Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của -1 2 2 tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng ABC và vuông góc với đường thẳng d.. Tìm điểm M trên D sao cho khoảng cách AM ngắn nhất..[r]
(1)www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x –3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) r r r uuur · (Q) qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = ëé nP , AB ûù = (0; -8; -12) ¹ Þ (Q) : y + 3z - 11 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + y + 3z + = ĐS: (Q) : x - y + z - = Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm ì x = -1 + t ï A(2;1;3), B(1; -2;1) và song song với đường thẳng d : í y = 2t ïî z = -3 - 2t uur r · Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) uur ìnr ^ BA r r uur r Gọi n là VTPT (P) Þ í r r Þ chọn n = ëé BA, u ûù = (-10; 4; -1) în ^ u Þ Phương trình (P): 10 x - y + z - 19 = Câu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình: x -1 y +1 z - x - y -1 z - = = , (d2 ) : = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d ) và (d2 ) (d1 ); · Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z - x + y - z - = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá r véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (a ) : x + y + z - 11 = và tiếp xúc với (S) r · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = VTPT (a ) là n = (1; 4;1) r r r Þ VTPT (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2) Þ PT (P) có dạng: x - y + z + m = é m = -21 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = Û ê ëm = Vậy: (P): x - y + z + = (P): x - y + z - 21 = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y +1 z x y -1 z - (d1 ) : = = và (d2 ) : = = Chứng minh điểm M , d1, d2 cùng -2 -3 nằm trên mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó r r · d1 qua M1(0; -1;0) và có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) và có u2 = (1;2;5) r uuuuuur r r uuuuuur r r éëu1; u2 ùû = (-4; -8; 4) ¹ , M1M2 = (0;2; 4) Þ éëu1; u2 ùû M1M2 = Þ d1, d2 đồng phẳng r Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; -1) và qua M1 nên có Câu phương trình x + y - z + = Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) Î (P ) Trang Lop12.net (2) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x -3 y -3 z = = và mặt cầu 2 (S): x + y + z2 - x - y - z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2) Þ PT (P) có dạng: y - z + D = (P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û Þ (P): y - z + + = éD = + = Û D -3 = Û ê ëD = - 12 + 22 1- + D (P): y - z + - = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y - = và mặt phẳng (P): x + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M(3;1; -1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) r · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1; 0;1) Câu PT (Q) qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B + C ¹ (Q) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = A2 + B2 + C r r (Q) ^ ( P ) Û nQ nP = Û A + C = Û C = - A (**) (*) Từ (*), (**) Þ B - A = A2 + B Û 8B - A2 + 10 AB = Û A = 2B Ú A = -4B · Với A = 2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x + y - z - = · Với A = -4 B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: a) Với (S ) : x + y + z2 - x + y - z + = , (P ) : x + y - z + = 0, M (1;1;2) ĐS: (Q) : x + y + z - = (Q) :11x - 10 y + 2z - = Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r = · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính cho nên (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = Câu Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y + z2 + x - y + z –1 = ìx - y - = và đường thẳng d : í Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu î2 x - z - = (S) theo đường tròn có bán kính r = · (S) có tâm I(-1;1; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Î d Trang Lop12.net (3) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian ì M Î (P) é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b (1) Ta có: ïí N Î (P ) Û ê ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2) ïd ( I ,(P )) = R - r î + Với (1) Þ (P): x + y - z - = + Với (2) Þ (P): x - 17 y + 5z - = Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 : x y -1 z = = , -1 x -1 y z = = và mặt cầu (S): x + y + z2 – x + y + z – = Viết phương trình -1 -1 tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1 D2 : · (P): y + z + + = (P): y + z + - = Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z2 - x + y - z - 11 = và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi p = 6p · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D ¹ 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = Khoảng cách từ I tới (b) là h = Do đó 2.1 + 2(-2) - + D R - r = 52 - 32 = é D = -7 = Û -5 + D = 12 Û ê ë D = 17 (loại) 22 + 22 + (-1)2 Vậy (b) có phương trình x + y – z – = Câu hỏi tương tự: a) (S ) : x + y + z2 + x + y - z - 11 = , (a ) : x + y - 2z + 19 = , p = 8p ĐS: ( b ) : x + y - z + = Trang Lop12.net (4) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = và cách điểm M(1; 2; –1) khoảng · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = (với A2 + B + C ¹ ) · Vì (P) ^ (Q) nên: A + 1.B + 1.C = Û C = - A - B (1) A + 2B - C · d ( M ,( P )) = Û = Û ( A + B - C )2 = 2( A2 + B + C ) 2 A + B +C éB = (3) Từ (1) và (2) ta được: AB + 5B = Û ê ë8 A + 5B = (4) · Từ (3): B = Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = · Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 Þ C = Þ (P): 5x - 8y + 3z = (2) x -1 y - z = = và 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d đường thẳng D và mặt phẳng (P) Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : · Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 ¹ ) r D qua điểm A(1; 3; 0) và có VTCP u = (1;1;4) ì a + b + 4c = ï ìD P ( P ) ì a = 4c a + 5b Ûí Ta có: í Û í = ( ;( )) = a c d A P d = î î ï 2 î a +b +c · Với a = 4c Chọn a = 4, c = Þ b = -8 Þ Phương trình (P): x - 8y + z - 16 = · Với a = -2c Chọn a = 2, c = -1 Þ b = Þ Phương trình (P): x + y - z + = Câu hỏi tương tự: x y z -1 ; M (0;3; -2), d = a) Với D : = = 1 ĐS: ( P ) : x + y - z - = ( P ) : x - 8y + z + 26 = ìx = t ï Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t và điểm ïî z = A(-1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) r r · (d) qua điểm M(0; -1;1) và có VTCT u = (1;2;0) Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ là VTPT (P) PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = Û ax + by + cz + b - c = (1) rr Do (P) chứa (d) nên: u.n = Û a + 2b = Û a = -2b (2) - a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P ) ) = Û =3Û = Û 5b + 2c = 5b2 + c2 2 2 a +b +c 5b + c Û 4b2 - 4bc + c = Û ( 2b - c ) = Û c = 2b (3) Từ (2) và (3), chọn b = -1 Þ a = 2, c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): x - y - z + = Trang Lop12.net (5) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M (-1;1; 0), N (0; 0; -2), I (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) ì M Î (P) é a = - b,2c = a - b, d = a - b (1) ï Ta có: í N Î (P ) Û ê ë5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2) ïîd ( I ,(P )) = + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + = + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x + 5y + z + = Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1;2) , B(1;3;0) , C(-3; 4;1) , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ìa - b + 2c + d = ì A Î (P) ï Ta có: í B Î (P ) Û ïïa + 3b + d = í -3a + 4b + c + d ïîd (C ,(P )) = d ( D,(P )) a + 2b + c + d = ï ïî a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 é b = 2a, c = 4a, d = -7a Û ê ëc = 2a, b = a, d = -4a + Với b = 2a, c = 4a, d = -7a Þ (P): x + y + z - = + Với c = 2a, b = a, d = -4a Þ (P): x + y + 2z - = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D(0;3;1) ĐS: ( P ) : x + y + 7z - 15 = ( P ) : x + 3z - = Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; -1;2) , C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) · Vì O Î (P) nên ( P ) : ax + by + cz = , với a2 + b2 + c2 ¹ Do A Î (P) Þ a + 2b + 3c = (1) và d ( B,( P )) = d (C ,( P )) Û - b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) và (2) Þ b = c = · Với b = thì a = -3c Þ (P ) : 3x - z = · Với c = thì a = -2b Þ ( P ) : x - y = Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) ĐS: -6 x + 3y + z = x - 3y + 4z = Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; -1) , B(1;1;2) , C(-1;2; -2) và mặt phẳng (P): x - y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (a ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC · PT (a ) có dạng: ax + by + cz + d = , với a2 + b2 + c2 ¹ Do A(1;1; -1) Î (a ) nên: a + b - c + d = (1); (a ) ^ ( P ) nên a - 2b + 2c = (2) IB = IC Þ d ( B,(a )) = 2d (C;(a )) Þ a + b + 2c + d a2 + b2 + c Trang Lop12.net =2 -a + 2b - 2c + d a2 + b2 + c (6) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng é3a - 3b + 6c - d = Ûê (3) ë - a + 5b - 2c + 3d = Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : ìa + b - c + d = -1 -3 ï TH1 : ía - 2b + 2c = Û b = a; c = - a; d = a 2 ïî3a - 3b + 6c - d = Chọn a = Þ b = -1; c = -2; d = -3 Þ (a ) : x - y - z - = ìa + b - c + d = -3 ï Û b = a; c = a; d = TH2 : ía - 2b + 2c = a 2 ïî-a + 5b - 2c + 3d = Chọn a = Þ b = 3; c = 2; d = -3 Þ (a ) : x + 3y + 2z - = Vậy: (a ) : x - y - 2z - = (a ) : x + 3y + z - = Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương x -2 y -2 z-3 x -1 y - z -1 = = , d2 : = = Viết phương trình mặt phẳng cách -1 hai đường thẳng d1, d2 r r · Ta có d1 qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 qua B(1;2;1) và có ud = (2; -1; 4) r r r Do (P) cách d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 Þ nP = ëéud1, ud ûù = (7; -2; -4) Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x - y - 4z + d = trình d1 : Do (P) cách d1, d2 suy d ( A,( P )) = d (B,(P )) Û 7.2 - 2.2 - 4.3 + d = 7.1 - 2.2 - 4.1 + d Û d - = d -1 Û d = 69 69 Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - y - 8z + = Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương ìx = + t x - y -1 z +1 ï = = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song trình d1 : í y = - t , d2 : 2 îï z = với d1 và d2 , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P) r · Ta có : d1 qua A(1;2;1) và có VTCP u1 = (1; -1;0) r d2 qua B(2;1; -1) và có VTCP là u2 = (1; -2;2) r r r r Gọi n là VTPT (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n = ëéu1, u2 ûù = (-2; -2; -1) Þ Phương trìnht (P): x + y + z + m = 7+m 5+ m ; d (d2 ,( P )) = d (B,(P )) = 3 17 é + m = 2(5 + m) d (d1,(P )) = 2d (d2 ,( P )) Û + m = + m Û ê Û m = -3; m = ë + m = -2(5 + m) 17 17 + Với m = -3 Þ ( P ) : x + y + z – = + Với m = Þ (P) : x + y + z - = 3 d (d1,(P )) = d ( A;( P )) = Trang Lop12.net (7) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(0; -1;2) , B(1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z + 1)2 = · (S) có tâm I(1;2; -1) , bán kính R = PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c ¹ 0) ì A Î (P ) ï é a = - b, c = - a - b, d = 2a + 3b Ta có: í B Î (P ) Û ê ë3a = -8b, c = -a - b, d = 2a + 3b îïd ( I ,(P )) = R + Với (1) Þ Phương trình (P): x - y - = + Với (2) Þ Phương trình (P): 8x - 3y - 5z + = (1) (2) Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A và cách gốc tọa độ O khoảng lớn · Ta có d (O,( P )) £ OA Do đó d (O,( P ))max = OA xảy Û OA ^ ( P ) nên mặt phẳng (P) uuur cần tìm là mặt phẳng qua A và vuông góc với OA Ta có OA = (2; -1;1) Vậy phương trình mặt phẳng (P): x - y + z - = Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có x -1 y z -1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn · Gọi H là hình chiếu A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I là hình chiếu H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn A º I Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng qua A uuur và nhận AH làm VTPT Þ (P): x + y - 5z - 77 = phương trình: Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số { x = -2 + t; y = -2t; z = + 2t Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc A trên (d) Viết phương trình mặt phẳng chứa D và có khoảng cách đến (d) là lớn · Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì ( P ) P (d ) (P ) É (d ) Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên (P) Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH ìd (d ,(P )) = d ( I ,(P )) = IH Mặt khác í îH Î (P) Trong (P), IH £ IA ; đó maxIH = IA Û H º A Lúc này (P) vị trí (P0) ^ IA A r uur r Vectơ pháp tuyến (P0) là n = IA = ( 6; 0; -3) , cùng phương với v = ( 2;0; -1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = x - z - = x -1 y z - = = và điểm 2 A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) r r (P) có VTPT n = (a; b; c) , d qua điểm M(1; 0;2) và có VTCP u = (2;1;2) Trang Lop12.net (8) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng ì2c = -(2a + b) ì M Î (P) ìa + 2c + d = Xét trường hợp: Vì (P) É d nên í r r Þí Þí îd = a + b în.u = î2a + b + 2c = TH1: Nếu b = thì (P): x - z + = Khi đó: d ( A,( P )) = TH2: Nếu b ¹ Chọn b = ta (P): 2ax + y - (2a + 1)z + 2a + = 9 Khi đó: d ( A,( P )) = = £3 2 8a2 + 4a + æ 1ö ç 2a + ÷ + 2ø è 1 Vậy max d ( A,( P )) = Û 2a + = Û a = - Khi đó: (P): x - y + z - = Câu hỏi tương tự: x -1 y +1 z - = = ĐS: (P ) : x + y - z + = a) d : , A(5;1;6) x -1 y + z b) d : = = , A(1; 4;2) ĐS: (P ) : 5x + 13y - z + 21 = -1 Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) và N(-1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn · PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C ( z - 2) = Û Ax + By + Cz + B - 2C = ( A2 + B2 + C ¹ 0) N (-1;1;3) Î ( P ) Û - A + B + 3C + B - 2C = Û A = B + C Þ (P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B - 2C = ; d ( K , ( P )) = B 2 B + 2C + BC · Nếu B = thì d(K, (P)) = (loại) · Nếu B ¹ thì d ( K ,(P )) = B = £ 2 æC ö ç + 1÷ + èB ø Dấu “=” xảy B = –C Chọn C = Khi đó PT (P): x + y – z + = B + 2C + BC Trang Lop12.net (9) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): x -1 y z = = và tạo với mặt phẳng (P) : x - y - z + = góc 600 Tìm tọa độ giao -1 -2 điểm M mặt phẳng (a) với trục Oz r r · () qua điểm A(1;0; 0) và có VTCP u = (1; -1; -2) (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) uuuur uuur ur r Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (-1; 0; m) (a) có VTPT n = ëé AM , u ûù = (m; m - 2;1) (a) và (P): x - y - z + = tạo thành góc 600 nên : 1 r r cos ( n, n¢ ) = Û = Û 2m - 4m + = Û m = - hay m = + 2 2m2 - 4m + Kết luận : M(0; 0;2 - 2) hay M(0; 0;2 + 2) Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến d hai mặt phẳng (a ) : x – y –1 = , ( b ) : x – z = và tạo với mặt phẳng 2 · Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)Î d (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = (P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = Þ A = -(2 B + 2C ) Þ ( P ) : -(2 B + 2C ) x + By + Cz – B = (Q) : x – y + z –1 = góc j mà cos j = cos j = -2 B - 2C - 2B + 2C (2B + 2C )2 + B2 + C = 2 Û 13B + 8BC – 5C = 13 + Với B = C = Þ ( P ) : -4 x + y + z –1 = + Với B = , C = Þ ( P ) : -23x + 5y + 13z – = 13 Chọn C = Þ B = 1; B = Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) góc a thoả mãn cos a = · PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) ì A Î (Q) ì- a + 2b - 3c + d = é a = -4b, c = -3b, d = -15b ï Ta có: ï B Î (Q) Û ïï2a - b - 6c + d = Û ê í ë a = -b, c = 0, d = - b í a + 2b + c ïcos a = ï = ïî 6 ïî a2 + b2 + c + + Þ Phương trình mp(Q): x - y + 3z + 15 = (Q): x - y - = Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P ) º (Oxy ),cos a = ĐS: (Q): x - y + z - = (Q): x - y - z + = Trang Lop12.net (10) www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng ìx + y + z - = Viết î2 x + y + z - = phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í a = 600 · ĐS: (P ) : x + y + z - - = (P ) : x - y - z - + = Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x - y + 5z - = và (Q) : x - y - 8z + 12 = Lập phương trình mặt phẳng ( R) qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) góc a = 450 · Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Ta có: ( R) ^ ( P ) Û 5a - 2b + 5c = (1); a - 4b - 8c · R),(Q)) = cos 450 Û cos(( = (2) a2 + b2 + c é a = -c Từ (1) và (2) Þ 7a2 + 6ac - c2 = Û ê ëc = 7a · Với a = -c : chọn a = 1, b = 0, c = -1 Þ PT mặt phẳng ( R) : x - z = · Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = Þ PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = Câu hỏi tương tự: a) Với ( P ) : x - y - z = 0,(Q) º (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 ĐS: ( R) : x + y + = ( R) : x - 3y + z - 23 = Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: D1 : x -1 y +1 z -1 x y z = = và D2 : = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và -1 -2 tạo với D2 góc a = 300 · Đáp số: (P): 5x + 11y + z + = (P): x - y - z - = Câu hỏi tương tự: x y-2 z x -2 y -3 z+5 a) Với D1 : = = , D2 : = = , a = 300 -1 -1 ĐS: (P): x - y - z + = (P): x + y + z - = x -1 y z + x y - z +1 b) D1 : = = , D2 : = = , a = 300 -2 1 -1 ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 114)z - (3 - 114) = (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 114)z - (3 + 114) = Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450 , 30 r r r · Gọi n = (a; b; c) là VTPT (P) Các VTCP trục Ox, Oy là i = (1;0; 0), j = (0;1; 0) ì ïïsin(Ox,(P )) = ì Û ía = b Ta có: í îc = b ïsin(Oy,( P )) = ïî Trang 10 Lop12.net (11) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng PT mặt phẳng (P): PP toạ độ không gian 2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = - 2( x - 1) + ( y - 2) ± (z - 3) = Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + y - z + = và đường x +1 y +1 z - = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo 1 với mặt phẳng (Q) góc nhỏ thẳng d : · · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Gọi a = (( P ),(Q)) ì M Î ( P ) ìc = - a - b Chọn hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0; 4) Î d Ta có: í Þí î N Î (P) î d = 7a + b a+b Þ (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = Þ cos a = 5a2 + 4ab + 2b2 TH1: Nếu a = thì cos a = TH2: Nếu a ¹ thì cos a = 6 b 2b2 = Þ a = 300 1+ b a æbö b + + 2ç ÷ a èaø Đặt x = b và f ( x ) = cos2 a a x2 + 2x + Xét hàm số f ( x ) = + 4x + 2x2 Dựa vào BBT, ta thấy f ( x ) = Û cos a = Û a = 900 > 300 Do đó có trường hợp thoả mãn, tức a = Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = Vậy: (P): y - z + = Câu hỏi tương tự: x -1 y + z a) Với (Q): x + y + z – = , d : = = ĐS: ( P ) : x + y + 5z +3 = -1 x -1 y + z = = ĐS: ( P ) : x - y + z - = b) Với (Q) º (Oxy), d : -1 ì x = -t ï c) Với (Q) : x - y - z - = , d : í y = -1 + 2t ĐS: ( P ) : x + y + z - = ïî z = + t Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-1; -1;3), N (1; 0; 4) và mặt phẳng (Q): x + y - z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N và tạo với (Q) góc nhỏ · ĐS: (P ) : y - z + = Câu hỏi tương tự: ĐS: ( P ) : x + 3y + 5z - = a) M (1;2; -1), N (-1;1;2),(Q) º (Oxy) ìx = - t ï Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = -2 + t Viết phương ïî z = 2t trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy góc lớn · · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Gọi a = (( P ), Oy ) Trang 11 Lop12.net (12) www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng ì M Î ( P ) ì2c = a - b Chọn hai điểm M (1; -2; 0), N (0; -1;2) Î d Ta có: í Þí î N Î (P ) îd = - a + 2b 2b a-b Þ (P): ax + by + z - a + 2b = Þ sin a = 2 5a + 5b - 2ab TH1: Nếu b = thì a = 00 TH2: Nếu b ¹ thì sin a = Đặt x = æaö a 5ç ÷ + - b èbø Xét hàm số f ( x ) = a và f ( x ) = sin a b Dựa vào BBT, ta max f ( x ) = Û x = Þ a > 00 5x - x + a Vậy a lớn = Chọn a = 1, b = 5, c = -2, d = Þ (P): x + 5y - z + = b Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x -1 y + z = = và -1 x + y -1 z = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 cho góc mặt phẳng -1 2 (P) và đường thẳng d2 là lớn r · d1 qua M(1; -2; 0) và có VTCP u = (1;2; -1) Vì d1 Ì (P ) nên M Î ( P ) d2 : PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x - 1) + B( y + 2) + Cz = ( A2 + B2 + C ¹ 0) rr Ta có: d Ì (P ) Û u.n = Û C = A + 2B · Gọi a = (( P ), d2 ) Þ sin a = TH1: Với B = thì sina = TH2: Với B ¹ Đặt t = Xét hàm số f (t ) = (4 A + 3B)2 = 2 A2 + AB + 5B2 A + AB + 5B 2 (4t + 3)2 A , ta được: sina = B 2t + 4t + (4t + 3)2 A + 3B 2t + 4t + 5 Khi đó sin a = f (-7) = Dựa vào BBT ta có: max f (t ) = 25 A t = -7 Û = -7 B A = -7 B Þ Phương trình mặt phẳng (P) : x - y + 5z -9 = So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn với sin a = x +1 y - z +1 = = và điểm -1 1 A(2; -1;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) góc nhỏ · ĐS: (P ) : x + y + 2z - = Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Trang 12 Lop12.net (13) www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng PP toạ độ không gian Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x - y + z + = và điểm A(1;1; -1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy góc lớn · ĐS: (P ) : y + z = ( P ) : x + 5y + z - = Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ I, J, K mà A là trực tâm tam giác IJK x y z · Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ ( P ) : + + = a b c ì4 uur uur ïï a + b + c = 77 77 77 IA JA = (4;5 - b;6) uur= (4 - a;5;6), uur Þ ïí-5b + 6c = Þ a = ; b = ; c = JK = (0; - b; c), IK = (-a; 0; c) ïî-4a + 6c = Vậy phương trình mặt phẳng (P): x + 5y + 6z - 77 = Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x - y - z + = Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b + c = bc Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ x y z 1 bc · PT mp (P) có dạng: + + = Vì M Î ( P ) nên + + = Û b + c = b c 2 b c uuur uuur Ta có AB(-2; b; 0) , AC (-2; 0; c) Khi đó S = b2 + c2 + (b + c)2 Vì b2 + c2 ³ 2bc; (b + c)2 ³ 4bc nên S ³ 6bc Mà bc = 2(b + c) ³ bc Þ bc ³ 16 Do đó S ³ 96 Dấu "=" xảy Û b = c = Vậy: S = 96 b = c = Câu 42 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích · Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = (d ¹ 4) Giả sử B = (Q) Ç Ox , C = (Q) Ç Oy uuur uuur Þ B(-d ;0; 0), C (0; -d ;0) (d < 0) S ABC = éë AB, AC ùû = Û d = -2 Þ (Q) : x + y + z - = Câu 43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3; 0;0), B(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz M cho tam giác ABC có diện tích · ĐS: ( P ) : x + y - 2z - = Trang 13 Lop12.net (14) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Dạng 6: Các dạng khác viết phương trình mặt phẳng Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ · Giá sử A(a;0; 0) Î Ox, B(0; b; 0) Î Oy, C (0; 0; c) Î Oz (a, b, c > 0) x y z Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = a b c 1 VOABC = abc (2) Ta có: M (9;1;1) Î (P ) Þ + + = (1); a b c (1) Û abc = 9bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 Û (abc)3 ³ 27.9(abc)2 Û abc ³ 243 ìa = 27 ì9bc = ac = ab ï x y z ï Û íb = Þ (P): Dấu "=" xảy Û í 1 + + = 27 3 ïîc = ïî a + b + c = Câu hỏi tương tự: x y z a) Với M(1;2; 4) ĐS: ( P ) : + + =1 12 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ · ĐS: ( P ) : x + y + 3z - 14 = Câu 46 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ x y z · ĐS: ( P ) : + + =1 + + 10 + 10 + 15 + + 15 Trang 14 Lop12.net (15) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng cách xác định vectơ phương x +1 y -1 z - = = và mặt phẳng P : x - y - z - = Viết phương trình đường thẳng D qua A(1;1; -2) , song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d uur uur x -1 y -1 z + r r · u = éëud ; nP ùû = (2;5; -3) D nhận u làm VTCP Þ D : = = -3 Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình: { x = -t ; y = -1 + 2t ; z = + t ( t Î R ) và mặt phẳng (P): x - y - z - = Viết phương trình tham số đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d) · Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; -3;1) Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - x + y + z + = Câu D là giao tuyến (P) và (Q) Þ D: { x = + t; y = -3; z = + t Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D: x -1 y +1 z = = Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M, cắt và vuông góc -1 với D uuuur r · uD = (2;1; -1) Gọi H = d Ç D Giả sử H (1 + 2t; -1 + t; -t ) Þ MH = (2t - 1; t - 2; -t ) uuuur r uuuur r MH ^ uD Û 2(2t - 1) + (t - 2) - (-t ) = Û t = Þ ud = 3MH = (1; -4; -2) ìx = + t ï Þ d: í y = - 4t îï z = 2t Câu Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + = và hai điểm A(1;7; –1), B(4;2;0) Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc đường thẳng AB trên (P) · Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = (D) = (P) Ç (Q) suy phương trình (D) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc ì x - 2z = đường thẳng d : í trên mặt phẳng P : x - y + z + = î3x - y + z - = Câu ì x = 4t ï r · PTTS d: í y = - + 7t Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; -2;1) ï z t = î æ 11 ö æ æ ö ö Gọi A = d Ç (P ) Þ A ç 4; ;2 ÷ Ta có B ç 0; - ;0 ÷ Î d , B ç 0; - ;0 ÷ Ï (P ) è ø è ø è ø æ 4ö Gọi H ( x; y; z) là hình chiếu vuông góc B trên (P) Ta tìm H ç - ; ; - ÷ è 3ø Trang 15 Lop12.net (16) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Gọi D là hình chiếu vuông góc d trên (P) Þ D qua A và H ì x = + 16t uuu r ï 11 r Þ D có VTCP u = 3HA = (16;13;10) Þ Phương trình D: í y = + 13t ï = + 10t z î Câu hỏi tương tự: ì x = + 23m x +1 y -1 z - ï = = , ( P ) : x - 3y + z - = ĐS: D : í y = + 29m a) Với d : ïî z = + 32m Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C giao điểm mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z - = với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P) · Ta có: ( P ) Ç Ox = A(1; 0;0); (P ) Ç Oy = B(0;3;0); (P ) Ç Oz = C (0; 0;2) Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) trung điểm M AB; (a) là mặt phẳng trung æ1 ö trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I = D Ç (a ) Þ I ç ; ;1 ÷ è2 ø Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ ì ï x = + 6t ï í Þ Phương trình đường thẳng d: ï y = + 2t ï z = + 3t î Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; -1), B(2;1;1); C (0;1;2) và x -1 y +1 z + = = Lập phương trình đường thẳng D qua