Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)

Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM HỒNG CẨM KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - PHẠM HỒNG CẨM KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2017 MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Phân loại phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 1.2 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 1.2.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình dạng tổng tích ẩn 10 1.2.2 Một số phương trình hệ phương trình giải nhờ đặt ẩn phụ 11 1.3 Phương pháp điều kiện cần đủ 15 1.4 Phương pháp hàm số 19 1.4.1 Kĩ thuật sử dụng tính đồng biến ngặt hàm số 19 1.4.1.1 Sử dụng tính đồng biến hàm 19 1.4.1.2 Kĩ thuật chủ đạo 22 1.4.1.3 Kĩ thuật chủ đạo 30 1.4.2 Phương pháp giá trị lớn nhỏ đánh giá 33 1.5 Bài tập tương tự 36 Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp 40 2.1 Phương trình với nhiều cách giải 40 2.2 Các kĩ thuật giải phương trình hệ phương trình 48 2.3 Bài tập tương tự 71 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 i MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình hệ phương trình hỗn hợp hiểu phương trình hệ phương trình phức tạp, chứa nhiều loại hàm khác (đa thức, thức, mũ, logarithm, ) Để giải phương trình chứa nhiều loại hàm, ta thường phải “bóc lớp” để đưa phương trình hệ phương trình đơn giản Tuy nhiên, có nhiều phương trình, hệ phương trình hỗn hợp đòi hỏi sử dụng kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung dùng kĩ thuật, mà phải sử dụng tổng hợp vài đồng thời nhiều kĩ thuật để giải phương trình, hệ phương trình loại Đã có số sách (xem, thí dụ, [1], [2], [5]–[9], [11]) số luận văn cao học (xem, thí dụ, [3], [4]) viết phương pháp giải phương trình hệ phương trình, nhiên, theo quan sát chúng tôi, cần sâu phân tích cụ thể chi tiết phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp Trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia năm gần (trước 2017), hai câu khó (câu câu 10) thường toán liên quan tới phương trình hệ phương trình hỗn hợp Để giải toán này, cần sử dụng thành thạo nhuần nhuyễn kĩ thuật tổng hợp Phương trình hệ phương trình hỗn hợp hay gặp kì thi học sinh giỏi (Olympic 30–4, vô địch Quốc gia, Quốc tế) Với lí trên, tác giả lựa chọn đề tài Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp làm đề tài luận văn cao học Lịch sử nghiên cứu Chủ đề phương trình, hệ phương trình có vị trí vai trò quan trọng chương trình môn Toán trường Trung học phổ thông Kiến thức kĩ chủ đề có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp đến cuối cấp Trung học phổ thông Nó đóng vai trò chìa khóa để giải nhiều toán thực tế Đã có nhiều tài liệu viết chủ đề phương trình, hệ phương trình Tuy nhiên, theo quan sát chúng tôi, ngoại trừ [4], chưa có nhiều tài liệu hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu kĩ thuật giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn hệ thống hóa trình bày số kĩ thuật giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp thường gặp kì thi Olympic, thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế Tất toán, ví dụ minh họa toán tương tự luận văn chọn lựa từ đề thi vào đại học thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế nước, chủ yếu đề thi năm gần đây, dựa nhiều tài liệu nước, thí dụ, [10], [12] Bên cạnh việc hệ thống hóa đề thi, luận văn