- Nhầm lẫn cách tính thời gian giữa các dạng bài và các bài trong cùng dạng hai kim chuyển động để trùng khít lên nhau; để tạo với nhau thành một góc vuông; tạo với nhau thành một đường [r]
(1)“Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” MỘT SỐ GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN LỚP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA KIM ĐỒNG HỒ *** -A/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tế nhân loại Chính vì thế, môn Toán luôn chú trọng và dành thời lượng lớn việc giảng dạy chương trình Giáo dục phổ thông Theo yêu cầu Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi nội dung và phương pháp dạy học Tiểu học, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy học để học sinh nắm kiến thức chuẩn thì tùy vào lực học sinh, giáo viên cần phải phát triển, khai thác, mở rộng thêm kiến thức cách phù hợp để đáp ứng nhu cầu học tập các em Trong năm học gần đây, Quỳnh Lưu là huyện đã triển khai và tổ chức có hiệu việc dạy học 2buổi/ngày theo hướng phân hóa đối tượng học sinh Đây là điều kiện để giáo viên có thể lựa chọn, phân nhóm đối tượng học sinh theo nguyện vọng, lực các em để vừa phụ đạo, ôn tập củng cố lại kiến thức chuẩn (đối với đối tượng học sinh yếu, trung bình) và nâng cao kiến thức bồi dưỡng học sinh khiếu (đối với học sinh giỏi theo môn), góp phần đào tạo nhân tài cho đất nước Trong năm học vừa qua, Ban giám hiệu nhà trường phân công đảm nhận công tác bồi dưỡng học sinh khiếu Toán, nghiên cứu mở rộng, phát triển kiến thức để bồi dưỡng cho các em, chúng tôi nhận thấy chương trình Toán 5, có nhiều mảng, nhiều dạng toán phong phú, đa dạng, đó toán chuyển động kim đồng hồ là dạng khó Nhưng đây là bài toán lý thú, hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh giải theo phương pháp Tiểu học Giáo viên cần cho học sinh tiếp cận để mở mang kiến thức, rèn luyện tư và khả nhanh nhạy cho các em học toán Xuất phát từ vấn đề đó, chúng tôi đã lựa chọn và dày công nghiên cứu tìm giải pháp tốt để giúp học sinh học tốt dạng toán này B/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Trong hai năm học này, thi giải toán qua mạng Violympic đông đảo học sinh toàn tỉnh hưởng ứng Riêng với lớp 5, số vòng cuối (vòng 27, vòng 28, vòng 33 ) các bài toán chuyển động kim đồng hồ xuất khá nhiều Khi gặp bài toán này, các em học sinh thực lúng túng, hay nhầm lẫn, tốn nhiều thời gian làm ảnh hưởng đến kết chung vòng thi Vậy nguyên nhân là đâu? Qua thực tế giảng dạy và ý kiến trao đổi số đồng nghiệp, chúng tôi rút số nguyên nhân sau: 1) Về vấn đề tài liệu tham khảo: Thường các mảng toán khác, tài liệu nâng cao để giáo viên và học sinh tham khảo khá phong phú, các bài toán chuyển động kim đồng hồ lại ít chú ý đến Qua nghiên cứu nhiều tài liệu, chúng tôi thấy “ Toán chuyên đề số đo thời gian & chuyển động” -Lop1.net (2) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” tác giả Phạm Đình Thực là có chuyên đề dành riêng cho phần “Các bài toán kim đồng hồ” phần này lại viết quá ít có bài mẫu liên quan đến chuyển động các kim (các bài khác viết đồng hồ điện tử và xuất các số trên màn hình) và bài luyện tập không cùng dạng với bài mẫu, đó có bài phần hướng dẫn giải phức tạp, khó hiểu giáo viên và học sinh Ngoài ra, “Toán nâng cao lớp 5- Tập 2” Vũ Dương Thụy, Đỗ Trung Hiệu có số bài nữa, còn các khác không đề cập đến Nguồn kiến thức để giáo viên tham khảo quá nghèo nàn 2) Về phía giáo viên: Vì đây là dạng khó nên thực tế giảng dạy thông thường các giáo viên dựa vào số bài tài liệu bài hướng dẫn học sinh giải, chưa chịu khó việc khai thác, phát triển thêm kiến thức, chưa biết cách phân chia thành các dạng bài, xây dựng cách thức tính thời gian cho dạng bài để cung cấp cho học sinh 3) Đối với học sinh: Đây là dạng toán khó, trừu tượng tư học sinh Tiểu học, lại chưa giáo viên chú trọng khắc sâu kiến thức Vì giải bài toán này, các em thường gặp khó khăn sau: - Không nhận diện các bài toán đã cho thuộc dạng toán nào mảng toán chuyển động - Cách hiểu vận tốc, hiệu vận tốc kim phút và kim còn mơ hồ - Lúng túng việc xác định khoảng cách ban đầu hai kim - Nhầm lẫn cách tính thời gian các dạng bài và các bài cùng dạng (hai kim chuyển động để trùng khít lên nhau; để tạo với thành góc vuông; tạo với thành đường thẳng;…) Từ nguyên