Ađặt vấn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường phổ thông.trong các môn học đặc biệt là môn toán lớp 9 Trong các thể loại toán lớp 9 thì môn[r]
(1)phßng gi¸o dôc th¹ch thµnh trường t h c s an trao đổi kinh nghiÖm bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp (một phần kiến thức giải phương trình nghiệm nguyªn) N¨m häc 2008-2009 T¸c gi¶ trÞnh phó ®a §¬n vÞ :t h c s THANH AN huyÖn th¹ch thµnh tØnh hoa Lop8.net (2) môc lôc: a)Đặt vấn đề b)Đối tượng nghiên cứu c)Các bước tiến hành d)KÕt qu¶ e)KÕt luËn chung Lop8.net (3) A)đặt vấn đề Bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ quan trọng các nhà trường phổ thông.trong các môn học đặc biệt là môn toán lớp Trong các thể loại toán lớp thì môn đại số chiếm vai trò quan trọng việc có kỹ để giải bài tập đại số lớp là điều kiện cần còn có đủ tự tin,bình tĩnh để giải quết các thể loại bài tập nâng cao thì học sinh rÊt cÇn Một thể loại cần đó là yêu cầu giải phương trình có nghiệm nguyên;nguyên dương Sau đây tôi trình bày vài suy nghĩ nhỏ việc chọn và bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải phương trình nghiệm nguên ;nguyên dương mà các kỳ thi häc sinh hay gÆp nhÊt ®îc diÔn gi¶i ë nhiÒu h×nh thøc kh¸c §Ó góp häc sinh n¾m ®îc phÇn nµy nhanh ch¾c ®¬ng nhiªn lµ c¸c kü n¨ng biến đổi đồng phải thành thạo việc giải phương trình bậc ,bậc haivấcc phương trình đặc biệt phương trình giá trị tuyệt đối v v.v.các em phải thành thạo số kiến thức bổ trợ bất đẳng thức cô si cùng các hệ các em phải năm vững.đồng thời kỹ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất(đặc biệt là dấu = xảy nào)các em phải thông tường BiÕt chän nghiÖm thÝch hîp vµ lo¹i nghiÖm kh«ng thÝch hîp b)đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp trường phổ thông sở Thành An Đội tuyển toán lớp trường Thành An năm học 2007-2008 c)các bước tiến hành 1)Vai trß cña thµy: Không thày đố mày làm nên đã khẳng vai trò hướng đạo thày.Xuất phát từ ý nghÜa thùc tÕ nµy t«i thÊy sù nghiªn cøu chuÈn bÞ kü cña thµy kh«ng thÓ thiÕu vµ nã quyÕt định quá nửa kết rèn luyện thày và trò Thày phải nắm vững các thể loại thường gặp phân loại mức độ từ dễ đến khã(®iÒu nµy cßn ®îc kÕt hîp víi kinh nghiÖm khai th¸c s¸ng t¹o mét bµi to¸n) 2)Vai trß cña trß: Phải nắm vững kỹ biến đổi đồng nhất.một số kỹ phân tích tổng hợp là kỹ xét dấu tam thức bậc hai dấu tích thương từ dạng phải biết lấy các bài tập cùng dạng mức từ dễ đến khó chịu khó luyÖn tËp Có kỹ nhận dạng sử lý các tình ,biết khái quát vấn đề vừa sứcvvv 3)Nội dung phân loại số dạng toán thường gÆp (những bài nghiệm nguyên thường đa dạng phong phú đây đầu đề tài tôi đề cập đến số dạng hay gặp nhất) *)D¹ng mét: Lop8.net (4) Xuất phát từ tìm x z để biểu thức A( x) z (trong đóbậc A(x) bacB(x) ) B( x) A( x) k C ( x) (trong đó k là số) B( x) B (x) từ đó lập luận (x) Z để phân thức nói trên muốn thuộc Z thì B(x) phải là ước k sau biến đổi từ đó liệt kê các ước k xét trường hợp chọn nghiệm thích hợp trả lời vÝ dô: x 8x cã gi¸ trÞ nguyªn 2x Sau rót gän =2x+5+ lóc nµy chØ cÇn liÖt kª c¸c íc cña 2x Tìm x z đểbiểu thức ¦ cña gåm: -1; 1; -3;3 Có các phương trình sau: 2x-1=-1 x =0 tho¶ m·n hoÆc 2x-1 =1 x=1 tho¶ m·n 2x-1 =-3 x=-1 tho¶ m·n 2x-1 =3 x =2 tho¶ m·n Rõ ràng với câu hỏi tìm x nguyên để biểu thức nguyên thì chọn tất Cßn chØ yªu cÇu t×m x z(+) th× ph¶i biÕt lo¹i nh÷ng gi¸ trÞ tõ trë xuèng Học sinh tự nhận xét và các bài tập tương tự: (Phải bậc tử lớn cùng thì bậc mẫu.