cố gắng phân tích, tổng hợp phương pháp thông qua ví dụ cụ thể Mục tiêu luận văn Luận văn có mục tiêu trình bày phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp Các phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp hoàn toàn áp dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, toán cực trị Hi vọng luận văn góp phần làm sáng tỏ thêm kĩ thuật phương pháp giải phương trình, hệ phương trình áp dụng vào thực tế học tập giảng dạy Phương pháp nghiên cứu - Phân tích lí thuyết, phân dạng loại tập - Đưa ví dụ minh họa phù hợp với nội dung - Tổng hợp tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, sách liên quan đến đề tài Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm Chương Chương 1: Phân loại số phương pháp kĩ thuật giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp Chương PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP Để giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp loại khó, thường cần phải đồng thời kết hợp sử dụng vài kĩ thuật Tuy vậy, toán thường có kĩ thuật chủ đạo Nhằm dễ dàng phân tích lời giải, phương trình hệ phương trình luận văn phân loại theo phương pháp giải Các phương pháp kĩ thuật giải phân loại 1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương Nói chung, trình giải phương trình, hệ phương trình trình biến đổi tương đương từ phương trình, hệ phương trình phức tạp phương trình, hệ phương trình đơn giản nhờ số tính chất hàm vô tỉ, mũ, logarithm, thí dụ: Tính chất 1:  g ( x) ≥ f ( x ) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x ) Nhận xét: Không cần đòi hỏi giải điều kiện thừa f ( x) ≥  f ( x) > 0, f ( x) ≠  g1 ( x) = g ( x ) Tính chất 2: f ( x) g1 ( x ) = f ( x) g2 ( x ) ⇔ f ( x ) =  Nhận xét: Nhiều học sinh thường quên trường hợp f ( x) = Tính chất 3:  f ( x) > 0, f ( x) ≠  f ( x) > 0, f ( x) ≠   log f ( x ) g1 ( x) = log f ( x ) g ( x) ⇔  g1 ( x ) = g ( x) ⇔  g1 ( x) = g ( x )  g ( x) >  g ( x) >   Nhận xét: Chỉ cần giải hai hệ trên, chọn hai điều kiện g1 ( x) > g ( x ) > điều kiện dễ giải Kĩ thuật biến đổi tương đương kĩ thuật bản, nhiên, phương trình, hệ phương trình hỗn hợp, kĩ thuật lúc áp dụng cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm với kĩ thuật khác Các ví dụ cụ thể (các toán thi Olympic thi vào đại học), Chương trình bày phân tích sâu nhận xét 1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương Bài (Thi học sinh giỏi Việt Nam VMO 2002, Bảng A) Giải phương trình − 10 − x = x − (1) Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa  10 10 − x ≥ 10 x ≤ ⇔ ⇔ ≤ x ≤ (*)  x − ≥  x ≥ Với điều kiện (*) ta có: (1) ⇔ − 10 − x = x − x + ⇔ (10 − x ) = x ( − x ) ⇔ x − x + 16 x + 27 x − 29 = ⇔ ( x − 3)( x + ) ( x − x + 15 ) = ⇔ x = (vì x − x + 15 = vô nghiệm x = −2 không thỏa mãn điều kiện (*)) Đáp số: Phương trình có nghiệm x = Bài (Thi Olympic Trung Quốc CMO, 1998) Giải phương trình x = x− 1 + − (1) x x Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa x > (*) Với điều kiện (*)  1 1  1 (1) ⇔ x − x − = − ⇔  x − x −  =  −  x x x  x  ⇔ x − − x ( x − 1) + x = ⇔ ⇔ x2 − x −1 = ⇔ x = ( x2 −1 − x ) = ⇔ x2 −1 = x 1+ 1− (x = không thỏa mãn điều kiện (*)) 2 Đáp số: Phương trình có nghiệm x = 1+ Nhận xét: Trong hai toán trên, ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương với kĩ thuật bình phương hai vế không âm phương trình Bài (Thi học sinh giỏi Kiên Giang 2014–2015) Giải phương