[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN THI: TỐN 10 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm: 01 trang Câu (2,5 điểm)
Cho parabol (P): y – 4= x2 x + đường thẳng (dm): y = 1x + m + (m tham số)
Biện luận số giao điểm (P) (dm) theo tham số m Câu (4,5 điểm)
Giải bất phương trình sau : a/ ( ) 1
3 f x
x
= −
− b/
2
5 5 28
x x x x
Câu (5 điểm)
1/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF hai tam giác ACE BDF có trọng tâm Chứng minh 2
AB +EF =CD
2/ Cho tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cotA+cotC=cotB a.Chứng minh
2 2
cot
4 b c a A
s + − =
b Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC
1 = Câu (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng BC có phương trình : y = - 2x a/ Tìm tọa độ M biết M trung điểm BC
b/ Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương Câu (2 điểm)
Tìm m để phương trình:
4+ +x 4− +x 16−x =m có nghiệm Câu (3điểm)
Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S= x + y + z
-HẾT - Thí sinh khơng mang tài liệu máy tính vào phịng thi
Giám thị khơng cần giải thích thêm
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí CBCT 1: Họ tên, chữ kí CBCT 2:
(2)SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC
KHOAN-THẠCH THẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021
ĐÁP ÁN MÔN THI: TỐN 10 Lưu ý: Điểm tồn lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác cho điểm
tối đa
Nội dung Điểm
Câu 1 (2,5 điểm)
Cho parabol (P): y – 4= x2 x + đường thẳng (dm):
y = x + m + (m tham số)
1) Biện luận số giao điểm (P) (dm) theo tham số m
2,5
Xét phương trình hồnh độ: x2 – 2x + = 3x + 2m +
x2 – 5x + – 2m = (1) Ta có: = 8m + 13
+) Nếu 13 ( >0)
m − (1) có hai nghiệm phân biệt, (dm) cắt (P) hai điểm phân biệt
0,5
+) Nếu 13 ( 0)
m= − = (1) có nghiệm kép, (dm) cắt (P) điểm
0,5
+) Nếu 13 ( 0)
m − (1) vơ nghiệm, (dm) khơng cắt (P)
0,
Câu 2(5, điểm)
Giải bất phương trình: 1/ ( ) 1 f x
x
= −
− 2,0
a
Ta có 1 1
3
x − − x − − ( )
5
0
2
x x −
− 0,5
Đặt t = x , bpt trở thành
(5 )
2
t t
−
− Cho 5− = =t t Cho
3
t− = =t
0,5
Bảng xét dấu
0,5
Căn bảng xét dấu ta x 3 hay x 5
(3)b b) Bất phương trình x2 5x x2 5x 28 2,5
Đặt t x2 5x 28 ,t x2 5x t2 24 0,5
Bất phương trình trở thành t2 24 5t
2
5 24
t t t
Suy x2 5x 28 x2 5x 36 x
0,5
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 9; 0,5
Câu 3 (5 điểm)
a/ Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF hai tam giác ACE
và BDF có trọng tâm Chứng minh AB2+EF2 =CD2 2,00
Ta có AB⊥EFAB EF =0 suy AB2 +EF2 =(AB EF+ )2 (1) 0,5 Mặt khác ACE BDF có trọng tâm nên AB CE EF+ + =0 (2) có
chứng minh
Từ (1) (2) suy AB2+EF2 =CD2 0,
Câu (5 điểm)
b/ Tam giác ABC có góc thoả mãn hệ thức: cotA+cotC=cotB 1.Chứng minh
2 2
cot
4 b c a A
s + − =
2 Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác
ABC
=
3đ
Chứng minh
2 2
cot
4 b c a A
s + −
= 1,
Ta có:
2 2 2 2 2
cot ;cot ;cot
4 4
b c a a c b b a c
A B C
s s s
+ − + − + −
= = =
Khi
= Ta có: cot cot cot
2
A+ C= B
2 2 2 2 2
1
4 4
b c a a b c c a b
s s s
+ − + − + −
+ =
2 2
5b a c
= +
0,
0,
0,
(4)2 2 2
2 2
1
4 4
;
9 9
b c a a b c
AG = AA = + − CG = CC = + −
Suy
2 2
2 2
1
4
9
a c b b
AG +CG = b + + = + =b AA ⊥CC
Vậy góc AA1 CC1 90°
Câu (3,0điểm)
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, BE CD đường cao tam giác.Giả sử D(2;0), E(1;3) đường thẳng BC có phương trình
2 x + y - =
a/ Tìm tọa độ M biết M trung điểm BC b/ Tìm tọa độ điểm B biết B có hồnh độ dương
3,0
Gọi M trung điểm BC, tứ giác BCDE nội tiếp ta có MD = ME
vẽ hình minh họa
Gọi M m( ; 2− m+1), ta có MD=ME nên
( )
2
5m 8m 5m 10m m M 0;1 ,
− + = − + =
Ta có ( ) ( ) (2 )2
; , 0 1
B b − +b b MB= b− + − + −b = b ( )
2
5 5, 1;
MB=MD= b = b = b B −
1
0,5
0,5
1,0
Câu 5 (2 điểm)
Tìm m để phương trình:
4+ +x 4− +x 16−x =m có nghiệm
nhất 2
2
4+ +x 4− +x 16−x =m (điều kiện − 4 x 4) Điều kiện cần Giả sử hệ có nghiệm x0
Ta có
0 0
4+x + 4−x +2 16−x =m
( ) ( ) ( )2
0 0
4+ −x + 4− −x +2 16− −x =m
0
x
− nghiệm phương trình
Vì phương trinh nên x0 = − x0 x0 = =0 m 12
0,
(5)Điều kiện đủ: Xét m = 12 phương trình cho trở thành
( )2
2
2
2
2 16 16 4 16 12
4 16 16
4 16 12
x x x x
x x x
x x x
− = + + − = + − =
+ + − + −
+ + + + − + =
Đẳng thức xảy =x Phương trình có nghiệm x = 0, m = 12
0,
0,
Câu (3điểm)
Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị
nhỏ biểu thức S= +x y + z 3
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
2
S x y z x y z x y y z z x
S x y z x y z y z x z x y
= + + = + + + + +
= + + + + + + + +
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
( )
y + z + = − =y z x x x y + z z
Chứng minh tương tự ( ) ( )
,
y z + x y z x + y z Vì ( 2 2)
2
S x +y +z
Thay 2 2
8 16
x +y +z = S S
Dấu xảy ra, (x y z, , ) (= 2; 2; 0− )hoặc hốn vị, ta có S=4
Vậy S =
0,
1