Bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức... www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân.[r]
(1)www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu x2 I =ò x - x + 12 dx 2 æ 16 ö · I = ò ç1 + ÷dx = ( x + 16 ln x - - ln x - ) = + 25ln - 16 ln x -4 x -3ø è Câu dx I =ò x5 + x3 1 · Ta có: =- x ( x + 1) 1 x + + x x3 x2 + é ù2 1 3 Þ I = ê - ln x + ln( x + 1)ú = - ln + ln + 2 2 2x ë û1 Câu 3x + I =ò x - x - 5x + dx · I = - ln 13 14 + ln + ln 15 Dạng 2: Đổi biến số Câu I =ò ( x - 1)2 (2 x + 1)4 Câu dx ( x - 1)99 I =ò 101 ( x + 1) æ 7x - ö · I = òç ÷ è 2x + ø 99 æ x -1 ö · Ta có: f ( x ) = ç ÷ è 2x + ø (x Câu 5x I =ò I= ò Câu I= ò 2 + 4) 99 æ 7x - ö 1 æ 7x - ö = òç dç ÷ ÷ ( x + 1)2 è x + ø è x + ø dx 100 Câu æ x - ö¢ æ x -1 ö ç ÷ ÞI = ç ÷ +C è 2x + ø è 2x + ø dx 1 æ 7x - ö = × ç ÷ 100 è x + ø dx dx x ( x + 1) é 100 ù = ë2 - 1û 900 · Đặt t = x + Þ I = · Đặt t = x Þ I = dx x (1 + x ) Trang Lop12.net æ1 t ö ò ç t - t + ÷dt = ln è ø (2) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân · Đặt : x = Trần Sĩ Tùng Þ I =t 3 ò t6 dt = t2 + 1 æ 117 - 41 p ö + çt - t +1- ÷ dt = 135 12 t + è ø ò Câu I =ò x7 Câu 10 I = ò (1 + Câu 11 I = ò x )5 - x7 x (1 + x ) (1 + x dx dx · Đặt t = + x Þ dt = xdx Þ I = dx · I =ò x 2001 Câu 12 I = ò 1 32 dt · I =ò Đặt t = x Þ I = ò 10 2 t (t + 1)2 x ( x + 1) x.( x10 + 1)2 · I =ò dx x )1002 128 - t dx Đặt t = x Þ I = ò dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) 1 x (1 + x )1002 Cách 2: Ta có: I = (1 - x ).x .dx x 2004 (t - 1)3 1 dt = ò 21 t 25 1 dx Đặt t = + Þ dt = dx 1002 x x æ ö x ç + 1÷ èx ø .dx = ò 11 x 2000 xdx Đặt t = + x Þ dt = xdx ò 2000 2 (1 + x ) (1 + x ) 1000 (t - 1)1000 2æ 1ö Þ I= ò dt = ò ç - ÷ t1000t 2 1è t ø æ 1ö d ç1 - ÷ = è t ø 2002.21001 Câu 13 I = ò x (1 - x )6 dx · Đặt t = - x Þ dt = -3x 2dx Þ dx = Câu 14 I = ò -dt 3x ÞI = 11 æ t t8 ö t (1 t ) dt = ç - ÷= ò 30 è ø 168 xdx ( x + 1)3 x x + 1-1 1 · Ta có: = = ( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 Þ I = ò éë( x + 1)-2 - ( x + 1)-3 ùûdx = 3 ( x + 1) ( x + 1) Câu 15 I = ò + x2 11+ · Ta có: Þ I=ò x4 1+ x 1+ x4 dt t2 - dx 1+ = = x Đặt t = x - Þ dt = æ + ö dx ç ÷ x x2 ø è x2 + x 2æ òç t1è - æ -1ö ö t - 3/ ln = ln ç ÷ ÷ dt = 2 t+ 2 çè + ÷ø t+ 2ø Trang Lop12.net (3) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân - x2 Câu 16 I = ò 11+ x4 1- x dx -1 æ dt 1 ö Đặt t = x + Þ dt = ç - ÷ dx Þ I = - ò = x 2 x 1+ x x t + è ø x + x2 du 5 Đặt t = tan u