Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ... HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG.[r]
(1)ĐẠO HÀM VÀ
ỨNG DỤNG
(2)CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Hệ số góc đường cong đạo hàm
2.2 Ứng dụng đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân 2.3 Tối ưu hàm biến, điểm cực trị
2.4 Ứng dụng kinh tế
(3)HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình tổng quát: Dạng đặc biệt:
Với a, b là???
Ax By C y ax b
2
2
tan
y y y a
x x x
(4)NHẬN XÉT
• Ý nghĩa hệ số góc: x thay đổi đơn vị y thay đổi a đơn vị
• Đường thẳng D nếu:
• a>0
• a<0
• a=0
(5)HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG
Tiếp tuyến cát tuyến đường tròn
(6)HỆ SỐ GĨC ĐƯỜNG CONG
Hệ số góc cát tuyến
2
2
f a h f a
y y
k
x x a h a
f a h f a
k
h
(7)VÍ DỤ 1
Cho hàm số y=x2
a) Tìm hệ số góc cát tuyến với a=1 h=2 Vẽ đồ thị f(x) hai cát tuyến
b) Tìm biểu diễn hệ số góc cát tuyến với a=1 h khác
(8)HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG
(9)HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG
Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc đồ thị hàm số điểm (a, f(a)) xác định bởi:
(nếu giới hạn tồn tại)
Khi đó, đường tiếp tuyến đồ thị hàm số chỉnh là
đường thẳng qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi cơng thức trên.
0
lim
h
f a h f a h
(10)ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm hàm số
tại x định nghĩa sau:
(nếu giới hạn tồn hữu hạn).
Nếu hàm số có đạo hàm điểm thuộc (a,b) thì ta nói hàm số khả vi (a,b)
Nếu giới hạn khơng tồn hàm số khơng có đạo hàm hay khơng khả vi.
( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
®
(11)VÍ DỤ 2
Tìm đạo hàm hàm: tại x=2 theo định nghĩa.
Ta xét giới hạn sau:
Vậy:
( )
8 9
f x = x - x +
( )2 ( )
0
2 8 2 9 3 4
lim lim 4
h h
h h h h
h h
® ®
+ - + + +
-= =
-( )
' 2 4
f =
-( ) ( )
0
2 2
lim
h
f h f
h
®
(12)-VÍ DỤ 3.
Tổng doanh thu công ty (đơn vị triệu $) t tháng cho công thức sau:
a) Cho biết ý nghĩa S(25) S’(25)
b) Sử dụng kết câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng
2
(13)VÍ DỤ 4.
Một hãng sản xuất vải với chiều rộng vải cố định Chi phí sản xuất x (mét) vải là:
A) Cho biết ý nghĩa đơn vị f’(x)
B) Trong thực tế, nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?
$
(14)VÍ DỤ 5.
Gọi D(t) nợ quốc gia Mỹ thời điểm t Bảng cho ta số xấp xỉ giá trị hàm vào cuối năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000 Giải thích ước lượng giá trị D’(1990)
T 1980 1985 1990 1995 2000
(15)ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI
Đạo hàm trái f(x) a là:
Đạo hàm phải f(x) a là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
- -® ® - + -= = -( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
(16)-ĐỊNH LÝ
Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm điểm a chỉ
khi có đạo hàm trái; đạo hàm phải a hai đạo hàm nhau.
Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm a hàm số
liên tục a Chiều ngược lại khơng đúng.
( ) ( ) ( )
' ' '
f a = L Û f a - = f a + = L
( ) ( ) ( )
' lim
x a
f a L f x f a
®
(17)VÍ DỤ 6
Cho hàm số:
Tìm Ta có:
Vậy khơng tồn đạo hàm hàm số
( )
1/
, 0
0 , 0
x e x f x x ỡù ạ ùù = ớ ù = ùùợ ( ) ( )
' 0 ; ' 0
f - f +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 0 0
0 0
' lim lim lim
0 0
' lim lim
h u h u h h h h
f h f e u
f
h h e
f h f e
(18)HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Với a cố định ta có:
Thay a x ta có:
Với giá trị khác x ta tính f’(x) giới hạn tồn hữu hạn Như giá trị f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên xem f’ là hàm theo x và gọi là đạo hàm hàm f.
( ) 0 ( ) ( )
' lim
h
f a h f a
f a
h
®
+
-=
( ) 0 ( ) ( )
' lim
h
f x h f x
f x
h
®
+
(19)HÀM SỐ ĐẠO HÀM
Hàm số đạo hàm hàm y=f(x). Ký hiệu:
Tập xác định hàm f’ tập giá trị x cho f’(x) tồn Nó nhỏ TXĐ hàm số f(x).
( ) '; '; df ; dy ; d
f y f x
(20)VÍ DỤ 7
Tìm hàm số đạo hàm hàm y=x2.
Ta có:
Giới hạn tồn hữu hạn với x thuộc TXĐ Vậy đạo hàm hàm số:
( ) ( ) ( )2
0
lim lim
h h
f x h f x x h x
x
h h
® ®
+ - +
-= =
' 2