ThÝ sinh chØ lµm mét trong 2 phÇn ; phÇn 1 hoÆc phÇn 2 Phần 1 Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn.. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh:.[r]
(1)đề chính thức đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I: PHÇN CHUNG CHO TÊT C¶ THÝ SINH 2x C©u I Cho hµm sè y có đồ thị (C) x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận Avà B Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ x x Câu II Giải phương trình: 3(sin cos ) cos x sin x 2 2 x 4x y y Giải hệ phương trình : x y x y 22 C©u III 3s inx cos x dx s inx cos x 2 1.TÝnh tÝch ph©n sau: I Cho x y z : Chứng minh 2z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy 2x y 2x y Câu IV Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M và N lµ c¸c trung ®iÓm cña c¸c c¹nh SB vµ SC TÝnh theo a thÓ tÝch khèi chãp S.AMN, biÕt r»ng mÆt ph¼ng (AMN) vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (SBC) II, PHÇN RI£NG (ThÝ sinh chØ lµm mét phÇn ; phÇn hoÆc phÇn ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn ) C©u Va Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3),B( ;0), C (2;0) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (-4; -5;3) và cắt hai ïì2 x + y + 11 = và d '' : x - = y +1 = z -1 d ' : ïí ïïî y - z + = -5 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : đường thẳng: C©u VIa 10 x 8 x m(2 x 1) x Phần ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao ) Câu Vb Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh hình vuông Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng ( ) và ( ' ) có phương trình x t x -2 t' ' : y -1 2t ; : y t' z z 4t' Viết phương trình đường vuông góc chung ( ) và ( ' ) x 3x C©u VIb Cho hµm sè y có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tổng x 1 kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn cña (C) lµ nhá nhÊt ******** Lop12.netHÕt ******** (2) http://ductam_tp.violet.vn/ Kỳ thi thử đại học- cao đẳng n¨m 2010 Hướng dẫn chấm môn toán C©u I.1 Néi dung Kh¶o s¸t hµm sè y= §iÓm 2x x 1 1,00 Tập xác định: R\{1} Sù biÕn thiªn: 2( x 1) (2 x 1) 3 ( x 1) ( x 1) + ChiÒu biÕn thiªn: y ' 0,25 Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) vµ (1;+∞) Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị TiÖm cËn: lim y lim x 1 x 1 lim y lim x 1 x 1 2x x 1 2x x 1 0,25 Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2x 2 x x lim y lim x VËy ®êng th¼ng y= lµ tiÖm cËn ngang * B¶ng biÕn thiªn: x -∞ y' y +∞ - - 0,5 +∞ -∞ 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận A, B Tìm M để chu vi tam 1,00 giác IAB đạt giá trị nhỏ Gäi M x0 ;2 (C) x0 * TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: y 3 ( x x0 ) x0 ( x0 1) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A Lop12.net 0,25 (3) C©u Néi dung §iÓm 1;2 x0 B(2x0-1; 2) ; I(1; 2) x0 2.3 (®vdt) * Ta cã: SIAB= IA IB= x0 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB (HS tù chøng minh) x0 x0 x0 x0 * VËy cã hai ®iÓm M tháa m·n ®iÒu kiÖn 0,5 M1( 3;2 ) M2( 3;2 ) Khi