Þ dt = ; tan u = Þ u1 = arctan 2; tan u = Þ u2 = arctan 2 cos u · Ta có: u2 Þ I= u1 x4 + Câu 17 I = ò dx x +1 x4 + · Ta có: x6 + 1 Þ I =ò x2 + Câu 18 I = ò = 1- x Câu 20 I = ò x - x2 + 3 ò · I= 3 ò +1 x4 - x x6 + = x2 + 1+ = 1 dt 11 = 0ò t + t + 0ò + x2 x6 + dt æ 1ö æ 3ö ÷ çt + ÷ + ç è 2ø è ø dx x2 + x2 x2 Đặt t = x -1 Đặt t = tan u Þ dt = x2 x2 · Đặt t = x Þ I = x2 + x4 - x2 + 0t I= dx dt ( x + 1)( x - x + 1) + -1 x · Ta có: I = ò dx Đặt t = x + Þ I = ln x +x x x +1 x4 - x2 + 2 · Ta có: = 1 d (x3 ) p 1p p dx = + = ò ( x )2 + 34 x + x +1 Câu 21 x6 + xdx 1+ Þ I =ò ( x - x + 1) + x dx + 1x+x Câu 19 I = ò ö 2æ (u2 - u1 ) = ç arctan - arctan ÷ 2 è ø ò du = æ 1 ö Þ dt = ç + ÷ dx x x2 ø è p du cos2 u Þ I = ò du = p dx ( x - 1)( x + 1) dx = 3 æ ò 1 ö p + dx = ln(2 - 3) + ç ÷ 12 è x - x2 + ø Trang Lop12.net = p (4) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x I =ò Câu dx 3x + x - x · I =ò dx = ò x (3x - x - 1)dx = ò 3x 2dx - ò x x - 1dx 3x + x - + I1 = ò 3x dx = x + C1 1 + I = ò x x - 1dx = ò x - d (9 x - 1) = (9 x - 1) + C2 18 27 Þ I= x2 + x I =ò Câu · (9 x - 1) + x + C 27 ò x2 + x 1+ x x x2 dx = ò x2 + I1 = ò Þ 1+ x x dx 1+ x x 1+ x x x 1+ x x Vậy: I = ( dx = 1+ x x 2x + Câu I =ò Câu I =ò Câu I = ò x - x dx 01+ 2x + ) dx + + 4x + Câu I =ò 1+ x 01+ x ( 1+ x x ) - + x x + C1 +C 1 dx d (1 + x x ) = + x x + C2 ò 3 1+ x x dx 2x 1+ x x dx Đặt t= + x x Û t - = x x Û x = (t - 1)2 Û x 2dx = 4 4 ò (t - 1)dt = t - t + C = + I2 = ò x dx + ò · Đặt t = x + I = t2 ò + t dt =2 + ln · Đặt t = x + I = ln 12 · Đặt: t = - x Þ I = ò ( t - t ) dt = 15 dx æ t +t ö 11 · Đặt t = x Þ dx = 2t.dt I = 2ò dt = 2ò ç t - t + - ln ÷dt = t +1 1+ t ø è 0 Câu I =ò x -3 dx x + + x + Trang Lop12.net t(t - 1)dt (5) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 2t - 8t 1t · Đặt t = x + Þ 2tdu = dx Þ I = ò Câu I= òx + 3t + 2 dt = -3 + ln t +1 dt = ò (2t - 6)dt + ò x + 1dx -1 1 æ t7 t4 ö · Đặt t = x + Þ t = x + Þ dx = 3t dt Þ I = ò 3(t - 1)dt = ç - ÷ = 28 è ø0 3 Câu x2 + 1 x 3x + I =ò dx æ t2 - ö ç ÷ +1 4ç ÷ 2tdt 2tdt ø · Đặt t = 3x + Þ dx = Þ I =òè 3 t2 - t 4 2æ1 ö t -1 100 = ç t - t ÷ + ln = + ln 9è3 t + 27 ø2 Câu 10 I = ò 2x2 + x - x +1 = 24 dt ( 1) t dt + ò ò 92 t -1 dx x + = t Û x = t - Þ dx = 2tdt · Đặt 2(t - 1)2 + (t - 1) - Þ I =ò 2tdt t 1 2 æ 4t ö 54 = 2ò (2t - 3t )dt = ç - 2t ÷ = è ø1 x 2dx Câu 11 I = ò ( x + 1) x +1 · Đặt t = x + Þ t = x + Þ 2tdt = dx ÞI = ò (t - 1)2 t3 Câu 12 I = ò .2tdt =2 ò x +1 (1 + + 2x ) 2 æ t3 æ 1ö 1ö 16 - 11 t dt = ç - 2t - ÷ = ç ÷ t ø1 è tø è3 dx t - 2t · Đặt t = + + x Þ dt = Þ dx = (t - 1)dt và x = + 2x dx Ta có: I = (t - 2t + 2)(t - 1) t - 3t + 4t - 4æ 2ö dt = dt = t - + - ÷dt ç ò ò ò 22 22 2è t t2 ø t2 t2 = Câu 13 I = ò æ t2 2ö ç - 3t + ln t + ÷ = ln 2 çè t ÷ø x -1 x +1 dx Trang Lop12.net (6) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng ( ) æ x ö é ù · I= òç dx = ë x + - ln x + x + û ÷ ç ÷ x2 + ø è x +1 = + ln ( + ) - ln ( + 3) Câu 14 I = ò ( x - 1)3 x - x dx · I = ò ( x - 1) Câu 15 I = ò x - x dx = ò ( x - x + 1) x - x ( x - 1)dx Đặt t = x - x Þ I = x3 - 3x + x x2 - x + 1 2 15 dx ( x - x )(2 x - 1) dx Đặt t = x - x + Þ I = ò (t - 1)dt = x2 - x + 1 · I =ò Câu 16 I = ò x 3dx + x2 · Đặt t = + x Þ x = t - Þ xdx = 3t 2dt Þ I = ö 3æ8 (t - 4t )dt = - ç + ÷ ò 23 2è5 ø Câu 17 I = dx ò x + + x2 -1 + 1 1æ1 ö + x2 + x - + x2 · Ta có: I = ò dx = ò dx = ò ç + 1÷ dx - ò dx 2 -1 è x ø 2x 2x -1 -1 (1 + x ) - (1 + x ) -1 + I1 = + I2 = 1 + x - + x2 1æ1 ö 1 ç + ÷ dx = éë ln x + x ùû |-1 = ò -1 è x ø ò -1 + x2 dx Đặt t = + x Þ t = + x Þ 2tdt = xdx Þ I2= 2x Vậy: I = ò t 2dt 2 2(t - 1) =0 Cách 2: Đặt t = x + x + Câu 18 I = ò Câu 19 I = ò 1 3 -x (x ) x4 - x2 ò dx - x2 dx x · Ta có: I = ò ÞI= æ ö3 1 · Ta có: I = ò ç - 1÷ dx Đặt t = -1 Þ I = x x x è ø t(-tdt ) - t2 x xdx Đặt t = t2 - x Þ t = - x Þ tdt = - xdx æ t-2 ö = ò dt = ò (1 + )dt = ç t + ln ÷ 2 t+2 ø t t è 3 Trang Lop12.net æ 2- ö ÷ = - ç + ln ç ÷ + 3 è ø (7) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Câu 20 I = Câu 21 I = Bài tập Tích phân x ( x + 1) x + ò 27 x -2 ò x+ x x2 + x + dx · Đặt t = x + x + x + Þ I = 1+ 1+ 2dt = ln(2t + 1) 2t + ò x2 + x )2 (2 + + x )2 (1 + -4 = ln 3+ 3 dx æ 42 36 ö · Đặt + + x = t Þ I = ò ç 2t - 16 + - ÷ dt = -12 + 42 ln t t2 ø 3è x2 Câu 24 I = ò 2( x + 1) + x + + x x + 2t (t - 1)2 dt · Đặt t = x + Þ I = ò t(t + 1)2 Câu 25 I = 2 ò x - x + 2011x x4 · Ta có: I = 2 ò M= 2 ò N= 2 x x3 2011 ò x3 Þ I= 1 x2 x3 dx + 2 ò dx = ò 2 = ò (t - 1)2 dt = (t - 1)3 = 3 2011 x3 -1 2 dx -1 dx Đặt t = dx x2 dx = M + N -1 Þ M = - - ò t 3dt = - 2 é 2011 ù 2011x dx = ê ú ë x2 û -3 = 14077 16 14077 21 16 128 dx Câu 26 I = ò (1 + x ) + x 3 3 = 15 ln æ é 2 ö 5p 2t ù dt = ò ê1 - + dt = ç - + ln ÷ ú ø 12 t t2 + t2 + 1û è t(t + 1) ë Câu 23 I = ò t3 - Câu 22 I = ò 3t dt dx · Đặt t = x Þ I = ò · Đặt t = x + Þ I = ò dx · Đặt t = + x Þ I = ò t2 t (t - 1) 3 dt = ò dt t (t Trang Lop12.net - 1) 213 128 (8) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân = dt ò Trần Sĩ Tùng ò = ứ é æ t êt ç - ÷ ú ë è t øû Đặt u = - Câu 27 I = 2 ò t3 Þ du = 3dt t4 dt = ö3 Þ I=ò u ò æ t ç1 - ÷ è t3 ø 2 æ 1ö ç1 - ÷ è t ø t4 du = - dt -2 u du ò0 æ 1 ç u3 ö2 ÷ = ç ÷ 3ç ÷ ç ÷ è ø0 1 = u3 = x4 dx æ 1ö ç x - x ÷ x +1 è ø · Đặt t = x + Þ I =ò (t - 1)2 t2 - dt = ò t - 2t + t2 - 2 3 2t dt = ò t dt + ò -2 dt = 19 æ4+ ö ln ç + ÷ çè - ÷ø Dạng 2: Đổi biến số dạng 1æ ö x ln + x ( ) ÷÷ dx ç 1+ x ø 0è Câu 28 I = ò ç 1- x 1- x · Tính H = ò 1+ x dx Đặt é pù p x = cos t; t Î ê 0; ú Þ H = 2 ë 2û ìu = ln(1 + x ) · Tính K = ò x ln(1 + x )dx Đặt í Þ K= î dv = xdx Câu 29 I = ò (x + x ) - x dx -2 ·I= ò (x + x ) - x dx = -2 òx - x dx + òx - x dx = A + B -2 òx - x dx Đặt t = - x Tính được: A = òx - x dx Đặt x = 2sin t Tính được: B = 2p -2 + Tính B = -2 + Tính A = -2 Vậy: I = 2p Trang Lop12.net (9) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân (3 - Câu 30 I = ò ) - x dx 2x4 · Ta có: I = ò 2x + Tính I1 = ò 2x + Tính I = ò Þ I2 = p 12 8ò p Vậy: I = 4 - x2 2x cos tdt sin t - x6 Câu 31 I = ò dx -4 x dx = ò 21 16 dx Đặt x = 2sin t Þ dx = cos tdt = p 12 cot 8ò 1( - 3) 16 x 2dx 2x4 dx = - x2 dx - ò p p 12 æ ö tç dt = - ò cot t.d (cot t ) = ÷ 8p è sin t ø · Đặt t = x Þ dt = x dx Þ I = 1 dt ò0 - t p é pù p Đặt t = 2sin u, u Î ê 0; ú Þ dt = cos udu Þ I = ò dt = ë 2û 30 18 Câu 32 I = ò 2- x dx x+2 x 2dx Câu 33 I = ò · Ta có: I = ò Þ I =- ò 2p Câu 34 ò t · Đặt x = cos t Þ dx = -2sin tdt Þ I = ò sin2 dt = p - + 2x - x2 p p x 2dx 22 - ( x - 1)2 Đặt x - = cos t (1 + cos t ) 2sin t - (2 cos t )2 - x - x dx dt = 2p ò ( + cos t + cos2t ) dt = p p p 3 + -4 2 · Đặt x = sin t Þ I = ò (cos t - sin t )cos tdt = Trang Lop12.net p + 12 8 (10) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tích phân phần Câu 35 I = ò x - 1dx ì x ìïu = x - ïdu = dx · Đặt í Þí x ïîdv = dx ïv = x î Þ I = x x2 - =5 2- ò Þ I= - ò x x - 1dx - x x2 - ò dx = - dx x2 - é ê x -1 + ë 2ê ò ù ú dx x - úû = - I - ln x + x - - ln ( + 1) + ln 2 Chú ý: Không dùng phép đổi biến x = vì éë 2;3ùû Ï [ -1;1] cos t Trang 10 Lop12.net (11) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu I =ò 8cos2 x - sin x - dx sin x - cos x (sin x - cos x )2 + cos x dx = ò éë( sin x - cos x - 4(sin x + cos x ) ùûdx sin x - cos x = 3cos x - 5sin x + C cot x - tan x - tan x Câu I = ò dx sin x cot x - tan x cot x cos x · Ta có: I = ò dx = ò dx = ò dx = +C sin x sin x 2sin x sin x æ pö cos2 ç x + ÷ 8ø è Câu