Bài soạn hàm bậc 3

ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3 Giả sử : y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax 2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b 1) y” = 0 ⇔ x = a3 b − (a ≠ 0 ) x = a3 b − là hoành độ điểm uốn. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu tại x 2 . Ngoài ra ta còn có : + x 1 + x 2 = 2x 0 với x 0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (−∞, x 1 ) + hàm số tăng trên (x 2 , +∞) + hàm số giảm trên (x 1 , x 2 ) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 với x 1 < x 2 ⇒ hàm đạt cực tiểu tại x 1 và đạt cực đại tại x 2 thỏa điều kiện x 1 + x 2 = 2x 0 (x 0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (−∞, x 1 ) + hàm số giảm trên (x 2 , +∞) + hàm số tăng trên (x 1 , x 2 ) 3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0; thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò là y = r x + q 4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔      < = 0) 2 x(y). 1 x(y 2 x, 1 x biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y 5) Giả sử a > 0 ta có : i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > α ⇔        < <α <<α= 0) 2 x(y). 1 x(y 0)(y 2 x 1 x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < α ⇔        < >α α<<= 0) 2 x(y). 1 x(y 0)(y 2 x 1 x thỏa biệt ânnghiệm ph 2 có 0'y Tương tự khi a < 0 . 6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ∈ (C). Nếu M ≡ I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M. Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M. Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn. 7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x 0 ) = 0 (x 0 là hoành độ điểm uốn) 8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α là 1 nghiệm của (1). Nếu x = α là 1 nghiệm của (1), ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = (x - α)(ax 2 + b 1 x + c 1 ) nghiệm của (1) là x = α với nghiệm của phương trình ax 2 + b 1 x + c 1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau: i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = α ii) nếu (2) có nghiệm kép x = α thì (1) có duy nhất nghiệm x = α iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ α thì (1) có 3 nghiệm phân biệt iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = α và 1 nghiệm khác α thì (1) có 2 nghiệm. v) nếu (2) có nghiệm kép ≠ α thì (1) có 2 nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3 Cho họ đường cong bậc ba (C m ) và họ đường thẳng (D k ) lần lượt có phương trình là y = −x 3 + mx 2 − m và y = kx + k + 1. (I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C). 2) Gọi ∆ là đường thẳng có phương trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E ∈ ∆ với (C). 3) Tìm E ∈ ∆ để qua E có ba tiếp tuyến với (C) và có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 4) Đònh p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố đònh. 5) Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có một tiếp tuyến với (C). (II) PHẦN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi. 6) Tìm điểm cố đònh của (C m ). Đònh m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố đònh này vuông góc nhau. 7) Đònh m để (C m ) có 2 điểm cực trò. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò. 8) Đònh m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. 9) Đònh m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2). b) hàm số nghòch biến trong (0, +∞). 10) Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng. 11) Tìm điều kiện giữa k và m để (D k ) cắt (C m ) tại 3 điểm phân biệt. Tìm k để (D k ) cắt (C m ) thành hai đoạn bằng nhau. 12) Viết phương trình tiếp tuyến với (C m ) và đi qua điểm (-1, 1). 13) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (C m ) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất. . VỀ HÀM SỐ BẬC 3 Giả sử : y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 có đồ thò là (C). y’ = 3ax 2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b 1) y” = 0 ⇔ x = a3 b − (a ≠ 0 ) x = a3. Đồ thò hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 2) Để vẽ đồ thò 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số