nhân trên, chúng tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm giải pháp tốt để các giáo viên có thể tự tin lên lớp bồi dưỡng và học sinh tiếp cận dạng toán này cách hứng thú có hiệu C/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: I/ Xây dựng các công thức dạng toán “Chuyển động cùng chiều đuổi nhau”: Dựa vào quan hệ chuyển động các kim (được coi là các động tử chuyển động trên mặt số đồng hồ), phần lớn các bài toán kim đồng hồ xếp vào dạng “Chuyển động cùng chiều” Giáo viên phải giúp học sinh xây dựng, nắm vững và vận dụng các công thức thuộc dạng toán này cách thành thạo trước cho học sinh tiếp cận với các bài toán kim đồng hồ Việc xây dựng các công thức cần thông qua bài toán đơn giản * Ví dụ: Một người xe đạp từ B đến C với vận tốc 12km/giờ Cùng lúc đó người xe đạp từ A cách B 48 km với vận tốc 36km/giờ và đuổi theo xe đạp Hỏi sau bao lâu xe máy đuổi kịp xe đạp? (B nằm trên AC) -Lop1.net (3) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” * GV vẽ sơ đồ tóm tắt nội dung bài toán: Giả sử N là điểm hai xe gặp nhau, ta có sơ đồ: Xe máy Xe đạp Chỗ gặp 48 km A B N C * Hướng dẫn tìm hiểu: Cho học sinh quan sát sơ đồ: - Khi xe máy đuổi kịp xe đạp C thì xe đã đoạn đường nào? (Xe máy đoạn AN, xe đạp đoạn BN) - Như xe máy đã xe đạp đoạn đường nào? (Đoạn đường AB Đó chính là khoảng cách lúc đầu hai xe) - Mỗi xe máy xe đạp bao nhiêu km? (36 – 12 = 24 km) - Vậy thời gian cần thiết để xe máy xe đạp 48 km (và chính là thời gian để xe máy đuổi kịp xe đạp) là bao nhiêu? ( 48 : 24 = giờ.) *Giáo viên viết gộp hai bước tính để có biểu thức: 48 : ( 36 – 12 ) = ( ) Cho học sinh nêu vai trò sối liệu trên biểu thức, giáo viên ghi bảng; 48 : ( 36 – 12 ) = ( ) Khoảng cách động tử Hiệu vận tốc Thời gian đuổi kịp Từ đây, GV cho HS quan sát biểu thức để rút kết luận: Hai động tử có khoảng cách AB cùng khởi hành lúc để đuổi kịp thì thời gian đuổi kịp tính sau: + Thời gian = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc(1) Từ công thức (1) các em có thể dễ dàng suy hai công thức tiếp theo: + Khoảng cách = Hiệu vận tốc x Thời gian đuổi kịp(2) + Thời gian đuổi kịp = Khoảng cách : Hiệu hai vận tốc(3) * Giáo viên cho Hs đọc thuộc công thức để áp dụng giải các bài toán “Chuyển động cùng chiều đuổi nhau”, đó có các bài toán kim đồng hồ II/ Hướng dẫn HS tìm hiểu vận tốc; hiệu vận tốc kim phút và kim giờ: Thông thường các bài toán chuyển động kim đồng hồ liên quan đến quan hệ chuyển động kim phút và kim Gv hướng dẫn HS xác định vận tốc kim phút, kim và hiệu vận tốc hai kim sau: * Vẽ hình tròn tượng trưng cho bề mặt đồng hồ 12 * GV nêu câu hỏi dẫn dắt tìm hiểu: Chia đường tròn bao quanh mặt đồng hồ thành 12 phần (như hình vẽ) - Trong giờ, kim di chuyển quãng đường bao nhiêu phần vòng đồng hồ? (1 giờ, kim di chuyển từ vạch này đến vạch => Kim đoạn đường 1/12 vòng đồng hồ) Lop1.net (4) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” - Trong giờ, kim phút đoạn đường nào? (1 giờ, kim phút quay đúng vòng trên bề mặt đồng hồ) - Trong kim phút kim đoạn đường bao nhiêu? ( kim phút kim là: – 11 = (vòng đồng hồ) ) 12 12 * Gv chốt: Ta xem: - Vận tốc kim là vòng đồng hồ/giờ 12 - Vận tốc kim phút là vòng đồng hồ/giờ - Hiệu vận tốc hai kim là 11 vòng đồng hồ/giờ 12 Vì tốc độ kim giờ, kim phút (khi đồng hồ chạy chuẩn) là không thay đổi nên vận tốc kim phút, kim và hiệu vận tốc hai kim là đại lượng không thay đổi Các em cần nắm điều này để áp dụng giải toán III/ Hướng dẫn học sinh xác định khoảng cách ban đầu kim phút và kim giờ: * GV vẽ hình minh họa số trường hợp sau: 12 12 Hình 12 Hình Hình Ví dụ: - Ở hình 1: Đồng hồ đúng Lúc đó kim phút vị trí số 12, kim vị trí số Vậy khoảng cách ban đầu (KCBĐ) kim phút và kim là 3/12 (hay 1/4) vòng đồng hồ - Ở hình 2: Đồng hồ đúng Lúc đó kim phút số 12, kim số Vậy KCBĐ kim phút và kim là 9/12 (hay 3/4) vòng đồng hồ - Ở hình 3: Đồng hồ 15 phút Lúc đúng, kim phút số 12, kim số 5; thêm 15 phút ( tức là 1/4 giờ) thì kim phút thêm 1/4 vòng đồng hồ và nó vị trí số Còn kim thêm 1/4 khoảng cách từ số đến số và 1/4 khoảng cách này ứng với 1/12 x 1/4 = 1/48 vòng đồng hồ Từ số đến só ứng với 1/6 vòng đồng hồ Như KCBĐ kim phút và kim là 1/6 + 1/48 = 9/48 vòng đồng hồ * Vấn đề cần lưu ý: - Cả hai kim chuyển động cùng chiều xoay vòng trên