I = ò dx sin x + cos x + æ pö + cos ç x + ÷ ø dx è · Ta có: I = ò 2 + sin æ x + p ö ç ÷ 4ø è æ ö ç cos æ x + p ö ÷ ç ÷ ç dx ÷ è ø = dx + ò çò ÷ 2 ç + sin æ x + p ö é æ æ pö p ứ ÷ ç ÷ êsin ç x + ÷ + cos ç x + ÷ ú ÷ 4ø è ç 8ø øû ø è ë è è · I =ò æ ö æ pö cos ç x + ÷ ç ÷ ç dx ø dx + è ÷ = ò 2ò 2æ 3p ö ÷ 2 ç + sin æ x + p ö sin ç x + ç ÷ ÷÷ ç 4ø øø è è è æ æ æ pö 3p ö ö = ç ln + sin ç x + ÷ - cot ç x + ÷÷ + C è 4ø ø ÷ø è çè Câu I= · I= Câu p ò 2+ p p dx sin x - cos x dx 1p dx = I= ò = æ 4p pö 2æ x p ö - cos ç x + ÷ 2sin ç + ÷ 3ø 3 è è2 6ø pò I= p ò 2sin x · Ta có: I = p ò dx p sin x - sin dx = p ò p sin x - sin dx Trang 11 Lop12.net (12) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng ææ x p ö æ x p öö cos ç ç + ÷ - ç - ÷ ÷ è è ø è ø ø dx =ò dx = ò p æ ö æ ö sin x - sin cos x + p sin x - p ç ÷ ç ÷ è2 6ø è2 6ø p = cos p p æx pö æx pö p cos ç - ÷ sin ç + ÷ è ødx + è ø dx = ln sin æ x - p ö ç ÷ ò 20 æx pö æx pö è2 6ø sin ç - ÷ cos ç + ÷ è2 6ø è2 6ø p ò p æx pö - ln cos ç + ÷ è2 6ø p p Câu I = ò (sin x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x )dx · Ta có: (sin x + cos4 x )(sin6 x + cos6 x ) = 33 33 + cos x + cos8 x Þ I = p 64 16 64 128 p Câu I = ò cos2 x (sin x + cos4 x )dx p p 2æ æ ö ö · I = ò cos2 x ç - sin2 x ÷ dx = ò ç - sin2 x ÷ d (sin x ) = 0è è ø ø p Câu I = ò (cos3 x - 1) cos2 x.dx ·A = B= p p 0 ò cos xdx = p ò cos x.dx = Vậy I = 2 ) ( sin x d (sin x ) ò p 12 (1 + cos x ).dx 2ò = = 15 p p – 15 p Câu I = ò cos x cos xdx p p 12 0 · I = ò cos2 x cos2 xdx = p (1 + cos x ) cos2 xdx = ò (1 + cos2 x + cos x )dx 2ò p 1 p = ( x + sin x + sin x ) = 4 p 4sin x dx + cos x Câu 10 I = ò Trang 12 Lop12.net = (13) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng · Bài tập Tích phân sin3 x 4sin3 x(1 - cos x ) = = 4sin x - 4sin x cos x = 4sin x - 2sin x + cos x sin2 x p (4sin x - 2sin x )dx 2p ÞI =ò Câu 11 I = ò =2 + sin xdx · I= 2p 2p 2p æ æx pö x xö x x ç sin + cos ÷ dx = ò sin + cos dx = ò sin ç + ÷ dx è 2ø 2 è2 4ø 0 ò é 3p ù 2p ê2 æx pö æx pö ú = ê ò sin ç + ÷dx - ò sin ç + ÷ dx ú = è2 4ø è2 4ø ú ê0 3p êë úû Câu 12 I = p ò dx cos x p · Ta có: I = ò (1 + tan2 x + tan x )d (tan x ) = 28 15 Dạng 2: Đổi biến số dạng sin xdx + 4sin x - cos2 x 2sin x cos x Đặt t = sin x Þ I = ln sin x + + · Ta có: I = ò +C dx sin x + 2sin x + 4sin x + dx Câu 14 I = ò sin x.cos5 x dx dx · I =ò = 8ò 3 sin x cos x cos x sin x cos x æ ö 3 Đặt t = tan x I = ò ç t + 3t + + t -3 ÷ dt = tan x + tan x + 