Bài giải đề cương ôn tập Toán 12 - Học kỳ I

Do S.ABC là hình chóp đều nên O Cũng là trọng tâm, trực tâm của ABC đều.. Gọi H là trung điểm của AB..[r]

BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 Bài : Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau : x  f ' ( x)     x  3 Ta có : f (4)  13; f (3)  20; f (1)  12; f (3)  20 Vậy: max f ( x)  20  x  3 ; f ( x)  12  x  a Xét hàm số f  x   x  x  x  trên đoạn  4;3 Đạo hàm : f '  x   x  x  9; x 4;  x 4;  b.Bạn đọc tự làm  3   Đạo hàm : f ' ( x)  cos x  cos x  2 3  0  x   3  x   x    k 2  x         ; k  Z    x   cos x  cos x     cos x  0,5   x     k 2     cos x  1 x    x    k 2   c Xét h/s : f ( x)  sin x  sin x , trên đoạn 0;   3  3 ; f    ; f   3   3 Như : f ( x)  ,đạt x =  3  x 0;  Lại có : f (0)  0; f   f ' ( x)     x  x   ; f ( x)  ,đạt   3  x 0;       d Xét hàm số : f  x   ln x  ln x  , trên đoạn 1; e TXĐ : D = (0;+∞) 2 ln x ln x    ; f ' ( x)   x  e Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e3) = x ln e x ln e x x Vậy : min3 f ( x)  4 , đạt x = e ; max3 f ( x)  , đạt x = e3 Đạo hàm : f ' ( x)      x 1;e x 1;e     e Xét hàm số : f ( x)  e x  e  x , trên đoạn ln ; ln 2 Đạo hàm : f ' ( x)  e x  e  x ;   1 2 Ta lại có : f  ln   1; f 0   2; f ln   Vậy:   x ln ;ln    f ' ( x)   x  f ( x)  , đạt x = ln ; max f ( x)  , x = ln2 x ln ;ln    f Xét hàm số : f ( x)  x   x Đạo hàm : f ' ( x)   Lại có : f(-2) = -2 ; f TXĐ : D = [-2;2] 2x ; f ' ( x)   x   x2  2 ; f(2) =   Vậy : f ( x)  2 , đạt x = -2 ; max f ( x)  2 , đạt x = x 2;  x 2;  g Xét hàm số : f ( x)  x 1 , trên đoạn [-1;2] TXĐ : D = [-1;2] x2 1 x( x  1) x   x( x  1) x 1  1 x x2 1 x2 1 ; f ' ( x)   x    2 x 1 x 1 ( x  1) x   Đạo hàm : f ' ( x)  Lại có : f(-1) = ; f(1) = ; f ( x)   Như : f ( x)  , đạt x = -1 ; max f ( x)  , x = x1;  x1;  _ Lop12.net BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 x  x  x  m  (1) Với m = 1, h/số (1) trở thành : y = f ( x)  x  x  x TXĐ : D = R 2  Giới hạn ,tiệm cận : lim f ( x)  lim   x  x  x    ; lim f ( x)   Suy ra, ĐTHS kg có tiệm cận x   x   x   3  x  Đạo hàm : f ' ( x)  x  x  ; f ' ( x)    x  Bảng biến thiên : Bài 2: H/số : y  x -∞ f'(x) + - +∞ + f(x) +∞ -∞ Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ = H/số đạt cực tiểu x = ; yCT = Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số Xét hàm số : y = f ( x)  x  x  x Có đồ thị h/số (C) TXĐ : D = R Đạo hàm : f'(x) = 2x2 - 8x + Hoành độ tiếp điểm ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - là nghiệm phương trình : 2x2 - 8x +6 = x   x  8x    Với x = 4, pttt ĐTHS (C) có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) <=> y = 6x - x   Với x = 0, pttt ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) <=> y = 6x x  x  x  m    x  x  x  m  ,có nghiệm p/biệt    m     m  3 3 2 PT : x  x   k  x  x  x  k Như : Với < k  hay < k < thì pt x  x  x  k có 3 3 8 2 2 k 3 k   k  k  3   nghiệm phân biệt Với  thì pt x  x  x  k có nghiệm phân biệt Với  thì pt k  k  2 k  2 k    x  x  x  k có nghiệm Bài : Khi m = 1, h/s trở thành : y  f ( x)  x  x  (*) Bạn đọc tự khảo sát và vẽ ĐTHS (*) 2 Xét h/số : y = x  mx  m TXĐ : D = R Đạo hàm : y' = 3x2 - 3mx 2 Để hàm số có cực trị thì pt : y' =  x  3mx  có hai nghiệm phân biệt Do đó :   9m   m  ycbt  pt : Giả sử A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị h/số x    Suy A  0; m ; Bm;0    x  m Suy : x1 , x2 là hai nghiệm pt : 3x2 - 3mx =    Suy : AB m;   m m3   m3   và M  ;  là trung điểm AB Và n(1;1) là vtcp cuả đ/thẳng : y = x   2 _ Lop12.net BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 m  m   AB  n   m0 Ycbt   m  m M  đ / t : y  x   Tương tự ý 4-Câu Bạn đọc tự làm Bài : (ĐHKTQD-2001) Xét h/s : y  f ( x)  x 1 x3 TXD : D = R\{3} x 1  Suy ra, h/số có tiệm cận ngang là đ/thẳng : y =1 x3 lim f ( x)  ; lim f ( x)   Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng : x= Giới hạn, tiệm cận : lim f ( x)  lim x  x 3 Đạo hàm : f ' ( x)  x 3 4 x 1  0, x  D Suy ra, h/s y  f ( x)  nghịch biến trên toàn tập xác định x3 ( x  3) Bảng b/thiên x -∞ f'(x) +∞ _ _ +∞ f(x) -∞ Bạn đọc tự vẽ ĐTHS 2.Pttt (C) x0 = có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + = -1(x - 1)  y  x 3.Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 là ng pt : y' = -1 Từ đó tìm các giá trị x ta viết các pttt cần tìm ĐS :có hai pttt thảo mãn là ( ) : y   x  8;   : y   x Pttt qua điểm A(5;3) có dạng (  ): y = k(x - 5) + Đ/thẳng (  ) tiếp xúc với ĐTHS (C) hệ sau có nghiệm : k  4  x 1  x 3     x   k ( x  5)  1  x    x   2k      k  1 Thay vào ta đc (  ): y = -x +  4 4       k  1  k k k 2      x  3   x  3 Gọi M a; y (a )  là tiếp điểm (C) và tiếp tuyến Pttt M (C) có dạng (  ): y  y (a )  () : y  4 ( x  a ) (a  3) 4 a 1 4a x  Toạ độ giao điểm A (  ) và Ox là ng hệ : a  a  32 (a  3) y   a  6a   a  6a    a  6a    x     0;   Vậy A Tương tự, ta có B ;  x a  a     y    ( a  )     2  y  a  (a  3) (a  3)   Diện tích OAB : S OAB Do S OAB    1 a  6a  a  6a  a  6a   xA yB   2 (a  3) a  32  a  6a  = 1/8 nên a  32 2 (đ.v.d.t) a  6a     1 Giải các giá trị a thay vào (  ) ta các pttt a3 1 Đáp số : Có hai pttt thoả mãn là   : y   x  ;   : y   x  4 a, a  x 1 Bạn đọc tự vẽ ĐTHS : y  (C) Lưu ý : Ta có y  a   Do đó ĐTHS (C) gồm : x3  a, a  x 1 x 1 Phần từ trục Ox trở lên ĐTHS y  , và phần đối xứng phần ĐTHS y  trục Ox qua trục Ox x3 x3 _ Lop12.net BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 Bài : H/số : y  x  2(m  1) x  3m Do (Cm) cắt Oy điểm A(0;-3) nên toạ độ A chính là nghiệm pt: y  x  2(m  1) x  3m Thay vào ta có :    2(m  1).0  3m  m   h / sô.C  : y  x  x  Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C) 16 x y'' = 12x2 - ; y'' =  12 x02    x0  (vì x0 > 0) Suy pttt cần tìm là : y =  3 ĐS:Với -4<k<0,pt có nghiệm.Với k = -4 và k>0,pt có nghiệm.Với k = 0,pt có nghiệm.Với k < -4,pt vô nghiệm Để h/số có điểm cực trị thì pt: y' = 4x3 - 4(m+1)x = 4x3 - 4(m+1)x = có nghiệm phân biệt Suy pt : x2 - (m+1) = có hai nghiệm phân biệt khác Để thoả mãn điều này thì m+1 > hay m > -1 3 x  x 1 x x  5.3    3.(3 )  5.3     x  1 Bài : a x 3  2, (loai ) b Ta thấy : 4x > ; 6x > ; 9x > 0.Nên: 3.4x + 8.6x + 4.9x > 0, x  R Suy pt đã cho vô nghiệm Ta có thể giải cách chia hai vế pt đã cho cho 22x,sau đó giải tiếp 0  x  0  x  0  x  0  x   c log ( x  2) log x        x   x  log ( x  2) log x  log x ( x  2)  log x x x   x  x  1  d.