đường khép kín vì kim phút có vận tốc lớn kim nên ta xem kim phút chuyển động để Lop1.net (5) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” đuổi theo kim Vì ta quy ước khoảng cách ban đầu (KCBĐ) luôn luôn tính từ vị trí kim phút đến vị trí kim theo chiều quay kim đồng hồ Cách xác định KCBĐ này áp dụng cho tất các bài toán kim đồng hồ trình bày sáng kiến này - Có số tài liệu, số bài xác định KCBĐ trên, số bài lại xác định KCBĐ là phần còn lại vòng đồng hồ.Chính không đồng đó đã gây khó khăn cho HS quá trình làm bài tập.Vì bồi dưỡng, chúng tôi đã thống xác định KCBĐ trên để dễ dàng cho HS giải toán - Hiểu vận tốc, hiệu vận tốc kim phút, kim và nắm vững cách xác định KCBĐ trợ giúp đắc lực cho các em quá trình giải các bài toán kim đồng hồ Vì vậy, hai bước này GV cần tách riêng và hướng dẫn thật kĩ trước đề toán cụ thể cho HS III/ Áp dụng kiến thức mục I, II,III để giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ: Để giúp HS phân biệt rạch ròi, nắm vững công thức và phương pháp giải cách chính xác, nhanh nhạy, chúng tôi đã chia các bài toán chuyển động kim đồng hồ thành các dạng sau để bồi dưỡng cho các em: 1) Dạng 1: Hai kim chuyển động để chồng khít lên Ở dạng này chia làm hai trường hợp: a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu * Bài toán mẫu: Hiện là Hỏi kim phút đuổi kịp kim sau bao lâu thời gian nữa? * Gv cho HS quan sát vị trí kim phút, kim để 12 trả lời câu hỏi: - Vào lúc đúng, kim phút, kim nằm vị trí nào? (Kim phút số 12, kim số 1) - Khoảng cách kim phút và kim là bao nhiêu? ( 1/12 vòng đồng hồ) - Khi kim phút đuổi kịp kim (hai kim trùng nhau) thì kim phút đã kim đoạn đường bao nhiêu? (1/12 vòng đồng hồ, tức là KCBĐ kim phút và kim giờ.) Từ đây, GV cho HS vận dụng kiến thức mục I, II, III để xác định vận tốc kim phút, kim giờ, áp dụng công thức tìm thời gian đuổi kịp và giải bài toán Bài giải: Lúc giờ, kim phút số 12, kim số => Khoảng cách ban đầu kim phút và kim là vòng đồng hồ Đến kim phút và kim trùng 12 -Lop1.net (6) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” và thì kǩm phút đã kim đoạn đường đúng vòng đồng hồ Vận tốc kim là vòng đồng hồ/giờ 12 Vận tốc kim phút là vòng đồng hồ/giờ Hiệu vận tốc kim phút và kim là: 1- 11 = (vòng đồng hồ/giờ) 12 12 Thời gian để kim phút đuổi kịp kim là: 11 : 12 12 = Đáp số: Kết luận: (giờ) 11 11 Thời gian để kim phút đuổi kịp kim tính sau: t = KCBĐ : Hiệu vận tốc * Các bài toán để luyện tập: 1/ Hiện là (3 giờ; giờ; ;11 giờ; 12 giờ) Hỏi sau bao lâu thì hai kim trùng khít lên nhau? 2/ Hiện là 15 phút Hỏi sau bao lâu thì kim phút đuổi kịp kim giờ? Lúc đó là giờ? Cách giải các bài toán trên hoàn toàn tương tự bài toán mẫu Chỉ cần HS xác định đúng KCBĐ hai kim sau đó lấy KCBĐ chia hiệu vận tốc (Hiệu vận tốc luôn 11 vòng đồng hồ/ giờ) là tìm thời gian hai kim trùng khít lên 12 (tức là thời gia cần thiết để kim phút đuổi kịp kim giờ) Chú ý trường hợp 12 đúng, lúc đó kim phút và kim đã trùng vị trí số 12 => KCBĐ Sau đó kim phút chạy vượt lên và đến hai kim trùng khít lên lần thì kim phút đã kim đúng vòng đồng hồ Ta lấy 1chia 11/12 là tìm thời gian để hai kim trùng khít lên lần Với bài số 2, HS vận dụng cách tính KCBĐ đã hướng dẫn phần III thời điểm ban đầu không phải là đúng, sau đó áp dụng công thức để tìm đáp số b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu: * Bài toán mẫu: Khi kim phút và kim trùng và thì đồng hồ giờ? * Hướng dẫn giải: Đưa 1giờ đúng để suy luận sau đó hoàn toàn áp dụng cách giải bài toán mẫu trường hợp a Cụ thể sau: Bài giải: Vào lúc đúng, kim phút số 12, kim số => Khoảng cách ban đầu kim phút và kim là vòng đồng hồ Đến kim phút và kim trùng 12 -Lop1.net (7) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” và thì kim phút đã kim đoạn đường đúng 12 vòng đồng hồ (Bước giải hoàn toàn tương tự bài toán mẫu trường hợp 1) Đáp số: 1 11 * Mẹo giải các bài toán mẫu này: Khi đề toán cho kim phút và kim trùng a và b (0 < a < b < 12) thì đưa a đúng để suy luận và giải bài toán bài toán mẫu mục a * Các bài toán khác để luyện tập: 1/ Khi kim phút và kim trùng vị trí và (3 và giờ; và giờ; ; 10 và 11 giờ; 11 và 12 giờ) thì lúc đó là giờ? 2/ Trong ngày có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ trùng khít lên nhau? 2) Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với