Ôn tập Phương trình lượng giác

Nếu fu,v là một đa thức của u và v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thi fu,v gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v.. Điều lưu ý này giúp ta khi nhận biết phương trình đẳng cấp tốt h[r]

Phương trình lượng giác A Phương trình lượng giác gần bản: C©u 1: Giải phương trình:  2 a) sin3x = c) sin( x )  b) sin(2 x  )  Kq:  2   x  12  k a)  víi k  Z  x    k 2  7  k (k  Z ) b) x  20 c) x = k (k  Z) C©u 2: Giải phương trình:   a) cos(3x  )  cos( x  ) b) cos x  cos   c) cos x  sin(2 x  ) Kq: 5   x  12  k  a)  ( k,l  Z) b) x    k 10  x     l  24  (k  Z ) 5   x  12  k c)  x     k  24  (k  Z ) C©u 3: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos  ( x  x  )  sin(x )  Gi¶i: Ta cã: sin(x )  cos(   x ) nên phương trình đã cho trở thành:  cos  ( x  x  )  cos(  x ) 2 hoÆc x = k (2) (víi k  Z)   2x + 2x – – 2k =0 (1) Do k  Z nên nghiệm dương nhỏ có từ (2) là x = 1 Lop12.net   4k    x  0 2 XÐt (1) : ' x  4k  nªn (1) cã nghiÖm 4k    k   , k  Z nªn k  Khi đó: nghiệm dương (1) là 1 <1 Khi k = ta cã x  Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình đã cho là: x  1 C©u 4: Giải phương trình : cos( sin x)  cos(3 sin x) kq:   x  k   x     k  (k  Z ) C©u 5: B Phương trình Asinx + Bcosx = C C©u 1: Cho phương trình: sinx + mcosx = a) Giải phương trình với m = - b) Tìm m để pt vô nghiệm Kq:    x   k 2 a)   x   5  k 2  (k  Z ) b) mäi m C©u2: T×m x cho: y  sin x lµ sè nguyªn  cos x Gi¶i: Ta tìm miền giá trị y, tức là tìm y để pt  sin x  y có nghiệm ẩn  cos x x Do + cosx  với x nên pt tương đương với : sinx - y.cosx = 2y – Điều kiện để pt có nghiệm là: + y2  (2y - 1)2  3y2 -4y    y  Lop12.net   x    k 2  y  sin x  1 Do đó y là số nguyên       y  sin x  cos x  cos( x  )     x   k 2    x     3  k 2  4    x    k 2     x   k 2   x    k 2     x   k 2     x    k 2 (k  Z ) C©u 3: Cho hµm sè f(x) = acosx + bsinx b»ng kh«ng t¹i x1 vµ x2 cho x1 – x2  k víi mäi k  Z Chøng minh r»ng f(x) = víi mäi x Gi¶i: a cos x1  b sin x1  a cos x  b sin x  Gi¶ sö a2 + b2  Do f(x1) = f(x2) = nªn  a b  cos x1  sin x1  (1)  2 a  b2  a b  a b  cos x  sin x  (2) 2  a  b a  b2 2 a b Do:  2    2   a b  a b  a  cos   a  b2 nªn tån t¹i   0;2  cho:  b sin    a  b2   x1     k1  cos( x1   )    ( k1 , k  Z ) Tõ (1) vµ (2) ta cã:  cos( x   )  x      k   2  x1  x  (k1  k )  k víi k = k1 – k2  Z m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt VËy a2 + b2 = suy ra: a = b = nªn f(x) = víi mäi x (®pcm) C©u 5: Gi¶i pt: Sin 8x – cos6x = (sin6x + cos8x) Lop12.net Gi¶i: pt  sin x  cos x  sin x  cos x  3 sin x  cos x  sin x  cos x 2 2  sin(8 x   )  sin(6 x   )    8 x   x   k 2  8 x    5  x  k 2     x   k  x    k   12 (k  Z ) (k  Z ) C©u 6: Gi¶i c¸c pt: a) sin2x - cos2x = b) Sinx + cosx = sin4x c) Cos7x – sin5x = (cos5x – sin7x) d) Sin2x – 2cos2x = 0,5 – sin2x C©u 7: Cho pt: (m + 1)cosx + (m – 1)sinx = 2m + a) Tìm m để pt có nghiệm b) Chứng minh rằng: không có quá hai giá trị m để pt có hai nghiệm x1, x2 tho¶ m·n x1  x   C©u 8: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè: y sin x  cos x  sin x  cos x  C©u 9: CMR hai pt: acosx + bsinx = c vµ acotgx + btgx = 2c, cã Ýt nhÊt mét pt cã nghiÖm C©u 10: Tìm a để pt: (a – 1)sinx + a cosx = a2 có nghiệm Tìm nghiệm trường hợp này C©u 11: Tìm m để nghiệm pt sinx + mcosx = là nghiệm pt: msinx + cosx = m2 C©u 12: Giải phương trình: Lop12.net cos x  sin x  6 cos x  sin x  C Phương trình đối xứng sinx và cosx C©u1: Cho pt: sinxcosx = (sinx + cosx + m) (1) a) Gi¶i pt víi m = -1 b) Tìm m để pt có nghiệm Gi¶i: §Æt X = sinx + cosx   ;  ta cã: X 1  6( X  m)  X   12 X  12m  X  12 X   12m (2) a) víi m = -1 (2) trë thµnh: X  Do X  nªn X =  sin x  cos x  X  12 X  11     X  11 C©u 2: Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x Hd: §Æt X = sinx + cosx  [- ; ] thay vµo pt ta gi¶i ®­îc:  X  1   X  1  v× ®iÒu kiÖn cña X nªn X = -1 suy nghiÖm x Chó ý: NÕu c¸c biÓu thøc pt cã thÓ biÓu diÔn qua sinx – cosx vµ sinxcosx th× ta đặt ẩn phụ X = sinx – cosx  [- ; ] C©u 3: Gi¶i pt: + sin2x = sinx + cosx C©u 4: Gi¶i pt: sin x  cos x  sin x  C©u 5: Tìm a để pt: 1   a cã nghiÖm cos x sin x D Phương trình đối xứng tanx và cotx Lop12.net C©u 1: Cho phương trình:  tan x  m(tan x  cot x)   (1) sin x a) Gi¶i pt víi m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Gi¶i: (1) 3(tan2x + cot2x) + m(tanx + cotx) – = §Æt X = tanx + cotx, víi X  , ta cã: 3(X2 – 2) + mX + =  f(X) = 2X2 + mX – = (2) a) Víi m = th× f(X) = 3X2 + 4X – =   X  2  X   X   X  2 Khi đó tanx + cotx = - hay tanx = -1  Vậy phương trình có nghiệm x    k (k  Z ) b)(1) cã nghiÖm (2) cã nghiÖm tho¶ m·n X  4 X1X   X1 X   3 NhËn xÐt: (2) cã P = -  nªn lu«n cã nghiÖm X1,X2 tho¶ m·n X  , X  không thể đồng thời xảy Do đó, (1) có nghiệm (2) có nghiệm ngoài (-2;2) và nghiệm trong(-2;2)  f (2) f (2)   (8  2m)(8  2m)   m  C©u 2: Gi¶i pt: tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = Chó ý: Nếu gặp pt mà phải đặt ẩn phụ X = tanx – cotx thì với X tồn x vì X = tanx – cotx = - 2cotx và đó tan2x + cot2x = X2 + VÝ dô: C©u 2: Cho phương trình: tan2x + cot2x = m(tanx – cotx) (1) Tìm m để pt có nghiệm Kq: m  2 E.Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx và cosx C©u1: Gi¶i pt: asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Lop12.net cos2x + 2 sinxcosx + sin2x = Kq:  x  k  (k  Z )    x    k C©u 2: Cho phương trình : msinx + (m + 1)cosx = m cos x a) Gi¶i pt m = 0,5 b) tìm m để pt có nghiệm C©u 3: Cho phương trình (m2 – 2)sin2x – (m + 2)sin2x – cos2x = a) tìm mđể pt có nghiệm  b) Tìm m để pt có nghiêm thuộc (0; ) F.Phương trình đẳng cấp bậc cao sinx và cosx Ta đã biết phương trình asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d Bây ta xét đến trờng hợp tổng quát Bậc đơn thức umvn chính là m + n Nếu f(u,v) là đa thức u và v gồm tổng đơn thức cùng bậc k thi f(u,v) gọi là đa thức đẳng cấp bậc k u và v Khi đó F(nu;nv) = nkf(u,v) Tuy nhiên, u = sinx, v = cosx thì việc bậc không đơn giản vì sin2x + cos2x = Chẳng hạn, u2v3 là đơn thức bậc 5, u2v3 = sin2xcos3x(sin2x + cos2x) = sin4xcos3x + sin2xcos5x =u4v3 +u2v5 thµnh thử u2v3 viết thành tổng hai đơn thức bậc Điều lưu ý này giúp ta nhận biết phương trình đẳng cấp tốt C©u 1: Giải phương trình: 2sin3x = cosx.(1) Gi¶i: (1)  sin x  cos x(sin x  cos x)  sin x  cos x sin x  cos x víi cosx = 0, pt kh«ng cã nghiÖm với cosx  0, ta chia hai vế phương trình cho cos3x và đặt X = tanx thì ta ®­îc: 2X3 – X2 – = gi¶i ta ®­îc X = hay x = C©u 2: Tìm m để phương trình : msin2x + cos2x + sin2x + m = (1) cã nghiÖm Kq: m  Lop12.net   k (k  Z ) C©u 3: Gi¶i pt: a) sin3x + cos3x =sin2x + sinx + cosx b) 5cos4x + 3cos3xsinx + 6cos2xsin2x – cosxsin3x + sin4x = c) 6sinx – 2cos3x = 5sin2xcosx H Một số phương trình cần có biến đổi đặt ẩn phụ: C©u1: Gi¶i pt:  (sin x   2) sin x sin x 6x 8x b) cos   cos 5 c) sin 3x  cos x   sin 3x a) sin x  C©u 2: Cho pt: Sin4x +(sinx + 2)4 = m Tìm m để phương trình có nghiệm K Phương trình lượng giác chứa n f ( x) §K: f ( x)  Mét sè kiÕn thøc hay sö dông: – cos2x = 2sin2x + cos2x = 2cos2x + sin2x = (sinx + cosx)2 C©u 1: 3 5  ;  phương trình:  2  T×m x   1  cos x 2  sin x  sin x  (1) Gi¶i: (1)   cos x  cos x  sin x  sin x    cos x  sin x   2.2 cos x x x  sin x   cos  sin x   cos  sin x  2 x  3 5  x  3 5  , x   ;     ;   cos   4   2  x x x x x  x (2)   cos  sin cos   cos  sin  1   sin  2 2  2 x 5 5   x C©u 2: Giải phương trình: sin x  cos x (1) Lop12.net 2 sin x  cos x  §K:    x   x  k 2     (1)  sin x  cos x  sin x  sin   x     x   k 2   x    x  l 2  (k  Z ) So s¸nh ®iÒu kiÖn, Ta cã nghiÖm cña pt lµ: x   k (k  Z ) C©u 3: Giải phương trình: cos x   sin x 0 1 Gi¶i: §iÒu kiÖn: cos x  1   sin x  sin x   cos x   cos 2 x   sin x   sin 2 x 2    2 x   k 2  sin x  7    2 x   l 2  sin x     2 x     m2  (loai )    x   k   x  7  l 12  k , l  Z  C©u4: Giải phương trình: sin x  sin x   sin x  1 Gi¶i: NhËn xÐt: Sin2x – 2sinx + =(sinx-1)2 + > víi mäi x §k: sin x   1  sin x  sin x   sin x  sin x   sin x  sin x   sin x     x   k 2 sin x   (loai )  k  Z  C©u 5: Gpt:  sin x   sin x  cos x 1 §k: cos x  1    sin x  cos x   cos x  cos x cos x    x  k 2 cos