Bài soạn GIOI HAM DAY SO, HAM SO RAT HAY

VẤN ĐỀ 4. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa • Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn: ( ) 0 0 0n n n n x x lim f ( x ) L x ,x x ,lim x x lim f ( x ) L → = ⇔∀ ≠ = ⇒ = ( ) 0 0 0n n n n x x lim f ( x ) x ,x x ,lim x x lim f ( x ) → = +∞ ⇔ ∀ ≠ = ⇒ = +∞ ( ) 0 0 0n n n n x x lim f ( x ) x ,x x ,lim x x lim f ( x ) → = −∞ ⇔ ∀ ≠ = ⇒ = −∞ 1. a) Cho hàm số 2 2 8 ( ) 2 x y f x x − = = − và một dãy bất kỳ ( ) 2 n x ≠ sao cho lim 2. n n x →+∞ = Tìm ( ) lim n n f x →+∞ từ đó suy ra ( ) 2 lim . x f x → b) Cho hàm số 2 3 2 ( ) 1 x x y f x x + + = = + và một dãy bất kỳ ( ) 1 n x ≠ − sao cho lim 1. n n x →+∞ = − Tìm ( ) lim n n f x →+∞ từ đó suy ra ( ) 1 lim . x f x →− 2. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau: a) 1x 4x3x lim 2 1x + −− −→ b) 1 1 5 x lim x → − c) ( ) 0 k x x lim cx → 3. Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm a) 0 1 lim sin x x x →    ÷   b) 0 1 lim os x xc x →    ÷   4. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn a) 0 1 lim os x c x →    ÷   b) 0 1 lim sin x x →    ÷   Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức • Ta thừa nhận định lý: Cho ( ) ( ) 0 0 x x x x lim f x a, lim g x b → → = = . Khi đó ta có ( ) ( ) 0 x x lim f x g x a b →   + = +   ( ) ( ) 0 x x lim f x g x a b →   − = −   ( ) ( ) 0 x x lim f x g x ab →   =   ( ) ( ) ( ) 0 0 x x f x a lim , b g x b →   = ≠       5. Tìm các giới hạn sau: a) |8x|lim 2 3x − → b) )3x)(1x2( xx lim 4 3 1x −− − → c) 3x x lim 2 3 1x − −→ d) 1x2 1x3x lim 2 4 2x − −+ → e) 3 2 3x 6x )1x(x2 lim − + → g) 3xx2 x3x1 lim 2 3 2x −+ −− −→ h) 2 2 2 1 5 3 lim 2 3 x x x x →− + − − + 6. Tìm các giới hạn sau a) x 0 1 lim x(1 ) x → − b) 2 9x xx9 3x lim − − → c) 2x 22x lim 2 3 2x − + −→ d) 9x3x2 x27x lim 2 4 3x −− − → e) 8x6x 16x lim 2 4 2x ++ − −→ g) 1xx2 1x lim 2 2 1x −− − → h) 3x4x 2x3x lim 4 3 1x +− +− → h) 1x2x 1x2x lim 5 3 1x −− −− −→ i) 16x4x 2x3x2 lim 3 2 2x −+ −− → ĐS: c) 2 23 − d) 9 e) 16 − 7. Tìm các giới hạn sau: a) 2 35 lim 2 2 + −+ −→ x x x b) 23 1 lim 1 −+ − → x x x c) x x x 11 lim 0 −− → d) 37 2 lim 2 −+ − −→ x x x e) x33x6 1x lim 2 1x ++ + −→ g) 2 3 1 1 1 1 lim x x x x x x → < − + − − h) 3x2 37x2 lim 1x +− −+ → i) 3x4x 4x7x2 lim 23 1x +− −++ → 8. Tính các giới hạn sau a) 33 0x x1x1 x1x1 lim −−+ −−+ → b) 23x 1x lim 2 3 1x −+ + −→ c) 1x 2x3x lim 3 1x − −− → d) 33 2x 5x326x 3x237x lim −−+ −−+ → e) x 1x1 lim m 0x −+ → 9. Tính các giới hạn sau a) 1x x21x2 lim 4 1x − −−− → b) 1x x57x lim 3 2 1x − −−+ → c) x x81x2 lim 3 0x −−+ → • Chú ý: Ta thừa nhận x 0 sin x lim 1 x → = . Tổng quát hơn ta có ( ) ( ) x 0 sin u x lim 1 u x → = với ( ) u 0 0. = 10. Tính các giới hạn sau a) 2 0x x x6cos1 lim − → b) x5cos1 x3cos1 lim 0x − − → c) 3 0x x xsintgx lim − → d) x1 1xcos lim 1x − +π → e) ) 4 xsin( tgx1 lim 4 x π − − π → g) 3 0x x xsin1tgx1 lim +−+ → h) tgx)x2cos1(lim 2 x + π → i) gxcot1 tgx1 lim 4 x − − π → k) tgx1 xcosxsin lim 4 x − − π → l) ) x sinx(lim x π ∞→ m) xsin x1x21 lim 3 2 0x +−+ → Dạng 3. Giới hạn một phía 11. Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x 0 và xét xem )x(flim 0 xx → có tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây a) f(x) =        ≤− > − +− 1xkhi 2 x 1xkhi 1x 2x3x 2 2 tại x 0 = 1 b) f(x) =      ≥− < − − 2xkhix21 2xkhi 2x x4 2 tại x 0 = 2 c ) f(x) = 32 xx4 2 + tại x = 0 d ) f(x) =        > −+ −+ ≤ 0xkhi 11x 11x 0xkhi 2 3 3 tại x 0 = 0 12. Tìm a để )x(flim 1x → tồn tại, trong đó f(x) =      ≥+ < − − 1xkhi2ax 1xkhi 1x 1x 3 Dạng 4. Giới hạn của hàm số tại vô cực 13. Tìm các giới hạn sau: a) 1x2 7xx3 lim 3 2 x − +− −∞→ b) 1x 15x7x2 lim 4 34 x + −+ −∞→ c) 1x3 2x lim 3 6 x − + +∞→ d) 1x3 2x lim 3 6 x − + −∞→ e) 3 2 2 x 3xx8 x2x lim +− + −∞→ g) 2xx xx lim 2 x +− +∞→ 14. Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 3 12 lim xx xx x + ++ +∞→ b) 32 23 5 3 lim xx xx x − +− +∞→ c) 1 432 lim 23 3 +−− −+ −∞→ xx xx x d) 3 )21)(1( lim 7 52 ++ −− −∞→ xx xx x e) 12 14 lim 2 42 ++ +−+ −∞→ xx xxx x g) x xxx x 21 14 lim 2 − +−+ −∞→ 15. Tìm các giới hạn sau: a) )1(lim 2 xx x −+ +∞→ b) 2 3 lim 2 + − −∞→ x xx x c) )1(lim 22 +−− −∞→ xxx x d) 1(lim 22 +−− +∞→ xxx x e) )1(lim 2 +−+ +∞→ xxx x f) )1(lim 2 xxx x ++− −∞→ g) )1(lim 2 xx x −+ +∞→ h) 34 12152 lim 2 2 1 +− +− → xx xx x 16. Tính các giới hạn sau A = x2 x31 lim x − − ∞→ B = 1x2x 3x2 lim 23 2 x +− + ∞→ C = 1x 1x2x lim 3 25 x + −+ ∞→ 17. Tính các giới hạn sau M = x21x4 1x43x2x lim 2 2 x −++ ++++ ∞→ N = 1x1x4 x32xx lim 2 2 x +−+ +++ ∞→ P = 1x 1x2x41xx9 lim 22 x + ++−++ ∞→ 18. Tính các giới hạn sau A = )xxx(lim 2 x −+ ∞→ B = )3x4x41x2(lim 2 x −−−− ∞→ C = )1x1x(lim 3 32 x −−+ ∞→ D = )xx3x(lim 3 32 x −+ ∞→ Dạng 5. Hàm số liên tục 19. Xét tính liên tục của các hàm số sau a) f(x) =      = ≠ − −− 2xkhi1 2xkhi x2 3x21 tại x 0 = 2 b) f(x) =        = ≠ − 0xkhi 4 1 0xkhi xsin xcos1 2 tại x 0 = 0 c) f(x) =      =π− ≠ − π 1xkhi 1xkhi 1x xsin tại x 0 = 1 20. Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x 0 = 0. a) f(x) =        ≥ + − + < +−− 0xkhi 2x x4 m 0xkhi x x1x1 b) f(x) =        ≥+ + + < − 0xkhim 1x 4x 0xkhi x2sinx x4cos1 21. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R a) f(x) =      = ≠ 0xkhi1 0xkhi| x xsin | b) f(x) =      = ≠ 0xkhi1 0xkhi |x| xsin 22. Tìm m để hàm số f(x) =        ≤+ > − −+ 2xkhi 4 1 mx 2xkhi 2x 22x3 3 liên tục trên R 23. Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm a) cosx + mcos2x = 0 b) m(x – 1) 3 (x + 2) + (2x + 3) = 0 c) (m 2 + m + 1)x 4 + 2x – 2 = 0 . bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x 0 và xét xem )x(flim 0 xx → có tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây a) f(x) =        ≤− > − +−