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Buæi : ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, h×nh thang Ngµy so¹n: 27 – - 2010 a môc tiªu: - Cñng cè vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ h×nh thang, ®êng trung b×nh cña tam gi¸c, ®êng trung b×nh cña h×nh thang - TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS - t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS häc n©ng cao b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc: A §êng trung b×nh cña tam gi¸c * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c E F gäi lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c - E lµ trung ®iÓm AB, F lµ trung ®iÓm AC thi EF lµ ®êng trung b×nh cña ABC B C - NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung ®iÓm AC - EF lµ ®êng trung b×nh cña ABC th× EF // BC vµ EF = BC §êng trung b×nh cña h×nh thang: * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang gäi lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang + H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm AD, N lµ trung ®iÓm BC th× MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD + NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC + MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ABCD th× MN // AB // CD vµ MN = (AB + CD) II Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho ABC cạnh a Gọi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao? b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM? §Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n ta cÇn c/m g×? Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n HS ghi đề bài ViÕt GT, KL, vÏ h×nh HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n A=C A c/m: MN // BC vµ B Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (8) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh V× MN // BC A=C A? V× B Từ đó ta có KL gì? Tõ GT MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC MN // BC (1) vµ MN = A M BC (2) ABC nên A=C A 600 (3) B N B C Tõ (1) vµ (3) suy tø gi¸c BCNM lµ Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ h×nh thang c©n nµo? Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ H·y tÝnh c¹nh BM, NC theo a PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) 1 BC = ? v× sao? BM = NC = AB = BC = a VËy: chu vi h×nh thang c©n BCNM tinh theo a lµ bao nhiªu? 1 BC = a, MN = BC = a 2 VËy : PBCNM = BC +BM + MN + NC =a+ Bµi 2: Cho ABC có ba góc nhọn; AB > AC Vẽ hình Gọi M, N, P là trung điểm AB, AC, BC VÏ ®êng cao AH a) C/m: MP = NH M b) Gi¶ sö: MH PN C/m: MN + PH = AH B 1 a+ a+ a= a 2 2 A N P H C §Ó C/m MP = NH ta cÇn C/m g×? Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP và NH cùng đoạn nào đó MP lµ ®êng Tb cña ABC nªn MP // AC vµ Tõ GT suy MP cã tÝnh chÊt g×? MP = AC Ta cÇn C/m NH = Ta cÇn C/m g×? Gäi I = MN AH th× ta cã ®iÒu g×? V× sao? Hoµn thµnh lêi gi¶i? Khi MH PN th× MH AB? V× sao? Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n AC M lµ trung ®iÓm AB vµ MI // BH ( MN lµ ®êng trung b×nh cña ABC) nªn I lµ trung ®iÓm AH vµ AI MN (Do AH BC ) ANH c©n t¹i N NH = NA = AC VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH PN th× MH AB v× NP // AB 10 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (9) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh AMH lµ tam gi¸c g×? v× sao? ABH lµ tam gi¸c g×? v× sao? Từ đó suy điều gì? AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã A AMH 900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ A A ®êng cao MAH = AHM 450 A A ABH cã AHB 900 mµ AHM 450 nªn A HBM 450 ABH vu«ng c©n t¹i H Suy BH = AH Mµ BH = BP + PH = MN + PH VËy: MN + PH = AH Bµi 3: Cho ABC Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c tia HS ghi đề, Vẽ hình, ph©n gi¸c kÎ IM AB; IN BC A vµ IK AC Qua A vÏ ®êng th¼ng a // MN; ®êng th¼ng b // NK A c¾t NK t¹i E, b cắt NM D, ED cắt AC, AB t¹i P, Q Cmr: PQ // BC D P Q M I L B N E K C H Gäi giao ®iÓm cña BC vµ AD lµ L, cña BC AMI = AKI (C huyÒn – g nhän) vµ AE lµ H AM = AK (1) §Ó c/m: AM = AK ta c/m g×?, BMI = BNI (C huyÒn – g nhän) Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK BM = BN (2) CNI = CKI (C huyÒn – g nhän) A MNHA lµ h×nh g×? V× CN = CK (3) A MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH, Ta suy ®iÒu g×? A A A A ) MAH = BMN = NHA = BNM A KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có NH = AM (4) ®iÒu g×? A KNLA lµ h×nh thang c©n NL = AK (5) Ta cã thÓ KL g× vÒ Mqh gi÷a ND, NE Tõ (1), (4), (5) NL = NH (6) ALH NE, ND lµ ®êng trung b×nh cña ALH nªn: DE cã tÝnh chÊt g×? EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Tõ (7) vµ (8) suy ra: DE lµ ®êng trung b×nh cña ALH DE // LH PQ // BC Bµi 4: Cho ABC cã AB = c, BC = a, AC = b HS vÏ h×nh Qua A vÏ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C t¹i D vµ E Tõ A vÏ AP BD; AQ CE PQ cắt BE, CD M và N TÝnh MN, PQ theo a, b, c Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 11 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (10) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Dù ®o¸n xem MN cã tÝnh chÊt g×? E A D 1 H·y C/m BCDE lµ h×nh thang M Từ đó ta có điều gì? PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy tÝnh chÊt cña MN H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c Q P Dù ®o¸n vµ c/m d¹ng cña BAD N 2 C B Dù ®o¸n: MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE Tõ gt BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC A =B A mµ B A =D A (so le – BC // B 2 A =D A BAD c©n t¹i A DE) B 1 mµ AP BD PB = PD; AB = AD = c Tương tự CAE cân A Và AQ CE QC = QE vµ AC = AE = b PQ lµ ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai ®êng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB MN lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BCDE nªn: BC + DE BC + AE + AD a + b + c = 2 BC + DE PQ = MN–(MQ + NP) = - BC AD + AE - BC b+c-a = 2 MN = III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: A = 900); AB = CD = AB Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A kÎ CH AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC BC c) EF = 1 DC = AB Bµi 2: Chøng minh r»ng: §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai ®êng chÐo cña h×nh thang th× song song với hai đáy và nửa hiệu hai đáy Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 12 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (11) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Buæi – ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Ngµy so¹n: 09 – 10 - 2010 Ngµy d¹y: 11 - 10 - 2010 a môc tiªu: * Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc, cña biÕn b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: * Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phương pháp dùng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phương pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức * Phương pháp tách hạng tử : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn thừa số có tổng b T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành biểu thức dễ ph©n tÝch h¬n * Phương pháp Thêm bớt cùng hạng tử : Thêm bớt cùng hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức * Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích II Bµi tËp vËn dông: Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 2 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 5x2.y + y2 a) 25x – 10x y + y = (5x2 – y)2 áp dụng phương pháp nào để phân tích ®a thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 13 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (12) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - Ta áp dụng phương pháp nào để phân tÝch b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x2 – 6x + áp dụng phương pháp nào để phân tích? Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? t¸ch nh thÕ nµo? Có thể tách nào khác để xuất đẳng thức tiếp tục phân tÝch Tương tự, GV cùng HS tìm các cách phân tích khác phương pháp tách h¹ng tö b) a4 + a2 + Hãy tách a2 thành hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nào để xuất đẳng thức Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) áp dụng phương pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – = (x4 – ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi đề C¸ch 1: V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nªn ta cã: x2 – 6x + = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) C¸ch 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = …? C¸ch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = ? HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c b) a4 + a2 + = (a4 + 2a2 + ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) 14 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (13) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh b) x5 – x4 -1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta đã có a3 + b3, nên thêm bớt các hạng tử nào để xuất đẳng thức H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phương pháp nào để phân tÝch b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tương tự câu a Bµi 6: a) Cho a + b + c = c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = ? b) cho xy 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: a b x y b) x5 – x4 – = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + th× x2 + 8x + 15 = y + ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) V× a + b + c = a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = a2y2 - 2abxy + b2x2 = (ay – bx)2 = ay – bx = ay = bx III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) 25x2 – 20xy + 4y2 Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n a b (®pcm) x y b) x3 – 4x2 – 9x + 36 15 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (14) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chøng minh r»ng a) Hiệu các bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho b) A = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho số chính phương khác với n N bµi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt Ngày soạn: Ngaøy daïy: – 11 - 2010 - 11 - 2010 A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức hình bình hành và hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập Hbh và hcn * HS có hứng thú và nghiêm túc học tập B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại kiến thức bài học: Kieán Hình bình haønh Hình chữ nhật thức A =B A=C A=D A 900 