Dạng toán 3: tích phân các hàm lượng giác Phương pháp: 1 Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx, đặt t = sinx 2 Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx, đặt t = cosx 3 Hàm d[r]
(1)NGUYÊN HàM Và TíCH PHÂN Lê Hồ Qúy (Nguyên GV Trường THPT Lê Lợi - Kon Tum) Trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng thường có câu tích phân Phương đổi biến số và phương pháp tích phân phần thường sử dụng để tính các tích phân đó Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu số dạng tích phân thường gặp các kỳ thi nói trên cùng với các phương pháp giải chúng Đ1 Nguyên hàm A Kiến thức : I Định nghĩa : Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a; b) với x (a; b) ta có F’(x) = f(x) Định lí : Nếu F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì : *)Với số C, F(x) + C là nguyên hàm f(x) trên khoảng đó *)Mọi nguyên hàm hàm số f(x) trên khoảng (a; b) có dạng F(x) + C Kí hiệu họ tất các nguyên hàm hàm số f(x) là f(x)dx , vì : f(x)dx = F(x) + C II Một số tích chất : 1) f(x)dx f(x) ' 2) af(x)dx=a f(x)dx (a 0) 3) f(x)+g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx 4) f(t)dt=F(t)+C f(u)du=F(u)+C (u=u(x)) 5)Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm trên đoạn đó III Bảng các nguyên hàm : Nguyên hàm các hàm số sơ cấp dx x C x dx x 1 C 1 u du dx ln x C x e dx e x x a dx x cosxdx=sinx+C sin xdx cos x C dx cos x tgx C u 1 C 1 u (0<a 1) ( -1) du ln u C u e du e C ax C ln a Nguyên hàm các hàm số hợp du u C u a du u C au C ln a (0<a 1) cosudu=sinu+C sin udu cos u C du cos u tgu C Lop12.net (2) dx sin x du sin cot gx C u cot gu C Yêu cầu phần này, học sinh hiểu khái niệm nguyên hàm, vận dụng các tính chất và bảng các nguyên hàm để tính nguyên hàm số hàm đơn giản Chú ý đến công thức: df(x) = f’(x)dx Và số công thức vi phân thường sử dụng, học sinh nên học thuộc : dx= d(ax+b) (a 0) a sinxdx=-d(cosx) dx d(cotgx) sin x dx d(lnx) x dx d(tgx) cos2 x dx 1 d x x cosxdx=d(sinx) ex dx=d(ex ) dx 2d( x ) x B Các dạng toán: Dạng Tìm nguyên hàm hàm số y = f(x) Phương pháp : Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, các tính chất và bảng các nguyên hàm Ví dụ 1: 1) Tính đạo hàm hàm số F(x)=ln x+ x C 2) Từ đó suy dx x2 Lời giải 1) (§¹o hµm cã d¹ng lnu) Ta cã : (x+ x 1)' (x)' (x 1)' x2 x x 1 x2 x2 x2 x+ x x+ x x+ x x+ x x2 1 2) Từ kết câu 1) ta suy F(x) là nguyên hàm f(x)= x2 dx Vậy = ln x+ x C x 1 F' ( x ) Ví dụ : Tính : a) (2x+1)2006 dx ; b) sin xcosxdx ; c) e3sinx cosxdx ; e) g) k) dx x+1 ; dx dx 3x+5 ; f) ( x +sin2x)dx d) (ĐHBK Hà Nội - 2000) sin x cos x dx (ĐH Y Thái Bình - 2001) x -x-1 h) tg x cot g x dx (ĐHQG Hà Nội-2001) 3 6 Lời giải 1 (2x+1)2007 (2x+1)2007 a) (2x+1)2006 dx= (2x+1)2006 d(2x+1)= (2x+1)2006 d(2x+1)= +C= +C 2 2007 4014 Lop12.net (3) sin x +C 1 c) e3sinx cosxdx= e3sinx d(3sinx)= e3sinx d(3sinx)= e3sinx +C 3 dx d(3x+5) d(3x+5) d) = = = ln 3x+5 +C 3x+5 3x+5 3x+5 dx d(x+1) e) = =2 x+1+C x+1 x+1 2 f) ( x +sin2x)dx= xdx+ sin2xdx= x1/2 dx+ sin2xd(2x)= x 3/2 - cos2x= x x- cos2x 3 dx dx dx g) + C¸ch 1: x sin x cos x cos(x ) 2 sin 2 8 b) sin 5xcosxdx= sin 5xd(sinx)= x d cot g x C 2 8 sin x 2 8 x 2t 1-t 2dt + C¸ch 2: §Æt tg t th× sinx= , cosx= , dx= 2 1+t +t 1+t dx dt dt 2 sin x cos x 2 2t t ( 1)t 2t (1 t ) 2 t 1 t dt 2 = C x 1 1 t 1 tg t 2 1 sin x cos x sin 2x sin 3 6 2 h) tg x cot g x dx dx dx 3 6 cos x sin x sin 2x sin 3 6 2 cos 2x dx / cos2 x d(tgx) dx x x 1 3 cos 2x 2 (1 tg2 x) cos 2x 2 2 cos x x 2d(tgx) d( 3tgx) 1 3tgx 1 3tgx x x ln C x ln C 3tg x ( 3tgx)2 3tgx 3tgx k) §Æt t= u2 k u th× : u dt= du u k áp dụng: du u k dt t Lop12.net (4) 1 1 1 d x- - +x- d x- 2 2 2 = =ln x -x-1+x- +C 2 1 1 xx+x 2 2 Dạng Tìm nguyên hàm hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp : + Tìm họ các nguyên hàm hàm số y=f(x): f(x)dx F(x)+C (*) + Từ điều kiện cho trước ta tìm C ; + Thay giá trị C vào (*) ta tìm nguyên hàm cần tìm Ví dụ : Tìm nguyên hàm G(x) hàm số f(x), biết : f(x)=cos3xcosxdx vµ G 4 Lời giải áp dụng công thức: cosa.cosb= cos(a+b)+cos(a-b) , ta có: 11 cos3xcosxdx= (cos4x+cos2x)dx= cos4xd(4x)+ cos2xd(2x) sin4x sin2x sin4x sin2x = + +C= + +C 2 sin4x sin2x G(x)=F(x)+C= + +C sin 4 C 1 C 1 C 4 sin4x sin2x VËy mét nguyªn hµm cÇn t×m lµ: G(x)= + + 4 Tõ G( )=1 ta suy sin4 C Bài tập tự luyện: Bài Tính : a) (3x+4)29 dx ; c) e) ex dx ex +1 ; x2 dx ; x3 g) sin 2xdx (ĐHKT Quốc dân -2000) b) sin5xdx ; 3lnx+1 dx ; x cos2 dx d) f) sinx+ h) 1+sin xdx (ĐH Ngoại Thương-2001) 3cosx (Học viện Ngân Hàng-1999) cotgx Lop12.net (5) Bài Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) : a) f(x)=2x - biÕt r»ng F(1)=4 x x +3x +3x-1 b) f(x)= biÕt r»ng F(1)= x +2x+1 c) f(x)=sin5xsin3x biÕt r»ng F =-1 4 Đ2 Tích phân A Kiến thức cần nhớ : Lop12.net (6) I Định nghĩa: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì K F(x) là nguyên hàm f(x) trên K Hiệu số F(b)-F(a) gọi là tích phân từ a đến b b f(x), kí hiệu là f(x)dx a b Vậy f(x)dx f(x) b a F(b)-F(a) (Công thức Niutơn-Laipnit) a II Phương pháp đổi biến số: b Giả sử ta phải tính