đó chu vi AIB = II.1 Giải phương trình lượng giác x x x x x x cos ) cos x sin 2x 3 sin cos sin cos 2 sin x cos x 2 2 2 x x x x x x 3 sin cos sin x 2 sin x cos sin cos sin 2 2 x x x 3 x cos sin (2 sin x) sin cos 2 2 3(sin x x x x cos sin k x k2 (k ) 2 2 4 * sin x sin x 2 (v« nghiÖm) 1,00 * sin x x 3 x cos sin sin x (v« nghiÖm) VËy 2 2 4 2 2 4 nghiệm phương trình là: x k2 k * sin 0,5 0,5 Giải hệ phương trình: II.2 1,00 x x y y x y x y 22 Lop12.net (4) C©u Néi dung §iÓm * Hệ phương trình tương đương với 0,25 ( x 2) ( y 3) ( x 2) ( y 3) ( x 2) y x 22 ( x 4)( y 3) x 20 0,25 x2 u Dat * Thay vào hệ phương trình ta có: y 3 v 0,25 u v u.v 4(u v) u u hoÆc v v 0,25 x x 2 x vào cách đặt ta các nghiệm hệ là : ; ; ; y y y x ; y III.1 I s inx cos x cos x s inx s inx cos x 2 0 dx cos x s inx dx 0,25 dx dx s inx cos x s inx cos x 0,25 dx ln s inx cos x 2 cos( x ) 1 12 dx ln(1 2) ln(1 2) 2 cos ( x ) x tan( ) 02 tan 2 8 III.2 0,25 0,25 1,00 Cho x y z : Chứng minh 2z y z x y z x z x z z x y xy x y z z x y xy 2x y 2z y 2x y 2z x 2x y 2z x 2z y 2x y (1) z y z x z y z x x y 2x y 0,25 2x y Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y Từ (1) a b c b a c abc 2ab c3 c a c b c b c a c 2c ab 2ab c (2) Lop12.net 0,25 (5) C©u Néi dung §iÓm Ta có: bcc b 2 ab a c bc (3) ab Tương tự: b c a c 2 2c ab c ab c bc 0,25 Cộng (3); (4); (5) ta được: a c b c b c a c 2c ab 2ab c đpcm Dấu xảy khi: a=b=2c a 2z+y=2z+x=4x+2y 0,25 b x=y= z IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S M I N A B K C Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy SI 1,00 MN vµ AI MN Do (SBC) (AMN) nªn SI (AMN) 1 Do đó VS AMN SI.S AMN SI.AI.MN 0,5 Gäi K lµ trung ®iÓm cña BC suy I lµ trung ®iÓm cña SK, mµ AI SK nªn tam gi¸c 0,5 a ASK cân A Do đó SA AK MN = SC SA a a a BC , NI MN , SN 2 2 SI SN NI 3a a a 16 16 Lop12.net 1,00 (6) C©u Néi dung §iÓm 0, a a 10 a a 3a a a 10 VËy VS AMN AI SA SI 4 96 0, V SA SM SN Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c«ng thøc: S AMN VS ABC SA SB SC + Ta cã: (d1) // (d2) ( HS ph¶i chøng minh ®îc) Va 1.(1,0 điểm) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác góc A và dDB AB 4= = Û DC AC 2-d 81 +9 16 = 16 + æ ö÷2 çç ÷ + (-3)2 çè ø÷ + (-3) 2 = 225 16 = Þ 4d -1 = - 3d Þ d = 25 Đường thẳng AD có phương trình: x + y -3 = Û -3 x - = y - Û x = - y , -3 và đường thẳng AC: x + y -3 = Û -3 x - = y -12 Û x + y - = -3 Giả sử tâm I đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là 1- b và bán kính b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có: Lop12.net 1,00 0,25 (7) C©u Néi dung 3(1- b) + 4b - 32 + 42 Rõ ràng có §iÓm = b Û b - = 5b; a )b - = 5b Þ b = - ; b)b - = -5b Þ b = giá trị b = là hợp lý Vậy, phương trình đường tròn nội tiếp ABC là: æ ö2 æ ö2 çç x - ÷÷ + çç y - ÷÷ = çè ÷ø çè ÷ø (1,0 điểm) Mặt phẳng P’ qua đường thẳng d’ có phương trình dạng: m (2 x + y + 11) + n ( y - z + 7) = Û 2mx + (3m + n) y - 2nz + 11m + n = Để mặt phẳng này qua M, phải có: m (-8 -15 + 11) + n (-5 - + 7) = Û Chọn -12m - 4n = Û