AB // CD Ñònh ABCD laø Hcn A ABCD laø Hbh AD // BC nghóa Tính ABCD laø Hbh , AC BD = O ABCD laø Hcn , AC BD = O AB = CD, AD = BC AB = CD, AD = BC chaát A A A A A = C , B = D OA = OC, OD = OB AC = BD A A A A A =C,B=D OA = OC, OD = OB Daáu hieäu nhaän bieát AB // CD, AD // BC AB = CD, AD = BC ABCD A =B A,C A=D A A laø Hbh OA = OC, OB = OD ( O = AC BD) A =B A=C A = 900 + A + ABCD coù AB // CD A =D A = 900 Vaø A + ABCD laø Hbh coù: A = 900 -A - AC = BD II Baøi taäp vaän duïng: Hoạt động GV Baøi 1: A = 1200 Đường Cho Hbh ABCD coù A phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm cuûa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n Hoạt động HS HS ghi đề, vẽ hình 16 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 ABCD Laø hcn (15) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh C/m ADF đều, AFC cân c) C/m AC AD Giaûi Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB Ta coù ADE laø tam giaùc gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó E A B C F D a) ADE laø tam giaùc caân A = 1200 , maø ABCD laø Hbh neân Ta coù A A = 600 ADE A A D = AED = 300 ADE caân taïi A AD = AE maø AB = AE Neân AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laø Hbh) Haõy C/m ADF caân taïi A coù moät goùc 600 Haõy C/m AFC caân taïi F 1 CD, AD = AB Suy 2 A = 600 AD = DF ADF caân traïi D coù D maø DF = Từ AFC cân F ta suy điều gì? Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa AFC A DAC =? Baøi 2: Cho ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn tam giác đó Gọi D, E, F là trung điểm AB, BC, CA và L, M, N là trung điểm OA, OB, OC Chứng minh các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giaûi Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì? Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo hai hbh có chung đường cheùo Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m theá naøo? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? vậy: ADF là tam giác Ta có AF = DF (do ADF đều) Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC) Suy AF = FC AFC caân taïi F A A = 2FAC c) AFC caân taïi F DFA (Goùc ngoài đỉnh tam giác cân) A = 600 (do ADF đều) Suy Maø FDA A A FAC = 300 DAC = 900 hay AC AD Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 17 HS ghi đề, vẽ hình A L D F O M B N E C HS suy nghó , phaùt bieåu HS ghi nhớ phương pháp c/m Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (16) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau? E, F laø trung ñieåm cuûa BC, CA EF laø đường trung bình ABC suy EF // AB, EF = AB (1) Tương tự LM là đường trung bình OAB suy LM // AB, LM = AB (2) Baøi 3: Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH AC Gọi E, F là trung điểm AH, CD Chứng minh BE EF Giaûi Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu gì? Vì sao? Từ (1) và (2) suy tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì coù NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy trung điểm LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm truøng F D HS ghi đề, vẽ hình C H E Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao? EI coù tính chaát gì? Vì sao? BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao? Baøi 4: Cho ABC cân A Từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC E, F Dựng các hình chữ nhaät BDEH vaø CDFK a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng IJ Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n I Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù A K B EK // HB (Vì EK laø đường trung bình AHB) mà BH AC A EK AC suy CEK = 900 CEK vuoâng taïi E Tứ giác BCFK có BK //= CF và có A = 900 nên là hình chữ nhật nên hai đường B cheùo BF vaø CK caét taïi I vaø BF = CK I laø trung ñieåm cuûa BF , CK EI laø trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa CEK EI = 1 CK = BF 2 BFE coù trung tuyeán EI = BF neân laø tam giaùc vuoâng taïi E BE EF HS ghi đề , vẽ hình H F A I P 18 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 E M K Q J (17) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như HS phaùt bieåu C/m AH, AK cùng song song với IJ naøo? Từ I, J là tâm các hình chữ nhật BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa HS neâu caùch c/m IJ ta suy ñieàu gì? Từ I, J là tâm các hình chữ nhật BDEH Từ MI // AH và MJ // AK ta suy điều và CDFK và M là trung điểm IJ ta suy gì MI và MJ là đường trung bình caùc tam giaùc AHD vaø AKD Coù caùch C/m naøo khaùc? Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là HS neâu caùch C/m khaùc A A trung điểm DH để AH = AK ABC caân taïi A neân ABC = ACB (1) I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy BID caân A = DBI A A A Kẻ MN BC và đường cao AG thì MN I BDI = BDI hay ABD (2) coù tính chaát gì? Từ (1) và (2) suy AB // DK mà IH = ID neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A M cách BC khoảng không đổi thì m là trung điểm HK nằm trên đường nào? c) Kẻ MN BC (N BC); đường cao AG ta coù MN = AH (vì MN là đường trung bình ADG )không đổi, nên M nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC AH không đổi chính là đường trung bình PQ ABC (PQ // BC) khoảng III Baøi taäp veà nhaø: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M, K theo thứ tự là trung điểm AH và CD Chứng minh BM vuông góc với MK cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM, AND Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm BD, AN, AM a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao? A b) Tính FEQ Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 19 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (18) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh BUỔI – PHÉP CHIA ĐA THỨC Ngày soạn: Ngaøy daïy: – 11 - 2010 - 11 - 2010 A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khaùc * Tạo hứng thú cho HS quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức: Đa thức A chia hết cho đa thức B luỹ thừa biến A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó B Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B R = ; A khoâng chia heát cho b R II Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: Phöông phaùp: 1.1- Cách 1: + Chia A cho B thương là Q, dư là R + Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng đồng thức 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh Đa thức bị chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n Nếu gọi thương là xm – n + C (C là đa thức chưa xác định) Thì A = (xm – n + C ) B A chia hết cho B hệ số cùng luỹ thừa hai vế phải 3.1 - Cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng đa thức bị chia có nghiệm) Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm giá trị biến để C = dùng hệ số bất định để xác định hệ số III Baøi taäp aùp duïng: Hoạt động GV Hoạt động HS III.1 - Daïng 1: HS ghi đề , tìm cách giải Bài 1: xác định a, b để A(x) = x3 + ax + b chia heát cho B(x) = x2 + x – HS thực phép chia: Hãy thực phép chia A(x) cho B(x) x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 20 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (19) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a và b -2 Để A(x) B(x) (a + 3)x + b - = a + = a = - b - = b = Thử lại xem có đúng không Bài 2: Tìm a, b Q để A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức nào? HS thử lại: HS ghi đề và tìm cách giải Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Đẳng thức xẩy với x Q nên Đẳng thức xẩy với x Q nên ta có điều gì? Hãy tìm a, b, c tương ứng a a c c b 4c b 16 III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du “ Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a) q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a) q(x) + r f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) Bài 2: chứng minh rằng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì? HS tiếp cận đề bài Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - = (x – 1) Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) f(1) = (1 + – 1)10 + (1 – + 1)10 – = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – Bài 3: Chứng minh Với m, n Z thì: A = (x3m + + x3n + + 1) chia heát cho B = x2 + x + Để C/m : A = (x3m + + x3n + + 1) chia hết cho B = x2 + x + ta C/m A (x3 – 1) Vì sao? Để C/m điều này ta làm nào? HS tiếp cận đề bài HS phaùt bieåu: Vì x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1) A = (x3m + – x) + (x3n + – x2) + (x2 + x + 1) = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – = (x3 – 1)(x3m – + x3m – + … + 1) x3m – = (x3 – 1)(x3m – + x3m – + … + 1) coù chia heát cho x3 – 1? Tương tự ta có kết luận gì? Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 21 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (20) Trần Văn Đồng – Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà - Hà Tĩnh chia heát cho x3 – neân chia heát cho x2 + x + x(x3m – 1) x2 + x + (1) Tương tự: x2 (x3n – 1) x2 + x + (2) Vaø x2 + x + x2 + x + (3) Từ (1), (2), (3) suy đpcm III 3- Dạng 3: Các bài toán khác Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + + x + cho B(x) = x2 – Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? coù: A(x) = B(x) Q(x) + ax + b Khi đó A(x) =? Đẳng thức đúng với x nên ta có điều gì? Đẳng thức đúng với x nên x2 – = x = x = -1 A(1) = a + b 51 a + b a = 25 A(-1) = - a + b 1=-a+b b = 26 Vaäy R(x) = 25x + 26 Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x – thì dö 2; chia x + thì dö vaø chia cho x2 + x – 12 thương là x2 + còn dư * So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + laàn lượt là p(x), q(x) ta có điều gì? HS ghi đề bài x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu f(x) = (x - 3).p(x) + (1) (2) f(x) = (x + 4).q(x) + f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3) Từ (1) f(3) = ; từ (3) f(3) = 3a + b 3a + b = (4) Từ (2) và (3) sy : -4a + b = (5) Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 Từ (1) và (3) suy điều gì? Từ (2) và (3) suy điều gì? Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ? Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào? III Baøi taäp veà nhaø: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – coù dö laø R = 2x – c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + dö - vaø chia R = x – dö 21 Baøi 2: Chöng minh raèng a) mn(m2 – n2) chia hết cho với số nguyên m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số nguyên n Baøi 3: Gi¸o ¸n N©ng cao To¸n 22 Lop8.net N¨m häc: 2010 - 2011 (21)