f(x)dx với f(x) là hàm liên tục trên [a; b] a Dạng 1: Đặt x=u(t) cho u(t) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn ; , f[u(t)] xác định trên đoạn ; và u() =a, u() =b * Biến đổi f(x)dx=f[u(t)]u’(t)dt=g(t) * Tìm nguyên hàm G(t) g(t) * Tính g(t)dt= G(t) b * Kết luận: f(x)dx= G(t) a Dạng 2: Đặt t=v(x), v(x) có đạo hàm liên tục * Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx=g(t)dt * Tìm nguyên hàm G(t) g(t) v(b) g(t)dt= G(t) * Tính v(b) v(a) v(a) b * Kết luận: f(x)dx= G(t) v(a) v(b) a III Phương pháp tích phân phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì: b b b u(x)v (x)dx= u(x)v(x) - v(x)u (x)dx / / a Hay a a b b b a a a udv= uv - vdu B Các dạng toán bản: Dạng toán Tích phân các hàm hữu tỉ Lop12.net (7) b Tích phân các hàm hữu tỉ P(x) Q(x)dx (P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc) a Phương pháp: Giả sử bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) (nếu ngược lại ta lấy tử chia cho mẫu) Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích nhị thức bậc và tam thức bậc Trong nội dung chương trình phổ thông ta tiếp xúc với các dạng sau Q(x): 1) Q(x)=(x+a1 )(x+a ) (x+a n ) Ta ph©n tÝch: P(x) A A A = + + + n (x+a1 )(x+a ) (x+a n ) x+a1 x+a x+a n Ta tính A1 , A , , A n phương pháp hệ số bất định 2) Q(x)=(x+a1 ) (x+a n )(x+b)m P(x) A A B Bm = + + n + + + m (x+a1 ) (x+a n )(x+b) x+a1 x+a n x+b (x+b)m Ta tính A1 , A , , A n , B1 , B , , B n phương pháp hệ số bất định 3) Q(x)=(x+a1 )(x+a ) (x+a n )(x +px+q) (p -4q<0) P(x) A A Cx+D = + + n + 2 (x+a1 )(x+a ) (x+a n )(x +px+q) x+a1 x+a n x +px+q 4) Q(x)=(x +p1x+q1 )(x +p x+q )(p i -4q i <0) P(x) C x+D1 C x+D 2 (x +p1x+q1 )(x +p x+q ) x +p1x+q1 x +p x+q 2 Ta tìm C1 , D1 , C , D phương pháp hệ số bất định Trong tích phân dạng trên tính toán ta thường gặp bài tích phân sau: a dx Bài toán 1: TÝnh I= 2 (a>0) (SGK) x a Lời giải §Æt x=atgt, t ; Đổi cận: x t I= dx=a(1+tg2 t)dt 2 0 a a(1+tg t)dt a(1+tg t)dt 2 dt 2 a tg t+a a (tg t+1) a 4a 2 b Bài toán 2: TÝnh tÝch ph©n d¹ng b dx (mx+n)dx a x2 +px+q , a x2 +px+q Lời giải (p -4q<0) Lop12.net (8) p2 p Biến đổi x +px+q= x+ +q4 2 p Bằng cách đặt t=x+ ta biến đổi bài toán dx VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I= x -2x+2 Lời giải 1 dx dx I= x -2x+2 (x-1)2 §Æt x-1=tgt, t - ; dx=(1+tg2 t)dt 2 Đổi cận: x t (1+tg2 t)dt I= tg2 t+1 - dt= t (2x+2)dx x +4x+8 -2 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n: I= Lời giải 0 (2x+2)dx (2x+2)dx I= x +4x+8 -2 (x+2)2 -2 §Æt x+2=2tgt, t ; , ta