thành góc vuông Dạng này chia làm hai trường hợp sau: a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh hai kim tạo với thành góc vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim từ kim đến kim phút) thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm lúc đầu tạo nên: KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ * Bài toán mẫu: Hiện là Hỏi sau bao lâu thì kim phút và kim tạo với thành góc vuông? * Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hiểu: 12 - Vào lúc đúng, kim phút, kim nằm vị trí nào? (Kim phút số 12, kim số 1) - Khoảng cách kim phút và kim là bao nhiêu? ( 1/12 vòng đồng hồ.) - Đến kim phút và kim tạo với thành góc vuông thì khoảng cách từ kim phút đến kim là bao nhiêu? ( 1/4 vòng đồng hồ) - Lúc đó, kim phút đã kim đoạn đường bao nhiêu? ( Đây là câu hỏi khó, giáo viên cần hướng dẫn các em quan sát hình vẽ để nhận thấy: kim phút và kim tạo với thành góc vuông thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim ( bài toán mẫu dạng 1) Tại thời điểm đó, kim phút đã kim đoạn đường KCBĐ là 1/12 vòng đồng hồ Sau đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khoảng cách nó và kim tạo với thành góc vuông thì nó tiếp tục kim 1/4 vòng đồng hồ Như nó đã kim đoạn đường là: 1 ( vòng đồng hồ) ) 12 -Lop1.net (8) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Từ đây, áp dụng bài toán mẫu dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm đáp số bài toán cách lấy tổng quãng đường kim phút kim (1/3 vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ) Bài giải: Lúc giờ, kim phút số 12, kim số Khoảng cách kim phút và kim là vòng đồng hồ Khi kim phút và kim tạo với thành 12 góc vuông thì kim phút đã kim là: 1 + = (vòng đồng hồ) 12 Trong giờ, kim vòng đồng hồ kim phút vòng đồng 12 hồ Vậy giờ, kim phút kim là: 1– = 12 11 ( vòng đồng hồ) 12 Thời gian để hai kim tạo với thành góc vuông là: 11 : 12 11 (giờ ) Đáp số : 11 * Giáo viên gộp bước giải cuối để có biểu thức: 12 + ) : ( KCBĐ + 1/4 ) : ( Kết luận: 11 12 Hiệu vt = ( ) 11 = Thời gian Thời gian hai kim tạo với thành góc vuông tính sau: t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12 *Chú ý thêm là vào lúc 12 đúng thì KCBĐ Muốn tìm thời gian hai kim tạo với thành góc vuông, ta việc lấy 1/4 chia hiệu vận tốc * Các bài toán để luyện tâp: Bài 1: Hiện là 12 (hoặc giờ; giờ) Hỏi sau bao lâu khoảng cách hai kim tạo thành góc vuông? Bài 2:Đức nhà mình để đến nhà Tài lúc 20 phút.Khi Đức đến nơi thì vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với thành góc vuông Hỏi Đức đến nhà Tài lúc giờ? Bài 3: Trong ngày đêm có bao nhiêu lần hai kim đồng hồ vuông góc với nhau? -Lop1.net (9) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh hai kim tạo với thành góc vuông (tính theo chiều kim đồng hồ từ kim phút đến kim từ kim đến kim phút) thì kim phút chuyển động không phải vượt qua kim Trường hợp này lại chia thành hai nhóm nhỏ: Nhóm 1: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên: 1/4vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ * Bài toán mẫu: Hiện là Hỏi sau bao nhiêu thời gian thì khoảng cách hai kim tạo thành góc vuông? 12 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào lúc đúng, kim phút nằm vị trí số 12, kim nằm vị trí số Khoảng cách từ kim phút đến kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng hồ Đến khoảng cách hai kim tạo với thành góc vuông thì khoảng cách này rút ngắn còn 1/4 vòng đồng hồ Như vậy, khoảng thời gian đó, kim phút đã kim đoạn 4 đường KCBĐ trừ 1/4 ( vòng đồng hồ) Từ đó, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với thành góc vuông ta việc lấy quãng đường kim phút kim chia hiệu vận tốc hai kim Bài giải hoàn chỉnh sau: Bài giải: Lúc giờ, kim phút số 12, kim số Khoảng cách kim phút và kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ Khi kim phút và kim tạo với thành góc vuông thì khoảng cách này rút ngắn lại còn vòng đồng hồ => Trong khoảng thời gian đó, kim phút đã kim là: 1 (vòng đồng hồ) 4 Trong giờ, kim vòng đồng hồ Kim phút vòng đồng 12 hồ Vậy giờ, kim phút kim là: 1– = 12 11 ( vòng đồng hồ) 12 Thời gian để hai kim tạo với thành góc vuông là: 11 : ( ) 12 11 Đáp số : 11 -Lop1.net (10) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” * Giáo viên gộp bước giải cuối để có biểu thức: - ) : 11 12 ( KCBĐ - 1/4 ) : Hiệu vt ( = ( ) 11 = Thời gian Kết luận: Thời gian hai kim tạo với thành góc vuông tính sau: t = (KCBĐ – 1/4): 11/12 * Các bài toán để luyện tập: 1/ Hiện là ( hoặc5 giờ; giờ; giờ; giờ) Hỏi sau bao lâu khoảng cách hai kim tạo thành góc vuông? 