ĐS : x = Bạn đọc tự giải  x  log  x  log x  log     x x x log (4  6)  log (2  2)      x  6 x x  log 5 log (4  6)  log   log x  x x 2  4    Từ đó giải tiếp ta nghiệm là x = x  x   x  10  f - 3lgx = - 4   lg x    lg x  lg x   x  10     lg x   1 Bài : a 4x - - 16x < log  log  x 1  16 x  3.2 log 2   x  x    4.4 x  x  12  BPT trên nghiệm đúng với x b Bạn đọc tự giải 0  x  x  0  x  x  0  x  x  0  x  c log ( x  x  2)  1      2  x  x    log ( x  x  2)  1 log ( x  x  2)  log 2 2  x  lg2x lgx2   x    x    x      d log ( x  1)  log (2  x)    log ( x  )  log (  x ) log  log (  x )   x 2  2  x   x  1 1 x 2 9  v  10v  u  v  10 1  v  31 x  u u  v  10    e Đặt  1 x , u , v   Khi đó :    9 3  v u  v u  v uv  u  v log 31 x  log 3 31 x  x  Thay vào, ta :  1 x    2  x  1 x 3  log 3  log  x  2 Giải tiếp hệ trên ta kết ĐS : _ Lop12.net BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013  0  x   3 x  x  0  x    3   x   f log x  x (3  x)   3 x  x  3 x  3  x  x  x      x    x  3 x  x  5x  C 3 x x3 dx   (x  x   ).dx   x  x  ln x   C  x2 x2 x x 1  sin dx   sin dx   (1  cos x).dx  ( x  sin x)  C 2 2 2  dx   3 cos x  tan x  C   sin x  .dx  3 sin x.dx   cos x  cos x  ex dt dx    ln t  C Đặt ex + = t, dt  e x dx Suy :  x t e 1 dx 2t 2t 2 t   dt   dt   C  3x   C Đặt x   t  t  x   dt  dx Suy ra:  t 3 3 3x  dx dx  x2      C  .dx  ln x   ln x   C  ln ( x  2)( x  1) x 1 x  3x   x  x 1 Bài :  (2 x  x  5).dx  Bài : Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC) Do S.ABC là hình chóp nên O Cũng là trọng tâm, trực tâm ABC Gọi H là trung điểm AB Dẽ dàng c/minh : SH  AB S AH a   SA   SC SA a Do Tam giác ABC cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH = (đ.v.đ.d) Tam giác SAH : cos SAH  cos 45  Và CO = 2 a a CH   Suy SO  SC  CO = 3 a2 a2 a2   a2 (đ.v.d.t) a a2 a3   (đ.v.t.t) 24 Diện tích tam giác ABC cạnh a là : S ABC  Do đó : VS ABC  SO.S ABC A C H O B A C A' C' Bài 10 : Ta thấy hình chiếu A' trên mp(ABC) là điểm A Suy ra: hình chiếu cạnh A'B trên mp(ABC) là AB   A' B; mp ( ABC )   A' BA  60 Xét A' BA vuông A và có A' BA  60 , nên : A'A = AB.tan A' BA = a.tan 600 hay A'A = a (đ.v.đ.d) Mặt khác : ABC là tam giác vuông cân B nên diện tích là : S ABC  Do đó : Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là : BA.BC a V ABC A'B 'C '  A' A.S ABC  a BA.BC  (đ.v.t.t) 2 _ Lop12.net BÀI GIẢI ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2012-2013 Bài 11: a3 (đ.v.t.t) b.Lấy O làm tâm hình vuông ABCD hay O = AC  BD SO cắt B'D' H Kéo dài AH cắt SC C' Ta có : BC  AB và BC  SA nên BC  mp( SAB)  BC  AB' Lại có SB  AB' nên suy AB'  mp( SBC )  AB'  SC Tương tự, ta có : AD'  SC Suy : SC  mp( AB' D' ) (đ.p.c.m) a Bạn đọc tự làm ĐS : VS ABCD  c Có AC = S C' 2a  a = SA Suy SAC vuông cân A B' AC'  SC  C' là trung điểm SC => SC' = 0,5.SC = 0,5 SA  AC = a V SA SB' SC ' SB' VS AD 'C ' SA SD' SC ' SD'    Ta có : S AB 'C '  , VS ABC SA SB SC SB VS ADC SA SD SC SD Mặt khác : SB' A ₪ SAB  A D SB' SA SB' SA 2a 2      2 SA SB SB SB 2a  a SD'  SD Do ABC  ADC  VS ABC  VS ADC  0,5.VS ABCD Tương tự, ta có: D' B D VS AB 'C ' VS AD 'C ' VS AB 'C 'D ' a3 a3 2 2         VS AB 'C 'D '  Suy : (đ.v.t.t) VS ABC VS ADC 0,5.VS ABCD  3  Bài 12 : Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  BCD, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp  ACD và I = AO  BO' Ta có: I  AO cách điểm B,C,D và I  BO' cách điểm A,C,D Suy I cách điểm A,B,C,D Hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD Độ dài BO là : a a BO   sin OAB    cos OAB    BO = 3 AB 3 AB a a  AI   Bán kính R = AI = (đ.v.đ.d) cos OAB 4 B D C - _ Lop12.net