đặc biệt bậc mÉu chØ cã thÓ lµ mét.Mét c¸ch nhanh h¬n ta cø lÊy hai biÓu thøc bÊt kú víi hÖ sè nguyªn đó là nhị thức ,rồi nhân với ta cộng thêm vào kết số tuỳ ý viết kết sau cộng làm tử còn nhị thức bậc làm mẫu ta đề bài có lời giải đúng) *)D¹ng hai: C¬ së lý thuyÕt cña d¹ng nµy lµ: Mét sè nguyªn bÊt kú lu«n lµ tÝch cña hai sè nguyªn kh¸c Vậy từ phương trình:A(x;y)=0 ta lµm xuÊt hiÖn A 1( x ) A 2( y ) = k víi k lµ h»ng sè thuéc Z Mét c¸ch tæng qu¸t :a x + by + cxy + d = (1) b ab (a + cy) +d=0 c c b ab _ cd ( a + cy)(x + ) = c c (a + cy)(cx + b) = ab – cd = k x(a + cy) + Đến đây ta liệt kê các ước k và lập các hệ phương trình tương ứng nghĩa là thõa sè nµy nhËn íc thø nhÊt th× thõa sè thø hai sÏ nhËn íc cßn l¹ivvvv gi¶i c¸c hÖ cã thÓ sÏ cã nghiÖm phï hîp còng cã thÓ cã nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng phï hîp ta ph¶i lo¹i bá Mét vÝ dô cô thÓ: Tìm cặp (x;y) thoả mãn phương trình sau: 2x + 3y + 4xy + = Ta cø nhãm h¹ng tö cã hai biÕn víi mét hai h¹ng tö cã cßn l¹i vÝ dô nhãm h¹ng tö thø nhÊt víi h¹ng tö thø ba Lop8.net (5) 3 ( + 4y) - + = đặt nhân tử chung ta có phương trình tích sau nh©n hai vÕ víi ( + 4y )( x + ) = ( + 2y )( 4x + 3) = - U (7 ) = 1;1;7;7 x( + 4y) + y 1 1 y 1 x 4 x Ta cã c¸c t×nh huèng sau: y 1 y 5 x 4 x 7 Hướng dẫn nhận xét sau: cặp thứ có x=1 z và y=-1 thuộcz nên cặp này thoả mãn ë cÆp thø hai cã y kh«ng thuéc z nªn cÆp nµy lo¹i Ta đến kết luận có cặp( x;y) =(1;-1) thoả mãn phương trình trên chú ý:cần phải cho các em làm quen với phương trình vô nghiệm đủ niềm tin lĩnh để kết luận vấn đề +)Yêu cầu học sinh tự đặt các bài toán tiến hành giải Sau đó ta phát triển dạng toán mức độ khó chia hai vế phương trình (1)cho xy ta phương trình có dạng : a d b + +c+ =0 y xy x hình thức này học sinh hay gặp đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi năm gần đây hương dẫn cho học sinh cần thực việc quy đồng mẫu số và khử mẫu hai vế ta lại gặp phương trình quen thuộc #)D¹ng ba: Cơ sở lý thuyết dạng toán này là xuất phát từ điều kiện tồn nghiệm phương trình lasochinhphuong bËc hai: Cã d¹ng tæng qu¸t nh sau: a x + bx + cxy + dx + ey + f = l¸ochinhphuong để phưng trình có nghiệm nguyên điều kiện cần: giải dạng toán này sau:ta coi là phương trình bậc hai biến x thì y coi là tham số phương trình biến x có chứa y.Để là số chính phương thì biểu thức tính là tam thức bậc hai theo y phải số chính phương m ,lúc này lại xuất phương trình bậc hai theo y lặp lại cách suy luận trên nghĩa là để có y z thì phương trình biến y lại phải vừa lớn vừa là số chính phươngvvvvvv lúc xuất tích hai biểu thức số từ đó giải hệ phương tr×nh t×m nghiÖm hoÆc xuÊt hiÖn sù v« lý ta cã quyÒn kÕt luËn nghiÖm VÝ dô: 2x + 3y _ 5xy + 3x _ 2y _ = Lop8.net (6) ta xem đây là phương trình bậc hai biến x thì phương trình viết lại sau: 2x + ( - 5y )x + 3y - 2y - = để có x nguyên thì điều kiện cần ( - 5y) - 4.2( 3y - 2y - ) y - 14y + 33 vì ta coi là chính phương nên y -14y+33=k víi k nguyªn kh«ng ©m lúc này ta có phương trình bậc hai theo y: y - 14y + 33 - k = để phương trình có y nguyên thì , = - 1.