cã x=2tgt-2 2 dx=2(1+tg t)dt Đổi cận: x -2 t (4tgt-2)2(1+tg t)dt sintdt d(cost) (2tgt-1)dt=2 tgtdt- dt=2 2 4tg t+4 cost cost 0 0 0 I= 2 ln cos t 2 ln ln 4 b Bµi to¸n TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ P(x) Q(x) dx (P(x), Q(x) lµ c¸c ®a thøc) a Ví dụ Tính các tích phân sau : a) I= dx (x +3x+2) 2 (ĐH Ngoại thương-Khối A, năm 1999) c) K= 2x +x+3 (x+1)(x +1) dx Lop12.net (9) b) J= xdx (x-1)(x+1) d) L= 2 dx (x-1) (x+3) Lời giải a) Ta có: x +3x+2 A B (A+B)x+2A+B (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2) (theo 1)) Nhân hai vế cho (x+1)(x+2), ta được: = (A+B)x + 2A + B Hai đa thức này đồng với và : A+B=0 A=1 2A+B=1 B=-1 Từ đó ta thu cách phân tích sau: x +3x+2 1 (x+1)(x+2) x+1 x+2 1 1 dx dx dx I= 2 2 x+1 x+2 (x+1)(x+2) (x+1) (x+2) 0 0 =- 1 dx dx 2 2 4ln2+2ln3 x+1 x+2 x+1 x+2 0 b) Ta cã: x A B C = + + (x-1)(x+1) x-1 x+1 (x+1)2 (theo 2)) Nh©n hai vÕ cho (x-1)(x+1)2 , ta cã : x=A(x+1)2 +B(x-1)(x+1)+C(x-1) Hai đa thức này đồng với và : A+B=0 1 2A+C=1 A= , B=- , C= 4 A-B-C=0 Từ đó thu cách phân tích sau: x 1 (x-1)(x+1) 4( x 1) 4( x 1) 2( x 1)2 3 3 3 xdx dx dx dx d(x-1) d(x+1) d(x+1) = - + = + 2 (x-1)(x+1) x-1 x+1 2 (x+1) x-1 2 x+1 2 (x+1)2 3 1 1 1 1 1 ln x ln x ln ln ln ln ln 4 2( x 1) 4 4 2 2x +x+3 A Bx+C + (x+1)(x +1) x+1 x +1 = c) Ta có: (theo 3)) Nhân vế cho (x+1)(x2+1), ta được: 2x2+x+3=A(x2+1) + (Bx+C)(x+1)=(A+B)x2 + (B+C)x + A + C A+B=2 A=2 §ång nhÊt c¸c hÖ sè, ta cã: B+C=1 B=0 A+C=3 C=1 Lop12.net (10) 2x +x+3 (x+1)(x +1) =2 1 + (*) x+1 x +1 dx dx K=2 x+1 x 1 0 dx x+1 x dx 1 d(x+1) ln x+1 ln x+1 (xem bµi to¸n 1) K=2ln2+ Ta có thể giải (*) ngắn gọn sau: 2x +x+3 (x+1)(x +1) = 2(x +1)+(x+1) (x+1)(x +1) =2 1 + x+1 x +1 d) Cách 1: Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích: (x-2)2 (x+3)3 = A B C D E + + + + (x-2) (x-2)2 x+3 (x+3)2 (x+3)3 Cách 2: §Æt t= x-2 1-t =1 = x+3 x+3 x+3 5dt 1-t dt= dx=5 dx dx= (x+3) (1-t)2 dx (x-2)2 (x+3)3 = (1-t)3 1 x+3 1-t 5dt dx= = dt= -3 +3-t dt x-2 t (x+3) t t (1-t) t Đổi cận: x t - 1 -1/4 1/ 1/ 1/ dt dt dt tdt t -2/3 t 2 / 2 / 2 / 1 1 t2 4 = 3ln t 3t 2 t 2 3 3 2 = 3ln4+3ln 32 L= = 1135 9ln2-3ln3 625 288 Chú ý: Để tính tích phân dạng dx (x+a) (x+b) n m đó m, n là các số nguyên dương, ngoài phương pháp hệ số bất định, ta còn có thể sử dụng phép đặt t= x+a x+b để giải Lop12.net (11) Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1) x +1 x +2x+6 (x+1)(x +4) dx 5) x -6x +11x-6 3) x +2x+1 x +2x +10x+1 dx x +2x+9 6) x dx dx x(x+2) (ĐH Ngoại thương-Năm 2001) dx (x+1)(x+2) (x+1)dx 