trực tâm đường thẳng d : -1 2 tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d uuur uuur uuur uuur · Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) Þ ëé AB, AC ûù = (-1; -5; -2) Câu Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z - = Gọi trực tâm tam giác ABC là H (a; b; c) , đó ta có hệ: uuur uuur ì BH AC = ì a - b + 2c = ìa = ï uuur uuur ï ï íCH AB = Û ía + b - 3c = Û íb = Þ H (2;1;1) ï H Î ( ABC ) ïîa + 5b + 2c = ïîc = î Do đường thẳng D nằm (ABC) và vuông góc với (d) nên: r r ìuD ^ nABC r r r Þ uD = éë nABC , ud ùû = (12;2; -11) íur ^ ur d î D Vậy phương trình đường thẳng D : x - y -1 z -1 = = 12 -11 Trang 16 Lop12.net (17) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương x -1 y +1 z trình d : = = Viết phương trình đường thẳng D qua điểm M, cắt và -1 vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d Câu ì x = + 2t r ï · PTTS d: í y = -1 + t d có VTCP u = (2;1; -1) ïî z = -t uuuur Gọi H là hình chiếu M trên d Þ H (1 + 2t; -1 + t; -t ) Þ MH = (2t - 1; -2 + t; -t ) uuuur r æ ö uuuur æ 2ö Ta có MH ^ d Û MH u = Û t = Þ H ç ; - ; - ÷ , MH = ç ; - ; - ÷ 3ø è3 3ø è3 x - y -1 z Phương trình đường thẳng D: = = -4 -2 æ8 4ö Gọi M¢ là điểm đối xứng M qua d Þ H là trung điểm MM¢ Þ M ¢ ç ; - ; - ÷ è3 3ø Câu hỏi tương tự: x + y -1 z + x +1 y z - = = ĐS: D : = = a) M (-4; -2;4); d : -1 -1 Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = - t; z = -1 + 4t; t Î R Viết phương trình đường thẳng (D) qua A; cắt và vuông góc với (d) Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x y -1 z +1 = = và hai điểm A(1;1; -2) , -1 B(-1;0;2) Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d cho khoảng cách từ B tới D là nhỏ r · d có VTCP ud = (1;2; -1) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên (P) đó đường thẳng D qua A và H thỏa YCBT Ta có: (P): x + y - z - = Giả sử H ( x; y; z) ìH Î (P) æ1 2ö Ta có: í uuur r Þ Hç ; ; ÷ è3 3ø î BH , ud cuøng phöông uuur x -1 y -1 z + r Þ uD = AH = (-2;5;8) Þ Phương trình D: = = -2 x +1 y z +1 = = và hai điểm -1 A(1;2; -1), B(3; -1; -5) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt đường thẳng D cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn uuur uuur · Giả sử d cắt D M Þ M (-1 + 2t;3t; -1 - t ) , AM = (-2 + 2t;3t - 2; -t ), AB = (2; -3; -4) Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D : Gọi H là hình chiếu B trên d Khi đó d ( B, d ) = BH £ BA Vậy d ( B, d ) lớn BA uuur uuur Û H º A Û AM ^ AB Û AM AB = Û 2(-2 + 2t ) - 3(3t - 2) + 4t = Û t = x -1 y - z +1 Þ M(3;6; -3) Þ PT đường thẳng d : = = -1 Trang 17 Lop12.net (18) PP toạ độ không gian www.VNMATH.com Trần Sĩ Tùng Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường x +1 y -1 z = = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B và cắt đường thẳng D: -1 2 thẳng D điểm C cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ ì x = -1 + 2t ï · Phương trình tham số D: í y = - t Điểm C Î D nên C (-1 + 2t;1 - t;2t ) ïî z = 2t uuur uuur uuur uuur AC = (-2 + 2t; -4 - t;2t ); AB = (2; -2;6) ; éë AC , AB ùû = (-24 - 2t;12 - 8t;12 - 2t ) uuur uuur uuur uuur Þ ëé AC , AB ûù = 18t - 36t + 216 Þ S = éë AC , AB ùû = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198 x -3 y -3 z-6 Vậy Min S = 198 t = hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC: = = -2 -3 -4 x +1 y - z - = = và mặt -2 phẳng (P): x + 3y + 2z + = Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng (P), qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d) Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : ì x = -1 + 3t r ï · Đường thẳng (d) có PTTS: í y = - 2t Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2) ïî z = + 2t uuuur Giả sử N(-1 + 3t ; - 2t ; + 2t) Î d Þ MN = (3t - 3; -2t;2t - 2) uuuur r Để MN // (P) thì MN n = Û t = Þ N(20; -12; 16) x -2 y -2 z-4 = = Phương trình đường thẳng D: -7 Câu hỏi tương tự: x y -1 z - x -1 y - z - = , ( P ) : x + 3y + 2z + = , M(2;2;4) ĐS: D : a) d : = = = 1 -1 x -2 y z+2 x -1 y - z +1 b) d : = = , (P ) : x + y - z + = , M(1;2; –1) ĐS: D : = = 2 -9 -5 x - y + z -1 x -3 y +2 z+ = = = = , ( P ) : x - y - 3z - = , M(3; -2; -4) ĐS: D : c) -6 -2 Câu 13 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : x - y + z - 29 = và hai điểm A(4; 4;6) , B(2;9;3) Gọi E , F là hình chiếu A và B trên (a ) Tính độ dài đoạn EF Tìm phương trình đường thẳng D nằm mặt phẳng (a ) đồng thời D qua giao điểm AB với (a ) và D vuông góc với AB uuur uuur r 19 r · AB = (-2;5; -3), na = (3; -2;1) , sin( AB,(a )) = cos( AB, na ) = 532 EF = AB.cos( AB,(a )) = AB - sin ( AB,(a )) = 38 - 361 171 = 532 14 ìx = + t uur uuur uur ï é ù AB cắt (a ) K(6; -1;9) ; uD = AB, na = (1;7;11) Vậy D : í y = -1 + 7t ë û ïî z = + 11t Trang 18 Lop12.net (19) Trần Sĩ Tùng www.VNMATH.com PP toạ độ không gian Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần x -1 y z -1 = = Lập 1 phương trình đường thẳng D nằm (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d) r r r r · (P), (Q) có VTPT là nP = (1; -2;1), nQ = (1; -3;3) Þ éë nP , nQ ùû = (-3; -2; -1) lượt có phương trình: ( P ) : x - y + z = 0, (Q) : x - 3y + 3z + = 0, (d ) : PTTS (d): x = + 2t, y = t, z = + t Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1 + 2t; t;1 + t ) Do A Ì (P) nên: + 2t - 2t + + t = Û t = -2 Þ A(-3; -2; -1) r r ìuD ^ nP r r r Theo giả thiết ta có: í r r Þ uD = éë nP , nQ ùû = (-3; -2; -1) îuD ^ nQ x + y + z +1 Vậy phương trình đường thẳng (D) : = = Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; -1), B(2;1;1), C (0;1;2) và x -1 y +1 z + = = Lập phương trình đường thẳng D qua trực tâm -1 2 tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d) uuur uuur uuur uuur · Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) Þ ëé AB, AC ûù = (-1; -5; -2) đường thẳng (d ) : Þ phương trình (ABC): x + 5y + 2z - = uuur uuur ì BH AC = ìa - b + 2c = ìa = ï uuur uuur ï ï Gọi trực tâm DABC là H (a; b; c) íCH AB = Û ía + b - 3c = Û íb = Þ H (2;1;1) ï H Î ( ABC ) ïîa + 5b + 2c = ïîc = î r r ìuD ^ nABC r r r Þ uD = ëé nABC , nd ûù = (12;2; -11) Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: í r r îuD ^ ud x - y -1 z -1 Þ PT đường thẳng D : = = 12 -11 Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + = , đường x + y +1 z - = = và điểm A(-2;3;4) Viết phương trình đường thẳng D nằm 1 trên (P), qua giao điểm d và (P), đồng thời vuông góc với d Tìm điểm M trên D cho khoảng cách AM ngắn r r ìuD ^ nP ìD Ì ( P ) · Gọi B = d Ç (P) Þ B(-1; 0;4) Vì í nên í r r îD ^ d îuD ^ ud ì x = -1 + t ï r r r Do đó ta có thể chọn uD = éë nP , ud ùû = (1; -1; -1) Þ PT D: í y = -t ïî z = - t thẳng d : æ ö 26 26 Giả sử M (-1 + t; -t; - t ) Î D Þ AM = 3t - 2t + = ç t - ÷ + ³ 3 è 3ø æ 11 ö æ 11 ö Dấu "=" xảy Û t = Û M ç - ; - ; ÷ Vậy AM đạt GTLN M ç - ; - ; ÷ è 3 3ø è 3 3ø Câu hỏi tương tự: Trang 19 Lop12.net (20) www.VNMATH.com PP toạ độ không gian ìx = t ï ĐS: D : í y = -1 ïz = + t î ìx = - t ï a) ( P ) : x + y - z + = , d : í y = -3 + 2t ïî z = + t Câu 17 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm D: Trần Sĩ Tùng A(3; -1;1) , đường thẳng x y -2 z = = , mặt phẳng ( P ) : x – y + z -5 = Viết phương trình đường thẳng d 2 qua điểm A , nằm ( P) và hợp với đường thẳng D góc 450 r r r · Gọi ud , uD lần lươt là các VTCP d và D ; nP là VTPT ( P) r r r Đặt ud = (a; b; c), (a2 + b2 + c2 ¹ 0) Vì d nằm ( P) nên ta có : nP ^ ud Þ a –b +c = Û b = a +c Theo gt: (d , D) = 450 Û ( ) a + 2b + 2c 2 a + b + c = Û 2(a + 2b + c)2 = 9(a2 + b2 + c ) (2) 15a ìx = + t ï + Với c = : chọn a = b = Þ PTTS d là : í y = -1 – t ïî z = Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 + 30ac = Û c = 0; c = - 15a : chọn a = 7, c = -15, b = -8 Þ.PTTS d là: + Với c = ì x = + 7t ï í y = -1 –8t ïî z = –15t x - y + z +1 = = và mặt phẳng -1 (P): x + y + z + = Gọi M là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng D Câu 18 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D 42 ì x = + 2t r r ï · PTTS d: í y = -2 + t Þ M(1; -3; 0) (P) có VTPT nP = (1;1;1) , d có VTCP ud = (2;1; -1) îï z = -1 - t r r r Vì D nằm (P) và vuông góc với d nên VTCP uD = ëéud , nP ûù = (2; -3;1) uuuur Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc M trên D , đó MN = ( x - 1; y + 3; z) uuuur ì MN ^ ur ìx + y + z + = D ï ï Ta có í N Î ( P ) Û í2 x - 3y + z - 11 = Þ N(5; –2; –5) N(–3; – 4; 5) 2 ï MN = 42 ï( x - 1) + ( y + 3) + z = 42 î î x -5 y +2 z+5 = = -3 x +3 y +4 z-5 · Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình D : = = -3 · Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình D : Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ): x + y - z - = , hai đường thẳng (D): x -1 y z x y z +1 = = , (D¢): = = Viết phương trình đường thẳng (d) nằm -1 -1 1 Trang 20 Lop12.net (21)