2/ Khi Thông bắt đầu ngồi vào bàn làm bài tập Toán cô giáo nhà thì bạn xem và thấy đồng hồ 45 phút Thông dự định làm bài 30 phút Đến Thông giải xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ vuông góc với Hỏi với thời gian dự định Thông có làm xong bài tập không? Nhóm 2: Nhóm các bài toán có thời điểm lúc đầu tạo nên: KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ * Bài toán mẫu: Hiện là 10 Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách hai kim tạo với thành góc vuông? 12 * Gv vẽ hình, cho HS quan sát hình và nhận xét:Vào lúc 10 đúng, kim phút nằm vị trí số 12, kim nằm vị trí số 10 KCBĐ từ kim phút đến kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là 5/6 vòng đồng hồ Đến hai kim tạo với thành góc vuông thì khoảng cách tính từ kim đến kim phút (tính theo chiều quay kim đồng hồ) đúng 1/4 vòng đồng hồ => KCBĐ từ kim phút đến kim (tính theo chiều quay kim đồng hồ) là 3/4 vòng đồng hồ (1 - ) 4 Như vậy, khoảng thời gian đó kim phút đã kim đoạn đường KCBĐ trừ 3/4 ( vòng đồng hồ) Từ đó, tương tự các 12 bài toán trên, muốn tìm thời gian để khoảng cách hai kim tạo với thành góc vuông ta việc lấy quãng đường kim phút kim chia hiệu vận tốc hai kim 10 Lop1.net (11) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Bài giải: Lúc 10 giờ, kim phút số 12, kim số 10 Khoảng cách kim phút và kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ Khi kim phút và kim tạo với thành góc vuông thì khoảng cách tính từ kim đến kim phút (tính theo chiều quay kim đồng hồ) đúng 1/4 vòng đồng hồ => Khoảng cách từ kim phút đến kim (tính theo chiều quay kim đồng hồ) lúc này là: 1- (vòng đồng hồ) 4 Vậy khoảng thời gian đó, kim phút đã kim là: (vòng đồng hồ) 12 Trong giờ, kim vòng đồng hồ kim phút vòng đồng 12 hồ => Trong giờ, kim phút kim là: 1– = 12 11 ( vòng đồng hồ) 12 Thời gian để hai kim tạo với thành góc vuông là: 11 : ( ) 12 12 11 Đáp số : 11 * Giáo viên gộp bước giải cuối để có biểu thức: ( ( KCBĐ - ) - 3/4 ) : 11 12 : Hiệu vt = ( ) 11 = Thời gian Kết luận: Thời gian hai kim tạo với thành góc vuông tính sau: t = (KCBĐ – 3/4) : 11/12 *Các bài toán để luyện tập: 1/ Hiện là 11 Hỏi sau bao lâu khoảng cách hai kim tạo thành góc vuông? 2/ Hiện là 12 50 phút Hỏi hai kim tạo với thành góc vuông thì lúc đó là giờ? 3) Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với thành đường thẳng Dạng này chia làm hai trường hợp sau: 11 Lop1.net (12) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” a) Trường hợp 1: Để khoảng cánh hai kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút phải chuyển động vượt qua kim Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ * Bài toán mẫu: Hiện là Hỏi sau bao lâu kim phút và kim tạo với thành đường thẳng?Lúc đó là giờ? * Gv hướng dẫn HS quan sát hình, nêu câu hỏi dẫn dắt để giúp các em giải bài toán: - Vào lúc đúng, kim phút; kim vị trí nào? (kim phút vị trí số 12, kim vị trí số 4) 12 - Khoảng cách ban đầu tính từ kim phút đến kim (theo chiều quay kim đồng hồ) là bao nhiêu? (1/3 vòng đồng hồ) - Đến hai kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút đã kim đoạn đường bao nhiêu phần vòng đồng hồ? (Đây là câu hỏi khó, GV cần cho HS định hình cách di chuyển hai kim để thấy rõ: kim phút và kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút đã chạy vượt lên gặp kim (như bài toán mẫu dạng 1) Tại thời điểm đó, kim phút đã kim đoạn đường khoảng cách ban đầu là 1/3 vòng đồng hồ Sau đó kim phút tiếp tục vượt lên, đến khoảng cách nó và kim tạo với thành đường thẳng thì nó tiếp tục kim 1/2 vòng đồng hồ Như nó đã kim đoạn đường là: 1/3 + 1/2 = 5/6 ( vòng đồng hồ) ) Từ đây, áp dụng bài toán mẫu dạng 1, mục a, học sinh đã có thể dễ dàng tìm đáp số bài toán cách lấy tổng quãng đường kim phút kim (5/6 vòng đồng hồ) chia cho hiệu vận tốc hai kim (11/12 vòng đồng hồ) Bài giải: Lúc giờ, kim phút số 12, kim số Khoảng cách kim phút và kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ Đến kim phút và kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút đã kim là: 1 (vòng đồng hồ) Trong giờ, kim vòng đồng hồ Kim phút vòng đồng 12 hồ Vậy giờ, kim phút kim là: 1– = 12 11 ( vòng đồng hồ) 12 Thời gian để hai kim tạo với thành đường thẳng là: 12 Lop1.net (13) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Lúc đó là: 11 10 : ( ) 12 11 10 10 + (giờ) 11 11 Đáp số: 10 10 giờ; 11 11 * Giáo viên gộp bước giải cuối để có biểu thức: ( ) + ( KCBĐ + 1/2 ) 11 12 = Hiệu vt = : : 10 ( ) 11 Thời gian Kết luận: Thời gian hai kim tạo với thành đường thẳng tính sau: t = (KCBĐ + 1/2) : 11/12 * Các bài toán để luyện tập: 1/ Hiện là (hoặc giờ; giờ;5 giờ; giờ; 12 giờ) Hỏi sau bao lâu khoảng cách hai kim tạo thành tạo thành đường thẳng? 2/ Bạn Lan gấp thuyền giấy làm đồ chơi, phút Lan gấp thuyền Khi bắt đầu gấp, Lan xem thì thấy đồng hồ 45 phút Đến Lan dừng tay thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ tạo với thành đường thẳng Hỏi lúc đó Lan đã gấp hoàn thành bao nhiêu thuyền? b) Trường hợp 2: Để khoảng cánh hai kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút không phải chuyển động vượt qua kim Trường hợp này tương ứng với các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ > 1/2 vòng đồng hồ * Bài toán mẫu: Hiện là Hỏi hai kim tạo với thành đường thẳng thì lúc đó là giờ? 12 9 6 Tương tự các bài toán trên HS nhanh chóng xác định KCBĐ kim phút và kim là 8/12 (hay 2/3) vòng đồng hồ Đến hai kim tạo với thành đường thẳng thì khoảng cách rút ngắn lại còn 1/2 vòng đồng hồ Khi đó kim phút đã kim là 1/6 vòng đồng hồ (2/3 – 1/2 = 1/6) Sau đó lấy 1/6 chia hiệu vận tốc là tìm thời gian để hai kim thẳng hàng với 13 Lop1.net (14) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Bài giải: Lúc giờ, kim phút số 12, kim số Khoảng cách kim phút và kim (tính theo chiều kim đồng hồ) là vòng đồng hồ Đến kim phút và kim tạo với thành đường thẳng thì kim phút đã kim là: 1 (vòng đồng hồ) Trong giờ, kim vòng đồng hồ kim phút vòng 12 đồng hồ Vậy giờ, kim phút kim là: 1– = 12 11 ( vòng đồng hồ) 12 Thời gian để hai kim tạo với thành đường thẳng là: 11 : ( ) 12 11 2 Lúc đó là: + (giờ) 11 11 Đáp số: 11 * Giáo viên gộp bước giải cuối để có biểu thức: ( (KCBĐ - - ) : 11 12 1/2 ) : Hiệu vt = ( ) 11 = Thời gian Kết luận: Thời gian hai kim tạo với thành đường thẳng tính sau: t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12 * Các bài toán sau: 1/ Hiện là (hoặc giờ; 10 giờ;11 giờ) Hỏi sau bao lâu khoảng cách hai kim tạo thành tạo thành đường thẳng? 2/ Hiện là 12 40 phút Hỏi đến hai kim tạo với thành đường thẳng thì lúc đó là giờ? *3/ Nam bắt đầu giải bài toán khoảng từ đến chiều, kim phút và kim trùng Khi giải xong bài toán thì vừa lúc kim phút và kim thẳng hàng với Hỏi Nam đã giải bài toán bao nhiêu thời gian và giải xong lúc giờ? 14 Lop1.net (15) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” * Điểm lưu ý: - Cả dạng trên, bài toán mẫu chúng tôi đề cập đến bài toán mà thời điểm ban đầu là đúng (VD: Hiện là giờ, giờ, giờ, ) Trong tất các bài đó, vị trí ban đầu kim phút luôn cố định số 12 trên bề mặt đồng hồ Trên sở đó, phần luyện tập chúng tôi có sáng tác thêm số bài toán mà thời điểm ban đầu là kém Ở bài toán đó, việc xác định quãng đường mà kim phút kim phức tạp cần vận dụng kiến thức đã hướng dẫn mục III nhiều em giải tốt Các bài tập này khuyến khích HS học khá để phát triển thêm tư và sáng tạo các em Khi sáng tác đề để luyện tập sau dạng bài, giáo viên cần nhẩm tính thật chuẩn xác KCBĐ cho phù hợp dạng cung cấp cho học sinh để giúp các em thực hành tốt - Khi học sinh làm bài không thiết phải vẽ hình, cần các em vẽ phác ngoài nháp, xác định KCBĐ, lấy số liệu phục vụ cho bài giải là * Cách định hướng để tìm nhanh đáp số các bài toán thuộc dạng trên tham gia giải toán qua mạng: Bước 1: Xác định vị trí ban đầu kim phút, kim Bước 2: Tìm KCBĐ kim phút và kim Bước 3: Đối chiếu với phần kết luận cách tính thời gian dạng bài để bấm máy tính tìm nhanh đáp số 4) Dạng 4: Hai kim chuyển động và đổi chỗ cho (tham khảo thêm) Ngoài dạng đã trình bày trên, toán chuyển động kim đồng hồ còn có dạng bài hai kim chuyển động và đổi chỗ cho Ở dạng bài này hướng giải hoàn toàn khác với dạng trên Cách xác định quãng đường đơn giản hơn, chúng tôi xin nêu ví dụ sau: Bài toán: Tuấn ngồi làm văn