7) 2) 4) xdx Dạng toán 2: Tích phân các hàm vô tỉ A Phương pháp hữu tỉ hóa: ax+b Dạng 1: Đối với tích phân dạng f x; n là hàm hữu tỉ, ta hữu tỉ hóa cách đặt cx+d t= n ax+b cx+d Ví dụ 1: Tính tích phân I= x+1 3x+2 dx (ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999) Lời giải * Đặt t= 3x+2 t 3x+2 Ta có: 3dx=3t2dt dx=t2dt * Đổi cận: x t 2 * Do đó : I= 2 t4 t t5 t2 dt= (28 3 ) 3 10 Ví dụ Tính tích phân I= x x+1dx Lời giải + §Æt t= x+1 t x+1 2tdt=dx và ta có x=t2-1 + Đổi cận: x t 2 + 2 t5 t3 116 Do đó: I= (t -1).t.2tdt=2 (t -t )dt= 5 3 15 1 1 Chú ý: Ta có thể giải trực tiếp sau: 3 3 I= x x+1dx= (x+1)-1 x+1dx= (x+1) dx- (x+1) dx= = 0 3 (x+1) d(x+1)- (x+1) d(x+1)= 0 (x+1) 3 (x+1) 3 116 15 Lop12.net (12) x+1 dx x-1 Ví dụ Tính tích phân I= Lời giải x+1 x+1 t2 = =1+ x-1 x-1 x-1 §Æt t= t2 4t 2tdt=dx=-2 dx dx=- 2 dt (x-1) (t -1) Đổi cận : x 5 t Do đó: I=-4 t dt (t -1) 2 4 (t -1)+1 dt=-4 2 dt 2 (t -1) t (t -1) 2 1 (t+1)-(t-1) 1 (t-1)(t+1) (t-1)(t+1) t-1 t+1 t 1 1 1 1 1 1 2 2 - + + 2 t-1 t+1 4 (t -1) t (t+1) (t+1)2 (t-1) (t-1) Ta cã : 1 1 1 4 + 2 = + + 2 t -1 (t -1) t-1 t+1 (t-1) (t+1) 1 1 I= -ln t-1 +ln t+1 + + ln ln ln ln ln t-1 t+1 2 12 Ví dụ Tính tích phân I= sin2x+sinx 1+3cosx dx (ĐH Khối A-Năm 2005) Lời giải Ta cã: I= 2sinxcosx+sinx 1+3cosx dx= (2cosx+1)sinxdx 1+3cosx * §Æt t= 1+3cosx t =1+3cosx 2tdt=-3sinxdx sinxdx=- tdt t 1 vµ cosx= * Đổi cận: x t * Do đó: t2 tdt 2 2t 16 34 I= (2t +1)dt= t t 9 27 Chú ý : Để tính tích phân dạng asin2x+bsinx c.cosx+d dx , ta đổi biến số t= c.cox+d Ví dụ Tính các tích phân sau : Lop12.net (13) ln2 a) I= e e2x x e 1 (ĐH BK Hà Nội -2000) dx b) J= 1+3lnx lnx dx (ĐH Khối B-Năm 2004) x Lời giải ln2 a) I= ln2 e2x ex dx= ex ex ex dx * §Æt t= ex t ex tdt=ex dx vµ ex =t * Đổi cận: x t ln2 * Do đó: I= (t -1)2tdt 2 t t3 (t 1)dt= t 3 2 3 2 2 3 ae x b , ta có thể tìm cách giải theo hướng: Đặt t= Chú ý: Nếu hàm số dấu tích phân có dạng ae x b b) * §Æt t= 1+3lnx t 1+3lnx 2tdt=3 dx x * §æi cËn: x=1 t=1, x=e t=2 2 2 t2 2 t5 t3 116 * Do đó: J= t dt= (t t )dt= 3 9 135 1 Luyện tập : 1.Tính các tích phân sau : a) I= 2sin2x+3sinx 6cosx-2 dx b) J= sin2x cos2 x+4sin x dx (ĐH Khối A-Năm 2006) 2.Tính các tích phân sau : a) x 23 c) 1+ x+1dx e) x x-1 dx (§H Khèi A-N¨m 2004) d) xdx 1+3x ex dx dx ln2 x b) 1+x e (§Æt x=tgt hoÆc x= ) t f) x+1 x(1+xe )dx (§Æt t=xe ) x x Dạng Tích phân hàm f(x) chứa các dạng n1 ax+b , cx+d n2 ax+b , , cx+d nm ax+b ax+b , ta đặt t= k , đó k là bội số chung nhỏ n1 , n , , n m cx+d cx+d Ví dụ : Tính