Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?. Phương trình mặt cầu đường kính ABA[r]

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Định nghĩa: Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi I R A B mặt cầu tâm I, bán kính R 2/ Các dạng phương trình mặt cầu : S  I ; R  trình  S  I ;chính R   Mtắc / IM RDạng : Phương trình tổng quát Dạng : Phương Kí1hiệu: I  a; b; c  ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 (2) Mặt cầu (S) có tâm , bán kính  Điều kiện để phương trình (2) R 0  S  :  x  a 2 2 phương trình mặt cầu: a  b  c  d  I  a; b; c   (S) có tâm   y  b    z  c  R  2 (S) có bán kính: R  a  b  c  d 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng : S  I; R Cho mặt cầu mặt phẳng  P  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  P  d IH khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P  Khi : + Nếu d  R : Mặt cầu + Nếu d R : Mặt phẳng + Nếu d  R : Mặt phẳng mặt phẳng khơng có tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P  cắt mặt cầu theo điểm chung  P  mặt phẳng tiếp diện thiết diện đường tròn mặt cầu H tiếp có tâm I' bán kính điểm r  R  IH M1 R I I R M2 P H P H I d R r I' α Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính thiết diện lúc gọi đường trịn lớn 4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng : S  I; R Cho mặt cầu đường thẳng  Gọi H hình chiếu I lên  Khi : + IH  R :  không cắt + IH R :  tiếp xúc với mặt + IH  R :  cắt mặt cầu mặt cầu cầu  tiếp tuyến (S) hai điểm phân biệt H tiếp điểm Trang   H H I R Δ R R I H B I A * Lưu ý: Trong trường hợp  cắt (S) điểm A, B bán kính R (S) tính sau: + Xác định: d  I ;   IH  AB  R  IH  AH  IH      + Lúc đó: 2 ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ * Đường trịn (C) khơng gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng ( ) S :   : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 I Ax  By  Cz  D 0 R * Xác định tâm I’ bán kính R’ (C) R' I ' d     + Tâm  d I Trong đường thẳng qua vng góc với mp ( ) I' 2 R '  R   II '   R   d  I ;      + Bán kính 5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng  tiếp tuyến (S)  + Mặt phẳng   tiếp diện (S) * Lưu ý: Tìm tiếp điểm M  x0 ; y0 ; z0   d  I ;   R d  I ;     R   IM  ad  IM  d     IM      IM  n Sử dụng tính chất :  Trang B KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp: I  a; b; c  * Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm Bước 2: Xác định bán kính R (S) I  a; b; c  Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm bán kính R (S ) :  x  a 2   y  b    z  c  R 2 2 * Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 2 Phương trình (S) hồn tồn xác định biết a, b, c, d ( a  b  c  d  ) Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau:  S  có tâm I  2; 2;  3 bán kính R 3 a)  S  có tâm I  1; 2;0  (S) qua P  2;  2;1 b)  S  có đường kính AB với A  1;3;1 , B   2;0;1 c) Bài giải: I  2; 2;  3 a) Mặt cầu tâm bán kính R 3 , có phương trình: (S): b) Ta có:   x  2 c) Ta có: 2   y     z  3 9 IP  1;  4;1  IP 3 Mặt cầu tâm (S): I  1; 2;0   x  1 bán kính R IP 3 , có phương trình:   y    z 18  AB   3;  3;0   AB 3    I   ; ;1  2  Gọi I trung điểm AB   AB I   ; ;1 R  2 , có phương trình: Mặt cầu tâm  2  bán kính 2 1  3   x     y     z  1  2  2 (S):  Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: A  3;1;0  , B  5;5;0  a) (S) qua tâm I thuộc trục Ox    : 16 x  15 y  12 z  75 0 b) (S) có tâm O tiếp xúc mặt phẳng x 1 y  z :   I   1; 2;0  1 3 c) (S) có tâm có tiếp tuyến đường thẳng Bài giải: a) Gọi I  a;0;0   Ox Do (S) qua A, B Ta có :   IA   a;1;0  , IB   a;5;0   IA IB    a 1    a  25  4a 40  a 10 Trang  I  10;0;0  IA 5  x  10   y  z 50 Mặt cầu tâm bán kính R 5 , có phương trình (S) : 75    d  O,     R  R  25 3  b) Do (S) tiếp xúc với 2 O  0;0;0  Mặt cầu tâm bán kính R 3 , có phương trình (S) : x  y  z 9  A   1;1;0     IA  0;  1;0  c) Chọn     IA, u   3;0;  1 u   1;1;  3 Đường thẳng  có vectơ phương  Ta có:     IA, u  10     d  I ,   R  R    u 11 Do (S) tiếp xúc với I  10;0;0  Mặt cầu tâm I   1; 2;0  bán kính R 10 11 , có phương trình (S) : 10   y  2  z  121 Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết : A  1; 2;   , B  1;  3;1 , C  2; 2;3  , D  1;0;  a) (S) qua bốn điểm A  0;8;0  , B  4;6;  , C  0;12;  b) (S) qua có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải: I  x; y; z  a) Cách 1: Gọi tâm mặt cầu (S) cần tìm  x  1 Theo giả thiết:  IA IB   IA IC   IA ID   IA2 IB   y  z     IA IC   x  z    IA2 ID  y  z 1    x    y 1  z 0   x     y  1  z 26 R IA  26 Vậy (S) : 2 Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x  y  z  2ax  2by  2cz  d 0 , Do đó: a Do I   2;1;0   b2  c2  d   A  1; 2;     S   Tương tự:  2a  4b  8c  d  21 (1) B  1;  3;1   S    2a  6b  2c  d  11 (2) C  2; 2;3   S    4a  4b  6c  d  17 (3) D  1;0;    S    2a  8c  d  17 (4) Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy phương trình mặt cầu (S) :  x  2 2   y  1  z 26 b) Do tâm I mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz)  I  0; b; c  b 7  IA IB IA IB IC    c 5  IA IC Ta có: Trang Vậy I  0;7;5  2 x   y     z   26 R  26 Vậy (S): Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng  x t   :  y   z  t     : x  y  z  0    : x  y  z  0 (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng Bài giải: I  t ;  1;  t    Gọi tâm mặt cầu (S) cần tìm 1 t 5 t   t 5  t d  I ,     d  I ,         t 3  t  t  3  Theo giả thiết: Suy ra: I  3;  1;  3 R d  I ,      2  x  3   y  1   z  3  Vậy (S) : Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A  2;6;0  , B  4;0;8  có tâm x  y z 5   thuộc d:  Bài giải:  x 1  t  d :  y 2t  z   t I   t ; 2t;   t   d  Ta có Gọi tâm mặt cầu (S) cần tìm   IA   t ;6  2t;5  t  , IB   t ;  2t;13  t  Ta có: Theo giả thiết, (S) qua A, B  AI BI  1 t  2    2t     t   3t  4t   13  t   62  32t 178  20t  12t  116  t  29 2 32   58   44   32 58 44    I  ; ;  x    y     z   932 3  R IA 2 233 Vậy (S):        Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I  2;3;  1 cắt đường thẳng x 1 y  z    hai điểm A, B với AB 16 Bài giải:  M   1;1;0     IM   3;  2;1 Chọn Đường thẳng  có vectơ phương  u  1;  4;1   IM , u     IM , u   2; 4;14   d  I ,       2   u Ta có: : AB R   d  I ,     2 19 Gọi R bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : Trang Vậy (S):  x  2 2   y  3   z  1 76 Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng  P  : x  y  z  0,  Q  : x  y  z  0 đường x y z    Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I giao điểm (P) thẳng  cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20 Bài giải: (1)  x 