Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đạo hàm

Xác định điều kiện để bất phương trình : f xi  M được thỏa mãn x  a, b Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện vừa nêu Xác định điều kiện để phương trì[r]

TÌM GTLN,GTNN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM A/ PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Cơ sở phương pháp chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng các giá tị đặc biệt trên tập xác định hàm số mà suy kết Để tìm GTLN,GTNN đại lượng biến thiên A ta thực các bước sau: Bước 1: chọn biến số x Bước 2: giới hạn x : x  a, b Bước 3: tính A theo x : A = f(x) Bước 4: khảo sát f(x) trên a, b Ví dụ minh họa : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: y Tập xác định: D  R Ta có: y , x  x 1 x2  x 1 Giải   x   2 x  1 x  1 x   x 1   x2  2x x   x 1 x  y,   x2  2x     x  2 Bảng biến thiên: x y’ -∞ -2 - + y +∞ - -1 Dựa vào bảng biến thiên ta được: Giá trị lớn y = x = Giá trị nhỏ y = -1 x = -2 I/ Tìm GTLN,GTNN hàm số trên khoảng a, b  : Phương Pháp : *Tìm tập xác định hàm số ( Chỉ xét trên (a;b)) * Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn hàm số trên thuộc khoảng (a; b) * Lập bảng biến thiên * Dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ minh họa : Lop12.net Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x   (x > 0) x GIẢI: TXĐ: R \ 0 (xét trên (0; ) x2 1 Đạo hàm: y '  x2  x  1(loai ) y'    x  BBT:  x y' +    y -3 Min f ( x)  3  0;  x= Hàm số không có giá trị lớn trên (0; ) II/ Tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn [a, b] : Phương pháp : * Tìm tập xác định hàm số ( Chỉ xét trên [a;b]) * Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi hàm số trên thuộc đoạn a, b f ( xi ); f (a ); f (b) Max f ( x)  Max f ( xi ); f (a); f (b)  a ;b  * Tính Min f ( x)  Min  f ( xi ); f (a); f (b)  a ;b  Ví dụ minh họa : Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số: y  sin x  cos x trên đoạn 0;2  3 Ta có y  sin x  cos x  sin x  cos x)1  sin x cos x      Đặt t  sin x  cos x  sin  x   ; t   ; x  0;2  Khi đó 4  t 1 sin x cos x  Thay vào hàm số ta :  t 1 1 3   y  y  t 1  t  t; t   ; 2  2        t  ; y '   t  1   ; 2 2 y     ; y   ; y 1  1; y 1  So sánh các giá trị này ta 2 y'   Lop12.net  3  GTLN là t=1 tức là x  0; 2 ;2 ;GTNN là -1 t =-1 tức là x   ;   2  / Tìm GTLN, GTNN hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối liên tục trên đoạn : Bài toán: Tìm GTLN, GTNN hàm số y  f (x) liên tục trên đoạn a, b Cách giải: B1: Xét hàm số , (không chứa dấu ), trên a, b - Tính đạo hàm: y  f (x) - Giải phương trình f ( x)  và tìm các nghiệm thuộc a, b B2: Giải phương trình f ( x)  và tìm các nghiệm bi thuộc đoạn a, b B3: Tính các giá trị: f (a ) ; f (b) ; f (ai ) ; f (bi ) - So sánh và kết luận Ví dụ minh họa : Tìm GTLN và GTNN hàm số y  x  x  x  trên đoạn  3,0 B1: Xét hàm số y  f ( x)  x  x  x  trên đoạn [-3;0] ta có: - y  x  x  - y   x   x   B2: f ( x)   x   x  1 B3: ta có : f (0)  , 32 f ( )  27 f (3)  32 , f (1)  Ta nhận thấy x  x  x   0, x   3,0 Vậy từ các kết trên ta suy ra: Max 3,  y  f (3)  32 Lop12.net Min 3,  y  f (1)  B Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là số cho trước Phương pháp : Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị tham số m để hàm số y  f ( x, m) có giá trị lớn (giá trị nhỏ ) trên đoạn a, b là M (là m), ta có thể tiến hành theo tring các cách sau Chú ý: Hàm số y  f ( x, m) liên tục trên a, b Cách 1:       Tính đạo hàm f ( x, m) Gải phương trình f ( x, m)  để tìm các nghiệm x1; x2 ; ; xn  a, b Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( xn ) và f (a ), f (b) Từ các kết trên, xác định GTLN (GTNN) hàm số , giả sử là f ( xi ) Giải phương trình f ( xi )  để tìm nghiệm m Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán Cách 2:       Xác định điều kiện để bất phương trình : f ( xi )  M thỏa mãn x  a, b Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa điều kiện vừa nêu Xác định điều kiện để phương trình: f ( x, m)  có nghiệm x  a, b Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa điều kiện So sánh các giá trị m tìm các bước và để chọn giá trị m thỏa bài toán Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán Cách 3:     Tính đạo hàm f ( x, m) Giải phương trình f ( x, m)  để tìm các nghiệm x1; x2 ; ; xn  a, b Tính các giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( xn ) và f (a ), f (b) Lần lượt giải các phương trình: f ( x1 )  M , f ( x2 )  M , , f ( xn )  M , f (a )  M , f (b)  M để tìm các nghiệm chúng m0 Lop12.net   Thay m  m0 vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị m0 thực thỏa bài toán để nhận loại giá trị m0 Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán Ví dụ minh họa : Xét hàm số: y  x  2mx  m  Xác định giá trị tham số m cho hàm số giá trịlớn trên 1,3là  Ta có đạo hàm y : y  x  2m , y   x  2m   x  m Nhận xét : x  R , y (m)  y (1), y (3)  Do hàm số đạt giá trị lớn trên 1,3 x  x  , suy  y (1)  y (3)      (1) (2) Do y (1)  3m  , nên từ (1) suy m  1 Do y (3)  7 m  11 , nên từ (2) suy m  Với m  1 , thay vào hàm số ta được: y  x  x  Ta có: y  x  Cho y   x  1  y  Bảng biến thiên : x 1 y - + 18 y Vậy giá trị lớn hàm số trên 1,3là18, suy m  1 không thỏa bài toán Suy m  1 loại Với m  10 , thay vào hàm số ta : y  x  x  7 Lop12.net Ta có: y  x  10 Cho y   x  38 y 7 Bảng biến thiên x y y - + 38 Vậy giá trị lớn hàm số trên a, b là Suy giá trị m   thỏa mãn bài toán Kết luận: Giá trị cần tìm : m  Lop12.net