Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là parabol có phương trình cho ở * Kết luận : - Như vậy một bài toán hình học được phát biểu dưới dạng hình học thông thường nhưng nếu[r]
(1)Giải toán hình học mặt phẳng phương pháp tọa độ Ý tưởng: - Với bài toán cho mặt phẳng tọa độ Oxy định hướng giải bài toán khá rõ ràng: Học sinh sử dụng các kiến thức tọa độ để giải bài toán Tuy nhiên bài toán hình học cho dạng truyền thống mà học sinh đã quá quen thuộc, tiếp cận từ THCS thì ta có thể định hướng cho học sinh giải các bài toán đó phương pháp tọa độ, phương pháp nghiên cứu hình học mà học sinh đã học chương trình hình học 10 Cách tiếp cận và giải bài toán hình học, bài toán đại số phương pháp tọa độ làm cho học sinh có khả tìm tòi, sáng tạo và là khả tư Toán tốt Là động lực quan trọng giúp cho công tác tạo nguồn học sinh giỏi và giúp cho học sinh tự tin tham gia kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng cuối cấp - Làm nào để chuyển bài toán hình học phát biểu dạng truyền thống, không có các đại lượng tọa độ, phương trình đường bài toán phát biểu mặt phẳng tọa độ có đại lượng tọa độ, phương trình đường mà học sinh đã quen thuộc chương trình Hình học 10? Cách làm đó ta tạm gọi là “Phương pháp tọa độ hóa” có ưu gì ? cách làm đó nhằm mục tiêu gì giải toán hình học (đại số) ? Để làm rõ vấn đề này chúng ta xét số bài toán cụ thể sau: Bài toán : Cho tam giác ABC cân A H là trung điểm BC, D là hình chiếu H trên AB, I là trung điểm HD Chứng minh AI CD Lời giải: (hình vẽ chính sai kí hiệu điểm B và C, phải sửa lại hình đây) y A D I H O C Lop12.net B x (2) Ta chọn hệ tọa độ Hxy cho hai điểm B, C trên Hx và A trên Hy để tiện cho việc tính toán ta đặt HB = HC = và AH = b Khi đó A(0 ; b), B(1;0) và C(-1;0) x y đường thẳng AB có phương trình: bx y b HD AB và b qua gốc tọa độ H nên HD: x by b2 x bx y b b2 b b D ; Tọa độ D là nghiệm hệ : 2 x by 1 b b y b b2 nên ; b2 b2 Suy điểm I trung điểm HD có tọa độ I b2 b b2 2b3 b 2b b ; CD AI I ; và đó ta có: ; 2 1 b 1 b b b AI.CD b2 b2 2b2 b b 2b3 AI CD đpcm Nhận xét: - Trong bài toán trên, việc đặt tam giác ABC vào vị trí nào mặt phẳng tọa độ Oxy là hợp lý Công việc này thường gọi là “chọn hệ trục tọa độ” Đối với các bài toán mà giả thiết có tam giác cân, hay tam giác thì ta thường chọn hệ tọa độ cho có thể biểu diễn tọa độ các điểm, phương trình các đường thẳng cho bài cách dễ dàng và đơn giản Thông thường ta chọn gốc hệ tọa độ là trung điểm cạnh đáy tam giác cân, tam giác Nếu tam giác cho bài là tam giác vuông thì ta chọn đỉnh góc vuông là gốc tọa độ, hai cạnh góc vuông nằm trên hai trục hoành Ox, trục tung Oy - Với bài toán đòi hỏi chứng minh hệ thức, bất đẳng thức hình học, thông thường ta lấy độ dài đoạn thẳng cạnh tam giác đơn vị Việc làm này nhằm đơn giản tính toán chứng minh mà không làm tính tổng quát bài toán Thực chất, bài toán trên, ta đã chọn vec tơ đơn vị trục hoành Ox là véc tơ HB OB Cách làm này ta định hướng cho học sinh thực bài toán đòi hỏi chứng minh tính chất hình học chứng minh vuông góc, Lop12.net (3) chứng minh song song, chí chứng minh hệ thức, bất đẳng thức hình học Nhưng với bài toán định lượng đòi hỏi tính toán các đại lượng hình học độ dài, góc, diện tích thì định hướng cho học sinh