Kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ QUYỂN KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ QUYỂN KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH HỖN HỢP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Mở đầu Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 11 1.3 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 16 1.4 Kĩ thuật hàm số 24 1.4.1 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc 24 1.4.2 Kĩ thuật sử dụng đạo hàm bậc hai 29 1.4.3 Kĩ thuật sử dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 34 1.5 Kĩ thuật véc tơ 38 1.6 Kĩ thuật lượng giác hóa 40 1.7 Kĩ thuật hình học 41 Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức 43 2.1 Các kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp 43 2.2 Các kĩ thuật tổng hợp chứng minh bất đẳng thức 60 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Lí chọn đề tài Bất phương trình hỗn hợp hiểu bất phương trình phức tạp, chứa nhiều loại hàm khác (đa thức, thức, mũ, logarit, ) Để giải bất phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường phải "bóc lớp" để đưa bất phương trình đơn giản Tuy nhiên, có nhiều bất phương trình hỗn hợp đòi hỏi sử dụng kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung khơng thể dùng kĩ thuật, mà phải sử dụng tổng hợp vài đồng thời nhiều kĩ thuật để giải bất phương trình loại Đã có số sách viết phương pháp giải bất phương trình bất đẳng thức thí dụ, tài liệu [2], [5] Tuy nhiên, theo quan sát chúng tơi, nên sâu phân tích cụ thể chi tiết phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm gần (trước năm 2017) câu khó thường tốn phương trình, bất phương trình tốn liên quan tới bất đẳng thức, bất phương trình hỗn hợp Để giải toán này, cần sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn kĩ thuật tổng hợp Bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức hay gặp kì thi (thi học sinh giỏi, Olympic 30–4, vơ địch Quốc gia, Quốc tế, ) Với lí trên, tác giả lựa chọn đề tài: "Kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp" làm đề tài luận văn cao học Lịch sử nghiên cứu Chủ đề bất phương trình bất đẳng thức có vị trí vai trị quan trọng chương trình mơn Tốn trường Trung học phổ thơng Kiến thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp đến cuối cấp Trung học phổ thông, chí kì thi Olympic sinh viên Nó đóng vai trị chìa khóa để giải nhiều tốn thực tế Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn hệ thống hóa trình bày số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức thường gặp kì thi Olympic, thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Tất toán luận văn chọn lựa từ đề thi vào đại học thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế nước, từ báo chí, thí dụ, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Bên cạnh việc hệ thống hóa đề thi, luận văn cịn cố gắng phân tích, tổng hợp phương pháp thơng qua tốn cụ thể Mục tiêu luận văn: Luận văn có mục tiêu trình bày phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Các phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức áp dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, tốn cực trị Hy vọng luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm kĩ thuật phương pháp giải bất phương trình, bất đẳng thức áp dụng vào thực tế học tập giảng dạy Phương pháp nghiên cứu - Phân tích lí thuyết, phân