3ln tan x +C t è ø tan x 2t Chú ý: sin x = + t2 dx Câu 15 I = ò sin x.cos3 x dx dx dx 2t · I =ò Đặt t = tan x Þ dt = = 2ò ; sin x = 2 sin x.cos x.cos x sin x.cos x cos x + t2 dt t2 + 1 t2 tan x Þ I = 2ò =ò dt = ò (t + )dt = + ln t + C = + ln tan x + C 2t t t 2 Câu 13 I = ò + t2 Trang 13 Lop12.net (14) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Câu 16 I = ò 2011 Trần Sĩ Tùng sin2011 x - sin2009 x sin5 x cot xdx 2011 - sin2 x cot xdx = ò sin x · Ta có: I = ò Đặt t = cot x Þ I = ò 2011 t (1 + t )tdt 4024 2011 - cot x sin x cot xdx 4024 8046 2011 2011 2011 2011 = t + t +C 4024 8046 8046 2011 2011 = cot 2011 x + cot 2011 x + C 4024 8046 Câu 17 I = p sin x.cos x dx + cos x ò p 2 sin x.cos2 x (t - 1)2 dx Đặt t = + cos x Þ I = ò dt = ln - 1 + cos x t · Ta có: I = ò Câu 18 I = p ò sin x tan xdx p · Ta có: I = ò sin2 x sin x dx = cos x p (1 - cos2 x )sin x dx Đặt t = cos x ò cos x - u2 du = ln u Þ I = -ò Câu 19 I = p ò sin x (2 - + cos2 x )dx p p p p p · Ta có: I = ò 2sin2 xdx - ò sin2 x + cos2 xdx = H + K p p + H = ò 2sin xdx = ò (1 - cos x )dx = p p p p p p = 2 p p p p + K = ò sin2 x cos2 x = - ò sin2 x cos xdx = - ò sin xd (sin x ) = p ÞI = p 2 Trang 14 Lop12.net (15) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Câu 20 I = Bài tập Tích phân p dx ò sin2 x.cos4 x p p · I = ò p I= ò dx 2 sin x.cos x (1 + t )2 dt t2 Câu 21 I = p ò = Đặt t = tan x Þ dt = dx cos2 x æ æ1 t3 ö 3-4 2ö ç + + t ÷ dt = ç - + 2t + ÷ = ø1 è t èt ø sin x ò ( + sin x ) dx · Ta có: I = p p sin x Þ I = 2ò Câu 22 I = p sin x cos x ò (2 + sin x )2 dx = ò (2 + sin x )2 dx Đặt t = + sin x t-2 t2 3 æ1 ö æ 2ö dt = ò ç - ÷ dt = ç ln t + ÷ = ln t t2 ø t ø2 è 2è sin x ò cos x dx · I= p p sin x sin x ò cos x dx = ò cos2 x - dx Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx 0 Đổi cận: x = Þ t = 1; x = Ta I = - ò Câu 23 I = p 2 2t - p Þt= dt = 2 sin x ò e sin x.cos x dx ln 2t - 2t + = 2 ln 3-2 5-2 · Đặt t = sin2 x Þ I = p Câu 24 I = ò sin x × sin2 x + dx p Câu 25 I = p ò sin x sin6 x + cos6 x · Đặt t = cos x I = dx Trang 15 Lop12.net 11 t e (1 - t )dt = e - ò 20 (p + 2) 16 (16) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân · I= p Trần Sĩ Tùng sin x ò - sin2 x Câu 26 I = p ( sin x + ö ò ç - t ÷dt = t ø 1è dx Đặt t = - sin 2 x Þ I = sin x ò 4æ cos x ) 1 = dx æ pö · Ta có: sin x + cos x = cos ç x - ÷ ; 6ø è ææ æ pö pö æ pö pö sin x = sin ç ç x - ÷ + ÷ = sin ç x - ÷ + cos ç x - ÷ 6ø 6ø 6ø 6ø è è èè æ p pö sin ç x - ÷ dx 6ø 3 dx è = ÞI= + ò ò 16 æ æ p ö 16 pö cos3 ç x - ÷ cos2 ç x - ÷ 6ø 6ø è è p Câu 27 I = p ò - ò - = - p sin x cos2 x sin x ò - cos2 x p p · I= sin x - cos2 x p cos2 x Câu 28 I = p p - cos2 x dx = ò - p dx + ò ò sin x + dx sin2 x cos2 x cos x dx = p sin x cos2 x sin x dx = ò - p sin x cos2 x sin x dx + p dx æ pö sin ç x + ÷ 1 ø dx è · I=ò dx = ò dx = ò 20 æ 20 æ pö pö sin x + cos x sin ç x + ÷ - cos2 ç x + ÷ 3ø 3ø è è p æ æ pö pö 1 Đặt t = cos ç x + ÷ Þ dt = - sin ç x + ÷ dx Þ I = ò dt = ln 3ø 3ø 1- t è è Câu 29 I = p ò - sin x + cos2 xdx Trang 16 Lop12.net sin x -0 cos x 7p - -1 12 p 16 p ò sin x dx (17) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng · I= Bài tập Tích phân p ò sin x - cos x dx = I = Câu 30 I = ò sin x - cos x dx + 0 p p p ò sin x - cos x dx = - p sin xdx ò (sin x + cos x )3 · Đặt x = Þ 2I = p - t Þ dx = -dt Þ I = p cos tdt cos xdx p p = - cot( x + ) = Þ I = p sin ( x + ) dx dx ò (sin x + cos x )2 = ò p p ò (sin t + cos t )3 = ò (sin x + cos x )3 p 12 Câu 31 I = p 7sin x - 5cos x ò (sin x + cos x )3 dx · Xét: I1 = Đặt x = p ò sin xdx ( sin x + cos x ) I2 = ò cos xdx ( sin x + cos x ) p - t Ta chứng minh I1 = I2 Tính I1 + I2 = p ò Þ I1 = I = Câu 32 I = ; p p dx ( sin x + cos x ) = p ò dx p cos2 ( x - ) = p p tan( x - ) = Þ I = 7I1 – 5I = 3sin x - cos x ò (sin x + cos x )3 dx · Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = Þ 2I = I + I = p 3sin x - cos x Câu 33 I = p 3cos t - 2sin t 3cos x - 2sin x ò (cos t + sin t )3 dt = ò (cos x + sin x )3 dx 0 p 3cos x - 2sin x p ò (sin x + cos x )3 dx + ò (cos x + sin x )3 dx = ò (sin x + cos x )2 dx = Þ p p 0 x sin x ò + cos2 x dx p · Đặt x = p - t Þ dx = -dt Þ I = ò (p - t )sin t + cos t p dt = p ò Trang 17 Lop12.net sin t + cos t dt - I I= (18) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân p Trần Sĩ Tùng p æp p ö p2 Þ 2I = p ò =p ç + ÷Þ I = dt = -p ò 2 è4 4ø + cos t + cos t Câu 34 I = p sin t d (cos t ) cos4 x sin x ò cos3 x + sin3 x dx 0 sin t cos t p · Đặt x = - t Þ dx = -dt Þ I = - ò dt = 3 p cos t + sin t p sin x cos x ò cos3 x + sin3 x dx Þ 2I = p ò cos x sin x + sin x cos x 3 sin x + cos x Þ I= dx = p ò 3 sin x cos x (sin x + cos x ) 3 sin x + cos x dx = p 12 sin xdx = 2ò p é ù x tan (cos ) ê ú dx ò cos2 (sin x ) ê ûú 0ë p · Đặt x = - t Þ dx = -dt Câu 35 I = p p 2é é ù ù 1 Þ I=òê - tan2 (sin t )ú dt = ò ê - tan2 (sin x )ú dx ê cos2 (cos t ) ûú ë cos (cos x ) ûú 0ë 0ê p p é ù 1 Do đó: 2I = ò ê + - tan2 (cos x ) - tan2 (sin x )ú dx = ò dt = p ê cos2 (sin x ) cos2 (cos x ) ûú 0ë p Þ I= Câu 36 I = p ò cos x - sin x - sin x dx · Đặt u = sin x + cos x Þ I = ò Câu 37 I = p ò sin x cos x + sin2 x · Đặt t = + sin2 x = I= p ò sin x cos x + sin2 x du - u2 Đặt u = 2sin t Þ I = p p cos tdt ò - 4sin2 t p = ò dt = p p 12 dx - cos2 x Ta có: cos2 x = - t và dt = .dx = p ò sin x.cos x cos2 x + sin2 x dx = Trang 18 Lop12.net 15 ò dt - t2 = sin x cos x + sin x 15 æ ò dx 1 ö ç ÷dt èt+2 t-2ø (19) www.VIETMATHS.com Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân 15 t+2 = ln t-2 2p p sin3 x + sin2 x x · I =ò p 2p dx = + sin x òp +4-2 3 sin x cos2 x + 4sin2 x ò Câu 40 I = ò æ pö tan ç x - ÷ ødx è cos2 x p ò 0 dx 2sin x cos x · I= 2p dx dx = òp3 =4 - æp ö xö 2æp + cos ç - x ÷ cos ç - ÷ è2 ø è 2ø udu 22 dx Đặt u = 3sin2 x + Þ I = ò = ò du = u 31 3sin2 x + 1 p p dx + sin x x p · I= dx ìu = x p ï ìdu = dx dx Þ í Þ I1 = dx Đặt í dv = îv = - cot x sin x ïî sin x + Tính I =ò ) 2p p 2p p I=ò ( dx + ò + Tính I1 = ò Câu 39 2p p 3+2 ö ( ÷ = ln 15 + ) - ln ( + ) - ÷ø sin x Vậy: I = 1æ 15 + ç ln - ln 4ç 15 è x + ( x + sin x )sin x Câu 38 I = ò 2p p = p æ pö tan ç x - ÷ è ødx = - tan x + dx Đặt t = tan x Þ dt = dx = (tan x + 1)dx ò (tan x + 1)2 cos x cos2 x Þ I =- Câu 41 I = ò p dt (t + 1) = 1- = t +1 cot x dx æ ö p p sin x.sin x + ç ÷ è 4ø ò p · I = 2ò p Þ I= cot x sin x (1 + cot x ) +1 ò +1 dx Đặt + cot x = t Þ t -1 dt = ( t - ln t ) t +1 +1 sin2 x dx = - dt æ ö = 2ç - ln ÷ è ø Trang 19 Lop12.net (20) www.VIETMATHS.com Bài tập Tích phân Câu 42 I = p Trần Sĩ Tùng dx ò sin2 x.cos4 x p p · Ta có: I = ò p dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x Þ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ò ( + + t )dt = (- + 2t + ) Þ I= ò t t2 1 t Câu 43 I = p = 3-4 sin x ò 5sin x.cos2 x + cos x dx p tan x ò 5tan x + 2(1 + tan2 x ) cos2 x dx Đặt t = tan x , · Ta có: I = 1 1æ ö dt = ò ç Þ I =ò ÷ dt = ln - ln 2 è t + 2t + ø 2t + 5t + t p sin xdx Câu 44 I = ò - p cos4 x (tan x - tan x + 5) · Đặt t = tan x Þ dx = ò Tính I1 = Câu 45 I = -1 t p ò p · I= dt - 2t + dt + t2 Đặt Þ I= t -1 t dt ò -1 t - 2t + = tan u Þ I1 = = + ln ò - du = p -3ò dt -1 t - 2t + p 3p Vậy I = + ln 8 sin2 x dx sin x p p 2 sin x sin x ò 3sin x - 4sin3 x dx = ò cos2 x - dx p p Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx Þ I = - ò p p Câu 46 I = ò sin x - cos x + sin x dt 4t - = dx Trang 20 Lop12.net ò dt t2 - = ln(2 - 3) (21)