x   (loai )  k  Z  Lop12.net  C©u 6: Gpt: sin x1  cot x   cos x1  tan x   sin x cos x (1) Gi¶i: §k: sin x  1   sin x  cos x   sin x   x   sin x cos x   sin x cos x  sin x cos x  k sin x  cos x  KÕt hîp ®iÒu kiÖn: sinx + cosx >  Vậy phương trình có nghiệm: x  C©u 7: Gpt:  cos x  cos x     l 2 1 Gi¶i: 1   cos x   cos x  NhËn xÐt: VT  nªn ta cã VT =VP =  VP   cos x  1  x    k 2 (k  Z ) C©u 8: Gi¶i pt: cos x cos 2 x   cos x   1 Gi¶i: (1)  cos x  cos x    cos x   2 cos x  1    cos x 2  x  k  2 cos x       x    m2 1  cos x  x     l   C©u 9: Gi¶i c¸c pt:  cos x   cos x  sin x cos x b) cot x  tan x  sin x c) cos x   sin x  2sin x  cos x  a) C©u 10: Gpt:  cos x   cos x   sin 2 x  1 Gi¶i: Ta cã: 21  sin 2 x   x (1) 10 Lop12.net m  Z  MÆt kh¸c: (¸p dông b®t Bunhia) cos 3x   cos x   2(cos 3x   cos 3x)  2  Cos3 x   cos x  x 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã:    x  k sin 2 x  2 x  k Pt     x  l  cos x     x  l 2  Vậy phương trình có nghiệm: x  m2 m  Z  ( H×nh c©u 10 ) I Bài tập phương trình lượng giác Câu 1: (Đề đại học khối A năm:2003 – 2004) Giải phương trình: cot x   Gi¶i: cos x  sin x  sin x  tan x 1 sin x  §k: cos x  tan x  1 11 Lop12.net 1  cot x  11  tan x   cos x  sin x  sin x  cot x    tan x  cos x  sin x  sin x  tan x  tan x 2 cos x  cos x cos x(1  sin x cos x) sin x cos x   sin x  sin x   sin x  sin x  tan x (1  tan x) sin x cos x 1 1 (1  cos x)  cos x(1  sin x)  (sin x  sin x)(sin x  sin x)  cos x(1  sin x)   sin 2 2 4 2 1  cos x  cos x  sin x cos x  cos x  cos x(1  sin x)   cos x(1  sin x)  4 cos x(cos x  1)   sin x  cos x    cos x(1  sin x)   cos x 0 2     x   k cos x        x k  sin x  cos x  VN Khối A - 2007 Giải phương trình: Vậy ta có nghiệm : Khối B – 2007 Câu II : (2 đ) Giải phương trình : 12 Lop12.net k  Z  Khối D – 2007 Câu II Giải phương trình : CĐ Nghệ An 2007 Giải các phương trình: Với điều kiện Vậy nghiệm là: §Ò: Giải phương trình: sin2x + sin22x + sin23x = 1.5 HD: Pt  cos x  cos x  cos x   cos x2 cos x  1  x  k  , x   k k  Z  §Ò: Giải phương trình: cos x  cos x    sin 3x x   k 2 , k  Z Kq: §Ò: Gi¶i pt: (1 + cosx)(1 + sinx) = Kq: x  k 2 , x    k 2 , k  Z §Ò: Gi¶i pt: §k:  tan x  cot x cos x  sin x  cot x  13 Lop12.net pt  sin x cos x  cos x sin x  cos x  sin x   sin x cos x  sin x  cos x  cos x 1 sin x    x   k 2 (loai )    x    k 2 , k  Z  x     k 2 (tm)  §Ò: sin x  cos x  tan x  cot x  Gi¶i pt: sin x HD: §k: pt  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x cos x   sin x  (loai ) Vậy phương trình vô nghiệm Đề: Giải phương trình: sin2x + 2tanx =  pt  sin x cos x  tan x   tan x  tan x(1  tan x)   tan x   tan x  tan x  tan x    (tan x  1)(2 tan x  tan x  3)   tan x   x    k , k  Z 14 Lop12.net