n = -3m m = 1, n = -3 , ta phương trình P’: x + z -10 = Tiếp theo, đường thẳng d” qua A(2; -1;1) và có vectơ phương m (2;3; -5) Mặt phẳng P” qua M và d” có hai vectơ phương là m và MA(6; 4; -2) n (3; 2; -1) Vectơ pháp tuyến P” là: æ 3; -5 -5; 2;3 ö÷ ÷ = p (7; -13; -5) p ççç , , çè 2; -1 -1;3 3; ø÷÷ Phương trình P”: ( x + 4)-13( y + 5)- 5( z - 3) = hay: x -13 y - z - 29 = Rõ ràng đường thẳng d phải là giao tuyến P’ và P” nên có phương trình: ïìï2 x + z -10 = í ïïî7 x -13 y - z - 29 = VIa Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 1,00 m( 2x+1) x =10x 8 x NhËn xÐt : 10x 8 x = 2(2x+1)2 +2(x2 +1) 0,25 Lop12.net (8) C©u Néi dung 2x Phương trình tương đương với : ( §Æt 2x x2 1 x 1 §iÓm ) m( x2 1 )20 t §iÒu kiÖn : -2< t Rót m ta cã: m= LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè trªn 2, tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ: m Vb.1 2x 12 0,75 2t t , ta có kết m để phương hoÆc -5 < m 4 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; 2) ; P(2; 0); Q(1; 2) thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phương trình c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng trªn 1,00 + Gi¶ sö ®êng th¼ng AB qua M vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ n ( a; b) (a2 + b2 0) => véc tơ pháp tuyến BC là: n1 ( b; a ) Phương trình AB có d¹ng: a(x-2) +b(y-1)= 0,5 ax + by -2a-b =0 BC cã d¹ng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD lµ h×nh vu«ng nªn d(P; AB) = d(Q; BC) Hay b a2 b2 3b 4a b 2a b a a2 b2 Trường hợp 1: b= -2a; Phương trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Trường hợp 2: b= -a Khi đó Vb AB: -x + y+ =0 BC: -x –y + 2= AD: -x –y +3 =0 CD: -x + y+ =0 x t Cho (): y 1 2t z x 2 2u ; (’) y 2u z 4u 0,25 0,25 1,0 Viết phương trình đường vuông góc chung () và (’) + Gäi ®êng vu«ng gãc chung cña () vµ (’) lµ d Khi đó u d u , u ' (4;2;1) 0,25 + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa () vµ (d) th× () qua N(3; -1; 4) vµ cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn: n1 u , u d (2;1;10) Vậy phương trình () là: 2x- y + 10z - 47 =0 + Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa (’) vµ (d) th× () qua M(-2; 0; 2) vµ cã vÐct¬ ph¸p Lop12.net 0,25 (9) C©u tuyÕn: n2 u ' , u d (6;18;12) Néi dung §iÓm 0,25 Vậy phương trình () là: x + 3y- 2z + =0 Do đó đường vuông góc chung và ’ là giao tuyến hai mặt phẳng: 2x – y + 10z – 47 = vµ x + 3y – 2z + =0 +Lập phương trình tham số (d).(HS tự làm) VIIb 0,25 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) 1 Do đó (C) có tiệm +) Ta cã y x lim [y (2 x 1)] lim x x x 1 x 1 cËn xiªn y = 2x – 2x 3x 2x 3x ; lim Do đó (C) có tiệm cận đứng x = +) lim x1 x1 x 1 x 1 , x +) Gäi M (C ) M x ;2 x x Tæng kho¶ng c¸ch tõ M tíi hai ®êng tiÖm cËn cña (C) lµ 1 x x x d x0 1 x0 1 2 x0 1 1 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có d x d x x0 1 x0 x0 1 0,25 0,25 0,25 2 VËy d nhá nhÊt M ;1 ; M ;1 5 5 Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng điểm tối đa Lop12.net 1,00 0,25 (10)