tích phân I= 1- x+1 1+ x+1 -1 dx Lop12.net (14) Lời giải 6 * §Æt t= x+1 t x+1 6t dt=dx vµ x+1 t ; x+1 t * §æi cËn: x=-1 t=0; x=0 t=1 * Do đó: I=6 t t8 1 t-1 t-1 dt=6 -t +t +t -t +1+ dt= dt=6 (-t +t +t -t +1)dt+6 2 1+t t t 0 0 1 t7 t5 t t3 t2 d(t +1) dt 6- t 6 t t 0 0 1 199 dt 199 dt 3ln(t +1) 3ln 70 t 70 t 1 0 t TÝnh I1 dt VËy I= 1 (xem bµi to¸n 1) 199 3 +3ln270 Luyện tập : Tính các tích phân sau: a) xdx b) c) 1+ x c) (§Æt t= 1+ x ) x+1+2 (x+1) x+1 dx x+1 x+1 dx (§Æt t= ) x-1 x-1 dx (§Æt t= 2x-1) 2x-1 2x-1 Dạng Tính tích phân f(x)dx đó 1) f(x) cã d¹ng 2) f(x) cã d¹ng x ax +b ax +b đặt ax +b =t x , x ax +b hoÆc (mx+n) ax bx+c đặt mx+n= t 4-x dx x Ví dụ Tính tích phân I= Lời giải t * §Æt t= 4-x x =4-t dx=- dt x * §æi cËn: x=1 t= 3, x= t=1 Ta cã: * I= 4-x t(-t)dt t2 dx= =- x x 4-t -t 4-t dt= -t +4-4 4-t =1- 3-(ln 2+t -ln 2-t ) dt= dt-4 3 dt 4-t =t 1 3 (2-t)+(2+t) dt=1- 3- + dt= (2-t)(2+t) 2+t 2-t 3 =1- 3- ln3-ln(2+ 3)+ln(2- 3) =1- 3-ln3+2ln(2+ 3) Ví dụ Tính tích phân I= dx (x+1) x Lời giải Lop12.net (15) Cách * §Æt x=tgt, t ; Ta cã: dx= dt cos2 t * §æi cËn: x=0 t=0, x=1 t= * Do đó: I= 2 du I= sinu dt cos t(tgt+1) (xem phần phương pháp lượng giác hóa) tg t+1 dt sint+cost 0 du u u 2sin cos 2 dt sin t+ 4 du u u 2 2cos tg 2 u d tg ln tg u u 2 tg lg tg 8 Ta tính tg : cos I=- ln ln(3-2 2) tg2 cos 2 2 2 Cách : dt §Æt x+1= dx=- t t §æi c©n: x=0 t=1; x=1 t= Lop12.net (16) I=- 1 dt 1 t 1 1 t t dt 2t 2t+1 1 dt 1 t 1 §Æt t- t u (Xem d¹ng to¸n phÇn nµy) 2 1 1 t t- t 1+ dt=du dt=du 2 1 1 t t dt du u 1 t 2 1 §æi cËn: t=1 u= ; t= u= 2 2 I=- 2 1 2 du ln u u 1 2 - Dạng Để tính tích phân dạng: ln 1+ dx (x+b)2 a ln(1+ 2) ta có thể giải sau: x+b dx dt §Æt x+b+ (x+b)2 a t 1+ dx=dt t (x+b)2 a (x+b)2 a dx dt (x+b)2 a t ln x C=ln x+b+ (x+b) a +C Ví dụ 1: Tính tích phân: I= dx (x+2)2 Lời giải §Æt x+2+ (x+2)2 6=t 2(x+2) dx dt 1+ dx=dt (x+2)2 t (x+2)2 x=0 t=2+ 10; 3+ 15 I= dt ln t t 10 2+ x=1 t=3+ 15 3+ 15 2+ 10 ln(3+ 15)-ln(2+ 10) ln 3+ 15 2+ 10 Ví dụ 2: Tính tích phân: J= x 4dx 1 Lop12.net (17) Lời giải Sử dụng công thức tích phân phần: 3 x2 (x 4) J= x x dx=3 13 dx x2 x2 1 3 3 dx dx =3 13 x 4dx-4 13 J+4 2 x 4 x 4 1 1 3 13 dx J= 2 x2 TÝnh K= dx : x2 §Æt x+ x t Vi ph©n vÕ, ta cã: x dx dx dt dt 1+ dx=dt (x+ x 4) 2 t x 4 x 4 x 4 x=1 t=1+ 5; 3+ 13 K= dt 3+ lnt 1+ t x=3 t=3+ 13 13 ln 3+ 13 J= 1+ Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1+ 3 13 3+ 13 ln 1+ 3 a) I= (x+1) x +4dx, HD: I= x x +4dx+ x +4dx 2 1 b) J= c) K= 16 d) L= dx x x2 (§H Khèi A, n¨m 2003) dx (x+1) x +x+1 dx x+9 x (Nhân cho lượng liên hợp) B Phương pháp lượng giác hóa: Nếu biểu thức dấu tích phân có chứa: Lop12.net (18) * a -x (a>0) ta đặt x=asint, t - ; 2 a * a -b2 x ta đặt x= sint, t - ; (hoặc đặt t= a -b2 x ) b 2 * x -a (a>0) ta đặt x= a , t 0; ; cost 2 2 a , t 0; ; bcost 2 2 * a +x (a>0) ta đặt x=atgt, t - ; 2 a * a +b2 x 2 n (n N* ) ta đặt x= tgt, t - ; (a +b x ) b 2 b2 x -a ta đặt x= * Ví dụ: Tính các tích phân sau: a a dx a) I= (a>0) a x2 b) J= x a -x dx (a>0) c) K= x 4-3x dx 3 e) M= d) L= dx x x2 dx dx (1+3x )2 f) N= x x 1 Lời giải a) §Æt x=asint, t - ; , ta cã: dx=acostdt 2 a §æi cËn: x=0 t=0; x= t= acost Do đó: I= dt= dt a a sin t b) §Æt x=asint, t - ; , ta cã: dx=acostdt 2 §æi cËn: x=0 t=0; x=a t= 2 4 J= a 2sin t a a sin t.acostdt=a sin tcos2 tdt= 0 a4 a sin4t = dt cos4tdt 8 a sin 2tdt= a (1 cos4t)dt= 0 a 16 Lop12.net (19) c) §Æt x= sint; t= - ; , ta cã: dx= costdt 3 2 4-3x sin t 2cost x=0 t=0; x=1 t= Lúc đó: 3 3 3 K= 4sin t.cos tdt= sin 2tdt= (1 cos4t)dt tsin4t 30 30 30 3 3 d) Cách : Phương pháp hữu tỉ hóa: 4 2 HD: §Æt x t x t -4 tdt dx tdt dt 2xdx=2tdt dx= = = 2 x x x +4 x t t -4 Cách : Phương pháp lượng giác hóa dt §Æt x=2tgt, t - ; , ta cã: dx=2 cos2 t 2 §æi cËn: x= I= 3 t= ; x=2 t= dx x x2 3 2dt cos2 t.2tgt 4tg2 t+4 dt dt 13 dt cost.sint sint sin t cos t 6 cost 2 t d tg dt t 2 ln tg t t t tg cos2 tg 2 6 2 1 ln ln tg 2 12 3 cos 1 ln tg ln tg 2 6 12 2 12 1+cos 2 1 2 VËy I=- ln ln 4 2 sint.dt e) §Æt t= , t 0; ; ta cã: dx= cost cos2 t 2 2 TÝnh tg2 §æi cËn: x=2 t= M= ; x= t= sintdt dt 12 4 3 cos2 t tgt cost Lop12.net (20) tgt, t - ; th× dx= (1+tg2 t)dt; 1+3x tg2 t 3 2 f) §Æt x= §æi cËn: x=0 t=0; x=1 t= 3 dt 1 1 3 3 Ta cã: N= cos tdt (1+cos2t)dt= t+ sin2t 1+tg t 30 3 Luyện tập: Tính các tích phân sau: 1 a) x x dx (§HSP Hµ Néi, n¨m 2001) b) dx (4-x )2 0 1 c) 1-x dx x2 Dạng toán 3: tích phân các hàm lượng giác Phương pháp: 1) Hàm dấu tích phân là hàm lẻ cosx, đặt t = sinx 2) Hàm dấu tích phân là hàm lẻ sinx, đặt t = cosx 3) Hàm dấu tích phân là hàm chẵn sinx, cosx, ta đặt t = tgx Ví dụ: Tính các tích phân sau: dx (Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999) 1) I= sin x.cosx sin 3x 2) J= dx 1+cos2 x sin x 3) K= dx (ĐH Giao thông Vận tải-2000 ) cos x Lời giải 1) Hàm số dấu tích phân là hàm lẻ cosx Đặt t=sinx, ta có: dt=cosxdx §æi cËn: x= t= ; x= t= 3 Ta cã: I= cosxdx cosxdx sin x.cos x sin x.(1-sin x) 6 3 t dt (1 t ) 1 t + 1 + dt= t 1-t 14 26 1 = - - + ln(1+t)-ln 1-t = +ln(2+ 3)-ln 3 3t t 2 Lop12.net (21)