( 33 - k )phải là số chính phương 49 - 33 + k = 16 + k = n v× vÕ ph¶i lµ tæng cña hai sè kh«ng ©m nªn cã n k n k Do đó 16 = ( n - k )( k + n ) và dễ thấy n - k và n-k ; n+k có cùng tính chẵn lẻ v× tæng cña chóng = 2n Nh vËy râ rµng 16 ®îc ph©n tÝch thµnh hai thõa sè: 8.2 hoÆc4.4 n k n k n k n k NÕu 16=2.8 ta cã NÕu 16=4.4 ta cã 2 n 8 k 4 n 4 k (*) (**) Thay (*) vào phương trình : y - 14y + 33 = y - 14y + 24 = có , =25 nªn y =12;y =2 Lần lượt thay giá trị y tiếp vào phương trình đầu tìm cặp x tương ứng VËy ta cã c¸c cÆp ( x = 15 ; y = 12 ) ; ( x = ; y = ) Thay (**)vào phương trình: y -14y + 33 = có , = 16 nên y =11 ; y = thay y vào phương trình đầu tìm x tương ứng VËy ta cã c¸c cÆp ( x = 13 ; y = 11 ) ; ( x = ; y = ) VÝ dô 2: Tìm cặp x;y z thoả mãn phương trình sau 6x + 2y - 6xy - 8x - 3y + 168 = ta coi đây là phương trình bậc hai với biến x nên viết 6x - (3y+4)2x + 2y -3y + 168 = điều kiện cần để có x z là: , = (3y+4) - ( 2y - 3y + 168 ) =9y +24y+16-12y +18y-1008 =-3y +42y-992 Để , là số chính phương thì -3y +42y-992=m -3y +42y-992-m =0 Lúc này ta lại có phương trình bậc hai vói biến y.Để phương trình này có y z th× / =21 -3(992+m ) là chính phương 441-2976-3m =k -2535=3m +k v« lý Vậy không tồn cặp x; y thoả mãn phương trình trên Phần bài tâp: tự và luyện giải dẫn dắt thày #)Một số dạng bài có tính chất đặc biệt (cơ sở lý thuyết dựa trên phương trình giá trị tuyệt đối;tìm giá trị nhỏ lớn nhất) Lop8.net (7) @)VÝ dô: t×m thuéc z tho¶ m·n: x + x =1 (*) Với dạng toán này ngoài cách xét khoảng thông thường mà các em đã biết cần trang bị cho c¸c em c¸ch lµm míi sau cÇn nh¾c l¹i T C cña đó là a + b a b dấu = xảy ab ¸p dông: tõ (*) ta thÊy x 1 + x = x 1 + x x 1 x = dÊu= x¶y (x - 1)(2 - x) lËp b¶ng xÐt dÊu t×m ®îc x x x-1 2-x + (x-1)(2-x) vËy x mµ x z nªn x chØ cã thÓ b»ng hoÆc #)Bài toán phát triển mức độ khó hơn: t×m x z tho¶ m·n x 2003 + x 2004 =1 mấu chốt vấn đề là số nhỏ và luỹ thừa vËy nªn nÕu < x < x 2003 < x v× x-1<1 + + + 0 + - vµ x 2004 < x v× x-2<1 ta céng vÕ tr¸i víi vÕ tr¸i vÕ ph¶i víi vÕ ph¶i ®îc x 2003 + x 2004 < x + x =1v« lý nÕu x<1 th× x 2003 > cßn x >1 x 2004 >1 nÕu céng tõng vÕ l¹i thÊy ®iÒu v« lý xuÊt hiÖn nÕu x>2 th× x 2004 >0 cßn x >1 x 2003 >1 nÕu céng tõng vÕ l¹i thÊy ®iÒu v« lý xuÊt hiÖn Từ đó rút kết luận :x =1; thoả mãn #)Hướng dẫn học sinh đề tương tự để giải vÝ dô t×m x thuéc z tho¶ m·n: x + x = v v v v(những trường hợp hai hạng tử cách hai đơn vị thì kh«ng thÓ kh¸i qu¸t ®a sè mò vµo ®îc) D)KÕT QU¶: +Qua nhiều năm tham gia công việc tập huấn và phụ đạo học sinh giỏi trường huyÖn t«i thÊy: +100% số em nắm dạng toán , biết vận dụng tương đối thành thạo 80% sè em cã t nhanh cßn cã kh¶ n¨ng ph©n biÖt vµ ph¸t triÓn d¹ng to¸n thµnh nh÷ng bµi to¸n hay h¬n +Những kỳ thi đề có dạng toán này dù núp hình thức nào 100% các em dµnh ®îc ®iÓm tèi ®a E)kÕt luËn chung : +Qua nghiên cứu số tài liệu ôn thi,một số đề thi chọn học sinh giỏi , thi chọn vào các trường khiếu +Qua nghiên cứu các mảng kiến thức các chuyên đề B D H S G Lop8.net (8) +Tôi thấy : phạm vi kiến thức tìm giá trị nguyên biến để B T có giá trị nguyên là mảng kiến thức hay vừa tầm nhận thức học sinh kiểm tra đánh giá ®îc n¨ng lùc t cña häc sinh mét c¸ch chÝnh x¸c +Là phạm vi kiến thức đáng quan tâm vì từ bài toán có thể đề cập tới nhiều lĩnh vực kiến thức kỹ khác +Tôi nêu lên suy nghĩ nhỏ mình mong các bạn đồng nghiệp tham khảo vận dông vµo c«ng viÖc B D H S G cña m×nh ®îc tèt h¬n mong ®îc gãp ý ch©n t×nh xin c¶m ¬n Thanh An ngµy15/2/2009 Trinh Phó §a Lop8.net (9)