trình x + − x = x + + 10 − x − x − (1) Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa −2 ≤ x ≤ (*) Với điều kiện (1) ⇔  x + −  ( x + )( − x )  +  − x − x +  = ⇔ x +  x + − − x  − 2 x + − − x  =     ⇔ ( x+2 −2 )( ) x+ − 5− x = x =  x+2 −2=0  x+2 =2 ⇔ ⇔ ⇔ x =  x + = − x  x + − − x  Thử lại điều kiện (*) ta đến kết luận hai giá trị nghiệm phương trình Đáp số: x = 2; x = Nhận xét: Trước biến đổi tương đương, phải quan sát thấy phân tích 10 − 3x − x = ( x + 2)( − x ) Đây mấu chốt để giải toán Việc biến đổi tương đương giải phương trình vô tỉ x + − = x + − − x không khó, với học sinh trung bình 1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp Sử dụng biểu thức liên hợp dạng a − b = ( a+ b )( ) a − b , để biến đổi tương đương phương trình cho dạng đơn giản Kĩ thuật sử dụng phổ biến thi vào đại học thi học sinh giỏi năm gần Bài (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2010–2011, lớp 12) Giải phương trình 2( x − 6) = x − − x + (1) Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa là: x − ≥ x ≥ ⇔ ⇔ x ≥ (*)  x + ≥ x ≥ −   Với điều kiện (*), nhân hai vế với biểu thức liên hợp x − − x + x − + x + 3, ta (1) ⇔ 2( x − 6)(3 x − + x + 3) = 9( x − 5) − ( x + 3) ⇔ 2( x − 6)(3 x − + x + 3) = x − 48 ⇔ ( x − ) (3 x − + x + 3) = 4( x − 6) ( 2) Trường hợp 1: x = thỏa mãn điều kiện (*) nên nghiệm (1) Cũng thay x = vào phương trình (1) để tin x = nghiệm (1) Trường hợp 2: x ≠ Chia hai vế phương trình (2) cho x − ta (2) ⇔ x − + x + = ⇔ ( x − ) + ( x + 3) + x − x + = 16 ⇔ x − x + = 29 − x 29  x≤  29 − x ≥ 17 −  ⇔ ⇔ ⇔ x=  x − 17 x + 61 =  x = 17 ±  Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x + ≥ 22 ⇔ −2 ≤ x ≤ (*)  22 − 3x ≥ + y > y = y ≥ y nên Do thức liên hợp (1) ⇔ 1+ t + t 1+ t > t2 + t 1+ t2 = y2 +1 − y = x2 + + x = y +1 + y f (t ) = t + 1+ t số Hàm y + + y t +t 1+ t2 + y − y > nên nhân (1) với biể u (− y) ⇔ x2 + + x = có + + ( − y ) , ta được: (− y) + − y ⇔ f ( x ) = f ( − y ) f ′(t ) = 1+ t2 + t 1+ t >0 ≥ Do hàm số f ( t ) đồng biến chặt Suy f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y Thế vào (2) ta được: (2) ⇔ x + + 22 − 3x = x +    14   1  ⇔  x + −  x +   +  22 − x −  − x +   = x − x −    3   ⇔ 3 x + − ( x + )  + 3 22 − x − (14 − x )  = ( x − x − ) ⇔ ( − x2 + x + ) x+2 +x+4 + − x2 + x + + 3( − x2 + x + ) = 22 − 3x + 14 − x   ⇔ ( − x + x + ). + + 3 =  x + + x + 22 − 3x + 14 − x  Do  22  + + > 0, ∀x ∈  −2;  3 x + + x + 22 − 3x + 14 − x   x = −1 nên phương trình tương đương với − x + x + = ⇔  ( tm ) x = 62  x = −1 x =   y =  y = −2 So với điều kiện (*), ta đến  Đáp số: Tập nghiệm hệ S = {( −1;1) ; ( 2; −2 )} Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với phương pháp đạo hàm Ngoài ra, cần có lí luận đặc biệt Bài 23 (Thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh năm 2014) Giải hệ phương trình ( x − 1) x + y = ( − x − y ) − x  2 12 x + xy − 18 x = x − x − y + (1) ( 2) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x + y ≥ 0, x ≤ (*) Đặt a = − x ≥ ⇒ x = − a2; b = x + y ≥ Khi (1) ⇔( 3−2a2 ) b =( 6−b2 ) a ( 3) Do a = b = ⇔ x = 2, y = −2 không thỏa mãn hệ nên xét a > 0, b > 3− 2a2 − b2 − ( 2a) − b2 = ⇔ = ⇔ f ( 2a) = f ( b) Với a > 0, b > ( 3) ⇔ a b b ( 2a) 6 Hàm số f ( t ) = − t có f ′ ( t ) = − − < 0, ∀t > nên f ( t ) đồng biế n t t chặt ( 0, +∞ ) Suy f ( 2a ) = f ( b ) ⇔ b = 2a x + y = 2 − x ⇔ x + y = ( − x ) ⇔ y = − 5x Hay Thế vào (2) ta được: ( ) ⇔ −3x + x = x3 − x − ⇔ ( x − 3x ) +2 3 x − x = ( x − 1) + ( x − 1) ⇔ f Hàm số f ( z ) = z + z có f ′( z ) = 3z2 + > ∀z ∈ chặt Suy f ( ) ( ) x − 3x = f ( x − 1) nên f ( z ) đồng biế n 6x − 3x2 = f ( x −1) ⇔ 6x − 3x2 = x −1 ⇔ x3 − 3x −1 = ( 4) Xét x ∈ [ −2;2] đặt x = 2cos u, ( u ∈ [0; π ]) 63 ( ) ⇔ 8cos3 u − 6cos u = ⇔ 4cos3 u − 3cos u = ⇔u =± π + Suy ra: x = 2cos π ⇔ cos3u = cos k 2π  π 5π 7π  k ∈ ; u ∈ [ 0; π ] nên u ∈  ; ;  9 9  π x = 2cos 5π 7π x = 2cos 9 Do phương trình bậc ba ba nghiệm nên ba nghiệm (4) Đáp số: Các cặp nghiệm cần tìm hệ phương trình π π 5π 5π   2cos ;8 − 10cos  ;  2cos ;8 − 10cos 9  9  7π 7π   ;  2cos ;8 − 10cos 9     Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ phương pháp đạo hàm Bài 24 (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Cần Thơ năm 2015) Giải hệ phương trình  x + xy + y + y + xy + x = ( x + y )   ( y − ) x − = + x − y + y − + ( )( ) (1) ( 2) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x ≥ 2, y ≥ 2 2  y     x   Với điều kiện ta có (1) ⇔  x+  + y +  y+  + x =2( x+ y) ( 3)  2    2   r  y  r  x  y ; v =  y + ; x  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , chọn u =  x + ; 2  2     r r 3 Khi ta có u + v =  x + y; ( x + y )  Suy ra: 2 2  r r 2 u +v = ( x + y) + ( x + y) = 2( x + y) 4 64 2 2 r y   r x     u = x+  + y ; v =  y +  + x 2   2     r r r r Áp dụng bất đẳng thức véctơ u + v ≥ u + v , kết hợp với (3), ta có:  y ( 3) ⇔ ( x + y ) =  x +  +  2   2 2  x    y +  y +  + x  ≥ ( x + y ) 2      r r Dấu bất đẳng thức xảy hai véctơ u v hướng, nghĩa là:  x x +  y  x y  y +  ⇔ x = y ⇔ x = y x ≥ 1, y ≥ = 2  2 ( )( Thế vào ta được: (2) ⇔ (8 x − ) x − = + x − x + x − + ( ) (  ⇔ ( x − 3) x − = + x −   ⇔  ⇔ ( ( ⇔ f ) x−2 ( ) )( x − + 1 x − = + x −    4x − ( ) ( + 4x − = + x − ) ( ) + (2 +  + x − +  + 1   ) x − + + 1  x−2 ) ) 4x − = f + x − Hàm số f ( t ) = t + t có f ′ ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ) nên f ( t ) đồng biến Suy f ( ) ( ) 4x − = f + x − ⇔ x − = + x − x = ⇒ y = ⇔ x + + x − = x − ⇔ x − = 3x − ⇔   x = 34 ⇒ y = 34 9  Đáp số: Nghiệ m hệ ( x; y ) = ( 2;2 ) ;  34 34  ;   9  65 Bài 25 (Đề đề nghị Olympic 30/04/2014, THPT Chuyên Nguyễn Du, Đắk Lắk) Giải hệ phương trình  xy + 3x + y + + ( x + 2) y + − xy + x + y + =    x − + y − 3x + + x2 y − x3 + x2 − x = (1) ( 2) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x ≥ ; y ≥ −2 Với điều kiện thì: (1) ⇔ x ( y + 3) + ( y + 3) + ( x + ) ⇔ ( y + 3)( x + ) + ( x + ) ⇔ ( x + 2)( y + + ⇔ ( x + 2) ( y + − x ( y + 2) + ( y + 2) = y + − ( y + )( x + 1) = ) y + − ( y + )( x + 1) = ) y + + = + ( y + )( x + 1) ( 3) Đặt u = x + ≥ , v = y + ≥ Khi ( 3) ⇔ (1 + u )(1 + v ) Chia hai vế cho ( ) = + uv 3' (1 + u )(1 + v ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 3 abc ≤ a + b + c cộng lại, ta được: (3") ⇔ = ⇔1= 3 uv + 2 (1 + u )(1 + v ) (1 + u )(1 + v ) 1 u v v 1  1 u 2v  +3 ≤  + + +   1+ u 1+ v 1+ v 1+ u 1+ v 1+ v  1+ u 1+ v   1+ u 1+ v  66  1 + u = + v u = v ⇔ ⇔ u = v Dấu đẳng thức xảy  u (1 + v ) = v (1 + u )  u = v 1 + u + v Suy ra: x + = y + ⇔ y = x + x − Thế vào phương trình (2), ta được: ( 2) ⇔ ⇔ ⇔ ( x − + x − x + + x − 3x3 + x − x = ) ( 2x − −1 + ( x − 1) 2x − + ) x − x + − + x − 3x3 + x2 − x + = x ( x − 1) + (x − x + 1) + x − x + + + ( x − 1)( x − 1) ( x + ) =   x  ⇔ ( x − 1)  + + ( x − 1) ( x + )  = 2 x − + x2 − x + + x2 − x + + ( )   x + + ( 2x − 1) x + > 0, ∀x ≥ Do 2x −1 + x2 − x + + x2 − x + + ( ( ) ) nên phương trình có nghiệm x = Suy y = Đáp số: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;2 ) Nhận xét: Kết hợp biến đổi tương đương với đặt ẩn phụ Bài 26 (Thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2009) Giải hệ phương trình 1  + =  2 + xy  + 2x 1+ 2y    x (1 − x ) + y (1 − y ) = (1) ( 2) Giải: Điều kiện để phương trình cho có nghĩa là: ≤ x; y ≤  Đặt u = x 2; v = y 2, u; v ∈ 0;  2 1 + = ( 3)  ta có: (1) ⇔ 2 1+u2 1+ v2 1+uv 67 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: 1 1+ u2 + 1 1+ v2 ≤ 12 + 12 Mặt khác, ta có: 1 + 1+ u + v2 ( 4) 1 + ≤ ∀u , v ∈ [ 0;1] ( ) 2 + u + v + uv   1   − − + ≤0 2  + u + uv   + v + uv  Thật vậy: ( 5) ⇔  ⇔ u (v − u ) v (u − v ) uv − u uv − v + ≤ ⇔ + ≤0 2 2 + u + uv + v + uv + u + uv + v + uv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( v − u ) ( uv − 1) ≤ với ⇔ (1 + u )(1 + v ) (1 + uv ) u , v ≥ 0; uv ≤ Từ (3), (4), (5) suy ra, với u , v ≥ 0; uv ≤ ta có: ( 3) ⇔ 1 = + ≤ + uv + uv 1+ u2 + v2 Dấu đẳng thức xảy u = v ⇔ x = y ⇔ x = y 1 ± 73 V ậy ( ) ⇔ x − x = ⇔ x − x + = ⇔ x = y = 81 36 So sánh với điều kiện, ta đến Đáp số: So với điều kiện, nghiệm cần tìm hệ x = y = ± 73 36 Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương đánh giá bất đẳng thức Bài 27 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng 2014) Giải hệ phương trình 8 x + y = y + 5x +   2  3x + + x y + + y = ( )( ) (1) ( 2) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa y + 5x + ≥ Do + y > y = y ≥ y nên + y − y > 68 Nhân ( ) với biểu thức liên hợp ta được: ( ) ⇔ (3x + ) 1 + x2 = ⇔ 3x + + ( x ) = + ( − y ) + ( − y ) 1+ y2 − y ⇔ f ( 3x ) = f ( − y ) Hàm số f ( t ) = t + + t có f ′ ( t ) = Vì 1+ t2 + t 1+ t2 > t2 + t 1+ t2 = t +t 1+ t2 1+ t2 + t 1+ t2 > 0, ∀t ∈ ≥ nên hàm số f ( t ) đồng biến Suy f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y ⇔ y = −3 x Thế vào (1) ta được: (1) ⇔ x3 − x = x + ( 3) Đặt  π x = cos t , t ∈  0;  Khi đó:  2 ( 3) ⇔ ( 4cos3 t − 3cos t ) = ⇔ cos 2cos t + ⇔ 2cos3t = (1 + cos t ) t t  t   π = cos3t ⇔ cos3t = cos ,  : t ∈ 0;  ⇒ cos >  2   2  t   4kπ t = 3t = + k 2π ,k ∈ ⇔ ⇔ π t k t = 3t = − + k 2π    π Vì t ∈ 0;  nên t =  2 Với t = ta có x = ⇒ y = −3 Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; −3) Nhận xét: Đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương phương pháp hàm số Bài 28 (Thi học sinh giỏi lớp 12 Chuyên Vĩnh Phúc, năm học 2012– 2013) 69   x + 3x + = y − y −   Giải hệ phương trình  y + y + = − z − z    z + 3z + = x − 5x −  ( x, y, z ∈ ) Giải: Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa là: x, y , z ≥ 1  Xét hàm số f ( t ) = t + 3t + 2, g (u) = − 5u −1, liên tục  ; +∞  u 5  Ta có f ′ ( t ) = 2t + > 0, g ′(u ) = − < ∀t > u 5u − 1  Suy f ( t ) đồng biến, g ( t ) nghịch biến  ; +∞  5  Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) nghiệ m hệ (I), tức f ( x0 ) = g( y0 ), f ( y0 ) = g( z0 ) f ( z0 ) = g ( x0 ) Không tính tổng quát, giả sử x0 = { x0 , y0 , z0 } Nếu x0 < y0 ≤ z0 g ( z0 ) ≤ g ( y0 ) = f ( x0 ) < f ( y0 ) = g ( z0 ) Vô lí Vậy x0 = y0 ≤ z0 Nếu x0 = y0 < z0 g ( z0 ) > g ( y0 ) = f ( x0 ) = f ( y0 ) = g ( z0 ) Vô lí Vậy x0 = y0 ≤ z0 x0 = y0 = z0 Tương tự, x0 < z0 ≤ y0 x0 = y0 = z0 V ậy x + 3x + = ( x0 , y0 , z0 ) x0 − x − (1) x 70 nghiệm phương trình 1  Do f ( t ) đồng biến chặt, g ( t ) nghịch biến chặt  ; +∞  nên hàm số 5  