cô giáo cho nhà Khi Tuấn làm bài xong thì thấy vừa lúc hai kim đồng hồ đã đổi chỗ cho Hỏi Tuấn làm bài văn hết bao nhiêu phút? * Phân tích: Khi hai kim đồng hồ đổi chỗ cho thì kim phút đã quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim giờ, còn kim thì quãng đường từ vị trí kim đến vị trí kim phút Như vậy, tổng quãng đường mà hai kim đồng hồ đã là đúng vòng đồng hồ Lấy tổng quãng đường hai kim đã chia cho quãng đường hai kim là tính thời gian để hai kim đổi chỗ cho nhau… Bài giải: Từ Tuấn bắt đầu làm bài hai kim đồng hồ đổi chỗ cho thì: 15 Lop1.net (16) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” - Kim phút quãng đường từ vị trí kim phút đến vị trí kim lúc đầu - Kim quãng đường từ vị trí kim đến vị trí kim phút lúc đầu => Tổng quãng đường hai kim đã đúng vòng đồng hồ - Trong giờ: Kim phút vòng đồng hồ Kim vòng đồng hồ 12 => Trong giờ, hai kim chạy được: + 13 = (vòng đồng hồ) 12 12 Thời gian Tuấn làm bài là: : 13 12 = (giờ) 12 13 12 = 55 phút 13 13 Đáp số: 55 phút 13 Kết luận: Thời gian để hai kim đổi chỗ cho tính sau: t = : Tổng vận tốc D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong quá trình bồi dưỡng, áp dụng kinh nghiệm trên để hướng dẫn HS giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ chúng tôi thấy thực có hiệu Dựa vào định hướng chung và các công thức dạng bài Khi tham dự các kì thi HS giỏi (đặc biệt là giải toán qua mạng) có bài toán này các em đội tuyển toán lớp đã nhanh chóng nhận diện dạng bài, áp dụng công thức phù hợp để làm bài nhanh và chính xác Xin phép trích dẫn lại bài toán và cách giải tác giả Pham Đình Thực mà chúng tôi đã đề cập đến phần “Đặt vấn đề” Bài toán: Bây 15 40 phút Hỏi sau bao nhiêu lâu thì kim và kim phút làm thành đường thẳng? 12 Bài giải tác giả: Trước hết ta tính xem lúc đầu kim chạy sau kim phút phần vòng đồng hồ? Lúc 15 40 phút thì kim phút đúng vào số còn kim vào 2/3 khoảng cách từ số đến số (vì 40 phút = 2/3 giờ) Nói cách khác Kim vào 1/3 khoảng cách từ số đến số (vì – = ) 3 16 Lop1.net (17) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” 84 (vòng) 12 Khoảng cách từ kim đến số khoảng cách từ số đến số 3, tức là Khoảng cách từ số đến số là: bằng: 1 x (vòng) 12 36 Vậy lúc 15 40 phút kim còn cách kim phút: 1 13 (vòng) 36 36 b) Bây ta tính khoảng thời gian hai kim thẳng hàng: Nhìn vào hình vẽ ta thấy lúc hai kim thẳng hàng thì: (Quãng đường kim phút đi) + (KCBĐ) – (Quãng đường kim đi) = vòng Vậy: (Quãng đường kim phút đi) – (Quãng đường kim đi) = = vòng (KCBĐ) 1 vòng vòng = vòng 36 36 Vì kim phút nhanh gấp 12 lần kim nên ta có sơ đồ: Quãng đường kim đi: x Quãng đường kim phút đi: x x x x x x x x x x x x vòng 36 Vậy quãng đường kim đã là: 5 : (12 – 1) = : 11 = (vòng) 36 36 396 Kim vòng 12 Vậy thời gian phải tìm là: 720 phútx5 3600 phut x 12 = = 9,09 phút 396 396 396 Đáp số: 9,09 phút Chúng tôi yêu cầu nhóm học sinh giỏi toán lớp 5C trường Tiểu học Cầu Giát giải bài tập trên Sau xác định KCBĐ, các em đã nhanh chóng nhận đây là bài toán thuộc dạng (trường hợp 1) và làm bài tốt Xin trích dẫn bài giải em Nguyễn Thanh Bình (năm tham gia thi giải toán qua mạng cấp quốc gia đạt 280 điểm – cao tỉnh) là bài làm có mạch lí luận tốt 17 Lop1.net (18) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Giải: Đổi 40 phút = Vào lúc đúng, kim số 3, kim phút số 12 Vì kim phút đoạn đường vòng đông hồ, kim vòng đông hồ 12 (tức là di chuyển từ vạch này đến vạch tiếp theo) Vậy thời gian tăng 2 giờ) thì kim di chuyển đoạn đường từ khoảng cách 3 2 số và số đoạn đường đó ứng với: x (vòng đồng hồ) 12 18 Còn kim phút đã di chuyển thêm vòng đồng hồ và nằm đúng vị trí số Khoảng cách từ số đến số tính theo chiều quay kim đồng hồ ứng với 12 thêm 40 phút (tức là vòng đồng hồ => Khoảng cách ban đầu kim phút và kim tính theo chiều quay kim đồng hồ là: 23 (vòng đồng hồ) 12 18 36 Vì kim phút chạy nhanh nên đến hai kim tạo với thành đường thẳng thì khoảng cách này thu hẹp lại còn vòng đồng hồ Vậy thời gian để hai kim tạo với thành đường thẳng là: ( 23 11 ): = (giờ) 36 12 33 = (phút) 33 11 Đáp số: phút 11 Đổi: * Rõ ràng hai cách giải trên, cách mà HS trình bày vừa ngắn gọn lại vừa dễ hiểu Chúng tôi cảm thấy vui vì cố gắng mình đã đạt hiệu Không dạng toán này, tất các phần khác, chúng tôi cố gắng sưu tầm, sáng