1  7t   x 1  7t (2)  y 3t    :  y 3t (3)  z 1  2t  z 1  2t   Ta có Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: 5 x  y  z  0 (4) : Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:   7t    3t     2t   0  t 0  I  1;0;1 Ta có : Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: d  I, Q   20  r  r 2 R bán kính mặt cầu (S) cần tìm 330 110 2 R   d  I ,  Q     r   x  1  y   z  1  3 Theo giả thiết: Vậy (S) :  x  t  d :  y 2t   z t   Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z  0 đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính Bài giải: I   t ; 2t  1; t    d : Gọi tâm mặt cầu (S) R bán kính (S) R   d  I ;  P     r    13 Theo giả thiết : d  I; P  Mặt khác:  t    2t  2t   2t   2  2  6t  6   1   t  11  2 2 13  13  I1   ;  ;   S1  :  x     y     z   13 t 6  3  6  : Tâm  6  , suy * Với 2 11  11  11 I2  ;  ;   S2  :  x     y     z  t  6  3   : Tâm  6  , suy * Với x  y 1 z  d:   I  1;0;3 2 Viết Bài tập 9: Cho điểm đường thẳng mặt cầu (S) tâm I cắt d hai điểm A, B cho IAB vuông I 1  13 6 phương trình Bài giải : Trang  u  2;1;  P  1;  1;1  d d Đường thẳng có vectơ phương    u , IP  20      d I ; d      IP  0;  1;     u , IP   0;  4;   u Ta có: Suy ra: Gọi R bán kính (S) Theo giả thiết, IAB vng I 1 40     R  IH  2d  I , d   IH IA IB R 40 2  x  1  y   z  3  Vậy (S) :  2 Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x  y  z  x  y  z 0 điểm A  4; 4;0  Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài giải : I  2; 2;  , (S) có tâm bán kính R 2 Nhận xét: điểm O A thuộc (S) R/  Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp 2 d  I ;  P    R2   R/   Khoảng cách : Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : Do (P) qua A, suy ra: 4a  4b 0  b  a Lúc đó: d  I; P   2 a  b  c a  b2  c  2c 2a  c  OA  3 ax  by  cz 0  a  b  c    * 2c 2a  c   c a  2a  c 3c    c  Theo (*), suy  P  : x  y  z 0 x  y  z 0 Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường trịn (C) Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2: Tâm I’ đường tròn (C) giao điểm d mặt phẳng (P) Bước 3: Gọi r bán kính (C): r  R   d  I ;  P    2 2 Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  0 cắt mặt phẳng (P): x  0 theo giao tuyến đường trịn (C) Xác định tâm bán kính (C) Bài giải : I  1;0;0  * Mặt cầu (S) có tâm bán kính R 2 d  I ,  P   1  R  Ta có : mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m) Trang I  1;0;0  * Đường thẳng d qua phương, có phương trình vng góc với (P) nên nhận  x 1  t  d :  y 0  z 0  + Ta có: Dạng : làm vectơ  x 1  t  y 0     z 0  / + Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ :  x  0 d  I ,  P   1  nP  1;0;0   x 2  /  y 0  I  2;0;0   z 0  r  R   d  I ,  P     Gọi r bán kính (C), ta có : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc: + Đường thẳng  tiếp tuyến (S)  d  I ;   R d  I ;     R + Mặt phẳng ( ) tiếp diện (S)  * Lưu ý dạng toán liên quan tìm tiếp điểm, tương giao x y z    :   và mặt cầu  S  : Bài tập 1: Cho đường thẳng x  y  z  x  z  0 Số điểm chung     S  : A 0.B.1.C.2.D.3 Bài giải: Đường thẳng    qua M  0;1;  có vectơ phương  S  có tâm I  1;0;   bán kính Mặt cầu  u  2;1;  1 R 2   u , MI  498    d  I ,        u , MI    5;7;  3 u MI  1;  1;    Ta có  d  I,   R    không cắt mặt cầu  S  Vì nên Lựa chọn đáp án A Bài