dạng loại tập - Đưa tập minh họa phù hợp với nội dung - Tổng hợp tài liệu từ sách tham khảo, sách liên quan đến đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm Chương Chương 1: Phân loại số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp Trong chương này, chúng tơi trình bày kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp Trong kĩ thuật, trước hết trình bày ý tưởng, sau chúng tơi trình bày nhiều ví dụ có lời giải chi tiết, thể rõ kĩ thuật nêu Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Chương trình bày số tốn bất phương trình hỗn hợp mà phải dùng tổng hợp kĩ thuật nêu chương để giải Cuối số toán bất đẳng thức Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đầu tiên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng Thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn để tơi hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể thầy khoa Tốn Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức suốt thời gian học tập, thực hoàn thành luận văn Xin cảm ơn nhà trường, Trường THPT Quế Võ Số 1, huyện Quế Võ, tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tôi, cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân đồng nghiệp suốt thời gian học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Quyển Chương Phân loại số kĩ thuật chủ đạo giải bất phương trình hỗn hợp Để giải bất phương trình, để chứng minh bất đẳng thức toán cực trị loại khó ta sử dụng số kĩ thuật sau 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương Nói chung trình giải bất phương trình trình biến đổi tương đương từ bất phương trình phức tạp bất phương trình đơn giản nhờ số tính chất hàm vơ tỷ, mũ, logarit, ví dụ:  g(x) <   f (x) ≥  Tính chất 1.1 f (x) ≥ g(x) ⇔   g(x) ≥  f (x) ≥ g (x) Tính chất 1.2   g(x) ≥    f (x) ≤ g(x) ⇔ f (x) ≥    f (x) ≤ g (x) Tính chất 1.3 f (x)g(x) ≥ f (x)h(x) tương đương với f (x) > g(x) ≥ h(x) < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≤ h(x) Tính chất 1.4 f (x)g(x) ≤ f (x)h(x) tương đương với f (x) > g(x) ≤ h(x) < f (x) < f (x) = g(x); h(x) có nghĩa g(x) ≥ h(x) Kỹ thuật biến đổi tương đương kĩ thuật bản, nhiên bất phương trình hỗn hợp, kĩ thuật lúc áp dụng cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm số kĩ thuật khác Các ví dụ (và chương 2) trình bày phân tích sâu nhận xét Bài 1.1 (Đề thi học sinh giỏi lớp 10 - Kon Tum, năm học 2013 -2014) Giải bất phương trình sau tập số thực −x2 + 8x − 12 > 10 − 2x (1.1) Bài giải Ta có   10 − 2x < x>5    − x2 + 8x − 12 ≥  2≤x≤6   (1.1) ⇔  ⇔  10 − 2x ≥  x≤5   − x2 + 8x − 12 ≥ (10 − 2x)2 5x2 − 48x + 112 <  5 0, ∀x ≥ 1, suy hàm số f (x) đồng biến [1; +∞) Suy f (x) ≥ f (1) = √ √ • g (x) = x + x − > 0, ∀x ≥ 1, suy hàm số g(x) đồng biến [1; +∞) Suy g(x) ≥ g(1) = √ √ Vậy h(x) = x + x − x3 + 3x2 − ≥ Để bất phương trình (2.11a) có nghiệm x ≥ m ≥ Vậy với m ≥ bất phương trình cho có nghiệm Bài 2.12 (Đề thi đề nghị Olympic 30 tháng năm 2007, trường THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực    x+ x2 + 2x + + x + x2 + + 2x + ≥ 2 √   log x2 + ≤ logm2 +1 (m − 2x) m +1 (1) (2) 54 Bài giải Điều kiện m = Giải bất phương trình √ √ x+ x + 2x + + x + x + + 2x + ≥ (1) 2 Đặt  u = x2 + u2 = x2 + v − u2 − ⇒x= ⇒ v = x2 + 2x + v = x2 + 2x + Điều kiện u ≥ 1; v ≥ Khi bất phương trình (1) trở thành v u v − u2 + + v − u2 − + v − u2 ≥ 2 2 ⇔ (v − u) u + v + + 2uv + 2u + 2v ≥ ⇔ (v − u) (u + v + 1)2 ≥ Do u ≥ 1; v ≥ nên (1a) ⇔ v ≥ u ⇒ √ x2 + 2x + ≥ (1a) √ x2 + ⇔ x ≥ −1 Hệ bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình (2) có  nghiệm x ≥ −1 Ta có m2 + 1 > 1, ∀m = Do   m=0 m=0       ⇔ x ≥ −1 (2) ⇔ x ≥ −1     √ √   3 x2 + + 2x ≤ m 0 < 3 x2 + ≤ m − 2x √ Xét hàm số f (x) = x2 + + 2x [−1; +∞) (2a) Hệ bất phương trình có nghiệm bất phương trình (2a) có nghiệm x ≥ −1 với ∀m = ⇔ f (x) ≤ m [−1;+∞) Ta có f (x) = √ + = ⇔ x = −1; f (x) không xác định x = x Ta có bảng biến thiên 55 x −1 f (x) +∞ − + +∞ f (x) Từ bảng biến thiên suy f (x) = ⇒ m ≥ (thỏa mãn m = 0) [−1;+∞) Vậy với m ≥ hệ bất phương trình cho có nghiệm thực Bài 2.13 (Toán học tuổi trẻ, số 443 tháng năm 2014) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực  5x + 6x2 + 6x3 − x4 log2 x > x2 − x log2 x + + x − x2 + |5 − 2x | +x3 − 50x + 53 − 2m ≤ Bài giải • Giải bất phương trình √ √ 5x + 6x2 + 6x3 − x4 log2 x > x2 − x log2 x + + x − x2 + Điều kiện để bất phương trình (3) có nghĩa < x ≤ (3) (3a) Với điều kiện (3a) √ √ (3) ⇔ (x − 1) + + x − x2 x log2 x > (x − 1) x log2 x + + x − x2 √ ⇔ (x − 1) (x log2 x − 5) − + x − x2 (x log2 x − 5) < √ ⇔ (x log2 x − 5) + x − x2 + − x > (3b) Do < x ≤ nên x log2 x − ≤ log2 − < Do √ (3b) ⇔ + x − x2 + − x < 1 Khi bất phương trình (7) trở thành t2 + (x − 3) t + x − ≥ ⇔ (t + 1) (t + x − 4) ≥ ⇔ t + x − ≥ ⇒ log3 (x + 7) + x ≥ (7a) Xét hàm số f (x) = log3 (x + 7) + x [−2; +∞) Ta thấy hàm số f (x) đồng biến [−2; +∞) f (2) = 4, suy f (x) ≥ f (2) ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình (7) có nghiệm x ≥ • Để hệ bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình mx x + + √ x + + 27m ≤ x + √ x+2 (8) 58 có nghiệm x ≥ Ta có √ √ (8) ⇔ m x + + x + 25 ≤ x + + x √ Đặt y = x + + x, điều kiện y ≥ (8a) Khi bất phương trình (8a) trở thành m y + 25 ≤ y ⇔ m ≤ y y + 25 (8b) y [4; +∞) Ta có + 25 −y + 25 g (y) = ; g (y) = ⇔ y = (y + 25)2 Ta có bảng biến thiên Xét hàm số g(y) = y2 y +∞ + g (y) − 10 g(y) 41 Từ bảng biến thiên suy max g(y) = g(5) = [4;+∞) 10 Bất phương trình (8b) có nghiệm y ≥ m ≤ 10 hệ bất phương trình cho có nghiệm Vậy m ≤ 10 • Nhận xét: Bài tương tự Bài 2.16 Tuy nhiên muốn giới thiệu thêm cách giải khác bất phương trình (7) Bài 2.15 Bài 2.16 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12, Nam Định, năm học 2016 - 2017) Tìm tất giá trị m để hệ bất phương trình sau có nghiệm log23 (x + 7) + (x − 3) log3 (x + 7) + x − ≥ x; y ∈ R √ x − x + − m ≤ 59 Bài giải Điều kiện để hệ bất phương trình có nghĩa x ≥ −2 (∗) • Giải bất phương trình log23 (x + 7) + (x − 3) log3 (x + 7) + x − ≥ (9) Với x ≥ −2 suy x + ≥ ⇒ log3 (x + 7) ≥ log3 > Ta có (9) ⇔ [log3 (x + 7) + 1] [log3 (x + 7) + x − 4] ≥ ⇔ x + log3 (x + 7) − ≥ (9a) Xét hàm số f (x) = x + log3 (x + 7) − [−2; +∞) Ta có > 0, ∀x ≥ −2 f (x) = + (x + 7) ln Suy hàm số f (x) đồng biến [−2; +∞) f (2) = Khi (9a) viết dạng f (x) ≥ f (2) ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình (9) có nghiệm x ≥ • Giải bất phương trình x− √ x + − m ≤ (10) Ta có √ (10) ⇔ m ≥ x − x + √ Xét hàm số g(x) = x − x + √ [2; +∞) Ta có x+2−1 √ g (x) = − √ = > 0, ∀x ≥ 2 x+2 x+2 Suy hàm số g(x) đồng biến [2; +∞) g(x) = g(2) = [2;+∞) Hệ bất phương trình cho có nghiệm bất phương trình (10) có nghiệm x ≥ ⇔ m ≥ Vậy hệ bất phương trình cho có nghiệm m ≥ 60 2.2 Các kĩ thuật tổng hợp chứng minh bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức miền cho trước thực chất ta chứng minh bất phương trình ln nghiệm miền cho Bài 2.17 (Toán học tuổi trẻ, đặc san số 6) Cho x; y ∈ (0; 1) ; x = y Chứng minh y x ln − ln y−x 1−y 1−x > (2.12) Bài giải • Trường hợp Nếu y > x bất đẳng thức (2.12) trở thành x y − ln > (y − x) ln 1−y 1−x x y − 4y > ln − 4x (2.12a) ⇔ ln 1−y 1−x t Xét hàm số f (t) = ln − 4t (0; 1) Ta có 1−t (2t − 1)2 f (t) = ≥ 0, với ∀t ∈ (0; 1) t (1 − t) Do hàm số f đồng biến (0; 1) y > x nên f (y) > f (x) Vậy bất đẳng thức (2.12a) chứng minh • Trường hợp Nếu y < x bất đẳng thức (2.12) trở thành y x ln − ln < (y − x) 1−y 1−x y x ⇔ ln − 4y < ln − 4x 1−y 1−x ⇔ f (y) < f (x) Do hàm số f đồng biến (0; 1) y < x nên f (y) < f (x) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 2.18 (Toán học tuổi trẻ, đặc san số 6, năm 2013) Chứng minh với x; y > ta có y x+y e 2x + y < x (2.13) 61 Bài giải Ta có y (2.13) ⇔ e 2x + y < x+y x x+y 2y ⇔ ln > x 2x + y ⇔ ln + 2y y > x 2x + y (2.13a) y Đặt t = + , điều kiện t > x Khi bất phương trình (2.13a) trở thành (t − 1) (t − 1) ⇔ ln t − > ln t > t+1 t+1 (t − 1) Xét hàm số f (t) = ln t − với t ∈ [1; +∞) Ta có t+1 (t − 1)2 f (t) = ≥ 0, ∀t ≥ t (t + 1)2 Đẳng thức xảy t = Do hàm số f (t) đồng biến [1; +∞) t > (t − 1) nên f (t) > f (1) = ⇔ ln t − > t+1 Vậy toán chứng minh Bài 2.19 (Đề thi Olympic 30 tháng năm 2008, trường THPT Nguyễn Thượng Hiền, TP Hồ Chí Minh) Cho x > 0, chứng minh ln + + x2 < + ln x x (2.14) Bài giải Điều kiện đề bất đẳng thức (2.14) có nghĩa x > √ Xét hàm số f (x) = ln + + x2 − − ln x (0; +∞) x Ta có f (x) liên tục (0; +∞) x 1 f (x) = √ − + √ x x + x2 + + x2 √ √ x + x2 − x−1 + x2 − x √ √ f (x) = − = > 0, ∀x > x2 x2 + x2 x2 + x2 62 Suy hàm số f (x) đồng biến √ (0; +∞) + + x2 Mặt khác, ta có lim = x→+∞ x √ + + x2 Do hàm số ln liên tục (0; +∞) nên x √ + + x2 =0 lim ln x→+∞ x √ + + x2 ⇒ lim ln − =0 x→+∞ x x ⇒ lim f (x) = x→+∞ Vậy f (x) < 0, ∀x > hay ln + √ + x2 < + ln x x Vậy toán chứng minh Bài 2.20 ( Đề thi đề nghị Olympic 30 tháng năm 2008, trường THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam) Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh √ 4sin A+sin B+sin C + √ π 2tan A+tan B+tan C > 21+ (2.15) Bài giải Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có √ √ 4sin A+sin B+sin C + 2tan A+tan B+tan C (sin A + sin B + sin C) tan A + tan B + tan C 3 =2 +2 (sin A + sin B + sin C) tan A + tan B + tan C + 3 ≥2 Để chứng minh bất đẳng thức (2.15) ta chứng minh (sin A + sin B + sin C) tan A + tan B + tan C π + 1+ 3 2 >2 2 (sin A + sin B + sin C) tan A + tan B + tan C √ + 3 ⇔ > 2π 63 (sin A + sin B + sin C) tan A + tan B + tan C + >π 3 2 1 ⇔ sin A + tan A − A + sin B + tan B − B + 3 3 ⇔ sin C + tan C − C 3 Xét hàm số f (x) = > (2.15a) π sin x + tan x − x 0; Ta có 3 2 1 cos x + − = cos x + cos x + −1 3 cos2 x cos2 x ≥ − = π π , ∀x ∈ 0; Mặt khác cos x = ⇒ f (x) > 0, ∀x ∈ 0; cos2 x 2 π f (0) = Suy hàm số f (x) đồng biến 0; π π Do f (x) > f (0), ∀x ∈ 0; ⇒ sin x+ tan x−x > 0, ∀x ∈ 0; 3 Khi ta có f (x) = sin A + tan A − A > 0, 3 sin B + tan B − B > 0, 3 sin C + tan C − C > 3 Suy bất đẳng thức (2.15a) chứng minh Vậy bất đẳng thức (2.15) chứng minh 64 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu với hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, tơi hoàn thành luận văn Thạc sĩ theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau: Trình bày chi tiết số kĩ thuật giải bất phương trình hỗn hợp Trình bày chi tiết lời giải số tốn khó bất phương trình hỗn hợp, bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố qua năm, thi Olympic 30-4 Quốc gia Quốc tế, tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Một số đề thi chúng tơi khơng tìm lời giải gốc nên tự giải, thí dụ như: Đề thi tốn Quốc gia bảng A năm 1977, đề thi đề nghị 30 tháng năm 2017, trường THPT Chuyên Nguyễn Du tỉnh Đắk Lắk, Đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ninh năm 2010, Bài giải số đề thi luận văn trình bày khác với lời giải gốc, thí dụ: Đề thi đề nghị 30 tháng năm 2017, trường THPT Chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang, đề thi Olympic toán Quốc tế năm 1967 Với hy vọng qua luận văn ta có tranh tương đối rõ nét khả đề thi (trắc nghiệm, tự luận, kết hợp), mức độ yêu cầu kì thi (đề thi học sinh giỏi nhiều tỉnh, thành phố, dạng), đặc thù kì thi nước Hy vọng điều trợ giúp giáo viên thiết kế đề thi, bạn học sinh tham khảo chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi, thi trung học phổ thông quốc gia 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kim Chung (2010), Một số toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, http://www.Vnmath.com [2] Nguyễn Thái Hịe (2009), Các tốn giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Hà Duy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễn Ngọc Giang, Lê Minh Cường (2016), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn toán, Tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hà Duy Hưng (2005), Các thi toán Quốc gia Việt Nam (19622005), www.ddtoanhoc.net [5] Đàm Văn Nhỉ (2013), Bất đẳng thức cực trị hệ phương trình, Nhà xuất Thông tin Truyền thông [6] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2001), 40 năm Olympic toán học Quốc tế, Nhà xuất Giáo dục Đà Nẵng [7] Trịnh Khắc Tuân (2015), Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT mơn tốn, Tập 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Ban tổ chức kỳ thi (2017), Tuyển tập đề thi Olymlic 30-4, lần thứ XXIII-2017, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Ban tổ chức kỳ thi (2014), Tuyển tập 20 năm đề thi Olymlic 30-4 Toán 10,11, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội 66 [10] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng hợp đề thi Olymlic 30-4, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [11] Đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố, Trang mạng www.k2pi.net [12] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Tiếng Anh [13] Djuki´c, D., Jankovi´c, V., Mati´c, I., Petrovi´c, N (2011), A Collection of Problems: Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959-2009, Springer ... bất phương trình cho có nghiệm x = (1.35c) 43 Chương Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức 2.1 Các kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp Với số giải bất. .. rõ kĩ thuật nêu Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp bất đẳng thức Chương trình bày số tốn bất phương trình hỗn hợp mà phải dùng tổng hợp kĩ thuật nêu chương để giải. .. hợp bất đẳng thức 43 2.1 Các kĩ thuật tổng hợp giải bất phương trình hỗn hợp 43 2.2 Các kĩ thuật tổng hợp chứng minh bất đẳng thức 60 Tài liệu tham khảo 65 Mở đầu Lí chọn đề tài Bất phương