1  h(t ) = f ( t ) − g (t ) đồng biến chặt  ; +∞  phương trình 5  h(t ) = f ( t ) − g (t ) = có nghiệm t0 = Suy phương trình (1) có nghiệm x0 = Đáp số: Hệ phương trình cho có nghiệ m x = y = z = Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số kết hợp với số lí luận đặc biệt 2.3 Bài tập tương tự Bài 2.1 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2012–2013, lớp 12) Giả i ( ) phương trình + x − = x + x + Bài 2.2 (Thi Đại học, khối D, 2011) Giải phương trình log (8 − x ) + log ( ) 1+ x + 1− x − = Bài 2.3 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2010– 2011, lớp 12) Giải phương trình ( x − ) ( ) x + + 2 x − = x − Bài 2.4 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2011–2012, lớp 12) phương trình sin 2012 x + cos2012 x = 1005 Giả i Bài 2.5 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2012– 2013, lớp 12) Giải phương trình x +1 − = ( x ∈ ) 2x + − x + Bài 2.6 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh, năm học 2011– 2012, lớp 12) Giải hệ phương trình x3 − x − 10 x − = x + 23x + 12 71 Bài 2.7 (Thi Đại học Khối D, 2010) Giải phương trình 42 x + x+ + x = 42 + x+ + 2x + x −4 Bài 2.8 (Chọn đội tuyển Đại học Vinh thi HSG Quốc gia 2010) Giả i 2x +1   phương trình log ( x + ) + x + = log + 1 +  + x + 2 x  x Bài 2.9 (Thi học sinh giỏi Long An, năm học 2012– 2013, lớp 12) 2.9.1 (Bảng A) Giải phương trình x + = ( x + 1) 2.9.2 (Bảng B) Giải phương trình x + + x + x + + 3.( x + 1) = 3x  x + y − x − y = 2.9.3 (Bảng B) Giải hệ phương trình  2 2  x + y + − x − y = Bài 2.10 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, 2012– 2013, lớp 12) Giải hệ  x3 + xy + y = 0, phương trình  2  x − x + = y + y Bài 2.11 (Olympic Chinh phục đỉnh Vorobiev, Nga, Vòng chung kết, 2014) Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có ( )  y − m + 5(m − 1) = m − 5m + x − + ( )  nghiệm:   x + y = 2(3x − 4) ( x − 3) , Bài 2.12 (Thi học sinh giỏi Nam Định, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ  xy + = y x + 2, phương trình   y + ( x + 1) x + x + = x − x Bài 2.13 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, 2010–2011, lớp 12) Giải hệ  y + y = x3 + x + x + 2, phương trình   − x − y = − y − 72 Bài 2.14 (Thi học sinh giỏi Thanh Hóa, 2011–2012, lớp 12) Giải hệ 22 x− y − x+ y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y , phương trình   y − 2( x − 1) + = Bài 2.15 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ 2 y + y + x − x = − x , phương trình   y + + y = + x + Bài 2.16 (Thi học sinh giỏi Hải Dương, 2012–2013, lớp 12) Giải hệ  x − x = ( y − 1)3 − 9( y − 1), phương trình  1 + x − = y − Bài 2.17 (Thi đại học Khối A, 2010) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ( ): )  x + x + ( y − 3) − y = 0,  2 4 x + y + x = = Bài 2.18 (Thi đại học Khối A, 2013) Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ):  x + + x − − y + = y ,  2  x + x ( y − 1) + y − y + = Bài 2.19 (Thi học sinh giỏi Nghệ An, bảng A, 2011–2012, lớp 12) Tìm tất giá trị để hệ phương trình sau có nghiệm ( x, y ∈ ):  x − 12 x − y + y − 16 = 0,  2 4 x + − x − y − y + m = Bài 2.20 (Thi học sinh giỏi Lâm Đồng, 2013–2014, lớp 12) Giải hệ ( )( ) 2   x + x + y + y + = 1, phương trình  8 x3 + y = x + y + 73 Bài 2.21 (Thi học sinh giỏi Bắc Ninh 2013–2014, lớp 12) Giải hệ ( )  ( x − 1) x + y = ( − x − y ) − x , phương trình  2 12 x + 3xy − 18 x = x3 − x − y + Tiểu kết chương