tập 2: Cho điểm là:   y  2  x  1   y   C Bài giải: A  x  1 2 I  1;  2;3  z  3  z  3 Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy  10 10 B  x  1 D  x  1 2   y  2   y  2 2  z  3  z  3 2 10 9 I  1;  2;3 M  0;  2;0  Gọi M hình chiếu lên Oy, ta có :  IM   1;0;  3  R d  I , Oy  IM  10 bán kính mặt cầu cần tìm Trang Phương trình mặt cầu : Lựa chọn đáp án B  x  1   y  2  z  3 10 x 1 y  z    I  1;  2;3 1 Bài tập 3: Cho điểm đường thẳng d có phương trình Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là: A  x  1 2 2   y     z  3 50  x  1   y     z  3 5 C Bài giải: Đường thẳng d qua I   1; 2;  3 Phương trình mặt cầu : Lựa chọn đáp án D   y     z  3 5  x  1   y     z  3 50 D có VTCP   y  2 2 2     u , AM     d  A, d   5   u u  2;1;  1  z  3 50 d: I ( 2; 3; - 1)  S Bài tập 4: Mặt cầu  x  1  x  1 B tâm cắt đường thẳng điểm A, B cho AB 16 có phương trình là: A C Bài giải:  x  2   y  3   z  1 17  x  2   y  3   z  1 289 x  11 y z  25   2 2  x  2 B   y  3   z  1 289 2 2  x  2 D   y  3   z  1 280 2  d  qua M  11; 0;  25 có vectơ Đường thẳng  u  2;1;   phương Gọi H hình chiếu I (d) Ta có:   u , MI    IH d  I , AB   15  R  IH   AB  17    u   2 I R B d A H  S  :  x     y  3   z  1 289 Vậy Lựa chọn đáp án C x 5 y  z d:   2 điểm I (4;1;6) Đường thẳng d cắt Bài tập 5: Cho đường thẳng mặt cầu cầu A C  S  S  có tâm I, hai điểm A, B cho AB 6 Phương trình mặt là:  x  4   y  1   z   18 2  x  4 B   y  1   z   18  x  4   y  1   z   9 2 2  x  4 D   y  1   z   16 2 Bài giải : Đường thẳng d qua M ( 5;7;0) có vectơ phương Trang  u (2;  2;1) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   u , MI    IH d  I , AB   3  R  IH   AB  18    u   2  S  :  x     y  1   z   18 Vậy Lựa chọn đáp án A Bài tập 8: Cho điểm cầu I  1;0;0  đường thẳng d: x y  z 2   Phương trình mặt  S  có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: A C Bài giải:  x 1  x  1  y2  z2  20 B 16  y2  z2      x  1  x  1 D qua  y2  z2  20  y2  z2  M  1;1;   có vectơ Đường thẳng  u  1; 2;1 phương    u , MI   5;  2;  1 MI  0;  1;   Ta có Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :   u , MI    IH d  I , AB     u IH R Xét tam giác IAB, có I R B d A H IH 15  R  3  x 1  y2  z2  20 Vậy phương trình mặt cầu là: Lựa chọn đáp án A 2 Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  0 Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) qua A  0;0;5  biết:  u  1; 2;  a) Tiếp tuyến có vectơ phương b) Vng góc với mặt phẳng (P) : 3x  y  z  0 Bài giải: a) Đường thẳng d qua trình d:  x t   y 2t  z 5  2t  A  0;0;5  có vectơ phương b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  nP  3;  2;   u  1; 2;  , có phương Trang ... phương trình : x  y  z  0 * Với m 15 suy mặt phẳng có phương trình : x  y  z  15 0 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Phương trình sau phương trình mặt cầu ? 2 2 2 A x  y  z  x 0 B x  y  z...  x 1  y2  z2  20 Vậy phương trình mặt cầu là: Lựa chọn đáp án A 2 Bài tập 9: Cho mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  y  z  0 Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) qua A  0;0;5  biết:... kính mặt cầu cần tìm Trang Phương trình mặt cầu : Lựa chọn đáp án B  x  1   y  2  z  3 10 x 1 y  z    I  1;  2;3 1 Bài tập 3: Cho điểm đường thẳng d có phương trình Phương trình