tác, tập hợp thành dạng, tìm cách hướng dẫn cho HS dạng bài để giúp các em nắm và vận dụng kiến thức cách chắn Chính vì vậy, đội tuyển HS giỏi toán lớp chúng tôi năm qua, tham gia các kì thi cấp quốc gia, tỉnh huyện đạt giải cao Xin dẫn vài số liệu: Trong các kì giao lưu Toán Tuổi Thơ toàn quốc lần thứ nhất, thứ hai, thứ ba có em tham gia, kết quả: em đạt huy chương vàng, em đạt huy chương bạc, em đạt huy chương đồng 18 Lop1.net (19) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Năm học 2006 – 2007 , kì giao lưu Toán Tuổi Thơ cấp huyện Phòng GD&ĐT huyện Quỳnh Lưu tổ chức, đội tuyển có 10 em tham gia, đó em đạt giải Nhất (toàn huyện có giải Nhất), em đạt giải Nhì, em đạt giải Ba Năm học 2008 – 2009, Phòng GD&ĐT huyện Quỳnh Lưu tổ chức kì thì H khiểu Tiếng Việt + Toán Đội tuyển toán có 18 em tham gia, đó có 12 em đạt giải Nhất Năm học này, kì thi Giải toán qua mạng cấp tỉnh , có em đạt điểm tối đa dự thi cấp quốc gia Kết quả, em đạt số điểm cao tỉnh (tính riêng cho HS Tiểu học) với số điểm là 280 điểm, em đạt 270 điểm, em đạt 240 điểm Chúng tôi phấn khởi vì nổ lực, cố gắng mình giảng dạy và bồi dưỡng đã đem đến hiệu cao E: BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trong năm học này, chúng ta thực vận động “Mỗi thầy cô giáo là gương đạo đức tự học và sáng tạo” Công đoàn Giáo dục Việt Nam phát động Để đáp ứng với yêu cầu trình độ người GV thời đại mới, thầy cô giáo cần phải vận động không ngừng, luôn tự học, tự nghiên cứu sáng tạo để vốn kiến thức luôn bổ sung, luôn làm Đặc biệt công tác bồi dưỡng HS giỏi, vấn đề này lại càng quan trọng Tài HS ví nguồn tài nguyên còn nằm lòng đất, cần thầy cô giáo phát hiện, khai thác và sử dụng Muốn lực và trình độ chuyên môn người thầy phải thật vững vàng để thực đáp ứng nhu cầu học tập các em Trong công tác bồi dưỡng HS giỏi môn toán Tiểu học, việc sưu tầm, tập hợp, sáng tác, xếp các bài bài toán theo dạng và định hướng “chìa khóa” giải cho dạng bài là quan trọng Với cách làm vậy, HS thích thú có cảm giác kho tàng kiến thức mở vô tận trước mắt, tạo cho các em chạy đua thầm lặng việc kiếm tìm, phát và chiếm lĩnh kiến thức Với các bài toán chuyển động kim đồng hồ, bước quan trọng đầu tiên là tập cho các em định hình và tính KCBĐ kim phút và kim Khoảng cách này luôn tính từ vị trí kim phút đến vị trí kim (Tính theo chiều quay kim đồng hồ) Sau đó xếp, phân chia các bài toán theo dạng, dạng lại chia các trường hợp và xây dựng công thức tính thời gian cho trường hợp Cụ thể sau: Dạng 1: Hai kim đồng hồ chuyển động để trùng khít lên nhau: a) Trường hợp đề toán cho thời điểm ban đầu t = KCBĐ : Hiệu vận tốc b) Trường hợp đề toán không cho thời điểm ban đầu Mẹo giải: Đưa đúng để suy luận và áp dụng công thức trường hợp a để tính thời gian 19 Lop1.net (20) “Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giỏi lớp giải các bài toán chuyển động kim đồng hồ” Dạng 2: Hai kim đồng hồ tạo với thành góc vuông: a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ < 1/4 vòng đồng hồ t = (KCBĐ + 1/4) : 11/12 b) Trường hợp 2: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: 1/4 vòng đồng hồ < KCBĐ < 3/4 vòng đồng hồ t = (KCBĐ - 1/4) : 11/12 c) Trường hợp 3: Nhóm các bài toán có thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ > 3/4 vòng đồng hồ t = (KCBĐ - 3/4) : 11/12 Dạng 3: Hai kim đồng hồ tạo với thành đường thẳng: a) Trường hợp 1: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ < 1/2 vòng đồng hồ t = (KCBĐ + 1/2) : 11/12 b) Trường hợp 2: Các bài toán cho thời điểm ban đầu tạo nên: KCBĐ > 1/2 vòng đồng hồ t = (KCBĐ - 1/2) : 11/12 Dạng 4: Hai kim đồng hồ chuyển động và đổi chỗ cho nhau: t = : Tổng vận tốc Với dạng bài, GV dẫn dắt các em tìm hiểu qua bài toán mẫu, từ đó xây dựng công thức và số bài tập để các em áp dụng công thức thật thành thạo Trên đây là số kinh nghiệm chúng tôi Viết sáng kiến kinh nghiệm này, chúng tôi muốn sẻ chia, tháo gỡ phần nào khó khăn đồng nghiệp bồi dưỡng HS giỏi “Toán chuyển động kim đồng hồ” đồng thời mong muốn tiếp nhận ý kiến đóng góp, bổ sung Hội đồng khoa học các cấp để SKKN hoàn chỉnh hơn, mục đích cuối cùng là để đảm bảo “quyền lợi học” học sinh Xin chân thành cảm ơn! Cầu Giát, ngày 30 tháng năm 2010 Người viết sáng kiến: Đặng Thị Hồng Hồ Mạnh Hùng 20 Lop1.net (21)