Một phương pháp giải bài toán phương trình tiếp tuyến

Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Trước đây, khi giải các bài toán về phươn trình tiếp tuyến với 1 đường con[r]

Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Trước đây, giải các bài toán phươn trình tiếp tuyến với đường cong, thường sử dụng phương pháp nghiệm kép Từ giáo dục không công nhận phương pháp này vì tính chặt chẽ nó, thì các bài toán loại này trở nên khó khăn – đặc biệt là với dạng hàm số hữu tỷ bậc hai Sau đây là phương pháp khá hiệu để giải các bài toán dạng này I/ Cơ sở lý thuyết: u ; Xét điểm biến số có giá trị làm cho đạo hàm y’ = thì ta có: Với hàm số: y = v u u' = (I) sử dụng kết này ta có thể giải các bài toán tiếp xúc đồ thị v v' u hàm số y = và đường thẳng cách dễ dàng v II/ Các bài toán minh họa: ( các bài toán sau xét miền xác định chúng) x2 − x +1 ( C) , biết nó Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x qua điểm A(2; -1) Giải: Đường thẳng (d) qua điểm A(2; -1) có hệ số góc k có dạng y = kx – 2k – (d) tiếp xúc với ( C ) hệ sau có nghiệm:  x2 − x +1  (1 − k ) x − x + = kx − 2k − = −2 k −   x x (II) ⇔   (1 − k ) x −  x −1 = k  =0  x  x2 (1 − k ) x − x + Xét f(x) = x (1 − k ) x − f’(x) = x2 thì Vậy theo kết (I) ta có: (1 − k ) x = −kx 2(1 − k ) x − = −2k − ⇔ (II) ⇔   (1 − k ) x =   (1 − k ) x = Từ đó tìm hai tiếp tuyến đến đồ thị là y =  kx = −1  kx = −1  ⇔ ⇔ k = ± (1 − k ) x =  1± ( x − 2) − Bài toán 2: Tìm m để từ gốc tọa độ có thể kẻ hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm x + 2mx + số y = (C) x +1 Phương pháp giải toán sơ cấp Lop12.net Nguyễn Mạnh Thắng – THCS Khánh Dương – Yên Mô – Ninh Bình Giải: Đường thẳng (d) qua gốc tọa độ có hệ số góc k là: y = kx Để (d) và (C) tiếp xúc thì hệ sau có nghiệm:  x + 2mx + = kx  x +1  x + x + 2m −  =k ( x + 1)  ⇔  (1 − k ) x + (2m − k ) x + =0  x +1  (1 − k ) x + 2(1 − k ) x + 2m − k +  =0 ( x + 1)  (*) Sử dụng kết (I) ta có: 2(1 − k ) x + 2m − k =  (*) ⇔  (1 − k ) x + 2(1 − k ) x + 2m − k − = (**) Khử x hệ trên ta được: k2 -4(m-1)k + 4m2 = Để tồn tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt từ đó tìm m < Bài toán 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm mặt phẳng tọa độ mà từ đó có thể kẻ x2 +1 tiếp tuyến tới đồ thị (C) hàm số y = mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với x Giải: Gọi (x0; y0) là tọa độ các điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài, thì đường thẳng qua (d) (x0; y0) có dạng: y = kx – kx0 + y0 Để (d) tiếp xúc với đồ thị (C) thì hệ sau có nghiệm:  x2 +1  (1 − k ) x + kx kx y = − + = − kx0 + y 0   x x (1*) ⇔   2 k x x − − − ( )   =k =0   x2 x2 Sử dụng kết (I) cho (1*) thì: 2(1 − k ) x = − kx0 + y (1*) ⇔   (1 − k ) x − = Khử x hệ trên ta được: k2x2 -2( x0y0 -2)k +y02 – = Để có hai tiếp tuyến vuông góc với thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt k1; k2 cho k1k2 = -1 Hay: ( x0 y − 2) − x02 ( y 02 − 4) > ( x0 y − 2) − x02 ( y 02 − 4) >  y0 −  ⇔  x02 + y 02 = = −1  x0   x0 ≠  x0 ≠  Từ đó suy được: Quỹ tích các điểm cần tìm là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = bỏ các điểm (0; 2) và (0; -2) Phương pháp giải toán sơ cấp Lop12.net