Chương giới thiệu hệ thống tập phương trình hệ phương trình hồn hợp (trong đề thi học sinh giỏi tỉnh năm gần đây) có nhiều cách giải áp dụng kết hợp hai phương pháp kĩ thuật giải 74 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm tòi, nghiên cứu với hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, hoàn thành luận văn Thạc sĩ theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau: Trình bày chi tiết số kiến thức liên quan đến phương trình hệ phương trình hỗn hợp số kĩ thuật giải, số phương pháp giải Trình bày chi tiết lời giải số toán khó phương trình, hệ phương trình hỗn hợp đề thi học sinh giỏi, thi olympic Tổng hợp trình bày lời giải số thi học sinh giỏi phương trình hệ phương trình hỗn hợp, chọn lọc qua đề thi chọn học sinh giỏ i tỉnh, thành phố, nhằm hiểu biết sâu phương pháp k ĩ thuật giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp Ngoài đề thi nước, cố gắng sưu tầ m thêm số đề thi nước Chúng cố gắng tìm ghi lại địa gốc đề thi, với hi vọng qua ta có tranh tương đối rõ nét khả đề thi (trắc nghiệ m, tự luận, kết hợp), mức độ yêu cầu kì thi (đề thi học sinh giỏi nhiều tỉnh, thành phố, dạng), đặc thù kì thi nước Hy vọng điều trợ giúp giáo viên thiết kế đề thi, bạn học sinh tham khảo chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp phổ thông trung học thi vào đại học 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồ Văn Diên (2015), Chinh phục phương trình, bất phương trình đại số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (Trong sách Gia đình Love Book) [2] Lê Văn Đoàn (2015), Tư sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỉ, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đinh Thị Thu Hà (2014), Phương pháp bất đẳng thức phương trình hệ phương trình, Luận văn thạc sĩ toán học – Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên [4] Nguyễn Thị Thanh Hương (2014), Hệ phương trình hệ bất phương trình chứa thức, Luận văn thạc sĩ toán học– Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên [5] Nguyễn Thái Hòe (2005), Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bả n Giáo dục [6] Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Hoa C ương (2005), Tìm hiểu thêm toán học chuyên đề Bất đẳng thức phương trình, Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh [7] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nhà xuất Giáo dục [8] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông, Nhà xuất Giáo dục [9] Đàm Văn Nhỉ, Trần Trung Tình, Phạm Thị Vị, Phạm Đăng Hả i (2013), Bất đẳng thức, cực trị, hệ phương trình, Nhà xuất Thông tin truyền thông [10] Tổng tập đề thi Olympic 30-4, Nhà xuất Giáo dục [11] Nguyễn Thanh Tuyên (2016), Thần tốc luyện đề thi Trung học phổ thông Quốc gia 2016, Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [12] Các tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Kvant, Crux, 76 ... phương pháp kĩ thuật giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp Chương PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI... trình, hệ phương trình hỗn hợp Các phương pháp kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp hoàn toàn áp dụng cho toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương. .. tự 36 Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp 40 2.1 Phương trình với nhiều cách giải 40 2.2 Các kĩ thuật giải phương trình hệ phương trình 48 2.3 Bài tập