không nên Ta xét tiếp bài toán tương tự Bài toán Cho tam giác ABC cân A Xét D trên cạnh AB và điểm E trên BC cho BC hình chiếu DE trên BC có độ dài Chứng minh đường thẳng vuông góc với DE E luôn qua điểm cố định Lời giải y A D B H O E C x Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ tọa độ cho A(0;a),B(b;0),C(b;0) Khi đó các đường thẳng AB, AC có phương trình x y x y (AB) : (AC) : 1 b a b a BC Gọi H là hình chiếu D trên BC Do EH nên E OC ,H OB Vậy điểm có tọa độ E (x0; 0).Gọi là đường thẳng qua E ax vuông góc với DE Suy nhận DE (b; ) làm vectơ pháp tuyến, vì b 2 :b x ax y b x Lop12.net (4) b2 Suy luôn qua điểm 0; cố định a Nhận xét: - Như tam giác ABC cân A cạnh đáy BC thì ta có thể chọn hệ tọa độ gốc là H trung điểm BC, trục Hy trùng đường cao AH, trục Hx trùng với BC - Có thể chọn OB = OC = thì các các phương trình cạnh AB, AC đơn giản - Bài toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chương trình hình học THPT là bài toán khó Bài toán này đơn giản nó tọa độ hóa Học sinh cần chuẩn bị kỹ chứng minh họ đường thẳng (họ đường cong) qua điểm cố định Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E, F trên cạnh AB, BC, DA EB FC CA cho : Chứng minh : AE FD và AE FD DB EC FA Lời giải : (Hình vẽ bài này sai ký hiệu điểm, phải sửa lại hình đây) y Ta chọn hệ tọa độ Axy cho, AB và AC trên Ax, Ay Không giảm tổng quát ta chọn : AB AC thì A(0;0), B(1;0) và C(0;1) DA EB FC Đặt m, m DB EC FA C theo tính chất tỉ lệ thức ta suy : DA m FA EB m E , , DA DB m FA FC m EB EC m m m F , FA , EH , EK Vậy: DA m 1 m 1 m 1 m 1 m m ;0 , F 0; , E ; Nên : D A D B m 1 m 1 m 1 m 1 m m Suy : AE.FD 0 m 1 m 1 m 1 m 1 2 m 2 AE FD m 1 m 1 Chứng tỏ : AE FD va AE FD (điều phải chứng minh) Lop12.net x (5) Nhận xét : Như bài toán cho tam giác vuông thì việc tọa độ hóa bài toán khá thuận lợi: Tọa độ các điểm, phương trình các cạnh xác định khá dễ dàng Công việc chứng minh các quan hệ hình học vuông góc, song song, đoạn thẳng nhau, góc còn lại là công việc tính toán Việc tọa độ hóa các bài toán hình học mà tam giác đã cho giả thiết không phải tam giác vuông , tam giác cân, tam giác thì định hướng cho học sinh nào ? Bài toán Cho tam giác ABC với đường cao AD, là đường thẳng qua D Lấy E,F , khác D cho AE BE,AF CF Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF Chứng minh AN MN Lời giải Chọn A làm gốc tọa độ, trục hoành chứa đường thẳng qua A song song với y A C x M N δ E D F B ef ;a Giả sử D(d;a),E(e;a),F(f ;a) N Khi đó, đường thẳng AE có phương trình ax ey , đường thẳng AD có phương trình ax dy , đường thẳng AF có phương trình ax fy Từ đó, BE EA nên BE có phương trình ex ay e a CF AF nên CF có phương trình fx ay f a 0, BC AD nên BC có phương trình dx ay d a Lop12.net (6) de df ef d(e f ) ;a từ đó, tìm B d e;a ,C d f ;a M d a a 2a d(e f ) ef d(e f ) MN (d; ) MN.AN d a (đpcm) 2a 2a Nhận xét: - Qua bài toán ta nhận thấy việc tam giác đã cho đề bài không phải tam giác vuông hay cân có thể tọa độ hóa bài toán Về nguyên tắc, có thể chọn hệ trục tọa độ có gốc, trục vị trí hợp lý để ta có thể tọa độ hóa các điểm, đường thẳng cách thuận lợi - Các bạn có thể chọn hệ trục lấy D làm gốc AD là trục tung và BC làm trục hoành việc tính toán xẽ vất vả đấy, hãy thử xem - Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADBE và đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADFC có thể sử dụng để chứng minh bài toán phương pháp tổng hợp Bài toán Trong mặt phẳng cho trước hai điểm A, B Xét điểm C thay đổi trên nửa mặt phẳng bờ AB Dựng ngoài tam giác ABC các hình vuông ACED và BCFG Chứng minh đường thẳng DG luôn qua điểm cố định C thay đổi Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Axy cho A(0;0), B(b;0); C ( x0 ; y0 ) với y0 y F E G H C D x A O B Khi đó D( y0 ; x0 ), G (b y0 ; b x0 ) Vậy DG (b y0 ; b x0 ) và đó đường x y0 y x0 hay b 2y b 2x (b 2x)x (b 2y)y b(x y) (*) Phương trình (*) không phụ thuộc vào x0, y0 : thẳng DG có phương trình: Lop12.net (7) b b 2x x b 2y x y y b b b Từ đó đường thẳng DG luôn qua điểm H( ; ) trung điểm DG cố định 2 Bài toán : Cho điểm A nằm trên đường tròn (O') và gọi () Là tiếp tuyến A đường tròn (O) Xét điểm M nằm mặt phẳng có tính chất khoảng cách từ M tới () độ dài tiếp tuyến MT kẻ tới đường tròn (T (O)) Tìm quỹ tích M Chứng minh đường tròn tâm M, bán kính MT luôn tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải y M H (l) T x R A O I O' Chọn hệ tọa độ Axy cho A(0;0),O'(R;0) ( và đó đường thẳng có phương trình x ) Khi đó, với điểm M(x; y) hệ trục tọa độ, ta có MH d(M;Ay) x và MT MO OT (x R) y R Vậy MH MT x (x R) y R y 2Rx Suy M chạy trên parabol P: y 2Rx Lop12.net (8) y2 y2 Ngược lại, với điểm M( ; y) P thì d(M;Ay) và 2R 2R y2 y2 2 2 2 MT MO R ( R) y R Do đó MT d(M;Ay) 2R 2R Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là đường parabol P , có đỉnh A, tiêu điểm là trung điểm I AO R Gọi l là đường chuẩn P, đó l có phương trình x R R Từ giả thiết, suy ra, với M(x ; y0 ) , thì MI d(M;l) x MT 2 Vậy, đường tròn tâm M, bán kính MT luôn tiếp xúc với đường tròn đường kính AO cố định Bài toán Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự, gọi là đường thẳng vuông góc với AC B Với điểm S thuộc , Gọi D là giao điểm thẳng qua B vuông góc với SC với đường thẳng SA Tìm tập hợp điểm D Lời giải y a ( x )2 2 y 1 ac a 2 S x A BO C D Chọn hệ tọa độ Oxy cho B O, A(a;0),C(c;0)(a,c 0),S(0,s), s x y x y Khi đó phương trình thẳng SA : , SC: a s c s Do BD vuông góc với SC và qua gốc tọa độ nên BD có phương trình Lop12.net (9) x y 0 s c Từ đó, tọa độ D là nghiệm hệ a x y x a s x y2 y2 2 Khử s từ hệ, ta thu x Hay 1(*) ac a x y a c 0 s c Vậy S chạy trên khắp trục tung thì D chạy trên đường hyperbol (*) Bài toán Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B Tìm quỹ tích tất điểm M cho MBA 900 MAB Lời giải y M x A O B , MBA (00 , 900 ) Đặt MAB Khi đó, Vì tồn điểm M nên 1800 Nếu 00 thì 900 và M A Nếu 00 thì 900 và M B Vậy cần xét , 00 ,900 Không tính tổng quát có thể coi AB Lop12.net (10) Chọn hệ tọa độ Oxy cho A(1;0), B(1;0) Do đó 900 nên 900 900 Điều này tương đương với tan cot hay tích hai hệ số góc các đường thẳng MA, MB y k ( x 1) Vậy, tọa độ M là nghiệm hệ ky ( x 1) Khử k từ hệ, thu x y Vậy quỹ tích M là hyperbol vuông có hai đỉnh thực là hai điểm A, B đã cho Bài toán Trong mặt phẳng cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn A thay đổi Tìm quỹ tích điểm A cho tâm đường tròn Ơle tam giác ABC nằm trên BC Lời giải y x2 - y2 = O' A K B I≡ O J E x C H Gọi I, J, K theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CA, AB và O’, H, E là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, tâm đường tròn Ơle tam giác ABC Khi đó E là tâm đường tròn (IJK ) và là trung điểm O’H Không tính tổng quát có thể coi BC Chọn hệ tọa độ Ixy, cho x y0 x y0 ; ), K ( ; ) B(1;0), C (1;0); A( x0 ; y0 ) , với y0 Khi đó I (0;0), J ( 2 2 Vì E là tâm đường tròn (IJK ) , Nên E nằm trên trung trục đoạn JK và x E BC , suy E ( ;0) Vì E là tâm đường tròn (IJK ) nên EI EJ EK Lop12.net 10 (11) x02 y02 Từ đó ta x2 y 4 Ngược lại, với A điểm A( x0 ; y0 ) : x y 1, bỏ hai điểm B, C thì có x điểm E ( ;0) BC cách I, J, K, đó tâm đường tròn Ơle tam giác ABC nằm trên BC Vậy quỹ tích điểm A tam giác là đường hyperbol H: x y , bỏ hai đỉnh B,C Bài toán 10 Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm phân biệt M, N Tiếp tuyến chung (gần M hơn) tiếp xúc với (Oi ) Ai Đường thẳng qua M song song với A1 A2 , cắt đường tròn (Oi ) điểm Bi Các đường thẳng Ai Bi cắt các đường thẳng Ai N cắt B1 B2 D, E Chứng minh CD CE Lời giải Chọn hệ trục tọa độ A1 xy cho A1 (0;0), A2 (a;0); O1 (0; r1 ), O2 (0; r2 ) Giả sử hệ trục tọa độ M ( s; t ) , đó B1 ( s; t ), B2 (2a s; t ) từ đó B1 B2 2a A1 A2 , để ý B1 B2 A1 A2 , suy A1 , A2 theo thứ tự là trung điểm B1C , B2 C , đó C ( s; t ) Vậy CM (0; 2t ) , B1 B2 (2a;0) suy B1 B2 CM hay CM DE (1) Gọi K là giao điểm MN với A1 A2 Ta có PK /(O1 ) KA1 KM KN PK /(O 2) KA2 Suy K là trung điểm A1 A2 Từ đó, B1 B2 A1 A2 nên M là trung điểm DE (2) Từ (1) và (2) suy CM là trung trực DE.( ĐPCM) Bài toán 11 Trong mặt phẳng cho trước đường thẳng và điểm A Xét B, C cho BC b cho trước Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải (Bài này lời giải có vấn đề, xin sửa lại sau) Gọi O là hình chiếu A lên và đặt a d ( A; ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho A(0; a ), O(0;0) (tức trục hoành chứa , trục tung chứa OA) Giả sử hệ trục này B( x0 ;0) BC = b nên C(x0 + b; 0) Gọi I (x ; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và gọi H là hình chiếu I trên BC thì Lop12.net 11 (12) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I thuộc đường trung trực BC y A a I B xo C O H b + x0 Suy H là trung điểm BC đó HB HC Khi đó x b b x0 (hoặc x x0 ) 2 x b 2 IA2 b b2 = x0 y a x02 bx0 y 2ay a 2 b b2 = x0 x0 y y2 b2 b2 y 2ay a = y2 Do IA IB nên ta có x02 bx0 4 IB2 x02 b a b2 a hay y x0 suy I thuộc parabol (P) : y x x (*) 2a 2a 2a 2a Vậy đoạn BC trượt trên đường thẳng (trục Ox) thì tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên parabol P có phương trình (*) Ngược lại, với điểm I P , dễ dàng kiểm tra d ( I ;Ox) IA , đó đường tròn tâm I, bán kính IA cắt Ox hai điểm B, C Dễ dàng kiểm tra BC b Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là parabol có phương trình cho (*) Kết luận : - Như bài toán hình học phát biểu dạng hình học thông thường ta có ý thức giải nó phương pháp tọa độ ta hoàn toàn có thể “tọa độ hóa” bài toán để công cụ tọa độ mà học sinh đã tiếp cận chương trình Hình học 10 có thể giải bài toán có thể dễ dàng Lop12.net 12 (13) - Mọi cố gắng đền đáp, chúng tôi tin tưởng nỗ lực cố gắng, say mê tìm hiểu và nghiên cứu bạn độc giả tìm cho mình đường ngắn để đến đích làm toán sống hàng ngày Lop12.net 13 (14)